高中数学立体几何全套教学课件

α
,a 的射影,a
⊥PO
a 求证： ⊥AO
线射垂直 定逆定线理理 斜垂直
三垂线定理： 在平面内的
一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
线射垂直
定逆 理定
理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜 线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
线斜垂直
（
√
A
）
）
面ABCD →面B α
面直直面 直 直面直直A线线B线线A线线B1ABBAACAB11C1BDCB11CDCCB→→→→→1→→→垂面斜垂斜垂面斜线α线线线线α线β bababa
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直 于a在平面α内的射影，则 a⊥b
已知：PA，PO分别是平 面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影，
A
D
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
D1
∴B由1C三是垂A1线C在定面理B知CC1B1上的射影A1
同理A可1C证⊥，BCA11C⊥B1D1
D A
C1 B1
C B
C1 B1
C B
我们要学会从纷繁的已知条件中找出
或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
P
解
A Oa
题α
回 顾
A1
B1
C1
C
AO a α
P
回 这两条直线可以是：
①相交直线
e dc
顾 ②异面直线
αA
Ob a
注意：如果将定理中 例如：当 b⊥ 时，
解 “在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立
b⊥OA
但 b不垂直于OP
题 吗？
P
b
回 直线a 在一定要在 平面内，如果 a 不
顾 在平面内，定理就
不一定成立。
α
A
Oa
练习：
判断下列命题的真假：
A∵DA在B平⊥面CDB，CD∴上B的O⊥射C影D。，
B
C
(1)
(2)
A1
C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
A
证明: ∵ABCD为正方形
O为BD的中点
B
∴ AO⊥BD
又AO是PO在ABCD上的射影
D O
C
PO⊥BD
同理，AC⊥BD
PC⊥BD
AO是PO在ABCD上的射影
⊥
A
∴OE、OF是PE、PF在内的射影
E F
B C
O
由OE是∵PEP的E射=P影F 且PE⊥∴AB
OE=OF OE⊥AB
结 论
同理可得OF⊥AC
成
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD
求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
PO平面PAO
a⊥PO
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ P 是平面ABC 外一点
P
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影A
O M
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，
证求明证: ∵：BPCB⊥=PACM
A
M是BC的中点
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影
C
M B BC⊥AM
D1
(3) 在正方体AC1中，
A1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 证明：∵在正方体AC1中
PP
C A
M
B
B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？ 解 一找直线和平面垂直
P
题
回 二找平面的斜线在平面
A Oa
内的射影和平面内的 α
顾 一条直线垂直 注意：由一垂、二垂直接得出第三垂
并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理，
高中数学立体几何 教学课件
第一章 直线和平面
三垂线定理
这是偶然的巧合，还是必然？
cos·cos=cos A
=∠AOB
=∠DOB
=∠AOD
O
BM
ED
P
A
Oa
AE⊥OD
？
PO⊥ a
？
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别
？ P 线斜垂直
A Oa
A Oa
α
α
平面内的一条直线和 平面内的一条直
平面的一条斜线在平 线和平面的一条
面内的射影垂直
斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
A
Oa
线，AO是PO在平面
ห้องสมุดไป่ตู้
是平面的垂线、斜
P
线，AO是PO在平面
上的射影。a ，
a⊥AO。
A
Oa
P
证明： A
PA⊥
a
PA ⊥a AO⊥a a⊥平面PAO
PO平面PAO
Oa
a⊥PO
三垂线定理： 在平面内的
P
一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂直。
PA⊥
a
A
PA ⊥a AO⊥a
Oa
证明：
a⊥平面PAO
P
l
a , a ⊥AO，
a l 平行于 。
求证： l 垂直于PO
A Oa α
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
AO
α
直线和 平面垂直
a A Oa α
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
A Oa α
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直 P
D1
⑴a在若平a是面平α内面的α的射斜影线，，则直a线⊥bb垂（直于×） A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
影，则 a⊥b
（
×）
D
C
⑶若a是平面α的斜线，直线b α
× 且b垂直于a在另一平面β内的射
⑷影若则a是a⊥平b面α的斜线,b∥α,直线 （
b垂直于a在平面α内的射影， 则 a⊥b
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，
那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，
PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF
P
求分证析：：∠要B证AO=∠∠BCAAOO=∠CAO
只须证OE=OF,
证明：
?
∵ PO
OE⊥? AB,OF⊥? AC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题： (1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求(2)证已：知P：O⊥PAB⊥D平，面PCP⊥BCB，D PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A