专题13：幂函数知识点归纳

幂函数知识点归纳

一、 幂函数定义：对于形如：()

x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数

定义说明：

1、 定义具有严格性，x α

系数必须是1，底数必须是x

2、 α取值是R .

3、

《考试标准》要求掌握α=1、2、3、½、-1五种情况

二、 幂函数的图像

幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x =

2）=1α时图像是一条直线.即()

x f x =

3）01α＜＜

时图像是横卧的抛物线.例如()1

2

x f x

=

4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即()

0x f x =（0x ≠）

5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如()

-1

x f x = 具备规律:

①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高）

②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称

③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像

练习：做出下列函数的图像：

1、1α> ①3

y x =或53

y x = ②2y x =或43

y x = ③32

y x =或74

y x

=

2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12

y x = 3、0α< ①2

y x -= ②1

y x -= ③32

y x

-

= ④43

y x

=—

三、 幂函数的性质

幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论

y=x

3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减

4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1）

5、

由

()0

x f x α=＞可知，图像不过第四象限

四、 幂函数类型题归纳

（一） 定义应用：

1、下列函数是幂函数的是 ______

①21()y x

-= ②22y x = ③21

(1)y x -=+ ④0

y x = ⑤1y =

2、若幂函数()y f x =

的图像过点22⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭

，则函数()y f x =的解析式为______.

3、已知函数()()

22

1

44m m f x m m x

--=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________.

4、已知函数()()2

2

k

k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的

解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧

⎫

∈---

⎨⎬⎩⎭

，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________.

6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){}

|M x f x g x ==，则集合M 中

元素的个数是（ ）

（Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、

右图为幂函数y x α

=在第一象限的图像，则

,,,a b c d 的大小关系是 （ ）

()A a b c d >>> ()B b a d c >>>

d

y=x

()C a b d c >>>

()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m

y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有

（ ）

()A m 、n 为奇数且

1m

n

<

()B m 为偶数，n 为奇数，且1m

n >

()C m 为偶数，n 为奇数，且1m

n <

()D m 奇数，n 为偶数，且1m

n >

3、比较下列各组数的大小：

b

c

（1）131.5，13

1.7，1；（2

）(37

，(

)3

7

，(

37

；（3

）23

2-

⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，23

107-

⎛⎫

- ⎪⎝⎭，()431.1--． 4、若()()1

13

3

132a a --+<-，求实数a 的取值范围．