2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷(理科)

令 ，
则
由图象知，
函数 的图象为图中粗线部分．
因为 表示过定点 的直线，
要使该直线和粗线有三个交点，
则有 ．
由题得 ， ．
所以 ，
，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
在 中，由正弦定理得 ， ，
解得 ，
又 为钝角，
如图，在五棱锥 中，四边形 为等腰梯形， ， ， ， 和 都是边长为 的正三角形．
（1）求证： 面 ；
（2）求二面角 的大小．
直线 与抛物线 交于 、 两点，且 ，其中 为原点．
（1）求此抛物线的方程；
（2）当 时，过 ， 分别作 的切线相交于点 ，点 是抛物线 上在 ， 之间的任意一点，抛物线 在点 处的切线分别交直线 和 于点 ， ，求 与 的面积比．
（1）求圆 的直角坐标方程；
（2）设圆 与直线 交于点 ， ，求 的大小．
[选修4-5：不等式选讲]
已知 ， ．
（1）若 且 的最小值为 ，求 的值；
（2）不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 ， ，求 的取值范围．
参考答案与试题解析
2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【解答】
解：设 ， ，
∴ ， ，
∴
．
由题得 ，
∴
．
故选 ．
12.
【答案】
B
【考点】
数列的求和
【解析】
由题意可得数列的前几项，可得数列 为周期为 的数列，且以 ， ， ， 反复出现，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
数列 满足对 时， ，且对 ，有 ，
可得 ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，…，
1.
【答案】
A
【考点】
复数的运算
【解析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解∵ ，
∴ ，
2.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
根据等比数列的定义求出等比数列的通项公式，利用 满足 ，进行求解即可．
【解答】
解:当 时，
，
当 时， ，
∵数列是等比数列，
∴ 满足 ，
即 ，
即 .
故选 .
已知向量 满足， ，则 的夹角为________．
点 、 、 分别为双曲线 的焦点、实轴端点、虚轴端点，且 为直角三角形，则双曲线 的离心率为________．
已知四面体 中， ，当四面体 的体积最大时，其外接球的表面积为________．
已知函数 函数 有三个零点，则实数 的取值范围为________．
6.
【答案】
B
【考点】
微积分基本定理
定积分
【解析】
根据定积分的计算公式求出 的值，
再代入选项中的 验证即可．
【解答】
，
∴
，
∴ ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
∴ 的值不可能为 ．
7.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
模拟程序的运行，可得程序框图的功能是求半圆 上的点到直线 的距离的最大值，利用点到直线的距离公式即可计算得解．
已知函数 ．
（1）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（2）证明：不等式 对于正整数 恒成立，其中 …为自然对数的底数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为： （ 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴）中，圆 的方程为 ．
则数列 为周期为 的数列，且以 ， ， ， 反复出现，
可得数列 的前 项的和为
．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据平面向量的数量积运算与坐标运算，求向量的夹角即可．
【解答】
向量 ，∴ ；
又 ， ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴ ， ；
∴ 的夹角为 ．
3.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用 的几何意义，即可得到结论．
【解答】
作出不等式组对应的平面区域如图：
由 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线的截距最小，
此时 最小，
由 ，解得 ， ，
即 ，此时 ，
4.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
根据题意，求出函数 的解析式，分析其奇偶性，进而分析可得当 时， ，当 时， ，据此分析可得答案．
2018年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的共轭复数为（）
A.
B.
C.
D.
2.等比数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
3.若实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（）
【答案】
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
根据勾股定理列方程化简得出离心率．
【解答】
不妨设 ， ， ，
显然 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 或 （舍）．
【答案】
【考点】
球的体积和表面积
【解析】
由题意画出图形，可知 为 ，要使四面体 的体积最大，则 平面 ，取三角形 的外心，进一步找出四面体外接球的球心，求出半径，则答案可求．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
如图， 中 为钝角，过点 作 交 于 ，已知 ．
（1）若 ，求 的大小；
（2）若 ，求 的长．
某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 与尺寸 之间近似满足关系式 ＝ （ ， 为大于 的常数）．现随机抽取 件合格产品，测得数据如下：
（2）由 ，观察发现产品质量与尺寸的比在区间 内的 值有 个，
即 ＝ ， ， ，即优等品有 件，
的可能取值是 ， ， ， ，且 ，
，
，
．
其分布列为：
∴ ．
【考点】
独立性检验
离散型随机变量及其分布列
【解析】
Ⅰ 对 ＝ 两边取科学对数得 ＝ ，令 ＝ ， ＝ 得 ＝ ，由最小二乘法求得系数 及 ，即可求得 关于 的回归方程；
则 ， ， ， ，
．
由（1）知面 的法向量为 ．
设面 的法向量为 ，
则由 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ．
故二面角 大小为 ．
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）分别取 和 的中点 ， ，连接 ， ， ．可得 ， ， 共线，且 ．由已知可得 ，得到 ，又 ，则 ．可得 ．求解三角形可得 ，由线面垂直的判断可得 面 ；
的可能取值是 ， ， ， ，且 ，
，
，
．
其分布列为：
∴ ．
【答案】
证明：分别取 和 的中点 ， ，连接 ， ， ．
由平面几何知识知 ， ， 共线，且 ．
由 ，得 ，从而 ，
∴ ，又 ，∴ ．
∴ 面 ，∴ ．
在 中， ，∴ ，
在等腰梯形 中， ，
∴ ，∴ ，
又 ， ， 面 ，∴ 面 ；
由（1）知， 面 且 ，故建立空直角坐标系如图所示．
尺寸
质量
对数据作了初步处理，相关统计量的值如表：
Ⅰ 根据所给数据，求 关于 的回归方程；
Ⅱ 按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品．现从抽取的 件合格产品中再任选 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望．
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 ＝ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， ．
（2）由（1）知， 面 且 ，建立空直角坐标系．求出面 的法向量．再求出面 的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角 大小．
【解答】
证明：分别取 和 的中点 ， ，连接 ， ， ．
由平面几何知识知 ， ， 共线，且 ．
由 ，得 ，从而 ，
∴ ，又 ，∴ ．
∴ 面 ，∴ ．
在 中， ，∴ ，
在等腰梯形 中， ，
Ⅱ 由题意求得优等品的个数，求得随机变量 取值，分别求得 ＝ ， ＝ ， ＝ 及 ＝ ，求得其分布列和数学期望．
【解答】
（1）对 ＝ 两边取科学对数得 ＝ ，
令 ＝ ， ＝ 得 ＝ ，
由 ，
， ，
故所求回归方程为 ．
（2）由 ，观察发现产品质量与尺寸的比在区间 内的 值有 个，
即 ＝ ， ， ，即优等品有 件，
【解答】
根据题意，函数 ， ，
则函数 ，设 ，
当 时， ，有 ，则有 ，
则有 ，函数 为偶函数，
当 时， ，当 时， ，
分析选项： 符合；
5.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
基本事件总数 ，设三名男生为甲， ， ，两名女生为乙， ，利用列举法求出男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动包含的基本事件有 个，由此能求出男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率．
【解答】
模拟程序的运行，可得程序框图的功能是
求半圆 上的点到直线 的距离的最大值，
如图：
可得： 的最大值为 ．
8.
【答案】
A
【考点】
简单空间图形的三视图
【解析】
利用平面的基本性质，画出直观图，然后判断左视图即可．
【解答】
解：由题意可知：过点 、 、 的平面截去该正方体的下半部分，
如图直观图，则几何体的左视图为：
【解答】
从 名男生， 名女生中选 人参加某活动，
基本事件总数 ，
设三名男生为甲， ， ，两名女生为乙， ，
男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动包含的基本事件有 个，分别为：
（甲， ， ），（甲， ， ），（ ， ，乙）， ， ，乙， ， ，乙， ，
∴男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为 ．
10.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
直接利用三角函数的关系式的平移变换和诱导公式求出结果．
【解答】
函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到： 与函数 图象重合，
则： ，
整理得： ，
由于： ，
则：当 时， 取最小值，
即： ，
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
则 ，
故 ．
（另在 中，由余弦定理解得 ，从而 是等腰三角形，得 ）
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中由余弦定理得， ，
∴ ，解得 ，
故 ．
【考点】
余弦定理
【解析】
（1）法一：由已知及正弦定理得 ，结合 为钝角，即可得解 的值．
法二：在 中，由余弦定理解得 ，利用等腰三角形的性质可得 的值．
（2）设 ，则 ，由 ，可求 ，进而利用余弦定理可求 的值．
A.
B.
C.
D.不存在
4.已知函数 ，则函数 的大致图象是（）
A.
B.
C.
D.
5.从 名男生， 名女生中选 人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）
A.
B.
C.
D.
6.若 ，则 的值不可能为（）
A.
B.
C.
D.
7.如图所示的一个算法的程序框图，则输出 的最大值为（）
【解答】
在 中，由正弦定理得 ， ，
解得 ，
又 为钝角，
则 ，
故 ．
（另在 中，由余弦定理解得 ，从而 是等腰三角形，得 ）
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
在 中由余弦定理得， ，
∴ ，解得 ，
故 ．
【答案】
（1）对 ＝ 两边取科学对数得 ＝ ，
令 ＝ ， ＝ 得 ＝ ，
由 ，
， ，
故所求回归方程为 ．
∴ ，∴ ，
又 ， ， 面 ，∴ 面 ；
由（1）知， 面 且 ，故建立空直角坐标系如图所示．
【解答】
如图，
∵ ，
∴ 为 ，要使四面体 的体积最大，则 平面 ，
取 中点 ，则 为 的外心，过 作 平面 ，且取 ，
则 为四面体 的外接球的球心，此时半径 ．
则外接球的表面积为 ．
【答案】
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
【解答】
解：函数 定义域为 ．
由题可知方程 有三个不同的根，
即方程
在区间 上有三个不同的根．
A.
B.
C.
D.
11.已知 ， 为椭圆 上关于长轴对称的两点， ， 分别为椭圆的左、右顶点，设 ， 分别为直线 ， 的斜率，则 的最小值为（）
A.
B.
C.
D.
12.已知数列 满足对 时， ，且对 ，有 ，则数列 的前 项的和为（）
A.
，满分20分，将答案填在答题纸上）
A.
B.
C.
D.
8.如图，点 在正方体的棱 上，且 ，削去正方体过 ， ， 三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
9.二项式 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为（）
A.
B.
C.
D.
10.设 ，函数 的图象向右平移 个单位长度后与函数 图象重合，则 的最小值是（）
故选 .
9.
【答案】
D
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
根据二项式展开式中中间项的二项式系数最大求出 的值，
再利用展开式的通项公式求得 的指数是整数的项数．
【解答】
根据 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，
得 ；
∴ 展开式的通项为
；
要使 的指数是整数，需 是 的倍数，
∴ ， ， ， ， ， ， ；
∴ 的指数是整数的项共有 项．