数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章

n→∞ n →∞ n→∞ n→∞
（2） lim ( x n y n )= lim x n ⋅ lim y n 。
n→∞ n →∞
证
由 lim x n = x， − ∞ < x < 0 ，可知对任意给定的 ε (0 < ε < − x) ，存在正 n →∞
x − ε < xn < x + ε < 0 。
n→∞ n→∞
数 N，对一切 n > N，成立 x n > h1 − ， y n > h2 − ，即
2 2
于是
lim ( x n + y n ) ≥ h1 + h2 − ε 。
n→∞
n→∞
ww
n→∞ n→∞
由 ε 的任意性，即得到 lim ( x n + y n ) ≥ h1 + h2 = lim x n + lim y n 。
第九章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
n→∞
（2）若 lim x n 存在，则由（1） ，
n →∞
lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ，
且
n→∞
后 答
lim y n = lim [( x n + y n ) − x n ] ≥ lim ( x n + y n ) + lim (− x n )
n→∞
n
⎛ 1
−
（6） S n = ∑
5 k −1 + 4 k +1 32k k =1
n
⎛5⎞ ⎛4⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ 1 16 9 9 = ⋅ ⎝ ⎠ + ⋅ ⎝ ⎠ ，所以 5 4 9 9 1− 1− 9 9
S = lim S n = 3
n→∞
n
n
9 。 20
（7） S n = n + 2 − n + 1 − 2 + 1 ，所以
整数 N1 ，对一切 n > N 1 ，成立 记 lim y n = H ， lim y n = h ，则对上述 ε (0 < ε < − x) ，存在正整数 N 2 ，对 n→∞
n→∞
w. kh d
n→∞ n→∞
5
aw .
x n + y n > h1 + h2 − ε ，
co m
ε
ε
一切 n > N 2 ，成立 取 N = max{N1 , N 2 } ，则当 n > N 时，成立 于是
S = lim S n =
n →∞
（5）因为 lim x n = 1 ≠ 0 ，所以级数发散。
n →∞
w. kh d
3 。 4 1 。 4
n
1 。 2
1
aw .
co m
1 ⎞ ⎟; 3n ⎠ n =1 ∞ 5 n −1 + 4 n +1 ; ⑹ ∑ 32n n =1 ∞ 2n − 1 ⑻ ∑ n ; 3 n =1
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n
n
;
∑(
∑q
n =0 n
n + 2 − 2 n +1 + n) ;
cos nθ
n
( | q |< 1 ).
解 （1） S n = ∑
1 1 n ⎛1 1 ⎞ 1 1 1 1 − ) ，所以 = ∑⎜ − ⎟ = (1 + − 2 k =1⎝ k k + 2 ⎠ 2 2 n +1 n + 2 k =1 k ( k + 2)
1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x n =
n 2 nπ ； cos 2n + 1 5
(2) x n = n + (-1)n (4) x n = 。
π
5
n
(3) x n = -n [ (-1)n + 2]； (5) x n = 2 (-1)n+1 +3 (−1)
n →∞
n ( n −1) 2
S = lim S n = − 2 + 1 。
n→∞
（8）设 S n = ∑
n 2k − 1 n −1 2 k + 1 2k − 1 ，则 S = = 3 ∑ ∑ k ，两式相减，得到 n k k −1 k =1 3 k =1 3 k =0 3 n
n −1
所以
n→∞
k =0
后 答
n =0
∑ q n e inθ
n →∞ n →∞
（5） lim x n = 5 ， lim xn = −5 。
n →∞
n →∞
对 一 切 n > N 成 立 ， 且 {x n } 中 有 无 穷 多 项 ， 满 足 x n < η + ε ； 于 是 − x n < −η + ε 对 一 切 n > N 成 立 ， 且 {− x n } 中 有 无 穷 多 项 ， 满 足 − x n > −η − ε ；于是 lim (- x n )= − η = - lim x n 。
n→∞
课
后 答
证 仅对{ x n }是有界数列给出证明。 则对任意给定的 ε > 0， 存在正整数 N， 使得 x n > η − ε （1） 设 lim x n =η ，
n→∞
案
网
(1) lim (- x n ) = - lim x n ； n →∞
ww
2. 证明：
⎧ c limx n , c > 0, n →∞ (2) lim (c x n ) = ⎪ ⎨
∞
w. kh d
1 1 ′ ： y = (n + 1) x 2 + 和 ln 的 n n +1
，于是
aw .
co m
解
x n = ∫ x 2 (1 − x) n dx = ∫
1
1 n x (1 − 0
x) 2 dx =
1 2 1 ， − + n +1 n + 2 n + 3
习
题
9.2
上极限与下极限
n→∞
= lim ( x n + y n ) − lim xn ，
两式结合即得到
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
课
n →∞
n→∞
案
n→∞
网
n→∞
4. 证明：若 lim x n = x， − ∞ < x < 0 , 则 n →∞ （1） lim ( x n y n )= lim x n ⋅ lim y n ；
n =1
0
于是
Sn =
k =1
∑ xk ∑ xn
∞
n
=
1 1 1 1 ， − − + 2 3 n+2 n+3 1 。 6
所以
n =1
= lim S n =
n →∞
5. 设抛物线 l n ： y = nx 2 +
1 1 ′ ： y = (n + 1) x 2 + 和 ln 的交点的横坐标 n n +1
1⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ 4 3 a ⎡⎛ S n = 2∫ 0 n ⎢⎜ nx 2 + ⎟ − ⎜ (n + 1) x 2 + ⎟⎥ dx = a n ； n⎠ ⎝ n + 1 ⎠⎦ 3 ⎣⎝
(2) ∑
Sn 4 ∞ 2 4 ∞ 1 4 = 。 = ∑ an = ∑ 3 n=1 3 n=1 n(n + 1) 3 n =1 a n
（1）由 − 1 <
（2）由 e x < 1 解得 x ∈ (−∞,0) 。
w. kh d
1 。 1 − qe iθ
⎛1⎞ − 1 ⎜ ⎟ n −1 2 2n − 1 2 3 2S n = 1 + ∑ k − n = 1 + ⋅ ⎝ ⎠ 1 3 3 k =1 3 1− 3
⑵
∑e
n =1
aw .
nx
−
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
= 3× 8 + 6 +
1
4 n +3 4n+4 ⎤ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 4n+2 478 ⎛1⎞ ⎛1⎞ 。 7 + 3 + 6 ⎥ = 30 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∑⎢ ⎜ ⎟ 4095 8 8 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ n =0 ⎣ ⎢ ⎥ ⎦ ∞
∞
4. 设 xn = ∫0 x 2 (1 − x) n dx ，求级数 ∑ x n 的和。
n2 +1 ； n nπ n + 1 + sin ； 3
解（1） lim x n = ， lim xn = − cos 。
n →∞
1 2
1 2
（2） lim x n = +∞ ， lim x n = 0 。
n →∞
（3） lim x n = −∞ ， lim xn = −∞ 。
n →∞ n →∞
（4） lim x n = 1 +
=
1 − q cos θ 。 1 − 2q cos θ + q 2
∞
2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ⑶ 解
∑ (1 − x)
n =1
∞
∞
1
ww
=Fra Baidu bibliotek
2
S = lim S n = 1 ；
n
;
∑x
n =1
n
(1 − x) . 1 < 1 解得 x ∈ (−∞,0) ∪ ( 2,+∞ ) 。 1− x
后 答
(2) 求级数 ∑ 解
Sn 的和。 n =1 a n
∞
案
的绝对值为 a n （ n = 1,2, ） 。 ′ 所围成的平面图形的面积 S n ； (1) 求抛物线 l n 与 l n
网
ww
1
3
交点的横坐标的绝对值为 a n =
课
(1) 容易求出抛物线 l n ： y = nx 2 +
n(n + 1)
2 ≠ 0 ，所以级数发散。 3
S = lim S n =
n →∞
ww
n
S = lim S n =
⎛1⎞ ⎛1⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ n 1 1 ⎞ 1 ⎝ 2 ⎠ − 1 ⋅ ⎝ 3 ⎠ ，所以 （4） S n = ∑ ⎛ ⎜ k − k⎟= ⋅ 1 3 3 ⎠ 2 1− 1 k =1⎝ 2 1− 2 3
n→∞
4
c c 是 cx n < cη + ε 对 一 切 n > N 成 立 ， 且 {cx n } 中 有 无 穷 多 项 ， 满 足
xn > η +
ε
对一切 n > N 成立，且 {x n }中有无穷多项，满足 x n < η − ；于
ε
cx n > cξ − ε ；所以 lim ( cxn ) = cη = c lim x n 。
∞
案
网
（9） ∑ q e
n
k ikθ
1 − qe iθ = 1 − qe iθ
( )
n +1
，由 | q |< 1 ，得到
n
= lim
∑ q k e ikθ n→∞
k =0
课
利用 Euler 公式 e iθ = cosθ + i sin θ ，对上式两边取实部，得到
n =0
∑ q n cos nθ
∞
n →∞
w. kh d
lim x n , c < 0. ⎪c n →∞ ⎩
n→∞
3 3 ， lim xn = 1 − 。 2 2 n →∞
（2） 设 c > 0 ， lim x n = ξ ，则对任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，使 n→∞ 得 x n < ξ + 对一切 n > N 成立，且 {x n }中有无穷多项，满足 x n > ξ − ；
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
lim ( x n y n ) ≥ min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} ， lim ( x n y n ) ≤ max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )} ，
n →∞
n →∞ n
所以
课
后 答
（3） S n = ∑
1 1 1 1 1 n ⎛1 2 1 ⎞ 1 = ∑⎜ − + + )， ⎟ = (1 − − 2 k =1⎝ k k + 1 k + 2 ⎠ 2 2 n +1 n + 2 k =1 k ( k + 1)( k + 2)
案
网
（2）因为 lim x n =
c c 于是 cx n < cξ + ε 对 一 切 n > N 成立，且 {cx n } 中有无穷多项，满足
ε
aw .
co m
ε
n→∞
n →∞
cx n > cξ − ε ；所以 lim ( cxn ) = cξ = c lim x n 。
n→∞
设 c < 0 ， lim x n =η ，则对任意给定的 ε > 0，存在正整数 N，使得