§1.4 顺序统计量的分布
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次序统计量及其分布
, X n )T 的次序统计量，样本的极差定义为 R X ( n ) X (1) max X i min X i
1 i n 1 i n
xi min xi 其观测值为 r x( n ) x(1) max 1 i n 1 i n
4、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散 程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受 样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以 作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛. 例3(p32例1.20) 从总体中抽取容量为6的样本， 测得样本值为 32, 65, 28, 35, 30, 29 试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、 以及样本标准差。
1、样本中位数 定义 设(X (1) , X ( 2 ) ,
, X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
n为奇数， n为偶数，
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( ) 2 X 1 [ X n X n1 ], ( ) 2 (2) 2
说明 (1) 最大次序统计量X ( n )的分布密度为
f X( n ) ( x ) n[ F ( x )]n1 f ( x )
( 2) 最小次序统计量X (1)的分布密度为 f X(1) ( x ) n[1 F ( x )]
n 1
f ( x)
例1(p30例1.18) 设总体X 服从区间 [0,1] 上的均
证
根据分布函数的定义可得
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y ) P{ X (1) x, X ( n) y}
以下分两种情形讨论：
(1)当x y时，
1.3 顺序统计量
求 F ( u, v ) ．对于任意 u, v ，有
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
统计量及其分布
思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664
次序统计量及其分布通用课件
中心极限定理
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或 中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本 中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们 快速了解数据分布情况， 如数据的最大值、最小值 、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计 量常被用作描述变量或样 本的特性，如计算相关性 、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数 据进行排序和筛选，以便 更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函 数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率 数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通 过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分 布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数 据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群 点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。
在大量独立同分布随机变量的样本中，任意一个样本的平均值（或 中位数）都将趋近于正态分布。
次序统计量
在给定样本中，按照大小排序后得到的顺序统计量。
关系
中心极限定理为次序统计量提供了理论基础，因为次序统计量是样本 中排序后的变量，其分布情况与中心极限定理密切相关。
次序统计量与大数定律的关系
次序统计量在统计学中的重要性
01
02
03
描述数据分布特征
次序统计量可以帮助我们 快速了解数据分布情况， 如数据的最大值、最小值 、中位数等。
进行统计分析
在统计分析中，次序统计 量常被用作描述变量或样 本的特性，如计算相关性 、进行回归分析等。
数据排序与筛选
通过次序统计量可以对数 据进行排序和筛选，以便 更好地理解和处理数据。
计算方法
通过概率密度函数或概率质量函 数积分得到。
03
次序统计量的应用场景
金融数据分析
风险评估
次序统计量可以用于评估投资组合的风险，通过分析历史收益率 数据，确定投资组合在不同市场环境下的风险水平。
市场趋势判断
利用次序统计量对市场数据进行排序，可以判断市场趋势，例如通 过分析股票价格指数的排序来判断市场的整体走势。
次序统计量及其分 布通用课件
目录
• 次序统计量的定义与性质 • 次序统计量的分布 • 次序统计量的应用场景 • 次序统计量的计算方法 • 次序统计量与其他统计量的关系 • 次序统计量在数据分析中的应用
01
次序统计量的定义与性质
次序统计量的定义
定义
次序统计量是指一组数 据中按照大小顺序排列
的统计量。
在数据异常值检测中的应用
总结词
次序统计量在异常值检测中具有重要应用，能够识别出离群 点，帮助分析者了解数据分布和潜在问题。
上海工程技术大学数理统计复习题(2016.12)
c
s n
t1 (n 1)
200 12
1.796
103.686
拒绝域为
K0 {X 200 c 103.686}
由于 X 2000 9 c ，所以接受 H0 ，拒绝 H1 ，即认为该制造商的 产品与他所说的标准不相符合。
例题 5 某商场为了比较来自两个不同厂家的同一类商品的销量 有无显著差异，随机抽取了商场 9 周的该商品销量数据如下：
F (x))n1
f
(x)
n(
1/ 0,
2
x) n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
f(n)
(x)
n(F
( x)) n1
f
(x)
n(1/
2
x 0,
)n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
二、参数的点估计-极大似然估计法
例题 2 设总体 X ~ N[, 2 ]，其中 R, 0 是未知参数，X1, X 2 ,X n 为
SB rt ( X j X )2 98.0 ， j1
-----列间离差平方和
rs
SAB t
( X ij X j X i X )2 50.0 ， ----行列交互离差平方和
i1 j1
SE ST SA SB SAB 184.0 ，
从 X 中随机抽取的一个样本，x1, x2 ,, xn 是样本的一个观察值，求 参数 , 2 及 2 2 的极大似然估计。
解 总体 X 的密度函数为
f (x, , 2 )
1 2 Βιβλιοθήκη exp (x )2 2 2
1-4 次序统计量
1
显然有
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
称为最小次序统计量 它的值 x(1) 是样本 最小次序统计量， 其中 X (1) = min X i 称为最小次序统计量， 1≤i≤n 值中最小的一个； 称为最大次序统计量 最大次序统计量， 值中最小的一个；而 X (n) = max X i 称为最大次序统计量， 1≤i≤n 是样本值中最大的一个。 它的值 x(n) 是样本值中最大的一个。
米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 这件事情是否是一个玩笑？ 这件事情是否是一个玩笑？
8
思考2. 一位统计学家把一只脚放进 100℃ 的开水里， 思考 ℃ 的开水里， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的 意义上，我感觉很舒服。 意义上，我感觉很舒服。
16
乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 例 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到 工资1000元，据了解，公司共有21人，和自己 元 据了解，公司共有 人 工资 职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇 ？ 总经理 15,000 ；两个副总经理每人 8,000 ； , , 3 个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员 ； 每人 2000；10 个业务员每人 1000 。 ； 一共 21 人，每月支出工资 63,000。 , 。 平均值 3000，中位数 2000，众数 1000，极差 14,000 ， ， ， ,
2
定义
样本 X 1 , X 2 ,L , X n 按由小到大的顺序重排为
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
显然有
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
称为最小次序统计量 它的值 x(1) 是样本 最小次序统计量， 其中 X (1) = min X i 称为最小次序统计量， 1≤i≤n 值中最小的一个； 称为最大次序统计量 最大次序统计量， 值中最小的一个；而 X (n) = max X i 称为最大次序统计量， 1≤i≤n 是样本值中最大的一个。 它的值 x(n) 是样本值中最大的一个。
米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 平均水深为 1 米的小河中淹死了，他觉得不可思议。 这件事情是否是一个玩笑？ 这件事情是否是一个玩笑？
8
思考2. 一位统计学家把一只脚放进 100℃ 的开水里， 思考 ℃ 的开水里， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在， 另一只脚放进冰水中。然后宣布：现在，在平均值的 意义上，我感觉很舒服。 意义上，我感觉很舒服。
16
乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 例 乙同学毕业后求职于一家公司。总经理说， 公司平均月薪是 3000 元。一个月后乙同学得到 工资1000元，据了解，公司共有21人，和自己 元 据了解，公司共有 人 工资 职位相同的业务员共有 10 人，每人的月薪都是 1000 元。应该如何理解乙同学的遭遇 ？ 总经理 15,000 ；两个副总经理每人 8,000 ； , , 3 个部门经理每人 4000；5 个财务等行政人员 ； 每人 2000；10 个业务员每人 1000 。 ； 一共 21 人，每月支出工资 63,000。 , 。 平均值 3000，中位数 2000，众数 1000，极差 14,000 ， ， ， ,
2
定义
样本 X 1 , X 2 ,L , X n 按由小到大的顺序重排为
X (1) ≤ X (2) ≤ L ≤ X ( n )
顺序统计量的分布理论
Remark 2.2. Equality (2.8) is valid for any distribution function f .
Remark 2.3. If we have tables of the function Ix(k, n − k + 1), it is possible to obtain d.f. Fk:n(x) for arbitrary d.f. F.
Exercise 2.6. Find the joint distribution of two order statistics Xr,n and Xs,n.
Example 2.2. Let us try to find the joint distribution of all elements of the variational series X1,n, X2,n, . . . , Xn,n. It seems that the joint d.f.
Fk:n(x) = P{ at least k variables among X1, X2, . . . , Xn are less or equal x }
n
= ∑ P{ exactly m variables among X1, X2, . . . , Xn are less or equal x } m=k
−
n! 1)!(n
−
k)!
(F
(x))k−1
(1
−
F
(x))n−k
f (x),
where f is a population density function. The joint density function of order statistics
应用数理统计(吴翊版)第一章)
“你不必吃完整头牛，才知道肉是老的” ——西方谚语。
2020/3/25
12
经n次试验得到n个数据——样本容量为n；
X1, X 2 ,..., X n ——一组数据，一个（容量为n的） 样本（子样）；
样本所有可能取值的集合——样本空间（n维空 间的子集）；
数据可以是数值或属性（但要用数值表示）；
为什么要用数理统计？
实际中，数据量大（抽取的数据具有随机 性），试验具有破坏性（不可重复）。
2020/3/25
10
数理统计的研究范畴：应用广泛
传统上，有生物统计（遗传学、医药）、农业统计、 工业统计（民航统计）等；
现代，多元统计应用领域：通信、质量控制、气象、 地质勘探、市场预测与决策等。
数理统计的基本内容：数据采集（抽样理论、试验设计 等）与统计推断（估计、检验等）。
(3) 若总体X具有分布函数F(x),概率密度f(x), 则样本 (X1, X2 ,…, Xn )的分布函数及概率密度为:
n
F ( x1 , x2 , , xn ) F( xi ) i 1 n f ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi )
(4) 获得简单随机样本的抽样方i法1 称为简单随机抽样.
当 x 3时, F(x) P{X x} 1
2020/3/25
ห้องสมุดไป่ตู้
(C)中国民航大学 理学院 张春晓
26
§1.4 统计量及其分布
在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利 用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能 有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为 一堆“杂乱无章”的数据．
【例1.7】从某地区随机抽取50户农民，调查其人 均年收入情况，得到数据（单位:元）如下：
数理统计学总复习(大连理工出版社 滕素珍等著)
2
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n).
1 December 2013
总复习 数理统计
第20页
t分布的性质：
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t ( n), 其数学期望 与方差为：E ( t ) 0, D( t ) n ( n 2)
pF F ( n1 , n2 )
F ( n1 ,n2 )
( y )dy
1 F1 ( n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
1 December 2013
总复习 数理统计
第19页
3、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
(n) , 且X与Y相互
L( ) L( ; x1 ,, xn ) p( x1; ) p( x2 ; ) p( xn ; )
称为样本的似然函数。
1 December 2013
总复习 数理统计
第29页
ˆ ˆ 如果某统计量 ( x ,, x ) 满足 1 n ˆ L( ) max L( )
第9页
样本k阶原点矩 n 1 k Ak X i n i 1 样本k阶中心矩
1 k Bk ( X i X ) n i 1
1 December 2013
n
总复习 数理统计
第10页
定理
设总体X的均值为，方差为 2，X 1 , X 2 ,, X n 是 来自总体的一个样本，则样本均值X和样本方差S 2有
第23页
推论2 设 X1, X2,…, Xn 是来自 X ~ N (1,12 ) 2 的样本， 1 , Y2 ,Ym是来自Y ~ N ( 2 , 2 ), 且X与Y。 Y
独立，则称变量
t
X Y n
所服从的分布为自由度为 n的 t 分布.
记为 t ~ t ( n).
1 December 2013
总复习 数理统计
第20页
t分布的性质：
1. 具有自由度为n的t分布t ~ t ( n), 其数学期望 与方差为：E ( t ) 0, D( t ) n ( n 2)
pF F ( n1 , n2 )
F ( n1 ,n2 )
( y )dy
1 F1 ( n1 , n2 ) F ( n2 , n1 )
1 December 2013
总复习 数理统计
第19页
3、t 分布
定义: 设X～N(0,1) , Y～
(n) , 且X与Y相互
L( ) L( ; x1 ,, xn ) p( x1; ) p( x2 ; ) p( xn ; )
称为样本的似然函数。
1 December 2013
总复习 数理统计
第29页
ˆ ˆ 如果某统计量 ( x ,, x ) 满足 1 n ˆ L( ) max L( )
第9页
样本k阶原点矩 n 1 k Ak X i n i 1 样本k阶中心矩
1 k Bk ( X i X ) n i 1
1 December 2013
n
总复习 数理统计
第10页
定理
设总体X的均值为，方差为 2，X 1 , X 2 ,, X n 是 来自总体的一个样本，则样本均值X和样本方差S 2有
第23页
推论2 设 X1, X2,…, Xn 是来自 X ~ N (1,12 ) 2 的样本， 1 , Y2 ,Ym是来自Y ~ N ( 2 , 2 ), 且X与Y。 Y
定理25极差的分布
n
i 1
统计量 （而称 S 2 统计量 统计量
Sn 2
1 i 叫样本方差 n i 1
2
n
2
1 n i n 1 i 1
叫修正的样本方差）；
1 n Ar (i ) r ，（r =1，2，…）叫样本的r阶原点矩； n i 1 1 n Br (i ) r ，（r =1，2，…）叫作样本的r阶中心矩。 n i 1
2
0.1.2大数定律 定义：若 1, 2 ,..., n ,...随机变量序列，如果存在常 数列 a1, a2 ,..., an ,... 使得对任意的 0 有
1 n lim P i an 1 n n i 1
成立，则称随机变量序列n 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 n 是n重贝努里试验 中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的 概率为p（0<p<1），则对任意的 0 ，有：
0.预备知识
0.1 大数定律与中心极限定理
阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。
0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 E 和方差 D ，则对任意 0，有
P E D
20
P U 105
k 1
k
Uk , k 1, 2,..., 20
§1基本概念 1.1总体与样本
总体：研究对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 i ， i=1，2，…，n，所组成的n维随机变量 1, 2 ,..., n 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是 n 个随机变量的值 （样本值）用小写字母 x1 , x2 ,.., xn 表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一 组确定的具体值。 定义：若随机变量 1 , 2 ,, n 相互独立且每个 i，i=1，2，…，n， 与总体 有相同的概率分布，则称随机变量 1 , 2 ,, n 为来自 总体 的容量为n的简单随机样本，称 i ，i=1，2，…，n为样 本的第i个分量。若 有分布密度 f x （或分布函数 F x ）则 f x ）的样本. 称1, 2 ,..., n 是来自总体 F x（或
i 1
统计量 （而称 S 2 统计量 统计量
Sn 2
1 i 叫样本方差 n i 1
2
n
2
1 n i n 1 i 1
叫修正的样本方差）；
1 n Ar (i ) r ，（r =1，2，…）叫样本的r阶原点矩； n i 1 1 n Br (i ) r ，（r =1，2，…）叫作样本的r阶中心矩。 n i 1
2
0.1.2大数定律 定义：若 1, 2 ,..., n ,...随机变量序列，如果存在常 数列 a1, a2 ,..., an ,... 使得对任意的 0 有
1 n lim P i an 1 n n i 1
成立，则称随机变量序列n 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 n 是n重贝努里试验 中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的 概率为p（0<p<1），则对任意的 0 ，有：
0.预备知识
0.1 大数定律与中心极限定理
阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。
0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 E 和方差 D ，则对任意 0，有
P E D
20
P U 105
k 1
k
Uk , k 1, 2,..., 20
§1基本概念 1.1总体与样本
总体：研究对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 i ， i=1，2，…，n，所组成的n维随机变量 1, 2 ,..., n 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是 n 个随机变量的值 （样本值）用小写字母 x1 , x2 ,.., xn 表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一 组确定的具体值。 定义：若随机变量 1 , 2 ,, n 相互独立且每个 i，i=1，2，…，n， 与总体 有相同的概率分布，则称随机变量 1 , 2 ,, n 为来自 总体 的容量为n的简单随机样本，称 i ，i=1，2，…，n为样 本的第i个分量。若 有分布密度 f x （或分布函数 F x ）则 f x ）的样本. 称1, 2 ,..., n 是来自总体 F x（或
顺序统计量的分布
它通常用于描述一组数据的分布特征， 如最大值、最小值、中位数等。
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
数理统计-第一章 统计量及其分布
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
但在实际中,在样本量特别大时 (如 n≥100 ),又常用分组样本来代替完 全样本,这时需要对样本进行分组整理， 它能简明扼要地表示样本,使人们能更 好地认识总体,这是分组样本的优点。
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
则 Fn (x)是一非减右连续函数，且满足 Fn (-∞) =0, Fn (+ ∞)=1 由此可见， Fn (x)是一个分布函数，称 Fn (x)为经验分 布函数。 太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
1.6 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机 抽取 5 听饮料，称得其净重为（单 位：克） 351 347 355 344 351 这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本：
而若第一次抽到的是合格品,则第二次抽到不合格品 的概率为
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
显然，如此得到的样本不是简单随 机样本。但是，当 N 很大时，我们可 以看到上述二种情 形的概率都近似等 于 p。所以当 N 很大，而 n不大（一个 经验法则是 ）时可以把 该样本近似地 看成简单随机样本。
从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能 由样本对总体作出较可靠的推断,就希望 样本能很 好的代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要 求,最常用的"简单随机抽样”有 如下二个要求： （1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体 都有同等机会被选入样本，这便意味着每一样品xi 与总体X有相同的分布。 （2）样本要有独立性，即要求样本中每一样品的 取值不影响其它样品的取值，这意 味着x1， x2, …,xn 相互独立。
第一章 统计量及其分布
第01章序列的统计量、检验和分布
1 I u 1
2
1 exp 1u2
2 2
151u2
2
I
u 1
16
351u2
3
I
u 1
32
c osuIu 1
4 2
这里u是核函数的辐角，I (.)是指示函数，辐角为真时，它取 1，否则取 0。26
(2) Bandwidth（带宽） 带宽h控制密度估计的平滑程度；带宽越大，估计越平滑。 带宽的选取在密度估计中非常重要，缺省设置是一种基于数据 的自动带宽，
分布。
8
§1.2 均值、中位数、方差的假设检验
这部分是对序列均值、中位数、方差的假设检验。在序 列对象菜单选择View/tests for descriptive stats/simple hypothesis tests，就会出现下面的序列分布检验对话框：
9
1. 均值检验
原假设是序列 x 的期望值 m ，备选假设是 ≠m ，即
超过指定值 r 的概率
F x(r)pr(x ob r)
Survivor(残存)操作用来描绘序列的经验残存函数
S x ( r ) p( r x o r ) 1 b F x ( r )
17
Quantile(分位数) 操作用来描绘序列的经验分位数。对 0 q 1, X 的分位数 x(q) 满足下式：
布相对于正态分布是平坦的；而例1.3中GDP增长率的峰度为
2.14 ，说明GDP增长率的分布相对于正态分布也是平坦的。
7
Jarque-Bera 检验 检验序列是否服从正态分布。统计
量计算公式如下
JB N6 kS21 4K32
S为偏度，K为峰度，k是序列估计式中参数的个数。
在正态分布的原假设下，J-B统计量是自由度为2的 2 分
应用数理统计第一章数理统计的基本概念
1.定义2
设 ( X1 , X 2 ,, X n )为总体 X 的一个
T 样本， ( X1, X 2 ,, X n ) 为 ( X1 , X 2, , X n )
的函数，且除依赖于样本外，不依赖于 任何其它的未知量。 则 T ( X1 , X 2 ,, X n ) 称为统计量.
23
例5 设X～N(μ,σ2),μ已知,σ>0未知, (X1，X2,…,Xn)为X的一个样本。则
总体:数量指标 X 所有可能值的全体 个体:数量指标 X 的每一个值 X 可以是一维，也可以是多维 例1 研究某厂生产的一批灯泡使用寿命 例2 研究北京理工大学学生的身高和体重
3
由于每个个体的出现是随机的， 所以相应的数量指标的出现也带有 随机性. 从而可以把这种数量指标
看作一个随机变量.
因此，随机变量的分布就是该数 量指标在总体中的分布.
13
总体(理论分布)？
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料—样本观察 值，去推断总体的情况---总体分布F(x) 的性质. 样本 是联系二者的桥梁
14
2 样本分布
(1)设总体X的分布函数 F ( x) P( X x)
( X1 , X 2 ,, X n ) 的联合分布函数
F x1 , x2 ,, xn P X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn
2
解:由于X N (, ), 其概率密度函数为
2
( x )2 1 f ( x; , 2 ) exp 2 2 2
17
因此，样本 ( X1, X 2 ,, X n ) 的联合概率密 度函数为
f ( xi ; , 2 )
i 1 n
设 ( X1 , X 2 ,, X n )为总体 X 的一个
T 样本， ( X1, X 2 ,, X n ) 为 ( X1 , X 2, , X n )
的函数，且除依赖于样本外，不依赖于 任何其它的未知量。 则 T ( X1 , X 2 ,, X n ) 称为统计量.
23
例5 设X～N(μ,σ2),μ已知,σ>0未知, (X1，X2,…,Xn)为X的一个样本。则
总体:数量指标 X 所有可能值的全体 个体:数量指标 X 的每一个值 X 可以是一维，也可以是多维 例1 研究某厂生产的一批灯泡使用寿命 例2 研究北京理工大学学生的身高和体重
3
由于每个个体的出现是随机的， 所以相应的数量指标的出现也带有 随机性. 从而可以把这种数量指标
看作一个随机变量.
因此，随机变量的分布就是该数 量指标在总体中的分布.
13
总体(理论分布)？
样本
样本观察值
统计是从手中已有的资料—样本观察 值，去推断总体的情况---总体分布F(x) 的性质. 样本 是联系二者的桥梁
14
2 样本分布
(1)设总体X的分布函数 F ( x) P( X x)
( X1 , X 2 ,, X n ) 的联合分布函数
F x1 , x2 ,, xn P X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn
2
解:由于X N (, ), 其概率密度函数为
2
( x )2 1 f ( x; , 2 ) exp 2 2 2
17
因此，样本 ( X1, X 2 ,, X n ) 的联合概率密 度函数为
f ( xi ; , 2 )
i 1 n
第二章 顺序统计量与样本极差
n j
f ( y ) f ( z ).
证毕。
设总体 X的 分 布 函 数 为 F ( x )，X 1 , X 2 ,, X n是 容 量 推论2： 为n的 样 本 ， 则 X (1) , X ( n )的 联 合 密 度 函 数 为
n( n 1)F ( z ) F ( y )n 2 f ( y ) f ( z ) y z f 1n ( y , z ) 其它 0
定理3： 前r个次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( r )的联合密度函数为
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r )!
y1 y2 yr
r n.
特别地，当 r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
n j
考虑到 F ( x )的连续性，当 y 0，z 0时，有
f ij ( y , z ) lim P ( X ( i ) ( y , y y ], X ( j ) ( z , z z ]) y z
y 0 z 0
n! i 1 j i 1 F ( y) F ( z ) F ( y) ( i 1)!( j i 1)!( n j )! 1 F ( z )
在定理 1的假定下，次序统计量 ( X ( i ) , X ( j ) )，i j 定理2： 的联合概率密度函数为
f ij ( y, z )
n! F ( y)i 1 F ( z ) F ( y )j i 1 1 F ( z )n j f ( y) f ( z ), ( i 1)!( j i 1)!( n j )!
i 1
f ( y ) f ( z ).
证毕。
设总体 X的 分 布 函 数 为 F ( x )，X 1 , X 2 ,, X n是 容 量 推论2： 为n的 样 本 ， 则 X (1) , X ( n )的 联 合 密 度 函 数 为
n( n 1)F ( z ) F ( y )n 2 f ( y ) f ( z ) y z f 1n ( y , z ) 其它 0
定理3： 前r个次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( r )的联合密度函数为
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r )!
y1 y2 yr
r n.
特别地，当 r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
n j
考虑到 F ( x )的连续性，当 y 0，z 0时，有
f ij ( y , z ) lim P ( X ( i ) ( y , y y ], X ( j ) ( z , z z ]) y z
y 0 z 0
n! i 1 j i 1 F ( y) F ( z ) F ( y) ( i 1)!( j i 1)!( n j )! 1 F ( z )
在定理 1的假定下，次序统计量 ( X ( i ) , X ( j ) )，i j 定理2： 的联合概率密度函数为
f ij ( y, z )
n! F ( y)i 1 F ( z ) F ( y )j i 1 1 F ( z )n j f ( y) f ( z ), ( i 1)!( j i 1)!( n j )!
i 1
顺序统计量课件-PPT
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
1 注: 在一个样本中, X1 , X 2，……, Xn 是独立同分布的, 而次序统计量 X (1) , X (2) ……, X (n)
则可能既不独立n,
分布也不相同.2
•来自正态总体的样本，若总体期望已知， (X ) 最大观测值 x max = x (n);
k-1
1
n-k
x
x+x
x (k) 的取值示意图
Fk (x x) Fk (x)
n!
[F (x)]k1[F x x F (x)][1 F (x x)]nk
(k 1)!(n k)!
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。 设总体 X 的分布如下: 所谓五数概括就是指用这五个数来大致描述一批数据的轮廓。
三、顺序统计量的分布
1、单个顺序统计量的分布
设总体X的密度函数为 f (x) ，分布函数为 F (x) ， x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计量 x (k) 的 密度函数为:
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值 落在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于 “样本容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ， 有 n-k 个观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下 图
充分统计量
设(X1,X2,…,Xn)是从总体X中抽取的一个样本，(x1,x2,…,xn)是其中一个观测值，将观测值按从小到大的次序重新排列为：
解：1）因X1,X2,…,Xn独立，且服从相同分布
§1.4顺序统计量的分布（发）
第四节顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (5.4.1 ,,,),(,,,)(,,),(1,2,,), (,,,)( ,,,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序一、顺序统计量的定义定重新排列为当取值为时定义取值为由此得到的称为样本义(1)(2)()) (,,,)..n n x x x 顺序的对应的成统量为其计观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
应用数理统计—顺序统计量的分布
x0 x
f (x)
证明：考虑“第k个次序统计量 X(k) 落入很小的区间 (x, x+x]内”这一事件的概率。记X(k) 的分布函数为 Fk(x)。则该概率为Fk(x +x)- Fk(x)。
另外，该事件等价于“容量为n的样本X1,X2,…,Xn中
有k-1个分量小于或等于x，1个分量落入(x, x+x]内，余 下的n-k个分量大于x+x。
为f(x). X1, X 2,..., X n 是取自X的样本。则最小次
序统计量 X(1) 的概率密度函数为
f1(x) n[1 F(x)]n1 f (x)
分布函数为
F1(x) 1[1 F(x)]n
例4 设某型号电子元件的寿命 X 服从参数为的指
数分布，X1,…,Xn是对X 进行n次独立观测的寿命。 求n次观测中（1）最大寿命小于b的概率；（2）最
例5 设X1, X2,…, Xn是取自[0, 1]上均匀分布的样本 ，求第 k 个次序统计量 X(k) 的数学期望。
解：由于
由定理知，X(k) 的概率密度为 于是有
, X2,…, Xn是取自该总体的样本。则(X(1), X(n))的联 合密度函数为
小寿命大于a的概率。(a>0, b>0)
解：由于
F(x) 1 ex , x 0
所以，最大次序统计量 X(n) 的分布函数为
于是
Fn (x) [F (x)]n [1 ex ]n , x 0
P( X(n) b) Fn (b) [1 eb ]n
例4 设某型号电子元件的寿命 X 服从参数为的指
数分布，X1,…,Xn是对X 进行n次独立观测的寿命。 求n次观测中（1）最大寿命小于b的概率；（2）最
北交大-统计学-第二章 数理统计的基本概念2
§2.4 顺序统计量与样本极差
一、顺序统计量及其分布
定义： 设X 1 , X 2 , , X n是取自总体X的样本，X ( i )称为
该样本的第i个顺序统计量，它的取 值是将样本 观测值，由小到大排列 后得到的第i个观测值，
其中
X (1) min(X1 , X 2 ,, X n )
称为该样本的
五、样本分位数与样本中位数
设X (1) ,, X ( n)是有序样本，则样本中 位数m0.5定义为 定义3：
n为奇数 X n1 2 1 X n X n n为偶数 1 2 2 2
最小顺序统计量， X( n) max(X1 , X 2 ,, X n ) 称为该样本的最大顺序统计量。
一般情况下，X (1) , X ( 2) ,, X ( n)既不独立，分布也不相 同。
例1： 设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布
X
0
1 3
1
1 3
2
1 3
P
现从中取出3个样本，X 1 , X 2 , X 3，其一切可能取值 1 有3 27种，每一组观测值的概率相同，都为 。 27 下面，我们分别求出各顺序统计量的边缘分布， 说明上面结论的正确性。
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r n.
特别地，当r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
g( y1 ,, yn ) n! f ( y1 ) f ( yn )
X (1)与X ( 2)的联合分布列为
X ( 2) X (1)
0
7 27
0
一、顺序统计量及其分布
定义： 设X 1 , X 2 , , X n是取自总体X的样本，X ( i )称为
该样本的第i个顺序统计量，它的取 值是将样本 观测值，由小到大排列 后得到的第i个观测值，
其中
X (1) min(X1 , X 2 ,, X n )
称为该样本的
五、样本分位数与样本中位数
设X (1) ,, X ( n)是有序样本，则样本中 位数m0.5定义为 定义3：
n为奇数 X n1 2 1 X n X n n为偶数 1 2 2 2
最小顺序统计量， X( n) max(X1 , X 2 ,, X n ) 称为该样本的最大顺序统计量。
一般情况下，X (1) , X ( 2) ,, X ( n)既不独立，分布也不相 同。
例1： 设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布
X
0
1 3
1
1 3
2
1 3
P
现从中取出3个样本，X 1 , X 2 , X 3，其一切可能取值 1 有3 27种，每一组观测值的概率相同，都为 。 27 下面，我们分别求出各顺序统计量的边缘分布， 说明上面结论的正确性。
n! n r 1 F ( yr ) f ( y1 ) f ( yr ) g( y1 ,, yr ) ( n r n.
特别地，当r n时，X(1) ,, X( n)的联合密度函数为
g( y1 ,, yn ) n! f ( y1 ) f ( yn )
X (1)与X ( 2)的联合分布列为
X ( 2) X (1)
0
7 27
0
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§1.4 顺序统计量
≤≤≤=1212(1)(2)()
1212()()(1)(2)()12(,,,) (,,,),(,,,)(,,,),(1,2,,), (,,,)
(,,1.4.1 ,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序重新排列为
一、顺序统计量的定义
当取值为时定义取值为由此得到的
称为样本 定义(1)(2)()) (,,,).
.n n X x x x 的对应的成为其顺序统计量观察值
≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.
设总体的分布为样本极差.
例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .
max .
(,,,),,,.k n i i n
n i i n
n n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为
0, 1, 2
----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰
设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则
该分布参例数为 12(1)()2
1,()(1)(1)()12
2
(0,1),,,,(,)(,)(1)()
,0 1.
,001()(1)[3()]
(1)(1).
(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dy
n n r r n 的贝塔分布.
,2)。