计算理论复习

计算理论复习题

1、 什么是图灵机，图灵机的构造技术以及三种描述方式是什么？

(1)图灵机：一个图灵机是一个7元组（Q ，∑，，Γ，δ，0q ，accept q ，reject q ），其中

,,Q ∑Γ都是有穷集合，并且○

1Q 是状态集；○2∑是输入字母表，不包括特殊空白符号︼；○3 Γ是字母表，其中：︼∈Γ∑⊆Γ，；○4:{,}Q Q L R δ⨯Γ→⨯Γ⨯；○50

q Q ∈是起始状态；○6accept q Q ∈是接受状态；○7reject q Q ∈是拒绝状态，且reject accept q q ≠。

(2)构造技术：○

1有限控制器的存储构造TM ，检查第一个输入是不是出现在输入的其他地方；○2多道；○3查询符号（打标记）；○4移动：如把一个字符串整体后移; ○5调用子程序。

(3)描述方式：○

1形式描述，即详尽地写出图灵机的状态、转移函数等，这是最低、最详细程度的描述；○

2实现描述,这种方法使用日常语言来描述图灵机的运行，如怎么移动读写头，怎么在带上存储数据等，没有给出 状态和转移函数的细节；○

3高水平描述，它也是使用日常语言来描述算法，但忽略了实现的模型，不再需要提及机器是怎么管理它的带子或读写头。

2、什么是图灵机的格局，图灵可识别，图灵可判定？

(1)图灵机计算过程中，当前状态、当前带内容和读写头当前位置组合在一起，称为图灵机的格局，也即是瞬间状态。

(2)如果一个语言能被某一图灵机识别，则称该语言是图灵可识别的。

(3) 如果一个语言能被某一图灵机判定，则称它是图灵可判定的。

3、什么是多带图灵机，非确定型图灵机，枚举器，递归可枚举语言？

(1)多带图灵机很像普通图灵机，只是有多个带子，每个带子都有自己的读写头，用于读和写。开始时，输入出现在第一个带子上，其它的带子都是空白。转移函数改为允许同时进行读、写和移动读写头，其形式为：δ：Q ⨯Γ

k →Q ⨯Γk ⨯},{R L k 此处k 是带子的个数。表达式δ（

q i ，a 1， ，a k ）=（q j ，b 1， ，b k ，L ，R ， ，L ）指的是：若机器处于状态

q i ，读写头1到k 所读的符号分别是a 1， ，a k ，则转移到状态q j ，写下符号b 1， 。，b k

，且按此式所指示的那样移动每个读写头。 推论1：每个多带图灵机都有一个与之等价的单带图灵机。

推论2：一个语言是图灵可识别的，当且仅当有多带图灵机识别它。

(2)非确定型图灵机：非确定型图灵机在计算的任何时刻，机器可以在多种可能性中选择一种继续进行。它的转移函数具有如下形式：δ：Q ⨯Г→P 3

(Q ⨯Г⨯{L ，R ，S}) 其计算是一棵树，不同分枝对应着机器不同的可能性。如果计算的某个分枝导致接受状态，

则接受该输入。

推论1：每个非确定型图灵机都有一个与之等价的确定型图灵机。

推论2：一个语言的是图灵可识别的，当且仅当有非确定型的图灵机识别它。

推论3：一个语言是可判定的，当且仅当存在非确定型图灵机判定它。

(2)枚举器：它是图灵机的一种变形，是带有打印机的图灵机。每当图灵机想在打印序列中增加一个串时，就把串送到打印机。

推论：一个语言是图灵可识别的，当且仅当有枚举器枚举它。

(3)递归可枚举语言：能够被图灵机识别的语言称为递归可枚举语言。

4、什么是丘奇-图灵论题,可判定语言，接受计算历史？

(1)丘奇-图灵论题：丘奇使用λ-演算的记号系统定义算法，图灵使用机器定义算法，这两个定义是等价的，算法的非形式概念和精确定义的联系被称为丘奇-图灵论题，即算法的直接概念等于图灵机算法。

(2)可判定语言：如果一个语言，存在某图灵机判定它，则称这个语言是图灵可判定的或可判定的。

(3)接受计算历史：设M 是一个图灵机，ω是一个串。M 在ω上的一个接受计算历史是一个格局序列1c ， ，l c ，其中：c 是M 在ω上的起始格局，l c 是M 的一个接受格局，且每个i c 都是1i c -的合法结果。

5、判断下列语言是否可判定，证明其中一个？

注：(i)TM A 有时称为停机问题真正的停机问题是TM HALT (ii)TM A 不是图灵可识别的。

(1){,|}DFA A B B DFA B ωωω=<>是，是串，接受 可判定

(2){,|}CFG A G G CFG G ωωω=<>是，是串，派生 可判定

(3) TM HALT ,{|}TM A M M TM M ωωω=<>，是，是串，接受, 不可判定

(4){|()}DFA E A A DFA L A =<>=Φ是，且 可判定

(5){|}TM E M M =<>Φ是一个TM,且L(M)= 不可判定

(6){|}PCP P P =<>是波斯特对应问题的一个实例，且P 有匹配 不可判定

(7) E TM ，REGULAR TM ,TM EQ ，都是不可判定的。

(8){,|}NAF A B B NFA B ωωω=<>是，是串，接受 可判定

(9){,|}REX A R R R ωωω=<>是正则表达示，是串，派生 可判定

(10){,|()()}DFA EQ A B A B DFA L A L B =<>=和都是且 可判定

(11){,|}CFG A G G CFG G ωωω=<>是，是串，派生 可判定

(12){|()}CFG E G G L L A =<>∅=Φ是一个CFG,且(G)=，且 可判定

(13){,|()()}CFG EQ G H G H L G L H =<>=和是CFG,且 不可判定

(14) LBA LBA A CFG 可判定，E 和ALL 不可判定

证明 {|}TM A M M TM M ωωω=<>，是，是串，接受是不可判定的。

证明：假设A TM 是可判定的。设H 是A TM 的判定器。令M 是一个TM ，ω是一个串。在

输入上，如果M 接受ω，则H 就停机且接受ω；如果M 不接受ω，则H 也会停机，但拒绝ω。即H 是一个TM 使得：

H()=⎩⎨⎧ωω

不接受拒绝，如果接受接受，如果M M

现在来构造一个新的图灵机D ，它以H 作为子程序。当M 被输入它自己的描述时，TM D 就调用H ，以了解M 作什么。一旦得到这个消息，D 就反着做，即：如果M 接受，它就拒绝；如果M 不接受，它就接受。下面是D 的描述：

D=“对于输入,其中M 是一个TM ：

1）在输入>上运行H 。

2）输入H 输出的相反结论，即，如果H 接受，就拒绝；如果H 拒绝，就接受。” 得出：

D()=⎩⎨⎧><>

当以D 的描述作为输入来运行D 自身时，得到：

D()=⎩⎨⎧><>

不论D 做什么，它都被迫相反地做，这显然是一个矛盾。

6、证明一个语言是可判定的，当且仅当它既是图灵可识别的，也是补图灵可识别的。 证明：

(i) 必要性：如果A 是可判定的，任何可判定语言都是图灵可识别的，且任何可判定语 言的补也是可判定的，所以A 和它的补A 都是图灵可识别的

(ii)充分性：令1M 是A 的识别器，2M 是A 的识别器。下列图灵机M 是A 的判定器： M=“对于输入ω：

1) 在输入ω上并行运行M 1和M 2。

2) 如果M 1接受，就接受；如果M 2接受，就拒绝。”