指数与指数函数
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指数与指数函数
A 级——夯基保分练
1．设a >0，将
a 2a ·3a 2
表示成分数指数幂，其结果是( )
A ．a 12
B ．a 56
C ．a 76
D ．a 32
解析：选C 由题意
a 2a ·3a 2
＝a 2－12－
1
3＝a 76.故选
C.
2．已知函数f (x )＝4＋2a x －1
的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )
A ．(1，6)
B ．(1，5)
C ．(0，5)
D ．(5，0)
解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x
－1
的图象恒过定点P (1，6)．
3.函数f (x )＝a x
－b
的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论
中正确的是( )
A ．a >1，b <0
B ．a >1，b >0
C ．0 D ．0 解析：选D 法一：由题图可知0 b ∈(0，1)，故－b >0，得b <0.故选D. 法二：由题图可知00，则b <0.故选D. 4．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧1－2－ x ，x ≥0， 2x －1，x <0，则函数f (x )是( ) A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增 B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减 C ．奇函数，且单调递增 D ．奇函数，且单调递减 解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－ x －1，此时－x <0，则f (－x )＝2－ x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1－2 －(－ x ) ＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C. 5．(多选)已知a ＋a － 1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( ) A ．a 2＋a － 2＝7 B ．a 3＋a － 3＝18 C ．a 12 ＋a －1 2 ＝±5 D ．a a ＋ 1a a ＝2 5 解析：选ABD 在选项A 中，因为a ＋a － 1＝3，所以a 2＋a － 2＝(a ＋a － 1)2－2＝9－2＝7，故A 正确；在选项B 中，因为a ＋a － 1＝3，所以a 3＋a － 3＝(a ＋a － 1)(a 2－1＋a － 2)＝(a ＋a － 1)·[(a ＋a －1 )2－3]＝3×6＝18，故 B 正确；在选项 C 中，因为a ＋a －1 ＝3，所以(a 12 ＋a －12 )2＝a ＋a － 1＋2＝5，且 a ＞0，所以a 1 2 ＋a －12 ＝5，故C 错误；在选项D 中，因为a 3＋a － 3＝18，且a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2 ＝a 3＋a － 3＋2＝20，所以a a ＋1a a ＝25，故D 正确． 6．(多选)已知实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，下列选项有可能成立的是( ) A ．0＜b ＜a B ．a ＜b ＜0 C ．0＜a ＜b D ．b ＜a ＜0 解析：选AB 实数a ，b 满足等式18a ＝19b ，即y ＝18x 在x ＝a 处的函数值和y ＝19x 在x ＝b 处的函数值相等，由下图可知A ，B 均有可能成立． 7．化简：（a 23 ·b －1 ）－12·a －12 ·b 1 3 6 a · b 5 (a >0，b >0)＝________． 解析：原式＝a －13·b 12 ·a －12·b 13 a 16· b 5 6 ＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1 a . 答案：1 a 8．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________． 解析：当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[]－1，0上为增函数，由题意得⎩ ⎪⎨⎪ ⎧a － 1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无 解．当0 ＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧a － 1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2， 所以a ＋b ＝－3 2 . 答案：－3 2 9．(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋ 1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________． 解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋ 1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a |x ＋ 1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)． 答案：(1，＋∞) f (－4)＞f (1) 10．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．