统计分析复习题

6. 已知我国 14 岁女生的平均体重为 43.38kg，从该年龄的女生中随机抽取 10 名运动员测 其体重，得 39 36 43 43 40 46 45 45 42 41
经计算 x 42, s 2 37.95 ，问这些运动员的平均体重与 14 岁女生的平均体重的差异是
否显著？（ 0.05) (14 岁女生的体重 X ~ N (, 2 ) ). 7. 测量 20 位青年男子和 20 位老年男子的血压值，
1) 试求 和 2 的无偏估计的方差下界;
2) 证明 X 是参数 的无偏、有效、一致估计量； 14. N (, 2 ) ， 已知 2未知 ， X1, X 2 ,, X n 来自 X 的样本。
（1）求 2 的矩估计和最大似然估计。
（2）估计量 S 2

1 n
n i 1
(Xi
f
(
x)

1
0
0 x 其它
X1, X 2 ,, X n 为样本， X (n) max(X1, X 2 ,, X n ) ，
1）求随机变量 X (n) 的概率密度；
2）问ˆ maxX1, X 2 ,, X n 是否为 的无偏估计量？
17. 设总体 X 的概率密度为
7.设 X1, X 2 ,, X 2n 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本，则当 c＝
n
c ( X ni X i )2 为 2 的无偏估计。 i 1
时，
8. X ~ U[1 ,1 ] , 0 未知，设 X1, X 2 ,, X n 是从总体 X 抽取的一个样本， x1, x2 ,, xn 是样本观察值，
8.
1）随机变量
X
服从正态分布
N(,

2
)
，其矩母函数
X
(t)

E(etX
)

exp{t

1 2
2t 2} 。
试用矩母函数求出 X 的期望和方差。 2）随机变量 X 服从卡方分布 2 (n) ，其矩母函数 X (t) E(etX ) (1 2t)n/2 。
试用矩母函数求出 X 的期望和方差。
x
e
,
0,
x 0, 0 x 0,
1）试求参数 的极大似然估计量．
2）证明样本均值 X 是未知参数 的无偏、有效、一致估计量；
3.
X1,, X n 为总体 X 的样本， X 的密度函数为 f X (x)
{
c x ( 1)， 0,
x c ，其中 其他
c 为已知常数，求参数 的极大似然法估计量和矩法估计量。
f
(
x)

1
0
0 x 其它
X1, X 2 ,, X n 为样本， （1）求 的矩估计量ˆ1 和最大似然估计量ˆ2 ； （2）讨论ˆ1 、ˆ2 的无偏性，ˆ1 、ˆ2 是否为 的无偏估计量？若不是，求 ci 使得 ciˆi 为
的无偏估计量， i 1, 2 ；
)2
是不是 2 的优效估计？为什么？
15. 设总体 X 的概率分布为
X
-1
0
1
2
p
2
2 (1 )
2
1 2
其中 (0 1 ) 是未知参数,利用总体 X 的如下样本值 2 1 0 -1 0 2 2 -1 1
求 的矩估计值和最大似然估计值。
16. 设 X 服从 (0, ) 上的均匀分布，其密度函数为
（3）讨论ˆ1 、ˆ2 的相合性；
（4）比较 c1ˆ1 和 c2ˆ2 的有效性。 11. 设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为
f
(x)


1
e
_x
0
x0 x0
其中 0 为未知参数，今随机抽取 5 只，测得寿命如下：1150，1190，1310，1380， 1420。求电池的平均寿命 的最大似然估计值。
f
(x)

e (x 0,
)
,
x , 其它.
是未知参数, X1, X 2 ,, X n 是来自 X 的样本，

1）．求 的矩估计量1 ；

2）．求 的最大似然估计量2 ；


3）．1 和2 是不是 的无偏估计量（说明原因）？
检验 书上习题 4.16，4.17，4.20
10. 假设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分 别抽取了 8 件和 9 件产品，测其性能指标 X 得到两组数据，经对其作相应运算得
x1 0.190, s12 0.006, x2 0.238, s22 0.008
假设测定结果服从正态分布 X ~
其中 ij ~ N (0, 2 ) ，且所有 ij 相互独立。
（1）用矩阵和向量的形式表示此模型；
（2）求 (1,, a ) ' 的最小二乘估计 ˆ ，并计算协方差矩阵Var(ˆ ) 。
9. 某种导线，要求其电阻标准差不得超过 0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中取样 10 根，测得 s 0.007 欧姆。设总体为正态分布，问在水平 0.05 下，能否认为这批导
线的标准差显著地偏大？( 0.05 (9) 16.919, 0.95 (9) 3.325 。)
抽取 16 只内环，其平均高度 x 30.3 毫米. (1) 求内环的平均高度的置信度为 95% 的置信区间。 (u0.975 1.96,u0.95 1.65) (2) 设正常生产时的零件平均高度为 30 毫米( H0 : 30 毫米），试在显著性水平为 5％的条件下，
检验现在的样品是否为正常.
5. 某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布 N (, 2 ) ， 40cm / s , 2cm / s ．现在
用新方法生产了一批推进器．从中随机取 n=25 只，测得燃烧率的样本均值为 x 41.25cm / s ．设
在新方法下总体均方差仍为 2cm / s ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有 显著的提高？取显著性水平 0.05 .
Xn
和 Y1,Y2 ,,Yn
是两个样本，且有关系式： Yi

1 b
(Xi

a)
（a，b
均为常
数，
b

0
），试求两样本均值
X
和
Y
之间的关系，两样本方差
S
2 X
和
SY2
之间的关系.
3. 设 X1, X 2 ,, X5 是总体 X N (0,1) 的样本.
(1) 试确定 c1, d1 ，使得 c1( X1 X 2 )2 d1( X3 X 4 X5 )2 ~ 2 (n) ，并求出 n；
（1）求 的最大似然估计量ˆ ；
（2）ˆ 是不是 的无偏估计量？为什么？
（3）证明：ˆ

1 2
(
X (1)

X
(n)
)
是
的无偏估计量.
9. 设总体 X 的密度函数为 f (x)
{
(x) 1 ex， ( )
0,
当x 0时，， 其他。
和为未知参数，X1, X 2,, X n 为样本。试求和 的矩法估计量。 10. 设 X 服从 (0, ) 上的均匀分布，其密度函数为


0
，求
(X1 ( X1

X2 )2 X2 )2
的分布；
（3）方差 2 的置信度为1 的置信区间的长度记为 L ，求 E(L) ；
（4） X n1 是对总体的又一次独立观察，求统计量
n X X n1 的分布。 n1 S
13. 设 X1, X 2 ,, X n 是正态总体 X ~ N (, 2 ) 的样本，
青年男子：总体 X ~ N (1, 12 ) 经算 x 128, s12 193.3684 ，
老年男子：总体Y ~ N (2 , 22 ) 经算 y 1137, s12 937.6842 ，
问老年男子血压值个体间的波动是否显著地高于青年男子（ 0.05) ）
8. 在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生 的成绩，算得样本均值 x 66.5 分，样本标准差 s 15 分。问在水平 0.05 下，是否 可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？
（1）样本均值 X 的绝对值大于 13 的概率是多少？
（2）样本的极大值 X (16) max( X1, X 2 ,, X16 ) （最大顺序统计量）大于 16 的概率是
多少？
7. 随机变量 X 与Y 都服从正态分布，判断命题“ X 与Y 相互独立 X 与Y 不相关” 是否正确。如果正确，给出证明；如果错误，举出反例。
1.某商业中心有 5000 部电话，在上班的第一小时内打电话的人数和次数如下：
打电话次数 0
12
3
4 5 6 7 8
相应的人数 1875 1816 906 303 82 15 1 2 0
试检验打电话的次数是否符合 Poisson 分布。
2.
3.
4. 设正常生产时，轴承内环的锻压零件的平均高度 服从正态分布 N (,0.16) . 现从中
12. 设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 N (, 2 ) 的样本, 总体均值 和方差 2 未知，样本
均值和方差分别记为
X

1 n
n i 1
Xi,S2

1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
（1）
求1 2
n
( Xi )2 的分布；
i 1
（2）若
X (1 )S 2 都是参数 的无偏估计量.
6. 设总体 X 的数学期望和方差都存在, X1, X 2 , X 3 是 X 的样本, 证明统计量
ˆ1

X1 2

X2 3

X3 6
,
ˆ 2

X1 2

X2 4

X3 4
,
ˆ 3

X1 3

X2 3

X3 3
.
都是总体均值 E( X ) 的无偏估计量, 并确定哪个估计量更有效.
1）求随机变量 X (1) 的概率密度；
2） 求随机变量 X(n) 的概率密度；
3） 求 X (1) 与 X (n) 的联合密度；
5.
Y1,Y2 ,,Yn
是来自总体
X (1) 的一个样本，求样本方差
S2

1 n 1
n i 1
(Yi
Y )2
的期望。
6.设总体 X 服从正态分布 N (12, 4) ，今抽取容量为 16 的一个样本 X1, X 2,, X16 ，试问：
估计 1．设随机变量 服从 Poisson 分布：
P k ke , k 0, 1, 2,
k!
其中 0 是一未知参数，求 的矩估计与极大似然估计. 2. 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的一个样本，总体 X 的概率密度为
f
(
x,
)

1
统计分析复习题
概率论与数理统计的基本概念 1. 设 X1, X 2 ,, X 6 来自总体 N (0, 1) 的样本，设
Y a( X1 X 2 )2 b( X 3 X 4 X 5 X 6 )2 ，则当 a＝
b＝
，Y 服从自由
度为____的_______分布。
2.
设
X1,
X 2 ,,
4. 设T1 和T2 分别是参数 的可估计函数 g1( ) 及 g2 ( ) 的最优无偏估计量。试证
b1T1 b2T2 是 b1g1 ( ) b2 g 2 ( ) 的最优无偏估计量，其中 b1 和 b2 是常数。
5. 设 X1, X 2 ,, X n 是总体 X ~ P() 的样本, 证明对于任意常数 , 统计量 X , S 2 ,
i
,

2 i
i 1, 2 ，
1)．在显著性水平

0.10
下，能否认为

2 1


2 2
？
2)．求 1 2 的置信度为 90%的置信区间，并从置信区间和假设检验的关系角度分 析甲乙两厂生产产品的性能指标有无显著差异。
方差分析
1. 对单因子方差分析均值模型 Yij i ij , i 1, 2,, a; j 1, 2,, ni
(2)
试确定
c2
Biblioteka Baidu
，使得
c2
( X12

X
2 2
)
/
(X3

X4

X 5 )2
~
F (m, n)
，并求出
m,
n.
4. 设总体 X 服从 (0,1) 上的均匀分布， X1, X 2,, X n 是来自总体 X 的一个样本，最小顺
序统计量 X (1) min( X1, X 2 ,, X n ) ，最大值顺序统计量 X (n) max( X1, , X n ) 。求