数学核心素养与全国高考试题教学文稿

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核心素养角度解读2023_年数学高考Ⅰ卷

核心素养角度解读２０２３年数学高考Ⅰ卷何正文(广东省肇庆市百花中学ꎬ广东肇庆５２６０００)摘㊀要:文章从２０２３年高考卷试题入手剖析ꎬ从核心素养角度挖掘２０２３年高考数学试题目的ꎬ从基础性㊁综合性㊁应用性和创新性揭示其立德树人的本质要求.关键词:数学抽象ꎻ逻辑推理ꎻ数学建模ꎻ数学运算ꎻ直观想象ꎻ数据分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－０００６－０６收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:何正文(１９８８.４－)ꎬ男ꎬ广东省茂名人ꎬ中学一级教师ꎬ从事课堂教学研究.㊀㊀２０２３年新高考卷ꎬ考生普遍反映比去年简单ꎬ和往年高考Ⅰ卷相比ꎬ更加充分发挥基础学科的作用ꎬ突出素养和能力考查ꎬ重视思维品质ꎬ体现思维过程ꎬ关注思维能力.今年试题重视基础性ꎬ注重综合性ꎬ强调应用性和突出创新性ꎬ加大了对学科素养和关键能力的考查力度.本文对２０２３年高考卷的试题进行剖析ꎬ从数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁数学运算㊁直观想象和数据分析六个方面进行解读.１数学抽象２０２３年高考题ꎬ在数学抽象问题方面ꎬ设置合理的思维强度和抽象程度ꎬ注重打破函数和几何联系ꎬ把一些背景性的问题抽象成我们熟悉的数学问题ꎬ进而进行求解.例１㊀(２０２３年新课标Ⅰ卷多选题第１１题)已知函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬｆ(ｘｙ)＝ｙ２ｆ(ｘ)＋ｘ２ｆ(ｙ)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｆ(０)＝０㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｆ(１)＝０Ｃ.ｆ(ｘ)是偶函数Ｄ.ｘ＝０为ｆ(ｘ)的极小值点解析㊀因为ｆ(ｘｙ)＝ｙ２ｆ(ｘ)＋ｘ２ｆ(ｙ)ꎬ对于Ａꎬ令ｘ＝ｙ＝０ꎬ得ｆ(０)＝０ˑｆ(０)＋０ˑｆ(０)＝０ꎬ故Ａ正确.对于Ｂꎬ令ｘ＝ｙ＝１ꎬ得ｆ(１)＝１ˑｆ(１)＋１ˑｆ(１)ꎬ则ｆ(１)＝０ꎬ故Ｂ正确.对于Ｃꎬ令ｘ＝ｙ＝－１ꎬ得ｆ(１)＝ｆ(－１)＋ｆ(－１)＝２ｆ(－１)ꎬ则ｆ(－１)＝０ꎬ令ｙ＝－１ꎬ得ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｘ２ｆ(－１)＝ｆ(ｘ).又函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ所以ｆ(ｘ)为偶函数ꎬ故Ｃ正确ꎬ对于Ｄꎬ不妨令ｆ(ｘ)＝０ꎬ显然符合题设条件ꎬ此时ｆ(ｘ)无极值ꎬ故Ｄ错误.故选ＡＢＣ.例２㊀(２０２３年全国甲卷理科第１６题)在әＡＢＣ中ꎬＡＢ＝２ꎬøＢＡＣ＝６０ʎꎬＢＣ＝６ꎬＤ为ＢＣ上一点ꎬＡＤ为øＢＡＣ的平分线ꎬ则ＡＤ＝.解析㊀记ＡＢ＝ｃꎬＡＣ＝ｂꎬＢＣ＝ａꎬ由余弦定理ꎬ得２２＋ｂ２－２ˑ２ˑｂˑｃｏｓ６０ʎ＝６.６因为ｂ>０ꎬ解得ｂ＝１＋３.由ＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤꎬ得１２ˑ２ˑｂˑｓｉｎ６０ʎ＝１２ˑ２ˑＡＤˑｓｉｎ３０ʎ＋１２ˑＡＤˑｂˑｓｉｎ３０ʎ.解得ＡＤ＝３ｂ１＋ｂ/２＝２３(１＋３)３＋３＝２.故答案为２.２逻辑推理２０２３年高考题在逻辑推理考查上突出对问题的总结与分析ꎬ注重打破函数和几何联系ꎬ要求考生根据题意推理讨论ꎬ考查考生思维的条理性㊁严谨性.例３㊀(２０２３年新课标Ⅱ卷多选题第１５题)若函数ｆ(ｘ)＝ａｌｎｘ＋ｂｘ＋ｃｘ２(ａʂ０)既有极大值也有极小值ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｂｃ>０㊀Ｂ.ａｂ>０㊀Ｃ.ｂ２＋８ａｃ>０㊀Ｄ.ａｃ<０解析㊀函数ｆ(ｘ)＝ａｌｎｘ＋ｂｘ＋ｃｘ２的定义域为(０ꎬ＋ɕ)ꎬ求导得ｆᶄ(ｘ)＝ａｘ－ｂｘ２－２ｃｘ３＝ａｘ２－ｂｘ－２ｃｘ３.因为函数ｆ(ｘ)既有极大值也有极小值ꎬ则函数ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上有两个变号零点ꎬ而ａʂ０ꎬ因此方程ａｘ２－ｂｘ－２ｃ＝０有两个不等的正根ｘ１ꎬｘ２.于是Δ＝ｂ２＋８ａｃ>０ꎬｘ１＋ｘ２＝ｂａ>０ꎬｘ１ｘ２＝－２ｃａ>０.ìîíïïïïïï即有ｂ２＋８ａｃ>０ꎬａｂ>０ꎬａｃ<０ꎬ显然ａ２ｂｃ<０ꎬ即ｂｃ<０ꎬＡ错误ꎬＢＣＤ正确.评注㊀本题考查本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系ꎬ由于函数既有极大值又有极小值ꎬ所以转化为一元二次方程的两个正根问题ꎬ所以求出函数ｆ(ｘ)的导数ｆᶄ(ｘ)ꎬ由已知可得ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上有两个变号零点ꎬ转化为一元二次方程有两个不等的正根.㊀例４㊀(２０２３年新课标Ⅰ卷第７题)记Ｓｎ为数列ａｎ{}的前ｎ项和ꎬ设甲:ａｎ{}为等差数列ꎻ乙:Ｓｎｎ{}为等差数列ꎬ则(㊀㊀).Ａ.甲是乙的充分条件但不是必要条件Ｂ.甲是乙的必要条件但不是充分条件Ｃ.甲是乙的充要条件Ｄ.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析㊀甲:ａｎ{}为等差数列ꎬ设其首项为ａ１ꎬ公差为ｄꎬ则Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎ(ｎ－１)２ｄ.所以Ｓｎｎ＝ａ１＋ｎ－１２ｄ＝ｄ２ｎ＋ａ１－ｄ２.所以Ｓｎ＋１ｎ＋１－Ｓｎｎ＝ｄ２.因此Ｓｎｎ{}为等差数列ꎬ则甲是乙的充分条件.反之ꎬ乙:Ｓｎｎ{}为等差数列ꎬ即Ｓｎ＋１ｎ＋１－Ｓｎｎ＝ｎＳｎ＋１－(ｎ＋１)Ｓｎｎ(ｎ＋１)＝ｎａｎ＋１－Ｓｎｎ(ｎ＋１)为常数ꎬ设为ｔꎬ即ｎａｎ＋１－Ｓｎｎ(ｎ＋１)＝ｔ.则Ｓｎ＝ｎａｎ＋１－ｔｎ(ｎ＋１).有Ｓｎ－１＝(ｎ－１)ａｎ－ｔｎ(ｎ－１)ꎬｎȡ２.两式相减ꎬ得ａｎ＝ｎａｎ＋１－(ｎ－１)ａｎ－２ｔｎ.即ａｎ＋１－ａｎ＝２ｔꎬ对ｎ＝１也成立.因此ａｎ{}为等差数列ꎬ则甲是乙的必要条件ꎬ所以甲是乙的充要条件ꎬＣ正确.评注㊀本题以等差数列为材料考查充要条件的推证ꎬ要求考生判别充分性和必要性ꎬ然后分别进行证明ꎬ解决问题的关键是利用等差数列的概念和特７点进行推理论证.利用充分条件㊁必要条件的定义及等差数列的定义ꎬ再结合数列前ｎ项和与第ｎ项的关系推理判断作答.３数学建模数学建模作为核心素养的关键部分ꎬ在处理实际问题时往往可以做到事半功倍.如果能把问题进行模型化ꎬ数据就可以可视化ꎬ图形就可以立体化[１].例５㊀(２０２３年全国甲卷理科选择题第４题)向量｜ａ｜＝｜ｂ｜＝－１ꎬ｜ｃ｜＝２ꎬ且ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ则ｃｏｓ‹ａ－ｃꎬｂ－ｃ›＝(㊀㊀).Ａ.－１５㊀Ｂ.－２５㊀Ｃ.２５㊀Ｄ.４５解析㊀因为ａ＋ｂ＋ｃ＝０ꎬ所以ａ＋ｂ＝－ｃ.即ａ２＋ｂ２＋２ａｂ＝ｃ２.即１＋１＋２ａｂ＝２.所以ａｂ＝０.如图１ꎬ设ＯＡң＝ａꎬＯＢң＝ｂꎬＯＣң＝ｃꎬ图１㊀例５解析图由题知ꎬＯＡ＝ＯＢ＝１ꎬＯＣ＝２ꎬәＯＡＢ是等腰直角三角形ꎬＡＢ边上的高ＯＤ＝２２ꎬＡＤ＝２２.所以ＣＤ＝ＣＯ＋ＯＤ＝２＋２２＝３２２ꎬｔａｎøＡＣＤ＝ＡＤＣＤ＝１３ꎬｃｏｓøＡＣＤ＝３１０ꎬｃｏｓ‹ａ－ｃꎬｂ－ｃ›＝ｃｏｓøＡＣＢ＝ｃｏｓ２øＡＣＤ＝２ｃｏｓ２øＡＣＤ－１＝２ˑ(３１０)２－１＝４５.故选Ｄ.例６㊀(２０２３年全国乙卷理科第５题)设Ｏ为平面直角坐标系的坐标原点ꎬ在区域(ｘꎬｙ)１ɤｘ２＋ｙ２ɤ４{}内随机取一点ꎬ记该点为Ａꎬ则直线ＯＡ的倾斜角不大于π４的概率为(㊀㊀).Ａ.１８㊀㊀Ｂ.１６㊀㊀Ｃ.１４㊀㊀Ｄ.１２解析㊀因为区域(ｘꎬｙ)｜１ɤｘ２＋ｙ２ɤ４{}表示以Ｏ(０ꎬ０)圆心ꎬ外圆半径Ｒ＝２ꎬ内圆半径ｒ＝１的圆环ꎬ则直线ＯＡ的倾斜角不大于π４的部分如图２阴影所示ꎬ在第一象限部分对应的圆心角øＭＯＮ＝π４ꎬ结合对称性可得所求概率Ｐ＝２π/４２π＝１４.故选Ｃ.图２㊀例６解析图４数学运算２０２３年的试题要求考生理解运算对象ꎬ掌握运算法则ꎬ探究运算思路ꎬ求得运算结果.数学运算需要学生充分理解题目ꎬ把握题目考查的内容.需要学生养成独立思考和深入思考的习惯ꎬ发展思维的全面性与深刻性[２].例７㊀(２０２３年新课标Ⅰ卷第１７题)已知在әＡＢＣ中ꎬＡ＋Ｂ＝３Ｃꎬ２ｓｉｎ(Ａ－Ｃ)＝ｓｉｎＢ. (１)求ｓｉｎＡꎻ(２)设ＡＢ＝５ꎬ求ＡＢ边上的高.解析㊀(１)因为Ａ＋Ｂ＝３Ｃꎬ ８所以π－Ｃ＝３Ｃꎬ即Ｃ＝π４.又２ｓｉｎ(Ａ－Ｃ)＝ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)ꎬ则２ｓｉｎＡｃｏｓＣ－２ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ.所以ｓｉｎＡｃｏｓＣ＝３ｃｏｓＡｓｉｎＣ.所以ｓｉｎＡ＝３ｃｏｓＡ.即ｔａｎＡ＝３ꎬ所以０<Ａ<π２.所以ｓｉｎＡ＝３１０＝３１０１０.(２)由(１)知ꎬｃｏｓＡ＝１１０＝１０１０ꎬ由ｓｉｎＢ＝ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝２２(３１０１０＋１０１０)＝２５５ꎬ由正弦定理ꎬ得ｂ＝５ˑ２/５２/２＝２１０.所以１２ＡＢｈ＝１２ＡＢＡＣｓｉｎＡ.所以ｈ＝ｂｓｉｎＡ＝２１０ˑ３１０１０＝６.评注㊀本题涉及正弦定理㊁同角三角函数基本关系式㊁解三角形等数学内容ꎬ考查数学运算素养. (１)根据角的关系及两角和差正弦公式ꎬ化简即可得解ꎻ(２)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求ｓｉｎＢꎬ再由正弦定理求出ｂꎬ根据等面积法求解即可.例８㊀(２０２３年新课标Ⅱ卷多选题第１０题)设Ｏ为坐标原点ꎬ直线ｙ＝－３(ｘ－１)过抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点ꎬ且与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬｌ为Ｃ的准线ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｐ＝２Ｂ.ＭＮ＝８３Ｃ.以ＭＮ为直径的圆与ｌ相切Ｄ.әＯＭＮ为等腰三角形解析㊀Ａ选项:直线ｙ＝－３(ｘ－１)过点(１ꎬ０)ꎬ所以抛物线Ｃ:ｙ２＝２ｐｘ(ｐ>０)的焦点为Ｆ(１ꎬ０)ꎬ所以ｐ２＝１ꎬ则ｐ＝２ꎬ２ｐ＝４ꎬ则Ａ选项正确ꎬ且抛物线Ｃ的方程为ｙ２＝４ｘ.Ｂ选项:设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ由ｙ＝－３(ｘ－１)ꎬｙ２＝４ｘ{消去ｙ并化简ꎬ得３ｘ２－１０ｘ＋３＝(ｘ－３)(３ｘ－１)＝０.解得ｘ１＝３ꎬｘ２＝１３.所以ＭＮ＝ｘ１＋ｘ２＋ｐ＝１６３ꎬ故Ｂ选项错误.Ｃ选项:如图３ꎬ设ＭＮ的中点为ＡꎬＭꎬＮꎬ点Ａ到直线ｌ的距离分别为ｄ１ꎬｄ２ꎬｄꎬ因为ｄ＝１２(ｄ１＋ｄ２)＝１２(ＭＦ＋ＮＦ)＝１２ＭＮꎬ即Ａ到直线ｌ的距离等于ＭＮ的一半ꎬ所以以ＭＮ为直径的圆与直线ｌ相切ꎬ故Ｃ选项正确.Ｄ选项:由上述分析可知ｙ１＝－３(３－１)＝－２３ꎬｙ２＝－３(１３－１)＝２３３.所以ＯＭ＝３２＋(－２３)２＝２１ꎬＯＮ＝(１３)２＋(２３３)２＝１３３.所以әＯＭＮ不是等腰三角形ꎬ故Ｄ选项错误.故选ＡＣ.图３㊀例８解析图９评注㊀本题设置直线与抛物线相交的情境ꎬ通过直线方程与抛物线方程的联立考查计算能力.先求得焦点坐标ꎬ从而求得ｐꎬ根据弦长公式求得ＭＮꎬ根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.５直观想象直观想象是指通过直观几何和想象空间形式ꎬ利用几何图形分析解决问题ꎬ也就是通过把题目想象成一个实物ꎬ以几何体为依托ꎬ发现空间线面关系.例９㊀(２０２３年新课标Ⅱ卷多选题第９题)已知圆锥的顶点为Ｐꎬ底面圆心为ＯꎬＡＢ为底面直径ꎬøＡＰＢ＝１２０ʎꎬＰＡ＝２ꎬ点Ｃ在底面圆周上ꎬ且二面角Ｐ－ＡＣ－Ｏ为４５ʎꎬ则(㊀㊀).Ａ.该圆锥的体积为π㊀Ｂ.该圆锥的侧面积为４３πＣ.ＡＣ＝２２Ｄ.әＰＡＣ的面积为３解析㊀依题意ꎬøＡＰＢ＝１２０ʎꎬＰＡ＝２ꎬ所以ＯＰ＝１ꎬＯＡ＝ＯＢ＝３.Ａ选项ꎬ圆锥的体积为１３ˑπˑ(３)２ˑ１＝πꎬ故Ａ选项正确ꎻＢ选项ꎬ圆锥的侧面积为πˑ３ˑ２＝２３πꎬ故Ｂ选项错误ꎻＣ选项ꎬ如图４ꎬ设Ｄ是ＡＣ的中点ꎬ连接ＯＤꎬＰＤꎬ则ＡＣʅＯＤꎬＡＣʅＰＤꎬ所以øＰＤＯ是二面角Ｐ－ＡＣ－Ｏ的平面角.则øＰＤＯ＝４５ʎꎬ所以ＯＰ＝ＯＤ＝１.故ＡＤ＝ＣＤ＝３－１＝２ꎬ则ＡＣ＝２２ꎬ故Ｃ选项正确.Ｄ选项ꎬＰＤ＝１２＋１２＝２ꎬ所以ＳәＰＡＣ＝１２ˑ２２ˑ２＝２ꎬ故Ｄ选项错误.故选ＡＣ.图４㊀例９解析图评注㊀本题以多选题的形式考查圆锥的内容ꎬ根据圆锥的体积㊁侧面积判断ＡꎬＢ选项的正确性ꎬ利用二面角的知识判断ＣꎬＤ选项的正确性.４个选项设问逐次递进ꎬ前面选项为后面选项提供条件ꎬ各选项分别考查圆锥的不同性质ꎬ互相联系ꎬ重点突出.例１０㊀(２０２３年全国甲卷理科第１５题)在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＥꎬＦ分别为ＣＤꎬＡ１Ｂ１的中点ꎬ则以ＥＦ为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.解析㊀不妨设正方体棱长为２ꎬＥＦ中点为Ｏꎬ取ＡＢꎬＢＢ１中点ＧꎬＭꎬ侧面ＢＢ１Ｃ１Ｃ的中心为Ｎꎬ连接ＦＧꎬＥＧꎬＯＭꎬＯＮꎬＭＮꎬ如图５.图５㊀例１０解析图由题意可知ꎬＯ为球心ꎬ在正方体中ꎬＥＦ＝ＦＧ２＋ＥＧ２＝２２＋２２＝２２ꎬ即Ｒ＝２.则球心Ｏ到ＢＢ１的距离为ＯＭ＝ＯＮ２＋ＭＮ２＝１２＋１２＝２ꎬ所以球Ｏ与棱ＢＢ１相切ꎬ球面与棱ＢＢ１只有１个交点.同理ꎬ根据正方体的对称性知ꎬ其余各棱和球面也只有１个交点ꎬ所以以ＥＦ为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为１２. ０１６数据分析２０２３年的数据分析题在命制情境化试题过程中ꎬ在剪裁素材方面ꎬ注意控制文字数量和阅读理解难度ꎬ使情境化试题能够引导考生树立理想信念ꎬ热爱科学ꎬ达到试题要求层次与考生认知水平的契合与贴切[３].例１１㊀(２０２３年新课标Ⅱ卷第１９题)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异ꎬ经过大量调查ꎬ得到如图图６㊀患病者与未患病者医学指标频率分布直方图６的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图ꎬ利用该指标制定一个检测标准ꎬ需要确定临界值ｃꎬ将该指标大于ｃ的人判定为阳性ꎬ小于或等于ｃ的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率ꎬ记为ｐ(ｃ)ꎻ误诊率是将未患病者判定为阳性的概率ꎬ记为ｑ(ｃ).假设数据在组内均匀分布ꎬ以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(１)当漏诊率ｐ(ｃ)＝０.５％时ꎬ求临界值ｃ和误诊率ｑ(ｃ)ꎻ(２)设函数ｆ(ｃ)＝ｐ(ｃ)＋ｑ(ｃ)ꎬ当ｃɪ[９５ꎬ１０５]时ꎬ求ｆ(ｃ)的解析式ꎬ并求ｆ(ｃ)在区间[９５ꎬ１０５]的最小值.解析㊀(１)依题可知ꎬ左边图形第一个小矩形的面积为５ˑ０.００２>０.５％ꎬ所以９５<ｃ<１００.所以(ｃ－９５)ˑ０.００２＝０.５％ꎬ解得ｃ＝９７.５.所以ｑ(ｃ)＝０.０１ˑ(９７.５－９５)＋５ˑ０.００２＝０.０３５＝３.５％.(２)当ｃɪ[９５ꎬ１００]时ꎬｆ(ｃ)＝ｐ(ｃ)＋ｑ(ｃ)＝(ｃ－９５)ˑ０.００２＋(１００－ｃ)ˑ０.０１＋５ˑ０.００２＝－０.００８ｃ＋０.８２ȡ０.０２ꎻ当ｃɪ(１００ꎬ１０５]时ꎬｆ(ｃ)＝ｐ(ｃ)＋ｑ(ｃ)＝５ˑ０.００２＋(ｃ－１００)ˑ０.０１２＋(１０５－ｃ)ˑ０.００２＝０.０１ｃ－０.９８>０.０２.故ｆ(ｃ)＝－０.００８ｃ＋０.８２ꎬ９５ɤｃɤ１００ꎬ０.０１ｃ－０.９８ꎬ１００<ｃɤ１０５.{所以ｆ(ｃ)在区间[９５ꎬ１０５]的最小值为０.０２.评注㊀本题要求合理平衡漏诊率和误诊率ꎬ制定检测标准ꎬ试题情境既有现实意义ꎬ又体现数学学科的应用价值(１)根据题意由第一个图可先求出ｃꎬ再根据第二个图求出ｃȡ９７.５的矩形面积即可解出ꎻ(２)根据题意确定分段点１００ꎬ即可得出ｆ(ｃ)的解析式ꎬ再根据分段函数的最值求法即可解出.总体来说ꎬ２０２３年的题目严格依据高中课程标准ꎬ深化基础性和综合性ꎬ聚焦学科核心素养ꎬ精选试题情境ꎬ加强关键能力考查ꎬ促进学生提升科学素养ꎬ引导全面发展ꎬ助推高中育人方式改革ꎬ继续突出反套路㊁反机械刷题特点ꎬ突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握ꎬ注重考查学科知识的综合应用能力ꎬ重视思维培养ꎬ同时ꎬ合理控制试题难度ꎬ进一步培养学生的数学核心素养.参考文献:[１]何正文.对一道关于三角函数高考题的教学思考与延伸[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(０７):２９－３０.[２]何正文.基于核心素养的多阶数学思维的培养[Ｊ].中学数学杂志ꎬ２０１９(０１):１４－１６.[３]何正文.核心素养视角下对２０２１高考卷剖析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(３４):７０－７３.[责任编辑:李㊀璟]１１。

从核心素养看2020高考试题1——数学运算（全国3卷为例）

从核心素养看2020高考试题1——数学运算（全国3卷为例）由教育部考试中心主办的《中国考试》在 2017 年第 11期第 10-16 页刊载了一篇文章《高中数学核心测评案例研究》中提高:数学核心素养在教学和评价中的实施就显得尤为重要与迫切。

另外,从高中数学教学的实践来看,评价尤其是高考对中学教学有着重要的影响,因此,学业水平考试与高考命题关系到核心素养的落地与实施。

《标准》将每个核心素养都分成了 3 个水平,并且通过具体的题目告诉学生达到什么要求就对应着那个水平。

每一个数学核心素养水平都通过以下 4 个方面进行描述:情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思……(《全国卷高考数学分析及应对》全文转载)理解这些指导思想,对于高考来说,太重要了,在《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》中,从核心素养对 2019 高考题做了比较全面的分析和思考。

2020 全国 3 卷理科数学第21 题,很多学生感觉到试题不难,花了很多时间精力做了很多导数的题目,但就是做得不好。

在2020 年 7 月 7 日《中国考试》的“2020 年高考数学全国卷试题评析”中第 2 条“突出理性思维,考查关键能力”第 4 点“数学语言表达能力的考查”指出“全国 3卷理科第 21 题对数学表达能力的逻辑性和条理性提出了较高要求。

”指向了逻辑推理这个核心素养。

这个题的考查确实可以实现:学生只通过刷题,确实达不到预期,必须沉下心来,研究核心素养。

六个核心素养相互渗透,史宁中提出高中数学培养目标(三会):会用数学的眼光观察世界(数学抽象),会用数学的思维思考世界(逻辑推理),会用数学的语言表达世界(数学模型)。

章建跃指出:运算是“童子功”,推理是“命根子”。

数学是看出来,无论是解题还是研究,直观想象引领思维过程。

我们首先谈谈数学运算这个核心素养。

不同的大咖有不同的表述,《高中数学核心测评案例研究》中这样描述:“数学运算”虽然是传统的数学三大能力之一,但作为数学核心素养的数学运算不仅要考查学生的运算基本功,更重要的是考查学生有效借助运算方法解决实际问题的能力。

数学核心素养与全国高考试题

③选做题：选做题部分;极坐标与参数方程的第2问;用到了参数方程的方法;利用点到直线的距离公式求解即可；而不等式部分难度也较低;考查了绝对值不等式;且不含参数;考生容易拿分; 整体来说;考点依然比较常规;依然需要考生注重基础;回归教材;理解知识本身的内涵; 虽然试题的整体难度有所降低;难点也还是对学生阅读理解能力的考查;但想拿高分并不容易; 高考是选拔性考试;整体常规化容易导致区分度降低;新一届高三学生更要加强全国卷模板式训练;要达至全面覆盖且滚瓜烂熟的状态;
②解答题：解答题部分;基本符合新课标卷的一贯风格; 比如解三角形考查了正余弦定理面积公式以及两角和差公式；函导数考查了求导后含参问题的分类讨论; 但第18题立体几何的难度难度有失以往标准;第1问证明过程无需做辅助线；第2问求余弦值由于垂直关系和数量关系明显;所以利用几何法和向量法都十分简单; 第19题概率大题以应用题型考查了相对来说冷门的正态分布;篇幅较长;题目中附加公式和参数过多;对学生的理解能力也有一定的要求;
2 2016年9月13日;中国学生发展核心素养研究成果发布; 中国学生发展核心素养以培养全面发展的人为核心;分为文化基础自主发展社会参与3个方面;综合表现为人文底蕴科学精神学会学习健康生活责任担当实践创新等六大素养;具体细化为国家认同等18个基本要点;
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数学学科核心素养：数学抽象逻辑推理数学建模数学运算直观想象和数据分析
纵观2017高考新课标1卷;试卷整体结构与去年基本一致;但是在相应的题目设置上略
有调整; 与去年对比;整体难度有所降低;在常规考点部分的题型中规中矩;但是部分
题目对学生的理解能力要求较高;
一试卷各板块占比——覆盖更加全面
由模块占比可知;整套试卷在六大板块的考查比重上趋于稳定;但是概率模块想拿满分难度较大;跟去年一样;依然非常重视对学生阅读理解能力的考查;

高中生数学核心素养培养策略——以全国卷试题为例

高中生数学核心素养培养策略——以全国卷试题为例摘要：在教育事业快速发展的过程之中核心素养这一概念被逐步的重视起来，与时俱进的教育教学理念也被提上日程，为了顺应时代发展要求，教育行业也需要实现有效突破及改进。

高中阶段学生的自我意识有了一定的提升，教师需要抓住这一关键时期，塑造学生正确的人生三观，以核心素养教育工作为基础，积极整合多种教学策略和教学手段，发展学生的学习能力，提升学生的数学核心素养，这一点对高中数学教学改革有重要影响。

关键词：高中生数学；核心素养；培养策略；全国卷试题引言在学习数学知识的过程中学生的自主探索非常关键，这些离不开现代教育教学技术的有效利用。

教师需要关注学生的学习潜能以及智力发展规律，针对性的培养学生的核心素养，开发学生的智力，提升学生的创造性思维水平。

让学生在分析问题发现问题的过程中，根据自己已经积累的数学知识自主解决问题。

1.高中数学核心素养概述数学学科十分强调学生思维的严谨性和逻辑性，确保学生能够实现感性思维向理性思维的过渡，掌握适合自己的思维表达方式。

学生核心素养的培养非常关键，教师需要将数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算、逻辑推理及数据分析相结合，激发学生的学习兴趣。

良好的核心素养有助于学生主动实现活学活用，真正做到学中用、用中学，主动串联不同的知识点[1]。

教师需要关注学生的问题应用能力，以学生思维能力和应用能力的挖掘为基础，坚定不移的培养学生的研究精神，为学生的数学学习和社会实践打下扎实基础。

确保学生能够直面生活中的各种问题，在数学核心素养的指导下自主探索。

1.高中生数学核心素养培养的必要性首先，在高中数学教学中核心素养的培养有助于发展学生的学习能力，提升学生的基本素质，规范学生的学习态度以及思维方式，为高水平人才的培养打下扎实的基础。

其次，有助于规范学生的学习行为，帮助学生在正确数学观的指导下形成全方位的感官认知，利用数学语言和数学知识分析事件的起因和结果。

核心素养视域下新高考数学试题分析及教学建议

核心素养视域下新高考数学试题分析及教学建议摘要：2022年新高考I卷的数学试卷，试题蕴含着丰富的数学核心素养，题题精彩．函数导数试题蕴含直观想象素养，立体几何试题蕴含逻辑推理素养，不等式试题蕴含数学抽象素养，圆锥曲线试题蕴含数学运算素养，概率统计试题蕴含数据分析素养，应用性试题蕴含数学建模素养赏析．整卷试题是数学核心素养浸润的成果，重在检测学生数学核心素养的养成情况．关键词：核心素养视域下；新高考数学试题；分析及教学建议引言《普通高中数学课程标准2017年版2020年修订》提出了数学学科的六大核心素养：数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析．新高考试题的命制也从知识立意、能力立意，转变为素养立意.2022年，教育部教育考试院命制的新高考I卷数学试题，其题面亲切、形式简约、思想深刻、内涵丰富．每道试题的背后都有其精彩的故事，细品题中所蕴含的数学知识、思想、方法，可以感受到试题的命制基于数学核心素养，试题是核心素养自然浸润的成果．指向素养立意的新高考数学试题更加注重检测学生的基础知识、思维水平、探究能力、学科素养、创新能力、应用能力等，其解题过程更多的是基于核心素养的探究活动。

1、逻辑推理视域下的立体几何试题试题的命制过程往往是命题者“执果寻因”的逆向逻辑推理过程．如在编制“立体几何与空间向量”的试题时，命题者可先设定一个确定的空间几何体，并根据空间几何体的特征，编制若干可确定该几何体的几何量或者位置关系的条件，让学生根据条件求解空间几何体，然后在确定的空间几何体中探究其他的几何量和位置关系．题2.（2022年新高考数学I卷，T19）如图7，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．（1）求A到平面A1BC的距离；（2）设D为A1C的中点，AA1=AB平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值．命题者拟以直三棱柱为背景，考查“利用等积转化求空间中的点面距离”的方法．等积法的关键是转换顶点，进行等积转化，由VA-A1BC=VA1-ABC，可得13hAS△A1BC=13hA1S△ABC，又因为hA1S△ABC=VA1B1C1-ABC，所以hAS△A1BC=VA1B1C1-ABC．因此，只需要给定直三棱柱ABC-A1B1C1和△A1BC的面积，即可求解点A到平面A1BC的距离．由此，编制出题干与问题（1）：“直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22，求A到平面A1BC的距离．”一道立体几何试题的命制过程中，命题者是有全局观的．命题者对本道试题所涉及的几何图形、空间位置关系、几何量等是要有整体把握的．题干与问题（1）所给的两个条件是无法确定这个直三棱柱的．要确定一个三角形至少需要三个单一独立的条件，如已知三边、已知两边一夹角等．那么，需要几个条件才能确定这个直三棱柱呢？要确定一个直三棱柱，需要确定直三棱柱的侧棱和底面三角形的形状和大小，因此至少需要四个单一独立的条件．题中给出直三棱柱ABC-A1B1C1的体积和△A1BC的面积，因此需要再给出两个条件，于是命题者给出“AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1”两个条件．这四个条件即可确定直三棱柱，下面进行验证：由条件“AA1=AB”可以快速判断出四边形ABB1A1是正方形，其对角线互相垂直平分；结合条件“平面A1BC⊥平面ABB1A1”，可得点A到平面A1BC的距离等于点A到A1B中点的距离，从而得到正方形ABB1A1对角线的长度，进而确定AA1,AB的长度；由“直三棱柱ABC-A1B1C1的性质，平面A1BC⊥平面ABB1A1”可以证得BC⊥平面ABB1A1，进而得BC⊥AB，BC⊥A1B；再结合“△A1BC的面积为22”求得BC的长度．至此，侧棱及其底面三角形的形状和大小确定，从而确定了直三棱柱．有了确定的空间几何体，即可在几何体中设问其中的各种几何量，如求二面角的大小．由此，编制出问题（2）：“直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22，设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1求二面角A-BD-C的正弦值．”数学是讲道理的，解题靠推理．命题是“执果寻因”的推理过程，解题是“由因导果”的推理过程.无论解题还是命题，其基本工作形式都是逻辑推理，逻辑推理素养的具体表现是如何科学地、符合逻辑地在“因果”之间进行转化，从而实现命题或解题目标．2、数学抽象视域下的不等式试题数学抽象是指在具体问题背景中发现规律，归纳出共同的、本质的问题，建立数学模型加以研究．数学抽象常常从数量关系、数式的结构特征、图形关系等角度进行抽象研究．在命制“比较数值大小”的试题时，命题者常常从已知的不等关系出发，对不等式进行赋值、变形，得到具体数值的大小关系，从而设置试题．学生解题时需具备较强的数感和符号意识，根据数式的特征，对问题进行抽象，再构造函数求解．题3.（2022年新高考数学I卷，T7）设a=0.1e0.1，b=19，c=-ln0.9，则A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b根据题干所给三个式子的结构特征，通过观察、归纳、抽象，发现a,b,c均是某函数在0.1处的函数值．构造函数f(x)=xex，g(x)=1-xx，h(x)=-ln(1-x)，则a,b,c分别是f(x)，g(x)，h(x)在x=0.1处对应的函数值，即a=f(0.1)，b=g(0.1)，c=h(0.1)．借助画图软件作图，如图8，可以发现g(0.1)>f(0.1)>h(0.1)，即c<a<b．由图象可看出，函数f(x)，g(x)，h(x)在x=0附近的图象是非常接近的，肉眼几乎不可识别．若想借助函数图象解题，可用导数严格地加以证明.除了用图象观察得结论，编制试题．笔者猜测本题是对重要不等式ln x⩽x-1进行恒等变形、赋值而得．曲线y=ln x的图象在其切线y=x-1的下方（切点（1，0）除外），并由此可得不等式ln x⩽x-1，当且仅当x=1时，等号成立．y=ln x与y=x-1在x=1附近的函数值是非常接近的，通过估算是难以比较其大小的．因此，命题者考虑，设置比较两个函数在x=1的附近的函数值的大小，如比较ln0.9与0.9-1=-0.1的大小．由于背景的函数、不等式相对简单，若仅是对这两个数进行比较，则问题相对容易．因此，命题者对上述恒等式进行变形．由“ln x⩽x-1，当且仅当x=1时，等号成立”，得“ln11-x⩽11-x-1=x1-x，当且仅当x=0时，等号成立”，即“-ln(1-x)⩽x1-x，当且仅当x=0时，等号成立”．由“ln x⩽x-1，当且仅当x=1时，等号成立”，得“ln(1-x)⩽-x，当且仅当x=0时，等号成立”，得“e-x⩾1-x当且仅当x=0时，等号成立”，得“当x<1，ex⩽11-x，当且仅当x=0时，等号成立”，得“当0<x<1，xex⩽1-xx，当且仅当x=0时，等号成立”．综上，当0<x<1，xex⩽x1-x，-ln(1-x)⩽x1-x，当且仅当x=0时，等号成立．因此可得，0.1e0.1<19，-ln0.9<19．那么0.1e0.1与-ln0.9的大小关系又如何呢？构造函数φ(x)=xex+ln(1-x)(0<x⩽110)，φ′(x)=(x+1)ex+1x-1，φ″(x)=(x+2)ex-1(x-)2.当0<x⩽110时，(x+2)ex>2，1(x-1)2⩽10081，此时φ″(x)>0，φ′(x)单调递增，故φ′(x)>φ′(0)=0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)=0，因此有0.1e0.1>-ln0.9．综上，可得-ln0.9<0.1e0.1<抽象是数学的重要特性之一19．．抽象的目的在于确定数学的研究对象，抽象的常见方法是观察变化中的不变、不同中的共性、无序中的有序，并把问题符号化、模式化，抽象成数学问题再加以解决．3教学过程中强调把握住基础题得分尤为重要，对于应试考试还需要有一定的考试策略．基本策略是先易后难，会做的一分不扣，保证基础题得分，不会做的题尽量多写，可以对难题的条件和结论进行化简，选择题可以利用排除法、特值法等特殊方法．每次测试都要鼓励引导学生进行应试策略培训，这样可以拿到基本分数．所以在教学中应不断给予学生提出要求和目标引导，让他们把应试考试策略养成习惯。

基于核心素养的全国卷数学解题研究

想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描
述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图
形等。
4.几何直观
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学
问题变得简明、形象，有助于探索解决
问题的思路，预测结果。
几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发
题；建立形与数的联系；构建数学问题的
直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，
是探索和形成论证思路、进行逻辑
推理、构建抽象结构的思维基础。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算
f ( x) (1 x 2 )( x 2 8 x 15) ( x 1)( x 1)( x 3)( x 5)
( x 2 4 x 3)( x2 4 x 5) 。令 x2 4 x t ，则 t 4 ， y (t 3)( t 5) (t 2 2t 15) ( t 1) 2 16 16 ，当且仅当 t 1 时“ ”成立，所以 f ( x ) 的最大值为 16 。
化规律，求出结果并讨论结果的意义。
这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣
和应用意识。
二.高中数学核心素养的具体内容
博士生导师王尚志教授作了“关于普通高中数学课程标准修订”的专题报告，提出中国学生在数学学习中应培养好“数学抽
象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直

核心素养视角下的高考数学试题分析

技法点拨摘要：高考数学在高中的学习中是有一定难度的，同时，高考数学在高考总分中也占有很大的比重。

学生们在学习的过程中也会遇到很多困难和阻碍，而教师在教学的过程中也会碰到各种各样的问题，不知道用哪种方式更能帮助学生更好地学习数学。

在数学的学习中，往往会形成两极分化，能够学会数学的，往往在数学的考试中都会取得很高的分数，而那些不会数学的，通常就是不及格甚至远远不及格。

那么同样的教师，同样的课本，同样的教学方式，为什么会造成这样的两极分化现象呢？这是我们需要思考的问题。

关键词：核心素养；高考数学；分析我们都知道，高中学生要在不到两年的时间内学习六本数学必修和两本选修的内容，对于学生来说，这无疑是一个艰巨的学习任务，那么怎样才能更好地完成这个学习任务呢？首先在于教师的讲解，其次是学生自己的掌握能力。

在高中的学习中，有一个好的老师对于高中数学的学习是有很大的帮助的。

教师在讲解数学是应该时刻注意学生的掌握程度，根据学生的学习能力安排学习课程，重点的专题要进行重点讲解，结合学生的学习能力进行讲解，才能够最大限度地帮助学生学习数学。

一、打牢基础，从课本知识出发想要学好高中数学，那么就要从小对数学学习打牢基础，在高中的数学学习中才能够做到不吃力，无论是什么知识，都是围绕着课本进行讲解，老师在讲解的过程中也会根据课本上的例题，来引出本节课所需要学习的内容。

课本上的知识是最基础的，也是最经典的教学案例，在把课本上的教学案例琢磨透后，那么对于有关本节内容的例题就会有一个系统的认识。

其次就是对于本节课拓展内容的学习，这需要学生耐下心来仔细琢磨，教师可以在其中起到点睛之笔的作用。

总的来说，无论是什么知识，都还是要从课本出发，只有把课本上的知识记在心里，才能够把基础掌握牢固。

二、精讲精练，做到讲与评结合在高中数学的学习中所涉及的学习范围特别广泛，但其实也不乏分为几大块，在数学的学习中，更重要的是学习方法和做题思路。

在学习某一部分内容时，教师可以专门针对这一部分内容进行讲解和总结，让学生只做这一部分内容的习题，加深对这一部分学习内容的印象和做题思路。

核心素养视角下的高三解题教学研究——以2019年浙江数学高考卷第16题为例

/(%)表达式中含有哪些字母？生：学生很快报出含有a,x. 师：正确！那么请同学想想/(f+2),/(i)的表达
式中含哪些字母呢?那么丨/0+2) -/(f) I的表达
式则含有哪些字母呢？生:啊(学生觉得这个问题简单).
师:那么请问不等式I /O+2) -/(f) I W寻的
左边实质上是关于谁的函数?参数又是谁？生：学生略加思考，回答道:是关于/的函数，参
参考文献
[1] 郭元祥，吴宏.论课程知识的本质属性及其教学表达 [J].课程•教材•教法,2018(08).
[2] 胡晓风.陶行知教育文集[M].成都：四川教育出版社, 2007：176.
[3] 钟启泉.“有效教学”的研究价值[J].教育研究,2007 (06).
[4] 叶澜.让课堂焕发出生命活力[J].学理论,2004(01). [5] 裴娣娜.发展性教学与学生主体发展[J].河南教育,
中学数学研究
2019年第11期
呢？笔者以2019年浙江省高考第16题为例，设计了
一节解题教学复习课，通过设置问题，铺设台阶，引导学生分析问题、解决问题，不断的提升学生的数学核心素养.下面是课堂简录及笔者的一些思考及体会，不当之处，请批评指正.
—、试题再现试题已知a e R，函数/(%) = ax - x,若存
师:今天，老师给大家带来了一位“朋友”，大家看看熟悉吗？多媒体投影高考题.
生：学生纷纷瞪大了眼睛，不少同学皱起了眉毛，摇摇头表示不认识.
师：大家真的不认识它吗？仔细阅读本题，题干中哪些条件不是很清楚？
生:存在仁R,使得I/O+2) -/(f)丨■，这
一条件信息不是很清楚. 师：好的，那我们就来分析一下这个条件.请问

新高考数学试题与数学核心素养契合度研究

新高考数学试题与数学核心素养契合度研究摘要：随着新高考的出现，数学教师对数学科目的教学重点发生了变化，变得更加重视对学生数学核心素养的培养。

教师为了提高学生的数学核心素养，使学生更加深刻地认识和学习数学科目，适应新高考的考试方法，教师要对教学手段进行创新，做好教学计划，使教学策略有所改变，并积极研究数学核心素养理念，使学生能深刻掌握和学习数学科目，使数学核心素养与新高考数学试题进行融合，提高学生对数学学习的效率，从而提升高考成绩。

关键词：新高考；数学试题；数学核心素养前言：核心素养指的是学生在接受教育的过程中，形成的能适应社会发展的品质和能力，它是学生在学习过程中对情感、态度、技能等方面的素质的综合表现，是促进学生全面发展的重要因素。

核心素养有着重要的育人价值和作用，在一定程度上对教师的教学实践具有导向作用，对学生核心要素的培养能使学生在学习中掌握学习的关键能力。

学校加强对学生的核心素养的培养对学生有着非常重要的作用，能促进学生的发展和成长。

对目前的新高考下的高中数学学习来说，加强学生的数学核心素养对数学科目的学习是非常重要的。

1.新高考下数学核心素养的概述对高中学生数学核心素养的培养不仅能使学生具备更加坚定的意志力，增强学生的心理素质，还能使学生的数学逻辑思维和计算能力得到提升。

教师创新设计教学手段，注重对学生核心素养的培养，转变教学策略，重视学生在课堂中的主体地位，将课堂的主导权交还给学生，在教师的带领下，给学生创造能自由发挥和学习的空间，使学生在不断地探索中提高观察、学习、思考等能力，探索出高效且适应自身的学习方法。

1.新高考数学试题与数学核心素养契合存在的问题在高考形势紧张的当下，很多高中数学教师在教学的过程中都重视将理论知识和习题讲解作为数学教学的重要内容，想要以此提升学生的数学成绩，这种教学方法忽视了对学生数学逻辑思维等数学核心素养的培育，使学生在数学学习过程中，实际的知识应用水平不高，对数学的理论知识掌握较好，但是数学实践能力和逻辑能力相对较差，难以将一些生活中常见的问题转换为学习过的数学问题去解决，甚至无法做到有效审题。

数学核心素养的考查途径与教学启示--以2019年高考数学全国Ⅰ卷试题为例

评析本题考查平面向量、渐近线、离心率等
基础知识，涉及到垂直、中点、中位线、斜率、倾
斜角等几何要素．关注这些知识间的本质联系，为
解决问题服务，实现核心素养的考查，正是本题考
查的目标与方向．通过向量关系得 F1A = AB 和 OA ⊥ F1 A ，则 ∠AOB = ∠AOF1 ，结合双曲线的渐近线得 ∠BOF2 = ∠AOF1 ， ∠BOF2 = ∠AOF1 = ∠BOA = 60 ，从而= 由 b ta= n 60 3 可求离心率．本题通过关注
1 核心素养的考查分析 1.1 关注数学知识的本质特征，考查核心素养的形成过程例 1 （理 12）已知三棱锥 P − ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， P=A P=B PC ， ∆ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，PB 中点，∠CEF = 90 ，则球 O 的体积为（）． A．8 6π B．4 6π C．2 6π D． 6π 评析本题以三棱锥为载体，考查三棱锥的外接球问题．通过关注正三棱锥的外接球的本质特征，来考查核心素养的形成过程．由条件易得此三棱锥为正三棱锥，这涉及直观想象素养的考查．而正三棱锥的外接球问题为高中数学研究中的基本问题，可调用基本经验的表征来思考问题，这涉及数学抽象素养的考查．考查角度 1：其底已知，只需求侧棱 PA 长便可求出外接球的半径，而条件中 ∠CEF = 90 ，正可求出侧棱 PA 的长，问题便迎刃而解；考查角度 2：正三棱锥中，又有 ∠CEF = 90 ，可得三条侧棱两两垂直，从而得 P − ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解．上述两个角度，涉及逻辑推理素养与数学运算素养的考查．学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养，正是在探究正三棱锥的外接球的本质特征的过程中形成的，有利于核心素养的形成过程考查．例 2 （文 12）已知椭圆 C 的焦点为 F1(−1，0) ， F2 (1，0) ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若 | AF2 | = 2 | F2B | ， | AB |=| BF1 | ，则 C 的方程为（）．

基于核心素养的2023年新高考数学复习备考策略讲座

解法 6:（曲线系）点 A 处的切线方程为 x y 1 0 ，
设直线 AP 的方程为 y 1 k1x 2， AQ 的方程为 y 1 k2 x 2，
PQ 的方程 y kx b ，
则过这四条直线交点的二次曲线方程
过双曲线 x 2
a2
y2 b2
1上一点P
x ,y
0
0
的切线方程为 xx 0 a2
联立以上两个方程得
1 2k 2
x2
4k
4x
0 ，解得 x
0或x
4k 1
4 2k 2
，
即点
P
4k 1
4 2k 2
，4k
1
4k
2k 2
.
又 AQ 与 AP 的斜率之和为 0，则 AQ 的方程为 y kx.
同理得
Q
1
4k 4 2k 2
，4k 4k
1 2k 2
.
所以 kl
4k 4k 4k 4k
材上的例题习题，公式，定理； • 2. 写题：每天规范书写过程1道题，书面表达思维过程，防止会而不对对
而不全； • 3. 记笔记：在笔记本上记录重点知识和自己的易错点，提醒自己复习重
点知识，提高复习效率，提醒自己考试时少犯错误，追求零失误。
汗水不会白流，努力一定成功！谢谢大家！
高中数学核心素养 1. 数学抽象 4. 直观想象 2. 逻辑推理 5. 数学运算 3. 数学建模 6. 数据分析
又 t1
t2
8sin cos2 2sin2
， t1
t2
c os2
8 c os 2sin2
，
将直线AQ的方程写成参数方程，求解点Q坐标
由斜率的坐标式求解直线

数学学科核心素养高考测评与课程标准一致性研究——以2019—2021年高考数学Ⅰ试卷为例

数学学科核心素养高考测评与课程标准一致性研究——以2019—2021年高考数学Ⅰ试卷为例一、引言数学学科是中学教育中的重要学科之一，也是高考中必考的科目。

数学学科核心素养是指学生在学习数学过程中所获得的核心能力和素养，包括数学学科知识、思维能力、方法技巧以及数学学科应用能力等。

核心素养的培养与高考的评价密切相关，本文通过分析近三年高考数学Ⅰ试卷的题目，探讨数学学科核心素养的高考测评与课程标准的一致性。

二、高考数学学科核心素养的定义与特征数学学科核心素养是指学生在学习数学过程中所应具备的基本能力和素养。

首先，数学学科核心素养包括数学知识的掌握和理解，具备基本的计算、推理和证明能力；其次，数学学科核心素养要求学生具备灵活运用数学知识解决实际问题的能力，体现数学的应用性；最后，数学学科核心素养还包括学生对数学学科的兴趣和学习态度，培养学生对数学的探究精神。

三、数学学科核心素养的高考测评方式数学学科核心素养的高考测评方式应基于课程标准的要求，有效评价学生的核心能力和素养。

首先，高考数学学科核心素养的测评应注重对学生数学知识和基本能力的全面评价，考查学生的掌握程度和运用能力；其次，高考数学学科核心素养的测评应注重对学生数学思维和方法的考察，鼓励学生发散思维，培养创新思维能力；最后，高考数学学科核心素养的测评应注重对学生数学学科应用能力的评估，关注学生解决实际问题的能力。

四、2019—2021年高考数学Ⅰ试卷题目分析通过对2019—2021年高考数学Ⅰ试卷的题目进行细致分析，我们可以发现这些试卷中的题目与数学学科核心素养的要求和课程标准是一致的。

从知识和能力的考查方面看，试卷中的选择题和填空题既包括基础知识的考察，也包含了对于计算和应用问题的考查；从思维和方法的考察方面看，试卷中的解答题和证明题要求学生发散思维、运用所学知识和方法解决问题；从应用能力的考察方面看，试卷中的应用题要求学生将数学知识应用于实际问题解决中，培养学生的应用能力和创新能力。

核心素养视域下的高考数学试题评析——以2020年3套高考理科数学全国卷为例

核心素养视域下的高考数学试题评析——以2020年3套高考理科数学全国卷为例近年来，关于高考数学试题的质量与素养的讨论不绝于耳。

2020年3套高考理科数学全国卷是备受关注的一套试题，本文将围绕核心素养的视域对这套试题进行评析，以期挖掘试题的深层含义与能力培养。

一、能力培养与应试导向的平衡在评价一套高考数学试题的优劣时，一个重要的指标就是能力培养与应试导向的平衡。

高考数学试题既要反映学生对知识的掌握程度，又要培养学生的分析、推理、解决问题的能力。

从2020年3套高考理科数学全国卷来看，在应试导向上，试卷突出了考查对基本知识运用的能力。

例如，在选择题中，相对独立的考点偏多，涵盖了课本知识的各个板块，培养了学生的广泛知识储备。

同时，在能力培养方面，试卷注重了学生的分析和解决问题的能力。

其中，非选择题部分的开放性问题相对较多，需要学生独立思考、分析和解答。

这种设计有助于培养学生的逻辑思维、问题解决和创新能力。

二、新课标要求的体现高考数学试题的设计应当紧密贴合新课标的要求，有助于培养学生的核心素养。

2019年起，新课标在数学教学中强调培养学生的创新思维、批判性思维和解决问题的能力。

在2020年3套高考理科数学全国卷中，新课标要求得到了充分的体现。

试卷中涉及到的问题既有基础知识的运用，又有综合运用和创新思维的要求。

例如，在非选择题中，有一道题目要求学生通过定积分的方法求解一个实际问题，考验了学生综合运用知识、转化解决问题能力。

这种设计符合新课标对学生进行思维培养的要求。

三、培养实际应用能力高考数学试题不仅要培养学生的数学思维能力，还要培养其实际应用能力。

数学不仅是一门学科，更是一种实际应用的工具。

高考数学试题应当注重培养学生解决实际问题的能力。

2020年3套高考理科数学全国卷中，有不少题目涉及到与实际生活密切相关的问题，如数列问题、概率问题等，要求学生将数学知识应用于实际生活中。

这种设计有助于培养学生的实际问题解决能力和数学思维的结合。