【三维设计】高中数学 教师用书 第1部分 第二章 2.2.2 二次函数的性质与图像课件 新人教版B版

问题3：能将f(x)＝x2的图象变为f(x)＝2x2的图象吗？ 提示：能．f(x)＝x2的图象上各点横坐标不变，纵坐标变 为原来的2倍即可得到f(x)＝2x2的图象． 问题4：x2的系数对图象有何影响？ 提示：x2的系数绝对值越大，图像越靠近y轴． 问题5：观察f(x)＝x2的图象，可得出哪些性质？ 提示：图象关于y轴对称；在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞) 上递增；在x＝0处有最小值． 问题6：函数f(x)＝2x2＋8x有类似性质吗？ 提示：有．
[精解详析] f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4的图象 如图所示．
(1)由图可知，二次函数f(x)的图像对称轴为x＝1且开 口向下，且|0－1|<|3－1|，
故f(1)>f(0)>f(3)． (2)∵x1<x2<1， ∴|x1－1|>|x2－1|， ∴f(x1)<f(x2)． (3)由图可知： 当x>3或x<－1时，y<0； 当x＝－1或x＝3时，y＝0； 当－1<x<3时，y>0.
3．下列区间中，使函数 y＝－2x2＋x 为增函数的是 ( )
A．R
B．[2，＋∞)
C.14，＋∞
D.－∞，14
解析：函数 y＝－2x2＋x＝－2x－142＋18的图象的对称轴是直线 x＝14，图像的开口向下，所以函数值在对称轴 x＝14的左边是增 加的．
答案：D
4．已知函数 y＝f(x)＝－12x2－3x－52 . (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知 f(－72)＝185，不计算函数值求 f(－52)； (3)不直接计算函数值，试比较 f(－14)与 f(－145)的大小．
解：y＝－12x2－3x－52＝－12(x2＋6x＋5)＝－12(x＋3)2＋2. (1)顶点坐标为(－3,2)，对称轴为 x＝－3. (2)f(－72)＝f(－3.5)＝f(－3－0.5)＝f(－3＋0.5)＝f(－52)＝185. (3)f(－145)＝f(－3－34)＝f(－3＋34)＝f(－94)． ∵－14，－94∈[－3，＋∞)，而 f(x)在[－3，＋∞)上是减函数， ∴f(－14)<f(－94)， 即 f(－14)<f(－145).
1．二次函数的定义 函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 叫做二次函数，定义域为 R .
2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数， 函数
a≠0)
a>0
a<0
图象
函数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数，a≠0)
[例3] (12分)(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最 大值和最小值．
(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值． (3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围．
[思路点拨] 画图象 → 看顶点 → 看单调性 → 求最值
[精解详析] (1)作出函数的图象，如图(1)． 当x＝1时，ymin＝－4； 当x＝－2时，ymax＝5.
范围是
()
A．0≤a≤1
B．0≤a≤2
C．－2≤a≤0
D．－1≤a≤0
解析：y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.
∵函数在[0,1]上的最大值是a2，
∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.
答案：D
7．已知k∈R，求函数y＝kx2＋2kx＋1，x∈[－3,2]的最值．
解：当 k＝0 时，ymin＝ymax＝1. 当 k≠0 时，对称轴为 x＝－22kk＝－1. 当 k>0 时， ymin＝k·(－1)2＋2k·(－1)＋1＝1－k， ymax＝k×22＋2k×2＋1＝8k＋1. 当 k<0 时， ymin＝k×22＋2k×2＋1＝8k＋1， ymax＝k·(－1)2＋2k·(－1)＋1＝1－k.
(3)在区间 (－∞，－2ba] 上是 (3)在区间 (－∞，－2ba] 减函数，在区间 [－2ba，＋∞) 上是增函数，在区间
上是增函数 性质
[－2ba，＋∞) 上是减函数
(4)抛物线有最低点，当 x＝－ (4)抛物线有最高点，当 x
2ba时，y 有最小值，ymin＝
4ac－b2 4a
＝－2ba时，4ayc有－最b2大值， 且 ymax＝ 4a
(1)抛物线开口 向上 ，并向 (1)抛物线开口 向下 ，并向
上无限延伸.
下无限延伸
性质 (2)对称轴是 x＝－2ba ，顶 (2)对称轴是 x＝ －2ba ，顶 点坐标是(－2ba，4ac4－a b2) 点坐标是 (－2ba，4ac4－a b2)
函数 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 是常数，a≠0)
①若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求 值域；
②若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可 在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所 对应函数值的大小即可求出值域．
(1)二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一直 角坐标系中的开口大小．|a|越大，抛物线的开口越小； 反之，|a|越小，抛物线的开口越大．
(2)二次函数在对称轴左右两侧的单调性相反，利 用对称轴可求其最值．
[例1] 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像，并根据图 象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)由图象判断x为何值时，y>0，y＝0，y<0. [思路点拨] 解答本题可先用描点法画出函数f(x)的图 象，然后根据图象回答相应的问题．
2．若y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为
C，则△ABC的面积为________．
解析：由－x2－2x＋3＝0，解得 x1＝－3，x2＝1， 所以 y＝－x2－2x＋3 与 x 轴的交点为(－3,0)， (1,0).抛物线的顶点为 C(－1,4)， 对应图形如右图所示． S△ABC＝12|AB|×h＝12×4×4＝8.
(1)画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点 一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点 是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的 交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛 物线的开口方向．
(2)若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域， 则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：
[一点通] 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向 决定 a 的符号，在 y 轴上的交点决定 c 的符号(值)，对称轴 的位置决定－2ba的符号.另外，还要注意与 x 轴的交点，函 数的单调性等，从而解决其他问题．
1．函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得函数y＝x2 －1的图象，则实数m＝________. 解析：y＝x2－1的图像向上平移2个单位，得函数y＝x2 ＋1的图象，则m＝1. 答案：1
(3)由 f(x)＝3(x＋13)2＋23知二次函数图象开口向上，且对称 轴为 x＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．
又|－34－(－13)|<|145－(－13)|， ∴f(－34)<f(145)．
[一点通] (1)求二次函数图像的对称轴、顶点坐标及最值主要利用配方法， 掌握抛物线的顶点坐标公式(－2ba，4ac4－a b2)． (2)比较两个函数值的大小，可以把要比较的两个函数值转化到同 一个单调区间上，再利用单调性比较它们的大小；也可以比较两个自 变量离对称轴距离的大小关系，结合图象判断函数值的大小关系．
5．函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是 ________，最大值是________．
解析：∵f(x)＝2x－322－72在[－1,1]上为减函数， ∴当 x＝1 时，f(x)min＝－3；当 x＝－1 时，f(x)max＝9.
答案：－3 9
6．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值
2.2
第
一 次
2.2.2
二 函 二次
章 数 函数
和 的性
函 二 质与 数 次 图象
函
数
理wenku.baidu.com教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二 考点三
已知函数f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2x2＋8x. 问题1：上述三个函数是一次函数吗？ 提示：不是，因最高次数为2，都是二次函数． 问题2：在同一坐标系中，作出f(x)＝x2，f(x)＝2x2的图象． 提示：如图．
[一点通] 求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在[m，n] 上的最值的步骤：
(1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系； (3)求最值．若对称轴在区间外，则f(x)在[m，n]上单 调，利用单调性求最值；若对称轴在区间内，则在对称轴 处取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得．
(2分) (4分)
(2)作出函数的图象如图(2)．
当x＝1时，ymax＝－1；
(6分)
当x＝2时，ymin＝－5.
(8分)
(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图象，如图(3)．
(10分)
可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值． 所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥－1. (12分)
答案：8
[例 2] 已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2x＋1. (1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知 f(－23)＝1，不计算函数值，求 f(0)； (3)不直接计算函数值，试比较 f(－34)与 f(145)的大小．
[精解详析] y＝f(x)＝3x2＋2x＋1 ＝3(x＋13)2＋23. (1)顶点坐标为(－13，23)，对称轴是直线 x＝－13. (2)∵f(－23)＝1，又|0－(－13)|＝13， |－23－(－13)|＝13， 所以结合二次函数的对称性可知 f(0)＝f(－23)＝1.