1.3.2 函数的基本性质
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
2. 奇函数与偶函数图象的对称性 如果一个函数是奇函数，则这个函 数的图象以坐标原点为对称中心的中心 对称图形. 反之，如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图形， 则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图 形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之， 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这 个函数是偶函数.
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y＝g (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
1.3.2 函数的基本性质 ——奇偶性
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？ 2. 请分别画出函数f (x)＝x3与g(x)＝x2的 图象.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中“任意”二字，说明函
数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，
它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
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(偶) (非奇非偶) (奇)
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练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 (对) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 (错) 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数. (对)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
Baidu Nhomakorabea
(偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数) 既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练 习
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？ (不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 (对) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 (错) 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0. (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(偶函数)
(非奇非偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数)
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 (对) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2； (3) h (x)＝x3＋1； (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
既不是奇函数也不是偶函数.
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2； (3) h (x)＝x3＋1； (4) k ( x )
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x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
练 习
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练 习
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？ (不能为奇函数但可以是偶函数)
奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
问题3：结合函数f (x)＝x3的图象回答以 下问题： (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的 点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标 是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象 上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，能否判断它 的奇偶性？
归 纳：
(1)根据定义判断一个函数是奇函数 还是偶函数的方法和步骤是： 第一步先判断函数的定义域是否关
于原点对称；
第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断
f (－x)＝－f (x).
归 纳：
(2)对于一个函数来说，它的奇偶性
有四种可能：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
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(偶) (非奇非偶)
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x ；
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
2. 奇函数与偶函数图象的对称性
2. 奇函数与偶函数图象的对称性 如果一个函数是奇函数，则这个函 数的图象以坐标原点为对称中心的中心 对称图形. 反之，如果一个函数的图象是 以坐标原点为对称中心的中心对称图形， 则这个函数是奇函数. 如果一个函数是偶函数，则它的图 形是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之， 如果一个函数的图象关于y轴对称，则这 个函数是偶函数.
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
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1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数. 偶函数：设函数y＝g (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数)
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(偶) (非奇非偶) (奇)
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
1.3.2 函数的基本性质 ——奇偶性
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？ 2. 请分别画出函数f (x)＝x3与g(x)＝x2的 图象.
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义
讲授新课
1. 奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f (x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任 意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的 一个性质？与单调性有何区别？
强调定义中“任意”二字，说明函
数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，
它不同于函数的单调性 .
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
问题2：－x与x在几何上有何关系？具有 奇偶性的函数的定义域有何特征？
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
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(偶) (非奇非偶) (奇)
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(偶)
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 (对) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 (错) 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数. (对)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
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(偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5；
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数) (既是奇函数又是偶函数)
(4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；(非奇非偶函数) 既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练 习
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？ (不能为奇函数但可以是偶函数)
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 (对) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 (错) 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0. (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]；
(偶函数)
(非奇非偶函数)
判断下列函数的奇偶性；
(1) f (x)＝x＋x3＋x5； (奇函数)
(2) f (x)＝x2＋1；
(3) f (x)＝x＋1； (5) f (x)＝0.
(偶函数)
(非奇非偶函数)
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
1 x 1
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x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
练 习 2. 判断下列论断是否正确
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点 对称，则这个函数关于原点对称且这 (错) 个函数为奇函数； (2)如果一个函数为偶函数，则它的定义 (对) 域关于坐标原点对称. (3)如果一个函数定义域关于坐标原点对 称，则这个函数为偶函数； (4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2； (3) h (x)＝x3＋1； (4) k ( x )
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x [1, 2]；
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
1 x 1
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x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
既不是奇函数也不是偶函数.
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2； (3) h (x)＝x3＋1； (4) k ( x )
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(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )
练 习
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
4. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练 习
3. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？ (不能为奇函数但可以是偶函数)
奇函数与偶函数的定义域的特征是 关于原点对称.
问题3：结合函数f (x)＝x3的图象回答以 下问题： (1)对于任意一个奇函数f (x)，图象上的 点P (x，f (x))关于原点对称点P'的坐标 是什么？点P'是否也在函数f (x)的图象 上？由此可得到怎样的结论. (2)如果一个函数的图象是以坐标原点为 对称中心的中心对称图形，能否判断它 的奇偶性？
归 纳：
(1)根据定义判断一个函数是奇函数 还是偶函数的方法和步骤是： 第一步先判断函数的定义域是否关
于原点对称；
第二步判断f (－x)＝f (x)还是判断
f (－x)＝－f (x).
归 纳：
(2)对于一个函数来说，它的奇偶性
有四种可能：
是奇函数但不是偶函数；
是偶函数但不是奇函数；
既是奇函数又是偶函数；
1 x 1
2
(偶) (非奇非偶)
3
x ；
.
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－x2；(偶) (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶) (4) k ( x )
1 x 1
2
x [1, 2]； (非奇非偶)
(5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； (6) g (x)＝x (x＋1)； (7) h( x ) x (8) k ( x )