数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)
第2章数列极限§1 实数系的连续性1．（1）证明不是有理数；（2）是不是有理数？证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有，所以min B不存在．max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．3．A，B是两个有界集，证明：（1）A∪B是有界集；（2）也是有界集．证明：（1）设，有，有，则，有．（2）设，有，有，则，有．4．设数集S有上界，则数集有下界．且．证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．5．证明有界数集的上、下确界惟一．证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．7．证明非空有下界的数集必有下确界．证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．8．设并且，证明：（1）S没有最大数与最小数；（2）S在Q内没有上确界与下确界．证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这说明，与矛盾；（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．同理可证S没有下确界．§2 数列极限1．按定义证明下列数列是无穷小量：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（8）．证明：（1），取，当n>N时，成立．（2），取，当时，成立．（3），取，当时，成立；取，当时，成立，则当时，成立．（4），取，当n>N时，成立．（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．（7），取，当n>N时，成立（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．2．按定义证明下述极限：证明：（1），取，当时，成立（2），取，当时，成立（3），取，当n>N时，成立（4）令，则．当n>3时，有所以，取，当时，成立．（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．证明：设，则，成立，于是也成立，所以；设，则，成立，取，则，成立，所以．5．设，证明：．证明：由可知，成立，成立．于是，成立．6．设．且，证明：．证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章
解 (1) S = {( x, y ) x > 0, y ≠ 0}； ∂ S = {( x, y ) x = 0或 x > 0, y = 0};
S = {( x, y ) x ≥ 0}。
2 2 2 2 2 2 (2) S = ( x, y ) 0 < x + y < 1 ; ∂ S = ( x, y ) x + y = 0或 x + y = 1 ;
（1）S = ⎨(−1) k
⎧
解 (1) S' = {± 1} 。 (2) S' = ∅ 。
以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 R 2 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 R 2 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0, 0)} 是 R 2 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明 S ⊂ R n 的所有内点组成的点集 S 必是开集。 证 假 设 x ∈ S ， 则 ∃δ > 0 ， O ( x , δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O ( x , δ ) ， 由 于
网
lim (αx k + β y k ) = α lim x k + β lim y k 。
k →∞ k →∞
后 答
案
4.
求下列 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {( x, y ) | x > 0, y ≠ 0} ； （2）S = {( x, y ) | 0 < x 2 + y 2 ≤ 1} ；
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--15章
f (ξ , y K ) − φ (ξ ) <
ww
成立
w. kh d
。
2
ε0
网
( f ( xn , y K ) − φ ( xn ) ) − ( f (ξ , y K ) − φ (ξ )) <
aw .
2 注意 lim y n = y 0 ，取足够大的 K 使得 −δ < yK − y0 < 0 ，从而
（2） ∫02 ln
π
a a 1 + a sin x dx dy dx 2 = 2∫ 2 dx ∫ = 2 dy ， ∫ ∫ 0 0 1 − y 2 sin 2 x 0 0 1 − y 2 sin 2 x 1 − a sin x sin x
π
π
∫
2 0
=
π
2 1− y
2
，
所以
4.
求下列函数的导数： （1） I ( y ) = ∫ y e − x y dx ；
，
这与 f ( xn , y n ) − φ ( xn ) ≥ ε 0 ， (n = 1,2,") 矛盾。 3. 用交换积分顺序的方法计算下列积分：
1 1 ⎞ xb − xa ln dx (b > a > 0) ； （1） ∫0 sin⎛ ⎟ ⎜
⎝ x ⎠ ln x 1 + a sin x dx （2） ∫02 ln (1 > a > 0) 。 1 − a sin x sin x b a 1 1 b b 1 ⎛ 1⎞ x − x ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ dx = ∫ sin ⎜ ln ⎟dx ∫ x y dy = ∫ dy ∫ x y sin ⎜ ln ⎟dx ， 解（1） ∫0 sin⎜ ln ⎟ 0 a a 0 ⎝ x ⎠ ln x ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ 1 y 1 1 1 y ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞1 ⎛ 1⎞ y +1 = + sin ln x x cos⎜ ln ⎟dx sin ln x dx ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫ ∫0 0 y +1 ⎝ x⎠ ⎝ x ⎠ 0 y +1 ⎝ x⎠
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--12章
5
aw .
⎛ x2 y2 + 2 2 b ⎝a
co m
解
在 ( x, y ) ≠ (0,0) 点, 函数值增长最快的方向为 grad f = ( y, x) ; 在 (0,0) 点, 由于梯度为零向量，不能直接从梯度得出函数值增长
最快的方向。设沿方向 v = (cos α , sin α ) 自变量的改变量为
⎛ x2 ∂z 2 x = sec 2 ⎜ ⎜ y ∂x y ⎝
2 ⎞ ∂z x2 2⎛ x ⎞ ⎜ ⎟。 ⎟， = − sec ⎜ y ⎟ ⎟ ∂y y2 ⎝ ⎠ ⎠
∂z 1 x y y x y x y x x y 1 ∂z = cos cos + 2 sin sin ， = − 2 cos cos − sin sin 。 ∂x y y x x y x y x ∂y y x x y
案
网
n ∂u = ∑ aij xi , ∂y j i =1
∂u = ai , i = 1,2, " , n 。 ∂xi
n
∑ aij y j , i = 1,2,", n ，
ww
x
z z z ∂u ∂u ∂u = zy z −1 x y ln x ， = y z x y −1 ， = y z x y ln x ln y 。 ∂x ∂y ∂z
（6） u = ln( x 2 + y 2 + z 2 ) 。
co m
5. 求下列函数在指定点的全微分： （1） f ( x, y ) = 3 x 2 y − xy 2 ，在点 (1,2) ； （2） f ( x, y ) = ln(1 + x 2 + y 2 ) ，在点 (2,4) ；
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--16章
f ( x ) sin nxdx = π ∫π
−
1
π
2(1 − cos(nπ )) ，( n = 1, 2,3, nπ sin( 2k − 1) x 。 π k =1 2k − 1 4
)。
f ( x) ∼
∑
∞
（2） f ( x) 为偶函数，所以 bn = 0 ， （ n = 1, 2,3, ） ，
(a)
−
an =
f ( x ) cos nxdx = − π ∫π π (n
− 1
1
π
2A ( n = 2, 4, 6, 2 − 1)
w. kh d
解 （1） a0 =
f ( x) dx = π ∫π
1
1
π
2A
π ，
π
1
−
1
−
1
bn =
后 答
f ( x ) sin nxdx = 0 ，( n = 2,3, 4, π ∫π
(a − b)(1 − (−1) n ) ，( n = 1, 2,3, π n2
(a + b) cos(nπ ) ，( n = 1, 2,3, n
), )。
f ( x) sin nxdx = − π ∫π
−
π
∞ ( −1) n +1 (a − b)π 2(a − b) ∞ cos(2k + 1) x + + ( a + b) ∑ sin nx 。 f ( x) ∼ − ∑ 2 n π 4 n =1 k =0 (2k + 1)
案
网
n 1 − (−1) n e −2π sin nx 。 ∑ π n=1 n2 + 4 2
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--8章
www网案答后课第八章 反常积分习 题 8.1 反常积分的概念和计算⒈ 物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所做的功为电场在该点处的电位。
一个带电量+q 的点电荷产生的电场对距离r 处的单位正电荷的电场力为F kqr =2（k 为常数），求距电场中心x 处的电位。
∞图8.1.4解 ∫+∞==xx kq dr rq kU 。
2]⒉ 证明：若和收敛，k 为常数，则也收敛，且∫+∞a dx x f )(∫+∞a dx x g )(k 12和[∫+∞+a dx x g k x f k )()(21∫∫∫+∞+∞+∞+=+aaadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121。
证 设∫，，则+∞a dx x f )(∫+∞→=A a A dx x f )(lim ∫+∞a dx x g )(∫+∞→=Aa A dx x g )(lim []∫+∞+a dx x g k x f k )()(21[]∫+=+∞→AaA dx x g k x f k )()(lim 21 ∫+∞→=AaA dx x f k )(lim1∫+∞→+AaA dx x g k )(lim2∫∫+∞+∞+=a a dx x g k dx x f k )()(21。
⒊ 计算下列无穷区间的反常积分（发散也是一种计算结果）：⑴e sin −+∞∫205x xdx ;⑵e cos −+∞∫302x xdx ;⑶112x x dx ++−∞+∞∫;⑷122220()()x a x b dx +++∞∫)0,0(>>b a ;⑸∫∞+∈0)(e 2R a dx x ax ;⑹)(ln 12R ∈∫∞+p dx xx p;课后答案网ww w.kh da w.co m⑺11232()/x dx +−∞+∞∫;⑻12(e e )x x dx +−+∞∫;⑼1140x dx ++∞∫； ⑽ln xx dx 12++∞∫。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)章节题库-数项级数(圣才出品)
由数学归纳法即可看出式子成立． 12．求下列级数的和：
同理
解：（1）由公式
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，
所以
其部分和
故 （2）设
，两边同乘以
得
解得
故
（3）此级数通项趋于 0，因此只需求 的极限即可．利用公式
（其中 c 为尤拉常数
）有
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（1）先证：
用 sn 表示级数的前 n 项部分和，注意到 an>0，则有
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由于级数
收敛，所以
，因此
，并且容
易看出
（2）再证：
事实上，对任意的正整数 n，存在唯一的正整数 m，使得 m2≤n<（m+1）2．由 单调递减，可得
由
可得
于是有
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由此可见，当 p>0 时，级数收敛；当 p≤0 时，级数发散．
4．设{pn}为正数列，证明：若级数
收敛，则级数
也
收敛． 证明：用收敛原理．引进记号 q0=0，
下面估计部分和数列的上界．令
则
由柯西不等式，有 代入上式可得
14．若级数
与 都收敛，且不等式
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成立，证明级数
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也收敛．又若 与
都发散，试问
一定发散吗？
证明：（1）方法一：
，由
与
都收敛知，存在正整数 N，当 n＞N 及
对任意正整数 p 都有
陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(集合与映射)
第 1 章 集合与映射
§1 集 合
1．证明由 n 个元素组成的集合 证明：由 k 个元素组成的子集的个数可列式为
有 个子集．
2．证明：
（1）任意无限集必包含一个可列子集；
（2）设 A 不 B 都是可列集，证明 A U B 也是可列集．
6．举例说明集合运算丌满足消去律： （1） （2） 其中符号 表示左边的命题丌能推出右边的命题． 解：（1）设 A＝{a，b，c}，B＝{b，c，d}，C＝{c，d}，则 （2）设 A＝{a，b，c}，B＝{c，d，e}，C＝{c，d}，则
，但 B≠C． ，但 B≠C．
7．下述命题是否正确？丌正确的话，请改正．
（4）{a，b，{a，b}}＝{a，b}．
解：（1）{0}是由元素 0 构成的集合，丌是空集．
（2）a 是集合{a，b，c}的元素，应表述为 a∈{a，b，c}．
（3）{a，b}是集合{a，b，c}的子集，应表述为
．
（4）{a，b，{a，b}}是由 a，b 和{a，b}为元素构成的集合，故
，
或{a，b}∈{a，b，{a，b}}，但{a，b，{a，b}}≠{a，b}．
4．用集合符号表示下列数集：
（1）满足
的实数全体；
（2）平面上第一象限的点的全体；
（3）大于 0 并且小于 1 的有理数全体；
（4）方程 sinxcot x＝0 的实数解全体．
解：（1）｛x|－2＜x≤3｝．
（2）｛（x，y）|x＞0 且 y＞0｝．
（3）｛x|0＜x＜1 且 x∈Q｝|．
（4）
．
5．证明下列集合等式： （1） （2）
故
．
数学分析课本-习题及答案第九章
第九章 定积分一、填空题=-++-+-∞→_41241141(lim 22222nn n n n Λ2．=+⎰⎰→x xt x dtttdtt 0sin 01sin )1(lim__________3．[]=⎰-222,1max dx x __________4．设⎰+=xdt tt x f 02sin 1cos )(，则=+⎰202)(1)('πdx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且⎰--=2123)(x x dt t f ，则=)2(f ___________6．=+-⎰→421ln sin limx x tdt xx _________7．=++⎰-dx x xx 2222)cos 1(sin ππ______________ 8．[]⎰-=-++-11)()(22lndx x f x f xx_________，其中)(x f 连续。
10．设0)()(21=-+⎰x x f dx x f ，则=⎰1)(dx x f _______________11．若⎰=+101sinb dx xx，则=+⎰102)1(cos dx x x _________ 12．设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dxd 022)(____________ 13．=⎰022cos xdt t x dx d ______________ 14．=-⎰ππ222cos sin dx x x ____________15．=+-⎰-dx x x 112cos 21sin αα____________16．[]=-⎰π2sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________17．设)(x f 有一个原函数x xsin ，则=⎰ππ2)('dx x xf ____________18．若1≤y ，则=-⎰-11dx ey x x___________19．已知2)2(x xex f =，则=⎰-11)(dx x f ________20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则=')0(F21．设⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<--=⎰-x x x x dt t x x x e x f 0322 0 sin 0 31)(则=→)(lim 0x f x22．函数dt t t t x x⎰+--=2112)(ϕ在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为23．若已知)(x f 满足方程⎰--=xdx x f x x x f 022)(13)(，则=)(x f24．已知函数)1( )1()(1-≥-=⎰-x dt t x f x，则)(x f 与x 轴所围成的面积为25．函数221x x y -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23 ,21上的平均值为二、选择填空 1．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则=''⎰10)2(dx x f x ______________3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则()⎰+++lk a kla dx x f )1(之值( )A.仅与a 有关B.仅与a 无关C.与a 及k 均无关D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数与2x 进等价无穷小，则必有( )(其中f有二阶连续导数)。
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)课后习题(第1~4章)【圣才出品】
13．试求定义在[0，1]上的函数，它是[0，1]与[0，1]之间的一一对应，但在[0，1]的 任一子区间上都不是单调函数．
解：
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第 2 章 数列极限
§1 实数系的连续性
（2）
；
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（3）{a，b}∈{a，b，c}；
（4）{a，b，{a，b}}＝{a，b}．
解：（1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集．
（2）a 是集合{a，b，c}的元素，应表述为 a∈{a，b，c}．
（3）{a，b}是集合{a，b，c}的子集，应表述为
．
（4）{a，b，{a，b}}是由 a，b 和{a，b}为元素构成的集合，故
＝（1，－1），C＝（3，2），D＝（4，0）．
解：
11．设 f（x）表示图 1-1 中阴影部分面积，写出函数 y＝f（x），x∈[0，2]的表达式．
解：
图 1-1
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12．一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，密度分别为 13.6g／cm3，1g／cm3，0.8g ／cm3，如图 1-2，上层煤油液体高度为 5cm，中层水液体高度为 4cm，下层汞液体高度 为 2cm，试求压强 P 与液体深度 x 之间的函数关系．
，但 B≠C． ，但 B≠C．
7．下述命题是否正确？不正确的话，请改正．
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（1）
并且 x∈B；
（2）
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--2章
数列极限
1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎨
⎧ n +1 ⎫ ⎬； 2 ⎩ n + 1⎭ 1 ⎩n
⑵ { ( −1) n (0.99) n }； ⑷ ⎨
⎧1 + 2 + 3 + n3 ⎩ + n⎫ ⎬； ⎭
⎧ −n ⎫ ⑶ ⎨ + 5 ⎬； ⎭
⑺ ⎨
⎧ n! ⎫ ； n ⎬ ⎩n ⎭ 2
⎧ ⑻ ⎨ − 1 ⎩n
hd
（2） ∀ε (0 < ε < 1) ，取 N = ⎢
n n
⎡ lg ε ⎤ ⎥ ，当 n > N 时，成立 ⎣ lg 0.99 ⎦
lg ε lg 0.99
案 网
(−1) (0.99) < (0.99)
后 答
2⎤ 2⎤ 1 ε ⎡ n > N 取 N1 = ⎡ ， 当 时， 成立 ； 取 （3） = ∀ε (0 < ε < 2) ， N log < 1 2 5 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥， ⎣ε ⎦ n 2 ⎣
α
2
案 网
（1）的结论矛盾。
ww w
9
3+ 2 =
m2 m2 5 m ，于是 3 + 2 6 + 2 = 2 ， 6 = 2 − ，即 6 是有理数，与 2 n n 2n
.k
hd
aw .c om
max C 与 min C 都不存在，因为 ∀
n n n +1 ，所以 max C 与 min C 都不存在。 < < m +1 m m +1
n n n +1 ∈ C ，有 ∈C ， ∈C ， m m +1 m +1
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--3章
解（1） ∀x > 0 ，当
课
后 答
aw .c om
1
1
1
1
1
n→∞
（2）当 n ≤ x < n + 1 ，有 n n+1 < x x < (n + 1) n 。由 lim n n+1 = 1 与 lim (n + 1) n = 1 ，
n→∞
得到
x →+∞
lim
1 xx
= 1。
4. 利用夹逼法证明：
⑶ lim x →3
⑷ lim x →∞
于是对任意的 ε > 0 ，取 δ = min ⎧ ⎨1,
x 3 − 8 < 19 x − 2 < ε ，所以
⎬ > 0 ，当 0 < x − 2 < δ 时，成立 ⎩ 19 ⎭
ε⎫
x →2
.k
lim x 3 ＝8。
hd
x−4 ≤ 1 x − 4 ，于是 2
（2）首先函数 x 的定义域为 x ≥ 0 ，且 x − 2 =
案 网
x→0+
ww w
D (x) = ⎨
(2) lim e x sin x ;
x →∞
.k
(3) Dirichlet 函数
1 (3) lim x sin ; x →+∞ x
1⎞ (4) lim ⎛ ⎜1 + ⎟ ; x →∞ x⎠ ⎝
⎛ 1 ⎡1⎤⎞ 1 ⎞ − ⎢ ⎥⎟ ; (6) lim ⎜ ⎟。 2 ⎟ x →0+ ⎜ x x ⎠ ⎣x⎦⎠ ⎝ ⎝ sin x 解（1） lim = 0。 x →∞ x （2） lim e x sin x = 0 ， lim e x sin x 极限不存在，所以 lim e x sin x 极限不
数学分析习题答案(陈纪修第二版)
解（1）不正确。 x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A 或者 x ∈ B 。 （2）不正确。 x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A 并且 x ∈ B 。
(A ∪ B)C ⊃ AC ∩ BC 。 ⒍ 举例说明集合运算不满足消去律：
(1) A ∪ B = A ∪ C ≠> B = C ； (2) A ∩ B = A ∩ C ≠> B = C 。 其中符号“ ≠> ”表示左边的命题不能推出右边的命题。
解 （1）设 A = {a,b,c}，B = {b,c, d}，C = {c, d}，则 A∪ B = A ∪ C ，但 B ≠ C 。 （2）设 A = {a,b,c}， B = {c, d,e}， C = {c, d}，则 A∩ B = A ∩ C ，但 B ≠ C 。
并且或者 x ∈ B ，或者 x ∈ D ，即 x ∈ A ∩ (B ∪ D) ，因此
A ∩ (B ∪ D) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ D) 。
2
（2）设 x ∈ ( A ∪ B)C ，则 x∈A ∪ B ，即 x∈A 且 x∈B ，于是 x ∈ AC ∩ BC ，因 此
(A ∪ B)C ⊂ AC ∩ BC ； 设 x ∈ AC ∩ BC ，则 x∈A 且 x∈B ，即 x∈A ∪ B ，于是 x ∈ ( A ∪ B)C ，因此
解（1）{x | −2 < x ≤ 3}。
（2）{(x, y) | x > 0且 y > 0}。
（3）{x | 0 < x <1且 x ∈Q}。
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n →∞ n
所以
课
后 答
（3） S n = ∑
1 1 1 1 1 n ⎛1 2 1 ⎞ 1 = ∑⎜ − + + )， ⎟ = (1 − − 2 k =1⎝ k k + 1 k + 2 ⎠ 2 2 n +1 n + 2 k =1 k ( k + 1)( k + 2)
案
网
（2）因为 lim x n =
∞
案
网
（9） ∑ q e
n
k ikθ
1 − qe iθ = 1 − qe iθ
( )
n +1
，由 | q |< 1 ，得到
n
= lim
∑ q k e ikθ n→∞
k =0
课
利用 Euler 公式 e iθ = cosθ + i sin θ ，对上式两边取实部，得到
n =0
∑ q n cos nθ
∞
n →∞ n →∞
（5） lim x n = 5 ， lim xn = −5 。
n →∞
n →∞
对 一 切 n > N 成 立 ， 且 {x n } 中 有 无 穷 多 项 ， 满 足 x n < η + ε ； 于 是 − x n < −η + ε 对 一 切 n > N 成 立 ， 且 {− x n } 中 有 无 穷 多 项 ， 满 足 − x n > −η − ε ；于是 lim (- x n )= − η = - lim x n 。
n
n
;
∑(
∑q
n =0 n
n + 2 − 2 n +1 + n) ;
cos nθ
n
( | q |< 1 ).
解 （1） S n = ∑
1 1 n ⎛1 1 ⎞ 1 1 1 1 − ) ，所以 = ∑⎜ − ⎟ = (1 + − 2 k =1⎝ k k + 2 ⎠ 2 2 n +1 n + 2 k =1 k ( k + 2)
n→∞
= lim ( x n + y n ) − lim xn ，
两式结合即得到
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
课
n →∞
n→∞
案
n→∞
网
n→∞
4. 证明：若 lim x n = x， − ∞ < x < 0 , 则 n →∞ （1） lim ( x n y n )= lim x n ⋅ lim y n ；
1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x n =
n 2 nπ ； cos 2n + 1 5
(2) x n = n + (-1)n (4) x n = 。
π
5
n
(3) x n = -n [ (-1)n + 2]； (5) x n = 2 (-1)n+1 +3 (−1)
n →∞
n ( n −1) 2
n→∞
（2）若 lim x n 存在，则由（1） ，
n →∞
lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ，
且
n→∞
后 答
lim y n = lim [( x n + y n ) − x n ] ≥ lim ( x n + y n ) + lim (− x n )
n→∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n →∞
w. kh d
lim x n , c < 0. ⎪c n →∞ ⎩
n→∞
3 3 ， lim xn = 1 − 。 2 2 n →∞
（2） 设 c > 0 ， lim x n = ξ ，则对任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，使 n→∞ 得 x n < ξ + 对一切 n > N 成立，且 {x n }中有无穷多项，满足 x n > ξ − ；
= 3× 8 + 6 +
1
4 n +3 4n+4 ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 4n+2 478 ⎛1⎞ ⎛1⎞ 。 7 + 3 + 6 ⎥ = 30 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∑⎢ ⎜ ⎟ 4095 8 8 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n =0 ⎣ ⎢ ⎥ ⎦ ∞
∞
4. 设 xn = ∫0 x 2 (1 − x) n dx ，求级数 ∑ x n 的和。
n→∞
4
c c 是 cx n < cη + ε 对 一 切 n > N 成 立 ， 且 {cx n } 中 有 无 穷 多 项 ， 满 足
xn > η +
ε
对一切 n > N 成立，且 {x n }中有无穷多项，满足 x n < η − ；于
ε
cx n > cξ − ε ；所以 lim ( cxn ) = cη = c lim x n 。
n→∞ }是有界数列给出证明。 则对任意给定的 ε > 0， 存在正整数 N， 使得 x n > η − ε （1） 设 lim x n =η ，
n→∞
案
网
(1) lim (- x n ) = - lim x n ； n →∞
ww
2. 证明：
⎧ c limx n , c > 0, n →∞ (2) lim (c x n ) = ⎪ ⎨
n =1
0
于是
Sn =
k =1
∑ xk ∑ xn
∞
n
=
1 1 1 1 ， − − + 2 3 n+2 n+3 1 。 6
所以
n =1
= lim S n =
n →∞
5. 设抛物线 l n ： y = nx 2 +
1 1 ′ ： y = (n + 1) x 2 + 和 ln 的交点的横坐标 n n +1
第九章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
2 ≠ 0 ，所以级数发散。 3
S = lim S n =
n →∞
ww
n
S = lim S n =
⎛1⎞ ⎛1⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ n 1 1 ⎞ 1 ⎝ 2 ⎠ − 1 ⋅ ⎝ 3 ⎠ ，所以 （4） S n = ∑ ⎛ ⎜ k − k⎟= ⋅ 1 3 3 ⎠ 2 1− 1 k =1⎝ 2 1− 2 3
∞
w. kh d
1 1 ′ ： y = (n + 1) x 2 + 和 ln 的 n n +1
，于是
aw .
co m
解
x n = ∫ x 2 (1 − x) n dx = ∫
1
1 n x (1 − 0
x) 2 dx =
1 2 1 ， − + n +1 n + 2 n + 3
习
题
9.2
上极限与下极限
整数 N1 ，对一切 n > N 1 ，成立 记 lim y n = H ， lim y n = h ，则对上述 ε (0 < ε < − x) ，存在正整数 N 2 ，对 n→∞
n→∞
w. kh d
n→∞ n→∞
5
aw .
x n + y n > h1 + h2 − ε ，
co m
ε
ε
一切 n > N 2 ，成立 取 N = max{N1 , N 2 } ，则当 n > N 时，成立 于是
后 答
(2) 求级数 ∑ 解
Sn 的和。 n =1 a n
∞
案
的绝对值为 a n （ n = 1,2, ） 。 ′ 所围成的平面图形的面积 S n ； (1) 求抛物线 l n 与 l n
网
ww
1
3
交点的横坐标的绝对值为 a n =
课
(1) 容易求出抛物线 l n ： y = nx 2 +
n(n + 1)