平行四边形中点典型练习(培优用)

第四讲 中位线专题

一【利用三线合一构中位线】

1．如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB ，A D ⊥CD ，垂足为D ，点E 为AB

（1）求证：D E ∥BC ；

（2）若AC=8，BC=5

，求DE 的长．

2．如图，在△ABC 中，AB=10，BC=7，

BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 为AC 的中点，连EF ． 求EF 的长．

二【取中点构中位线】

3．如图，梯形ABCD 中，E 、F 分别为对角线BD 、AC 的中点， （1）求证：EF ∥CD ；（2）求证：EF=

1

2

（CD-AB ）．

4．如图，AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，AB 的中垂线交AB 于N ，交EF 于M 求证：MN=1

2

（BF-AE ）．

B

三【利用平行四边形对角线交点构中位线】 5．如图，在BCFD 的对角线CD 的延长线上取一点E ，连接FE 并延长至A 点，使EA=EF ，连接AB ．求证：CE ∥AB ．

6．如图，ABCD 的周长为a ，延长AB 至E ，使BE=BC ，BN ⊥EC 于N ，连MN ．

求MN 的长．

四【多中点产生两次中位线】

7．如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠ABD=20°，∠BDC=100°，E 、F 、M 分别为AD 、BD 、BC 的中点．求

FM

EF

．

8．如图，AD ∥BC ，∠B+∠BCD=90°，连AC ，M 、N 、P 分别为AD 、BC 、AC 的中点， （1）求证：MP ⊥NP ；

（2）若AB=6，CD=8，求MN 的长．

9．如图BF 是△ABC 的角平分线，AM ⊥BF 于M ，CE 平分△ABC 的外角，AN ⊥CE 于N ，（1）求证：MN ∥BC ；（2）若AB=c ，AC=b ，BC=a ，求MN 的长．

C

C

五【中位线问题探究】

10．已知△ABC 、△CEF 都为等腰直角三角形，点E 、F 分别在AC 、BC 上，∠

连BE 、AF ．点M 、N 分别为AF 、BE 的中点． （1）如图1，求证：

MN ；

（2）将△CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角至图2，则（1结论．

11．如图，△ABC 、△AED 都是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D 在AB 上，连CE

，M 、N 分别为BD 、CE 的中点．

（1）求证：MN=1

2

CE ；

（2）如图，将△AED 绕A 点逆时针旋转一个锐角，（1）中结论是否仍成立，并证明；

（3）求证：MN ⊥CE ．

E

12．已知△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E在AC上，EF⊥AC交AB于F，连BE、CF，M、N分别为CF、BE的中点．

（1）如图1，则MN

CE

=___________，并说明理由；

（2）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转45°，（1）中的结论是否仍成立？并加以证明；

（3）如图3，将△AEF绕点A顺时针旋转一个锐角，上述结论是否仍成立？（画图不证明）．

13．如图1，已知等腰直角△ABC和等腰直角△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，点F在边BC 上，点M为AF的中点，连EM．

（1）①在图1中画出△BEF关于直线BE成轴对称的三角形；

②求证：CF=2ME；

（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转至如图2的位置，其它条件不变，（1）中的结论

②是否仍成立？请证明你的结论；

（3）如图3，过B作BS⊥ME于S，若ES=2，BS=4，CF=10，则S四CFEB=________（直接写出结果）