第二类曲线积分的计算22749
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算(1)转化为定积分的计算公式βα→⎩⎨⎧==:),(),(,),(),,(t t y y t x x L L y x Q y x P 的参数方程为续上连在定向光滑曲线弧设定理dtt y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),('+'=+⎰⎰βα则特殊情形.)(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为=.)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx ba L ⎰⎰'+=+则.)(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为=.]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx dc L ⎰⎰+'=+则垂直性.0),(⎰=L dx y x p x L 轴的线段时，有是垂直于定向曲线故轴时垂直于因当,0cos ,=αx L ⎰⎰==LL ds y x p dx y x p 0cos ),(),(α.0),(⎰=Ldy y x p y L 轴的线段时，有是垂直于同理，当推广.)()](),(),([)()](),(),([{⎰⎰+'+'=++Γba t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx dtt z t z t y t x R )}()](),(),(['第二类曲线积分的计算(2).)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算a B x a A a L dx y L-⎰例1)0,(a A )0,(a B -例题解,sin cos :)1(⎩⎨⎧==θθa y a x L ，变到从πθ0⎰π=0原式θθθd a a )sin (sin 22-.343a -=,0:)2(=y L ，变到从a a x -⎰-=aa dx 0原式.0=⎰π=03a )(cos )cos 1(2θθd -.)0,4,3()5,4,3()0,0,2(,的折线段再到到是从点其中，计算曲线积分C B A xdz zdy ydx Γ++⎰Γ例2。
微积分 第二类曲线积分
{ P [ x , y ( x )] Q [ x , y ( x )] y ( x )} dx
a
b
以 上 定 义 及 结 论 均 可 推 广 到 空 间
例1、求
L
xydx , L : y
2
x 上从 A ( 1 , 1 ) 到 B ( 1 ,1 )的一段弧 .
求 例2、 y 2 dx , L :
L
d r e ( x , y ) ds
r
[F ( x , y ) e
L L
( x , y )]ds
两类曲线积 分互化公式
为向量值函数
[ P ( x , y ) cos Q ( x , y ) cos ]ds P ( x , y ) dx
规定：定向光滑曲线上各点处的切向量的方向
总是与曲线的走向一致。
参数方程（1）所表示的定向曲线上任一点处切向量为：
( x ( t ), y ( t ), z ( t ))
(a b : ; a b : )
2、变力沿曲线作功
求变力 F ( x , y ) P ( x , y ) i Q ( x , y ) j 作用 于质点沿曲线从点 A 移动到 B 所作的功 ?
( 2 ) 若 L 为封闭曲线 , 积分号常写成
L
.
(3)
L
L1
L2
( L L1 L 2 )
（可加性）
(4)
L
L
二、第二类曲线积分的计算法
第二类曲线积分计算公式
第二类曲线积分计算公式曲线积分是高等数学中的重要概念，它是对向量场在曲线上的积分。
在积分过程中，我们需要根据曲线的特性来选择适合的计算公式。
第二类曲线积分计算公式是其中一种常用的公式，它可以帮助我们计算向量场在曲线上的积分。
本文将详细介绍第二类曲线积分计算公式的定义、性质以及应用。
一、第二类曲线积分计算公式的定义在介绍第二类曲线积分计算公式之前，我们需要先了解一下曲线积分的概念。
对于一个二维向量场 $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，我们可以定义其在曲线 $C: y=f(x)$ 上的积分为：$$int_C F(x,y)cdot ds=int_a^bF(x,f(x))cdotsqrt{1+(f'(x))^2}dx$$其中，$ds=sqrt{1+(f'(x))^2}dx$ 表示曲线元素。
这个积分式子就是曲线积分的基本形式。
在这个基础上，我们可以继续分类讨论，分成第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第二类曲线积分是指曲线积分中，积分项中的 $F(x,y)$ 为一个梯度场的情况。
具体来说，如果存在一个标量场$varphi(x,y)$，使得 $ablavarphi(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$，那么我们就称$F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$ 为一个梯度场。
此时，第二类曲线积分的计算公式为：$$int_C F(x,y)cdot ds=varphi(B)-varphi(A)$$其中，$A$ 和 $B$ 分别表示曲线 $C$ 的起点和终点。
也就是说，第二类曲线积分的结果只与曲线的起点和终点有关，与曲线的具体形状无关。
二、第二类曲线积分计算公式的性质第二类曲线积分计算公式有以下几个重要的性质：1. 线性性质对于任意两个梯度场 $F_1(x,y)=(P_1(x,y),Q_1(x,y))$ 和$F_2(x,y)=(P_2(x,y),Q_2(x,y))$，以及任意两个标量场$varphi_1(x,y)$ 和 $varphi_2(x,y)$，有：$$int_C (F_1(x,y)+F_2(x,y))cdot ds=int_C F_1(x,y)cdot ds+int_C F_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdot F(x,y))cdot ds=kcdotint_C F(x,y)cdot ds$$$$int_C (varphi_1(x,y)+varphi_2(x,y))cdot ds=int_C varphi_1(x,y)cdot ds+int_C varphi_2(x,y)cdot ds$$$$int_C (kcdotvarphi(x,y))cdot ds=kcdotint_Cvarphi(x,y)cdot ds$$其中，$k$ 是任意常数。
第二类曲线积分计算方法
第二类曲线积分计算方法第二类曲线积分是微积分中的重要概念，在数学和物理等领域都有广泛的应用。
它可以用于计算沿着曲线的力场、流量和磁场等物理量的总量。
本文将详细介绍第二类曲线积分的概念，计算方法以及应用场景。
第二类曲线积分，也称为曲线积分，是对曲线上的矢量场或标量场进行积分运算。
其结果表示了沿着曲线的场量的总和。
在数学中，曲线积分可以用来计算弧长、质量分布、质心等，而在物理学中，它常常被用于计算电场、磁场、流量等物理量。
要计算第二类曲线积分，首先要确定曲线的参数方程。
常见的参数方程有参数 t 的向量形式和参数 s 的标量形式。
其中，参数 t 的向量形式通常写作 r(t) = (x(t), y(t), z(t))，而参数 s 的标量形式通常写作 r(s) = (x(s), y(s), z(s))。
参数方程对于描述曲线的形状和方向非常重要。
对于矢量场的曲线积分，其计算可以用定积分的方法进行。
设曲线的参数方程为 r(t)，则矢量场 F(x, y, z) 在曲线上的曲线积分可以表示为：∫ F · dr = ∫ F(r(t)) · r'(t) dt其中，· 表示点积运算，r'(t) 是参数方程 r(t) 的导数，符号∫ 表示积分运算。
上述公式中，F(r(t)) 表示将矢量场 F 在曲线上对应的点代入，计算出的矢量值。
r'(t) 表示曲线在 t 点处的切向量，它的方向和斜率有关。
整个积分表示对参数 t 在曲线上的取值范围进行积分运算。
对于标量场的曲线积分，其计算方法和矢量场类似，只是不需要进行点积运算。
标量场通常表示为 f(x, y, z)，在曲线上的曲线积分可以表示为：∫ f ds = ∫ f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，||r'(t)|| 表示曲线在 t 点处的切线长度。
第二类曲线积分在物理学中有广泛的应用。
例如，在电动力学中，可以利用第二类曲线积分来计算电场沿着导线的环路积分，从而得到导线上的电压。
第二型曲线积分公式
第二型曲线积分公式第二型曲线积分1. 引言在微积分中，曲线积分是一个重要的概念，它有两种类型，第一型曲线积分和第二型曲线积分。
本文将重点介绍第二型曲线积分，并列举相关公式和举例解释说明。
2. 第二型曲线积分的定义第二型曲线积分，也称为向量场的曲线积分，是指将一个向量场沿着一条曲线进行积分。
其中，曲线可以是一维曲线、二维曲线或者高维曲线。
3. 第二型曲线积分的公式参数方程表示若曲线C 可由参数方程表示为：{x =x (t )y =y (t )那么向量场F(x, y)在曲线C 上的第二型曲线积分定义为：∫F C (x,y )⋅dr =∫F ba (x (t ),y (t ))⋅(x′(t ),y′(t )) dt曲线的标量方程表示若曲线C 可由标量方程表示为：F:z =f (x,y ) 或 F:y =g (x )那么向量场F(x, y)在曲线C 上的第二型曲线积分定义为：∫F C (x,y )⋅dr =∫F ba (x (t ),y (t ))⋅(x′(t ),y′(t )) dt4. 第二型曲线积分的应用举例计算质量的重心假设一直线段在平面上由参数方程表示为：{x =3t y =2t一质量分布在该直线段上，其每一点的密度为1。
要计算该质量的重心位置，可以使用第二型曲线积分公式。
我们可以定义向量场F(x, y)为：{F(x,y )=(x,y )根据第二型曲线积分的公式，重心的位置可以通过计算如下曲线积分得到：∫F C (x,y )⋅dr =∫(3t,2t )10⋅(3,2) dt =∫(9t +4t )10 dt =∫1310t dt =132因此，质量的重心位置为(32,1)。
计算流体流速假设存在一个二维的流体流场，在平面上由矢量函数表示为：F(x,y)=(x2,xy)要计算流体在一条曲线C上的流速，可以使用第二型曲线积分公式。
假设曲线C为曲线y=x2从点(0,0)到点(1,1)的一段。
根据第二型曲线积分的公式，流速可以通过计算如下曲线积分得到：∫F C (x,y)⋅dr=∫(t2,t3)1⋅(1,2t) dt=∫(t2+2t4)1 dt=56因此，流体在曲线C上的流速为56。
第二类曲线积分的计算方法
第二类曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线上某个向量场的积分。
曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，其中第二类曲线积分是指对曲线上的标量场进行积分。
本文将介绍第二类曲线积分的计算方法。
第二类曲线积分的定义设曲线C是一个光滑曲线，f(x,y,z)是定义在C上的连续函数，则曲线积分的定义为：∫Cf(x,y,z)ds其中，ds表示曲线C上的弧长元素，即ds=√(dx^2+dy^2+dz^2)。
第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分的计算方法有两种，一种是参数化计算法，另一种是向量场计算法。
1. 参数化计算法参数化计算法是指将曲线C表示为参数方程形式，然后将曲线积分转化为对参数t的积分。
具体步骤如下：（1）将曲线C表示为参数方程形式：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，a≤t≤b（2）计算ds：ds=√(dx^2+dy^2+dz^2)=√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt（3）将f(x,y,z)表示为f(x(t),y(t),z(t))，然后将曲线积分转化为对参数t的积分：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt2. 向量场计算法向量场计算法是指将曲线C上的标量场f(x,y,z)转化为向量场F(x,y,z)=(f(x,y,z),0,0)，然后计算向量场F(x,y,z)沿曲线C的线积分。
具体步骤如下：（1）将曲线C表示为参数方程形式：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，a≤t≤b（2）计算曲线C的切向量T(t)：T(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))（3）计算向量场F(x,y,z)在曲线C上的投影：F(x(t),y(t),z(t))·T(t)=f(x(t),y(t),z(t))x'(t)（4）计算向量场F(x,y,z)沿曲线C的线积分：∫CF(x,y,z)·ds=∫bF(x(t),y(t),z(t))·T(t)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt两种方法的比较参数化计算法和向量场计算法都可以用来计算第二类曲线积分，但是它们的适用范围不同。
第二类曲线积分
上限b L的终点B
即计算定积分：
a不一定小于 b ! 即可；
2º如果 L 的方程为 y ψ ( x), x : a b,
b P[ x, ψ ( x)] Q[x, ψ ( x)] ψ( x)dx a
x φ(t)
3º对空间光滑曲线弧
:
y
ψ(t)
z ω(t)
t:α β
{P[ (t), (t), (t)](t) (t)
(t )
格林公式
定理（Green公式）设平面区域 D 是由分段
光滑闭曲线围成, 函数 有连续一阶偏导数, 则
在 D上具
(Q P )dxd y Pdx Qd y
x y
D
D
—— 格林公式
其中D是D的边界曲线正向.
注 1° 区域连通性分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域；
P
LD
dPxdxQ
dQyd
y
.
DP Q
LL
4º格林公式的条件：
① L封闭，取正向;
DD
(负)
② P，Q在L所围区域D上有一阶连续偏导数.
5º对复连通区域 D 应用格林公式，
Q P dxd y D x y
D P dx Qd y
公式右端的D应包括沿区域D的全部边界，
且边界的方向对 D 来说都是正向.
注 1º定理中关于区域的单连通性和函数P、Q
的一阶偏导数的连续性两个条件缺一不可.
缺少一个，定理结论不一定成立.
反例1
I
L
xd y x2
yd y2
x
2
0
L :包围(0,0)的任一条正向闭曲线.
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分得计算定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上得函数,对任一分割,它把分成个小弧段;其中=、记各个小弧段弧长为,分割得细度为,又设得分点得坐标为,并记, 、在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点得取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上得第二类曲线积分,记为或也可记作或注:(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:、(2) 倘若为光滑或分段光滑得空间有向连续曲线,,,为定义在上得函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线得第二类曲线积分,并记为按照这一定义, 有力场沿平面曲线从点到点所作得功为、第二类曲线积分得鲜明特征就是曲线得方向性、对二类曲线积分有,定积分就是第二类曲线积分中当曲线为轴上得线段时得特例、可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作得功、为空间曲线上得第二类曲线积分、与第一类曲线积分得区别首先要弄清楚两类积分得定义,简单地说,第一类曲线积分就就是第二类曲线积分就就是(1)这两种曲线积分得主要区别就在于,第一型曲线积分得积分中就是乘得,就是一小段弧得弧长,总就是正值;而第二类曲线积分与积分与中就是乘得一段弧得坐标得增量,,与就是可正可负得。
当积分得路径反向时,不变,而与反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分就是一样得。
计算曲线积分得基本方法就是利用得参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。
设曲线得参数方程为则第一类曲线积分得计算公式为这里要注意,即对t得定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式。
这个问题在计算中也要特别注意。
沿曲线上得点由A 变到B,即t得下限对应曲线积分得起点A,她得上限对应曲线积分得起点A,t得上限对应终点B。
历年真题1、设曲线,具有一阶连续偏导数,过第二象限内得点M与第四象限内得点N,为L上从点M到点N得一段弧,则下列小于零得选项就是(A)(B)(C)(D)(2007,数一,4分) 【解析】设点,得坐标分别为,,则有题设可知答案为B。
第二类曲线积分
B A
AC CB ，则
F ( M ) d r F ( M ) d r F ( M ) d r
A B
A C
C B
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称
性质及有关不等式的性质。
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第二类曲线积分的坐标表示
（1）若 F( x, y) P( x, y),Q( x, y)， L是平面曲线弧，
故
Pdx Qdy Rdz F 0ds
L
L
L(P cos Q cos Rcos )ds
其中 0 {cos,cos ,cos }是 L在点( x, y, z)处的
单位切向量，方向与 L的走向一致。
(2) 若 a b , 可u 令 t, 则 u: a b
而此 a时 b, 对参数u进行讨论，
二元函数 f ( x, y)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
f
三元函数 f ( x, y, z)的梯度为
gradf
f xi
f
y
j
fzk
f
定义：一个向量场F 称为保守场，如果它是某个数量函数的
梯度，即存在一个函数 f ，使得F f ，此时 f 称为
F 的势函数。
注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
M
i
，做数量积：
F(Mi )
ri
，(
i
1,2,n)，
求和：
n
F
(
M
i
)
ri
，令
i 1
miaxsi 0，若
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第二类曲线积分的计算(精品资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二类曲线积分的计算 定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n个小弧段ii M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i =.在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT y Q 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1)若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx sd ,= 则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F.(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是（1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的∆s s ，∆s s 是一小段弧的弧长，∆s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量∆s s =s s −s s −1，∆s s =s s −s s −1，∆s s 与∆s s 是可正可负的。
第二类曲线积分
高等数学（ZYH）
F (k , k , k ) rk
n
F (k ,k , k )
F
s1
3) 求和：
n
A
rk 1
O
sk rk rk
sn
B
W lim F (k , k , k ) rk 4) 取极限：
0
k 1
记作
n
P( x, y, z ) d x Q ( x, y, z ) d y R( x, y, z ) d z（分量形式）
（对坐标x 的曲线积分）
其中 lim P (k , k , k ) xk P( x, y, z ) d x 0
k 1
去掉第三分量就是第二类(对坐标的)平面曲线积分
lim
0
P ( , ) x
k 1 k k
n
k
Q (k , k ) yk
记作
P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
高等数学（ZYH）
二、第二类曲线积分的性质
1. 积分的存在性 有界闭曲线上的 (分段) 连续函数必可积 (积分存在) 2. 线性性质
第二类(对坐标的)空间曲线积分
lim F (k , k , k ) rk
n
记作
0
k 1
n
F ( x, y , z ) d r
（向量形式）
lim
0
P ( , ,
k 1 k k
k
) xk Q (k , k , k ) yk R (k , k , k ) zk
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F ,=()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的?s s ，?s s 是一小段弧的弧长，?s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x ,y 坐标的增量?s s =s s −s s −1，?s s =s s −s s −1，?s s 与?s s 是可正可负的。
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是1(,)(,)l i m (,)(,)ni i i i i i li P x y d x Q x y d y P x Q yλξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的 ， 是一小段弧的弧长， 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的 坐标的增量 ， ， 与 是可正可负的。
第二类曲线积分计算公式
第二类曲线积分计算公式曲线积分是数学中的一种重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种类型，其中第二类曲线积分是较为复杂的一种。
本文将介绍第二类曲线积分的计算公式及其应用。
一、第二类曲线积分的定义第二类曲线积分是指沿着给定曲线进行积分，积分函数为一个向量场。
具体来说，设曲线C为一条光滑曲线，向量场F为一个连续可微函数，那么曲线C上的第二类曲线积分可以表示为：∫CF·ds其中，ds表示曲线C上的线元，F·ds表示向量F与ds的点积。
二、第二类曲线积分的计算公式计算第二类曲线积分的方法有很多种，其中最常用的方法是格林公式。
格林公式是一种将曲线积分转化为面积积分的方法，其公式为：∫CF·ds = D(Q/x - P/y)dA其中，D表示曲线C所包围的区域，P和Q为向量场F的两个分量。
格林公式的应用需要满足一定的条件，即向量场F在D内是连续可微的。
如果F在D内不满足这个条件，那么可以通过对D进行分割，将其分成若干个小区域，在每个小区域内应用格林公式，最后将结果相加得到整个区域D上的曲线积分。
三、第二类曲线积分的应用第二类曲线积分在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
例如，在电磁学中，电场的环量可以用第二类曲线积分来表示。
在机械工程中，曲线积分可以用来计算沿着曲线的力的功，以及液体沿着管道流动的工作量。
在计算机科学中，曲线积分可以用来计算图像的边缘。
四、结语第二类曲线积分是数学中的一个重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文介绍了第二类曲线积分的定义、计算公式及其应用。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以获得准确的结果。
第二型曲线积分计算公式
第二型曲线积分计算公式在我们学习高等数学的旅程中，第二型曲线积分计算公式可是一个相当重要的家伙。
它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。
先来说说这第二型曲线积分到底是啥。
想象一下，你在一个弯弯曲曲的小路上跑步，每跑一段，你所感受到的力都不太一样。
而第二型曲线积分就是要计算在这样的曲线路径上，力所做的功。
比如说，有一个力 F = (x, y)，而曲线 C 是由参数方程 x = t^2，y = t^3 给出的，从 t = 0 到 t = 1 。
那这时候，咱们的第二型曲线积分计算公式就派上用场啦！它的公式是这样的：∫_C Pdx + Qdy = ∫(α→β) [P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t)]dt 。
这里面的 P 和 Q 是力在 x 和 y 方向上的分量，x'(t) 和 y'(t) 则是曲线参数方程的导数。
听起来是不是有点复杂？别担心，咱们来通过一个具体的例子感受感受。
有一次，我在给学生们讲解这个知识点的时候，有个同学就一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“假设你是个勤劳的小蚂蚁，要沿着一根弯弯曲曲的树枝搬运食物。
你每前进一小段，都要克服不同方向和大小的阻力。
那你想知道自己总共花费了多少力气吗？这时候就得靠咱们的第二型曲线积分计算公式啦！”然后我们就一起做了一道题。
假设曲线 C 是由 x = cos(t)，y = sin(t) 给出的，从 t = 0 到t = π/2 ，力 F = (y, -x) 。
按照公式，先求出 x'(t) = -sin(t) ，y'(t) = cos(t) ，然后代入公式计算：∫_C Pdx + Qdy = ∫(0→π/2) [sin(t)(-sin(t)) + (-cos(t))cos(t)]dt= ∫(0→π/2) (-sin^2(t) - cos^2(t))dt= -∫(0→π/2) 1 dt= -π/2同学们恍然大悟，原来这个公式能这么清楚地算出小蚂蚁花费的力气呀！再深入想想，第二型曲线积分计算公式在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
第二类曲线积分定义式
第二类曲线积分定义式
第二类曲线积分（或称为第二型曲线积分）是在曲线上的向量场上进行的积分。
它的定义式如下：
设C为平面上的一条光滑曲线，参数式为r(t)=(x(t), y(t))，其中a≤t≤b。
向量场F(x, y)=(M(x, y), N(x, y))定义在包围曲线C 的区域上。
则第二类曲线积分的定义式为：
∫F·dr = ∫(M(x(t), y(t))dx/dt + N(x(t), y(t))dy/dt)dt
其中，dr=(dx, dy)表示曲线上的微小位移向量，dx/dt和dy/dt 为x(t)和y(t)对应于参数t的导数。
这个定义式可以解释为：将曲线上的每一点的向量场F与微小位移向量dr进行点积，再对该点的参数t进行积分。
这个过程相当于将曲线上的每小段微小位移向量与向量场的大小进行加权，并累加起来。
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第二类曲线积分的计算作者：钟家伟 指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。
1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。
1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。
2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F ,的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,所做功W .大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F所做功为W =AB F ⋅. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤.设力()y x F ,在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F ,=()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξi i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,沿L 所作的功可近似等于i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.2.2 第二型曲线积分的定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT yQ 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=ABQdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有⎰⎰-=BAAB,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二型曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点(,)(0,1,2)i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的长度(,)i i i l ξη∀∈∆，作和式1(,)()n i i i i i iP X X X ξη-∆-∑。
记{}1max ii nl λ≤≤=∆，若极限1lim ()niiii P X Iλξη→∞=-∆=∑存在，且对曲线L 的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A 到 B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分，记作的曲线积分 记作1(,)lim ()nii ii LP x y dx P X λξη→∞==-∆∑⎰，其中P （x ，y ）称为被积函数，L 称为被积路径，对坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。
类似的，设函数Q （x ，y ）在xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L （AB ）上有定义且有界。
若对于L 的任意分法和(,)i i ξη的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值(,)i i ξη(,)LP x y dx ⎰1lim ()ni i ii Q Y λξη→∞=-∆∑为函数Q （x ，y ）按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分，记作(,)L Q x y dy⎰2. 2 第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的i s ∆，i s ∆是一小段弧的弧长，i s ∆总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的,x y 坐标的增量11,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-，i x ∆与i y ∆是可正可负的。
当积分的路径反向时，i s ∆不变，而i x ∆，i y ∆反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。
计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。
设曲线l 的参数方程为(),(),x x t t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩则第一类曲线积分的计算公式为ds ===这里要注意αβ≤，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有0dt >，也就有dt dt=，这样才有上述计算公式。
这个问题在计算中也要特别注意。
沿l 上的点由A 变到B ，即t 的下限α对应曲线积分的起点A ，他的上限β对应曲线积分的起点A ，t 的上限β对应终点B 。
在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。
椭圆的参数方程为(sin ),02(cos ),x a t t t y a t t π=-⎧≤≤⎨=-⎩有些较简单的曲线可取x 或y 为参数，即可由直角坐标方程。
例如，直线y ax b =+，取可由直角坐标方程得出参数方程。
例如，直角y ax b =+，取x 为参数，参数方程即为,,x x x y ax b =⎧-∞<<+∞⎨=+⎩又如，抛物线y x =，取y 为参数，参数方程为2,0,x y y y y ⎧=≤<+∞⎨=⎩例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界，计算（1）22()lx y ds +⎰（2）2222()()lxy dx x y dy+++⎰，沿逆时针方向。
解：（1）这是第一类曲线积分。
22222222()()()()lOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰线段OA 的参数方程为,010,x x x y =⎧≤≤⎨=⎩122201()3OAx y ds x dx +==⎰⎰线段AB 的参数方程为,011,x x x y x =⎧≤≤⎨=-⎩12222022()((1))23ABx y ds x x dx +=+-=⎰⎰.线段OB 的参数方程为0,01,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩1222013i OBx y ds y dy +==⎰⎰所以2212212(12)()3333L x y ds ++=++=⎰（2）这是第二类曲线积分。
22()(2)lx y dx x dy +++⎰2222()(2)()(2)OABOx y dx x dy x y dx x dy=+++++++⎰⎰111222(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy=++-++-+⎰⎰⎰12011(132)236x x dx =++--=⎰在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性 问题。