FDTD亚网格技术综述知识讲解

F D T D亚网格技术综述

时域有限差分法亚网格技术

摘要：时域有限差分法亚网格技术，也叫局部细网格技术，即在需要细致模拟的部分使用细分的网格，而其余部分使用所允许的最粗网格。这样，既能保证足够的计算精度，又能节约计算所需要的内存和运行时间。文章论述了时域有限差分法亚网格技术的发展历程，为深入研究给出了参考和思路。

关键词：时域有限差分法，亚网格，有限元

1. 引言

1966年K ．S ．Yee 创立了计算电磁场的时域有限差分法(FDTD) [1]，它是一种计算时变电磁场有效的数值方法。它把含时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，并在时间轴上依次推进的求解空间电磁场的数值计算方法。其从麦克斯韦方程出发，不需任何导出方程，避免了使用更多的数学工具，直观简单、容易掌握，使得它成为所有电磁场计算方法中最简单的一种。现在时域有限差分法已在计算电磁场的各个领域得到了广泛应用。

但是通常情况下，FDTD 离散网格尺寸δ的选取与入射波长相关，即满足条件/10δλ≤，其中λ为计算区域内介质中波长的最小值。同时δ的确定还需要考虑上微细结构的尺寸，例如：具有复杂内部结构或几何形状复杂的物体的散射问题，为了细致模拟散射体的几何形状或内部结构，网格的尺度就必须足够小，但散射体所占的物理空间往往又比较大，尤其在需要了解内部结构对散射特性的影响和需要知道场在内部结构中的分布时，间题就显得更加突出；具有高度非均匀性物体的散射内场问题，为了细致地反映物休的非均匀性，必须用小尺度的网格摸拟物体的非均匀特性，当物体的物理尺度相对较大时，在均匀网格空间中解决这种问题所需的网格数是非常巨大的；结构复杂辐射体辐射场

的计算问题，需要细致模拟辐射体的细微结构，辐射体又必然要占据相当的物理空间，且又要了解一定的物理空间中辐射近场的分布，所需的网格空间的网格数也往往是一个巨大的数字；等等。[2]

解决这类问题采用物体的亚网格（Subgridding Scheme）技术，也叫局部采用局部细网格（Local Grid）技术，即在需要细致模拟的部分使用细分的网格，而其余部分使用所允许的最粗网格。这样，既能保证足够的计算精度，又能节约计算所需要的内存和运行时间。

2.局部细网格技术发展历程

1981年Kunz和Simpson 提出了运行两次的亚网格法第一次按粗网格在整个计算区域运行，第二次运行在细网格子域上，细网格边界处的场从粗网格上模拟得到的场值获得。[3]

近期的亚网格技术采用同时执行方式，即全域粗网格和局部细网格的时间步交替嵌套进行。[4]

1991年Zivanovic提出了提出了另一种方法，细网格空间边界场的切向分量由波动方程通过粗网格中的场计算得到，这样可以减少所需的计算机内存和运行时间。但是波动方程法不能处理粗细网格边界穿越不同介质的情况。[5] 1997年Okoniewski采用一种粗细网格的特殊排布，使得各切向场分量在粗细网格边界自动满足连续变条件，因而可以应用于亚网格边界穿越介质的情况。但是这种特殊亚网格的布局粗细网格尺寸比例为2：1，在推广到更高比例是存在很大的困难。[6]

1997年Michael W.Chevalier和Raymond J.Luebbers等人提出了另一种可跨介质边界的局部细网格技术。该方法采用粗细网格的时间步进交替嵌套进行。在

粗细网格边界处采用插值法来处理。文中还提到粗细网格可采用奇数比例，例如3：1，5：1等等。[7]

2006年Jean-Pierre Berenger提出了一种更新的亚网格技术。这种方法与以往的方法不同，其采用等效电流的方法来处理粗细网格的边界，或者说是采用惠更斯面的办法来处理粗细网格的边界的。重要的是这种方法粗细网格可以采用任意奇数比例，例如：1：101甚至更大。但是本方法的原理在连续的三维空间中描述的，因此这种亚网格技术能否跨越介质边界还有待考证。[8] 2007年Ryan A.Chiton和Robert Lee提出了一种可跨介质，粗细网格可为任意比例的亚网格技术。以往的亚网格大多基于插值法或者插补法总是存在时间步进不稳定的问题。而这种方法的基本原理是基于有限元的概念。文中给出了其稳定性的证明，同时也给出了许多二维和三维的算例。[9]

3.总结

FDTD亚网格技术对于FDTD的推广是十分重要的。它既能够满足计算精度的要求，又能节约计算机内存和CPU的执行时间。本文重点介绍FDTD亚网格技术的概念，用途以及发展历程。通过本文的介绍可知，FDTD亚网格技术主要在粗细网格边界的处理。而对于粗细网格边界的处理也主要有以下几种方式：波动方程法，插值法，等效法，有限元原理。

目前FDTD亚网格技术还不是很成熟，特别是既能满足跨介质和粗细网格任意网格比例，又能在粗细网格边界上反射较小并保持良好的稳定性能的方法不多见。而Ryan A.Chiton和Robert Lee提出的这种基于有限元概念的FDTD亚网格技术为以后的研究提供了很好的思路。随着对FDTD亚网格技术的深入研究，它的一些技术难点必将被突破。这将极大的有利于FDTD的推广。

参考文献：

[1] K. S. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media. IEEE Trans.Antennas and Propagation, Vol.14, 1966: 302—307

[2] 葛德彪, 闫玉波. 电磁波时域有限差分方法（第二版）. 西安: 西安电子科技大学出版社, 2005: 173—183

[3] KARLS.KUNZ and LARRY SIMPSON. A Technique for Increasing the resolution of Finite-Difference Solutions of the Maxwell Equation. IEEE Trans. Electromagnetic Compatibility, Vol.EMC-23.NO.4, 1981: 419—422

[4] 王秉中. 计算电磁学. 北京: 科学出版社, 2002: 68—71

[5] Svetlana S.Zivanovic, Kane S.Yee and Kenneth K.Mei. A Subgridding Meothod for the Time-Domain Finite-Difference Method to Solve Maxwell’s Equations. IEEE Trans. MTT, Vol.39, 1991: 471—479

[6] Michal Okoniewski, Ewa Okoniewska, and Maria A.Stuchly. Three-Dimensional Subgridding Algorithm for FDTD. IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol.45, 1997: 422—429

[7] Michael W.Chevalier, Raymond J.Luebbers and Vaughn P.Cable. FDTD Local Grid with Material Traverse. IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol.45, 1997: 411—421

[8] Jean-Piette. A Huygens Subgridding for the FDTD Method. IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol.54, 2006: 3797—3804

[9]Ryan A.Chilton and Robert Lee. Conservative and Provably Stable FDTD Subgridding. IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol.55, 2007: 2537—2549