相似三角形模型分析大全

第一部分 相似三角形模型分析大全

一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）

（平行）

（不平行）

（二）8字型、反8字型

（蝴蝶型）

（平行） （不平行） （三）母子型

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

B

D

E

B

D

E

J O

A

D

B

C

A

B C

D

B

D

D

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

D

二、相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A 字型旋转得到。 8字

型

拓展

共享性

一线三等角的变形

一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．

求证：（1）DA DE DB ⋅=2

； （2）DAC DCE ∠=∠．

C

B E

D

A

G

A

B

C

E

F

A

C

D

E

B

例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于D ，CG △AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、

F ．

求证：EG EF BE ⋅=2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习：

1、如图，梯形ABCD 中，AD △BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE △CD 交CA 延长线于E ．

求证：OE OA OC ⋅=2

．

2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2

．

3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．

A

C

B

P

D E

（第4题图）

双垂型

1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED

解答：证明：（1）∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AFB=∠AEC ，∠A 为公共角，

∴△ABD ∽△ACE （两角对应相等的两个三角形相似）． （2）由（1）得AB ：AC=AD ：AE ，∠A 为公共角，

∴△ADE ∽△ABC （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） (3)∵△ADE ∽△ABC ∴AD ：AB=DE ：BC 又∵∠A=60° ∴BC=2ED

共享型相似三角形

1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,△DAE= 120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

D

E

C

如图∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° 又∵DBCE 在一条直线上

∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60° ∵∠DAE=120°

∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60° 由上可知∠ADB=∠CAE ，∠DAB=∠CAE ∴△DAB ∽△AEC

∵三角形相似对应边成比例 ∴BD ／AC=AB ／CE ∵BD=1，CE=3 ∴AB=AC=√3

2、已知：如图，在Rt△ABC 中，AB =AC ，△DAE =45°．

求证：（1）△ABE △△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．

解答：证明：（1）在Rt △ABC 中， ∵AB=AC ，

∴∠B=∠C=45°． （1分）

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE ，∠DAE=45°，

A

B C E

C A

∴∠BAE=∠BAD+45°． （1分） 而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分） ∴∠BAE=∠CDA ． （1分） ∴△ABE ∽△DCA ． （2分） （2）由△ABE ∽△DCA ，得． （2分）

∴BE •CD=AB •AC ． （1分） 而AB=AC ，BC 2

=AB 2

+AC 2

， ∴BC 2

=2AB 2

． （2分） ∴BC 2=2BE •CD ． （1分）

点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，△EDF =60° （1）求证：△BDE △△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE

证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60°

∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120° ∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED

∵∠B=∠C ∴△BDE 相似△CFD 2、∵BD=1 ∴CD=BC-BD=6-1=5

∵△BDE 相似△CFD ∴BE/CD=BD/CF

C

A

D

B

E

F