1自然数的序数理论与基数理论幻灯片

那么这个集合必有一个最小数k，
则比k小的数至多只有有限个，按条件（1），应该有
初
r>k,使命题在r时成立，
等
数
反复应用条件（2），那么命题必然在
学 专
r 1 ,r 2 , ,3 ,2 ,1
题 研
究
这些自然数处成立， 由于r>k，故上面的自然数
必有一个等于k，从而导致矛盾
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思考与练习
1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律
初
等
定义12：对于 a,bN如果存在 cN 使
acb
数 学
专
则称a小于b，记为 ab 也称b大于a，记为 ba
题 研
究
在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。
也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：
10
定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且
只成立一个： a b , a b , a b
0 1 2 3 L
4
二、自然数的四则运算
1、自然数的加减法 定义6：设A、B是两个有限集，并且 AIB 则称集合 A U B 的基数是集合A与B的基数的和，记为
AUBAB
定义7：设A、B是两个有限集，并且 AI B,AB 初
等
集合C是集合A中与B对等的子集，
数 学
用符号 C A 表示集合C在集合A中的余集
第一讲 自然数的基数理论与序数理论 1.1、自然数的基数理论 1.2、自然数的序数理论
初 等 数 学 专 题 研 究
1
第一讲 自然数的基数理论与序数理论
1.1、自然数的基数理论
一、自然数的概念
1、集合的对等
自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论
中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就
证明从略
除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；
若 ab 则 ba
若 ab, bc（或 ab, bc），则 ac（或 ac）。 初
等
在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：
数
学
专
定理5：设 a, b, c 是三个自然数，
题 研
（1）若 ab 那么 acbc
究
（2）若 ab 那么 acbc
那么这个集合的元素叫做自然数。
8
二、序数理论下的自然数四则运算
1、加法
定义11：设 aN定义 a1a
对于 a、 bN定, 义 ab(ab)
其中的 a、b 叫做加数，
ab 叫做它们的和。
初
等
这个定义实质上给出了加法的具体步骤。
数 学
例1：求3+7
专 题
解：按定义11 3134
研 究
3 2 3 1 ( 3 1 ) 4 5
解
3 1 3 ,3 2 3 1 3 1 3 3 3 6 初
3 3 3 2 3 2 3 6 3 9
L L L L
等 数 学 专
3 7 3 6 3 6 3 1 8 3 2 1
题
研
究
跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、
交换律、乘法对加法的分配率，限于时限，这里不再累述
有相同的基数，集合A的基数记为 A
若 A B 则规定集合A的基数不小于集合B的基数
即
A B
初
定义3：有限集的基数叫做自然数
等 数
学
3、冯·诺伊曼的自然数体系
专 题
研
定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即
究
0
其余的自然数按下列规则构造：
3
{ } 1
{,{}} 2
{,{},{,{}}}3
3 3 3 2 ( 3 2 ) 5 6
如此一步一步做下去，直到 3 7 3 6 (3 6 ) 9 19 0
定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 a,b,cN 有
（1） (a+b)+c = a+(b+c)
（2） a+b = b+a （证明略）
2、自然数的大小
（3）若 ab 那么 acbc
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推论：设 a, b, c, d是四个自然数，并且 ab, cd （或 ab, cd），那么 acbd（或 acbd）。
自然数的加法还满足加法消去律：
定理6：设 a, b, c 是三个自然数，
（1）若 acbc那么 ab
（2）若 acbc那么 ab
初
（3）若 acbc那么 ab
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5、除法 定义14：对于任意两个自然数 a , b 如果存在自然数c，使
abc 那么c叫做a被b除得的商，记作 ca、b
三、自然数集的性质
性质8：自然数集是全序集。
初 等
这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下
数 学
比较大小。
专
题
性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个
研 究
自然数a，b，一定存在自然数 c，使 acb
（2）对满足条件 n0 rk 的一切自然数
假设命题 p(r ) 成立，此时如果命题 p(n)
初
对 nk1也成立。
等 数
学
专
那么，对一切不小于n 0 的自然数命题 p(n) 都成立。
题 研
究
16
定理14（第三归纳法）： 设 p(n)是一个与自然数有关的命题，
如果：
（1）命题 p(n) 对无穷多个自然数成立
初 等
数
（2）假设命题 p(n) 对自然数 nk(kn0)成立时，
学 专
命题 p(n) 对 nk1也成立。
题 研
那么，对一切不小于n 0 的自然数命题 p(n) 都成立。 究
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定理13：（第二归纳法原理）： 设 p(n)是一个与自然数有关的命题，
如果：
（1）命题 p(n) 对某个自然数 n 0 成立；
学 专
笛卡尔直积 A B { (a ,b )|a A ,b B }的基数 A B
题 研
究
叫做 A 与 B 的乘积，记为 ABAB
6
定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意
a,b,cN 有
(1) (ab)c a(bc)
结合律
(2) ab ba
交换律
(3) a(b c) ab ac 乘法对加法的分配率
2、利用最小数原理证明定理13.
3、用数学归纳法证明：平面上的n条直线至多可以把
平面分割成
n2 n 1
2
初 等 数 学
个互不相通的平面区域
专 题
研
究
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证明略
初
定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使
等
bca, a,b,cN
数 学
专
则称c是a除以b的商，记为 cab, a,b,c N
题 研
究
7
1.2、自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理
定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本
关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及
这个关系满足下面五条公理:
（1） 1N
（2）对任意 aN, a1
初
（3）对任意 aN 有且仅有唯一的后继元 即 ab ab 等
（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，
数 学
即
ab ab
专 题
（5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足
研 究10 201MFra bibliotekaMaM
就可以 M推 N 出
（2）假设命题 p(n) 对自然数 nk(kn0)成立时，命题
p(n) 对 nk1 也成立。
初
等
那么，对一切自然数不小于n0的自然数n，命题 p(n)
数 学
都成立
专
题
第三归纳法也叫柯西归纳法
研 究
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证明： 用反证法：
如果命题不能对一切不小于n0的自然数都成立 那么将所有使命题不成立的自然数作成一个集合M，
称集合A与B对等，记作A∽B
初
集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足
等 数
学
（1）反身性：A∽A；
专 题
（2）对称性：A∽B，则B∽A；
研 究
（3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C
定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样 的集合叫无限集；否则叫做有限集
2
2、集合的基数
定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具
性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数
a, a 之间都不存在第三个自然数）。
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性质11：(最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在 一个最小数。
三、数学归纳法
定理12：（第一归纳法原理）：
设 p(n)是一个与自然数有关的命题，
如果：
（1）命题 p(n) 对某个自然数 n 0 成立；
…………………………
依照上述规则，全体自然数就构造出来：
0，1，2，……，n，……
初
全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示
等 数
即
N { 0 ,1 ,2 ,L ,n L }
学 专
4、自然数的大小
题 研
定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集，
究
如果B∽C，则称 A B
按照这个定义，自然数有下列大小关系
等 数
学
3、减法
专 题
定理7：对于任意两个自然数 a , b
研 究
当 ab 时，必存在自然数c，使 abc
定义12 对于任意两个自然数 a , b 并且 a b
使 abc成立的自然数c叫做a减b的差