相似三角形模型分析大全

第一部分 相似三角形模型分析大全
一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）
（平行）
（不平行）
（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行） （不平行） （三）母子型
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
B
D
E
B
D
E
J O
A
D
B
C
A
B C
D
B
D
D
（五）一线三直角型：
（六）双垂型：
D
二、相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A 字型旋转得到。

8字
型
拓展
共享性
一线三等角的变形
一线三直角的变形
第二部分 相似三角形典型例题讲解
母子型相似三角形
例1、已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．
求证：（1）DA DE DB ⋅=2
； （2）DAC DCE ∠=∠．
C
B E
D
A
G
A
B
C
E
F
A
C
D
E
B
例2、已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD △BC 于D ，CG △AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、
F ．
求证：EG EF BE ⋅=2
．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE 相关练习：
1、如图，梯形ABCD 中，AD △BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE △CD 交CA 延长线于E ．
求证：OE OA OC ⋅=2
．
2、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2
．
3、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．
A
C
B
P
D E
（第4题图）
双垂型
1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED
解答：证明：（1）∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AFB=∠AEC ，∠A 为公共角，
∴△ABD ∽△ACE （两角对应相等的两个三角形相似）． （2）由（1）得AB ：AC=AD ：AE ，∠A 为公共角，
∴△ADE ∽△ABC （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似） (3)∵△ADE ∽△ABC ∴AD ：AB=DE ：BC 又∵∠A=60° ∴BC=2ED
共享型相似三角形
1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,△DAE= 120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.
D
E
C
如图∵△ABC 是等边三角形 ∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° 又∵DBCE 在一条直线上
∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60° ∵∠DAE=120°
∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60° 由上可知∠ADB=∠CAE ，∠DAB=∠CAE ∴△DAB ∽△AEC
∵三角形相似对应边成比例 ∴BD ／AC=AB ／CE ∵BD=1，CE=3 ∴AB=AC=√3
2、已知：如图，在Rt△ABC 中，AB =AC ，△DAE =45°．
求证：（1）△ABE △△ACD ； （2）CD BE BC ⋅=22．
解答：证明：（1）在Rt △ABC 中， ∵AB=AC ，
∴∠B=∠C=45°． （1分）
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE ，∠DAE=45°，
A
B C E
C A
∴∠BAE=∠BAD+45°． （1分） 而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分） ∴∠BAE=∠CDA ． （1分） ∴△ABE ∽△DCA ． （2分） （2）由△ABE ∽△DCA ，得． （2分）
∴BE •CD=AB •AC ． （1分） 而AB=AC ，BC 2
=AB 2
+AC 2
， ∴BC 2
=2AB 2
． （2分） ∴BC 2=2BE •CD ． （1分）
点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．
一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，△EDF =60° （1）求证：△BDE △△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE
证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴∠B=∠C=60°
∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120° ∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED
∵∠B=∠C ∴△BDE 相似△CFD 2、∵BD=1 ∴CD=BC-BD=6-1=5
∵△BDE 相似△CFD ∴BE/CD=BD/CF
C
A
D
B
E
F
BE/5=1/3 BE=5/3
例2、已知在梯形ABCD 中，AD △BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足△BPC ＝△A ． ①求证；△ABP △△DPC ②求AP 的长．
（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足△BPE ＝△A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当CE ＝1时，写出AP 的长．
解答：解：（1）∵ABCD 是梯形，AD ∥BC ，AB=DC ． ∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC ， ∴△ABP ∽△DPC ∴
，即：
解得：AP=1或AP=4．
（2）①由（1）可知：△ABP ∽△DPQ ∴
，即：
，∴
（1＜x ＜4）．
②当CE=1时，AP=2或
．
点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关
C
B
A
D
C
B
A D
C
D
A B
P
系是求解的关键．
例3：如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点
F ，联结EF ．
（1）求证：△MEF △△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长
1.证明:∵AB=CD.
∴梯形ABCD 为等腰梯形,∠B=∠C;
又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM. ∴⊿CMF ∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE. ∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B. ∴△MEF ∽△BEM.
2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.
∴EF ∥BC;又BE=3=AB/2.故EF 为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2; 当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.
连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM 平行BM,则四边形ABMD 为平行四边形. ∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F 与D 重合,此时EF=CD=6. 3.解:∵EF ⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM. ∴∠EFM=45°=∠BME.
作EG ⊥BM 于G,则EG=GM;作AH ⊥BM 于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB ²-BH ²)=3√15/2. 设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14. BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.
练习：
如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ， （1）写出图中与BEF ∆相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；
（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （4）若1AE =，试求GMN ∆的面积．
一线三直角型相似三角形
例：已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CP PE ⊥，交边AB 于点E,设y AE x PD ==,，（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。

(2)如果△PCD 的面积是△AEP 面积的4倍，求CE 的长；
(3)是否存在点P ，使△APE 沿PE 翻折后，点A 落在BC 上？证明你的结论。

E B
C
A
D
P
备用图
解答：（1）解：∵PE⊥CP，
∴可得：△EAP∽△PDC，∴，
又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=-，0＜x＜3；
（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，
则：相似比为2：1，∴，
∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．
（3）不存在．
作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF
∵AF⊥PE，CP⊥PE ∴AF=CP=， PE=，
∵△CDP∽△POA
∴=，OA=，
若OA=AF =， 3x2-6x+4=0 △=62-4×4×3=-12x无解因此，不存在．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方．
相关练习
1、(2009虹口二模）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3
tan 4
B =
，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，
BED ∆的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.。