平面与平面的相对位置
合集下载
平面相对位置
c
三面共点法
a
b f l r
k
c
d
PV
e
g s
h
QV
a e
b f
k
c
g
l s h
d
r
3 垂直问题
3.1 直线与平面垂直 几何条件
M
L2
K P N
L1
如果一直线垂直于平
面内的一对相交直线， 则此直线垂直于该平面
3.1 直线与平面垂直 几何条件
M
L1 L2 P N K
M V C N P B D PV
A
PH
H
如果一直线的正面投影垂直 于一平面内正平线的正面投影， 同时其水平投影垂直于该平面内 水平线的水平投影，则该直线垂 直于该平面。
投影特性
m
c a
n
b
d b
c a n
d
如果一直线的正面投影垂直 于一平面内正平线的正面投影， 同时其水平投影垂直于该平面内 水平线的水平投影，则该直线垂 直于该平面。
f
d
d b a e f
c
2 相交问题
P B K N A B A P M C
交 点 交 线
直线和平面的共有点 两平面的共有线（两个共有点）
2.1 特殊位置的相交
参与相交的两元素中，至少有一个垂直 于某投影面，其投影有积聚性，这种情况为 特殊位置的相交，作图较为简便。
2.1.1 直线与特殊位置平面相交
平行于直线
一
解
作直线 过 点
平行于平面 垂直于直线 垂直于平面 平行于直线
无数解 无数解 一 解
无数解 一 一 解 解
作平面
平行于平面 垂直于直线 垂直于平面
第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
4.2 相交问题
【例4-5】 (1)求交点，如图4-9(c)所示。
①在铅垂线的水平投影上标出交点的水平投影k。
②在平面内过K点的水平投影k作辅助线ad，并求出它的正面 a′d′。
③a′d′与m′n′的交点即交点的正面投影k′。
4.2 相交问题
【例4-5】
(2)直线的可见性可利用重影点法来判断。因为直线是铅垂线， 水平投影积聚为一点，故不需要判别其可见性，只需判别直线 正面投影的可见性即可。直线以交点K为分界点，在平面前面 的部分可见，在平面后面的部分不可见。如图4-9(c)所示，选 取m′n′与b′c′的重影点1′和2′来判别。1点在MN上，2点在BC上， 从水平投影看，1点在前可见，2点在后不可见。即k′1′在平面 的前面可见，画成粗实线；其余部分不可见，画成虚线。
4.2 相交问题
3.一般位置平面与特殊位置平面相交
【例4-7】
求一般位置平面ABC与铅垂面P的交线MN及判别平面正面投 影的可见性，如图4-11(a)所示。 【解】分析：如前面所述，把求两个平面交线的问题看成是求 两个共有点的问题。所以欲求图4-11(b)中两个平面的交线，从 对图4-11(a)的分析来看，只要求出交线上的任意两点(如M和N) 即可。因为铅垂面的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影 必然位于铅垂面的积聚投影上；交线的正面投影可利用线上定 点的方法求出。 作图步骤如下：
4.1.2 平面与平面平行 条件
若一个平面内的两条相交直线对应 平行于另一个平面内的两条相交直
线，则这两个平面平行。
4.1平行问题
1.两个一般位置平面平行
【例4-3】 过点E作一个平面与平面ABC平行，如图4-6(a)所示。
E ABC 作图步骤如图4-6(b)所示。 (1)过点E作ED∥AB(ed∥ab、e′d′∥a′b′)。 (2)过点E作EF∥AC(ef∥ac、e′f′∥a′c′)，则平面DEF 所求。
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
●
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
b' e' d' a' a' c' f' X e b c 2 1 a d a d a d 1 X e b c 2 f' X e b c c' f' a' c' e' 2' 1' d' 1' d' b' e' 2' b'
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
直线与平面、两平面的相对位置
如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。
直线与平面平面与平面的相对位置
解题过程： ①过b’作b’d’∥e’f’，求出db； ②检验bd是否与ef平行，
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
结论：平行
平面与平面的相对位置有:平行、相交和垂直三 种情况
二. 平面与平面平行
判定定理： 若一平面上的一对相交直线分别与另一平面上的
一对相交直线互相平行，则二平面平行。
E
D F
B A
C
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两直 线，则此两平面平行
连接d’k’，延长后交
c’f’ 于m’点；
2）由m’ 得m，连 接dm与ab交得k；
3）根据重影点Ⅰ、 Ⅱ判别可见性。
3. 一般位置线与一般位置面相交
〖例〗如图所示，求作直线MN和平面△ABC的交 点K，并判别投影的可见性。
作图步骤：
1）在V面投影图中 标出直线MN与AC、 AB的重影点1’、2’。
〖例〗已知空 间点M和平面ABCD 的两面投影,求作 过M点垂直于平面 ABCD的垂线MN的 投影
作图步骤：
1）作a’1’∥OX轴，求
得1’ 和1，过点m作a1
的垂线。
2）作a2∥OX轴，由2 得2’，过m’作a’2’的垂 线m’n’。
3）由n’得n点，将 m’n’和mn画成粗实线。
2．特殊位置的直线与平面垂直
2）由1’、2’ 得1、 2，连接12与mn交得 点k。
3）由k得k’。
4）根据重影点Ⅳ、 Ⅴ判别可见性。
二. 平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
平面与平面相交的问题，主要是求交线和判别 可见性的问题。
1．两特殊位置平面相交
投影面垂直面相交： 两个平面的投影均积聚为直线，若两直线相交， 则空间两平面相交，交点即为两平面交线。（交 点必为该投影面垂直线）
第五章 直线、平面的相对位置
本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行；2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交；3)垂直关系：直线与平面垂直，两一般位置直线垂直和两平面垂直。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行直线与平面平行的几何条件是：如果平面外的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线平行于该平面。
由于EF∥BD，且BD 是ABC 平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC 平面。
［例1］试过K点作一水平线，使之平行于△ABC。
先在△ABC上作一水平线AD；再过点K，作kl∥ad，k′l′∥a′d′，则直线KL为所求。
［例2］试过K 点作一正平线，使之平行于P 平面。
因P V 是P 平面上特殊的正平线，所以过点K 作KL ∥P V ，即作k ′l ′∥PV ，kl ∥X 轴，则直线KL 为所求。
［例3］试过K 点作一铅垂面P (用迹线表示)，使之平行于AB 直线。
由于铅垂面的H 投影为一直线，故若作铅垂面平行于AB 直线，则P H必平行于ab 。
因此，过k 作P H ∥ab ；过P X 作P V ⊥X 轴，则P 平面为所求。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相平行。
因此，两平行平面的同面迹线一定平行。
如果两平面的两对同面迹线分别互相平行，则不能肯定两平面是互相平行的。
如果平面的两条迹线是平行直线时，则一般要看第三个投影才能确定。
P 平面平行于Q 平面P 平面不平行于Q 平面［例1］过点K 作一平面，使之与AB、CD两平行直线表示的平面平行1：在AB、CD 平面上，作一条和AB、CD 不平行的辅助线，如AC ；2：过K 作KL∥AB ；3：过K 作KM∥AC ,则平面LKM即为所求。
［例2］过K 点作Q 平面(用迹线表示)，使之平行于P 平面。
6.第六讲直线与平面.两平面的相对位置(一)
一般位置平面与特殊位置平面相交
V M B K P
m c
f n m
b k l a
AL
F
m N C f b n k a l
k b
a l
f
cH
c
PH
两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交 叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性， 如右图由H投影图得知fkm在特殊位置平面之后，故V投影图上m′k′f′与 a′b′c′重叠部分不可见，画虚线，f′ k′l′n′与 a′b′c′重叠部分可 见，画实线。
一、直线与平面平行
P C A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
例题1 试判断直线AB是否平行于定平面
n′ m′
p′
d f e a c g b
e
n m p
直线MN 平行于定平面P
d
f a g b
结论：直线AB 不平行于定平面
c
例题2
试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面。 c f e b k a
一、直线与平面相交的特殊情况
1、一般位置直线与垂直面相交 2、垂直线与一般位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面(垂直面)相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两一般位置平面相交
直线与平面相交
P
A
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共 有点。交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见 的分界点。
n
三、直线与一般位置平面相交
一般位置线面相交由于直线和平面的投影都没有积聚性 ，求交点时无积聚性投影可以利用，因此通常要采用辅助平 面法求一般位置线面的交点。一般位置线、面相交求交点的 步骤：
平面与直线及两平面的相对位置关系PPT课件
二、 两平面相交（利用积聚性求交线）
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要解决的问题：
① 求两平面的交线 方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
第7页/共18页
平面与平面相交
n●
h
● 1(2)
c
作 图
① 求交线 ② 判别可见性
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在 上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。
第10页/共18页
三. 直线与平面相交（利用辅助平面法求交点）
PV
1
k
2
步骤： 1．过EF作正垂平 面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线ⅠⅡ。
3．求交线ⅠⅡ与 EF的交点K。
2
k
1
第11页/共18页
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
2 k
1
步骤： 1．过EF作铅垂平 面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线ⅠⅡ。
PH 1
3．求交线ⅠⅡ与 EF的交点K。
k 2
第12页/共18页
四、求两平面的交线
k 1 m m
k 1
PV n 2 e
2
l QV
两一般位置 平面相交，求交 线步骤：
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
Hale Waihona Puke fs第3页/共18页
第二节 相交问题
一、 直线与平面相交
直线与平面相交 平面与平面相交
交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。
两平面的位置关系
和尺寸。
在计算机图形学中，判断两个平 面是否相交，以实现三维模型的
渲染和显示。
04
两平面垂直
定义和性质
定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角（平面角 是直角），则这两个平面互相垂直。
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面。
性质 垂直于同一平面的两个平面互相平行。
感谢您的观看
THANKS
数学建模
在解决一些实际问题时，可以将问题抽象为两个平面的位置关系问题，通过判断两个平面 是否垂直来解决问题。例如，在三维空间中求解点到直线的距离时，可以通过判断点所在 的平面与直线所在的平面是否垂直来简化计算过程。
05
两平面斜交
定义和性质
定义
两平面不平行也不重合，且它们的交线是一条斜线，则称这两个平面斜交。
方程联立法
通过联立两个平面的方程，求解得到它们的交线方程。若交线方 程有解，则两平面相交。
向量法
利用向量的点积或叉积判断两个平面的法向量是否平行。若法向 量不平行，则两平面相交。
应用举例
在建筑设计中，判断两面墙是否 相交，以确定房间的布局和形状。
在机械制图中，判断两个平面是 否相交，以确定零件的几何形状
判定方法
直接判定
如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂 直。
间接判定
如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直。
应用举例
建筑学
在建筑设计中，经常需要确定两个墙面是否垂直，以确保建筑物的稳定性和美观性。
工程学
在机械设计和制造中，需要确保两个零件的表面垂直，以确保零件的精度和可靠性。
针对两平面位置关系的计算效率和精 度问题，我们将研究更高效的算法和 更精确的数值计算方法，以提高实际 应用中的性能。
在计算机图形学中，判断两个平 面是否相交，以实现三维模型的
渲染和显示。
04
两平面垂直
定义和性质
定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角（平面角 是直角），则这两个平面互相垂直。
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面。
性质 垂直于同一平面的两个平面互相平行。
感谢您的观看
THANKS
数学建模
在解决一些实际问题时，可以将问题抽象为两个平面的位置关系问题，通过判断两个平面 是否垂直来解决问题。例如，在三维空间中求解点到直线的距离时，可以通过判断点所在 的平面与直线所在的平面是否垂直来简化计算过程。
05
两平面斜交
定义和性质
定义
两平面不平行也不重合，且它们的交线是一条斜线，则称这两个平面斜交。
方程联立法
通过联立两个平面的方程，求解得到它们的交线方程。若交线方 程有解，则两平面相交。
向量法
利用向量的点积或叉积判断两个平面的法向量是否平行。若法向 量不平行，则两平面相交。
应用举例
在建筑设计中，判断两面墙是否 相交，以确定房间的布局和形状。
在机械制图中，判断两个平面是 否相交，以确定零件的几何形状
判定方法
直接判定
如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂 直。
间接判定
如果两个平面的法向量互相垂直，则这两个平面互相垂直。
应用举例
建筑学
在建筑设计中，经常需要确定两个墙面是否垂直，以确保建筑物的稳定性和美观性。
工程学
在机械设计和制造中，需要确保两个零件的表面垂直，以确保零件的精度和可靠性。
针对两平面位置关系的计算效率和精 度问题，我们将研究更高效的算法和 更精确的数值计算方法，以提高实际 应用中的性能。
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
工程制图第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
m
b k f n
c
l
a O
m
m
k b
f
a l
n
二、辅助平面法
A E
K 1
2
D
C
B 过AB作平面P垂直于H投影面
a
d
2
k 作题步骤： 1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线 e ⅠⅡ。 O 3、求交线 ⅠⅡ与AB的交 e 点K。
c
1
X
PH
b
a
1
第一节
第二节
平行问题
相交问题
4.2 相交问题
第三节
第四节
垂直问题
综合问题分析及解法
第一节 平行问题
一、直线与平面平行
C P A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线 与该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c g d f
e
b
a
X
f d e
O
a
g c
e f d
a
b r
X
c
O
e s
SH
d
a c b
f
结论：两平面平行
r P H
第二节
相交问题
D B
交点与交线的性质
P K A
K
A
B
C
L
E
F
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交 有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的 共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与 面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。
X
m k b
精品PPT课件----直线与平面、平面与平面的相对位置共52页
Hale Waihona Puke 精品PPT课件----直线与平面、平面与 平面的相对位置
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
机械制图 5 直线、平面间的相对位置
5/45
a
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
6/45
c
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
1
例 过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
2. 两平面相交
B
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
界
前，可见
k
c
作图步骤
V 投影投
射方向
还可由V面重影点确 定线段在V面的可见性。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
1) 用线上取点法求出交点的正面投影k 2)可直接从水平投影看出：KB段在平面前，即V面投影k’b’为可见。
分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。 两直线的平行问题
L
A
反之，如果直 线与平面平行， 那么在该平面内 一定有直线与该 直线平行。
EF∥△ABC
Chapter 5 Positions between Lines and Planes Liu Wei, Beijing Jiaotong University Chapter 5 Positions between Lines and Planes
选择辅助平面的原则? 有利于解题。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
a
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
6/45
c
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
Liu Wei, Beijing Jiaotong University
1
例 过点K作一平面，平行于由AB、CD两平行直线构成的平面。
2. 两平面相交
B
三面共点的思想可有效 地用于求两平面的交线。
界
前，可见
k
c
作图步骤
V 投影投
射方向
还可由V面重影点确 定线段在V面的可见性。
交线的求解方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点； ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 判别可见性，即平面间的遮挡关系，交线是可见性的分界线
1) 用线上取点法求出交点的正面投影k 2)可直接从水平投影看出：KB段在平面前，即V面投影k’b’为可见。
分为：直线与平面平行，以及平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行 几何条件是：
直线与平面的平行问题
若平面外的一直线与平面内的 某一直线平行，则该直线与该 平面平行。 两直线的平行问题
L
A
反之，如果直 线与平面平行， 那么在该平面内 一定有直线与该 直线平行。
EF∥△ABC
Chapter 5 Positions between Lines and Planes Liu Wei, Beijing Jiaotong University Chapter 5 Positions between Lines and Planes
选择辅助平面的原则? 有利于解题。
Chapter 5 Positions between Lines and Planes
工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置
返回
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b’
d
k
b
c
例题3-11：过点A作一平面与平面DEFG平
行
e'
g'
a' d'
X
f'
O
f
a
d
g e
例题3-12：判定两平面是否平行。
c' d' a'
e'
d
e
a
c
g'
b' g
b
例题3-13：判定两正垂面是否平行。
d c'
e'
a'b来自gde
a
c
g b
二、两平面相交
交线——共有线
求交线的方法：
（1）利用积聚性求交线
b' f' k'
d'
两垂直面的交线是垂直线
l' c'
e' a'
a f
d
k(l)
e
c
例题3-14：求两平面的交线，并判断可见性。
（2）利用线面交点法求交线 温故知新
m' n'
n m
全交
例题3-15：求两平面的交线，并判断可见性。
n'
m'
n m
例题3-15：求两平面的交线，并判断可见性。
n'
m'
n m
互交
（3）用辅助平面求两平面的交线
Pv
k'
Qv
l'
k
l
平面扩大后再交
思考题一参与相交的两个平面都是特殊位 置时，其交线的投影如何求出？
思考题二
两个平面的交线应该在投影图 上画多长？
a'
b'
a
b
三、两平面垂直
包含与平面垂直 线的所有平面都 与该平面垂直
例题3-16：包含直线作一平面，与已知平面垂直。
例题3-17：判定两平面是否垂直。
例题3-18：判定两平面是否垂直。
直线与平面、平面与平面的相对位置：
平行
直线与平面 平面与平面
小结
定理 几何作图
定理
特殊位置的平面和直线 已知直线求平面 已知平面求直线（平面）
判定平行
相交
直线与平面 平面与平面
求交点 求交线
几何作图
特殊位置的平面和直线 一般位置的平面和直线
垂直
直线与平面
平面与平面
垂直于面内的正 平线和水平线
含垂直线
几何作图
用辅助平面（线）求交点的一般步骤：
1 在平面内作一辅助线， 使其一个投影与已知直线 的同名投影重合；
2 求辅助线的另一个投影， 与已知直线的同名投影相 交，得交点；
a’ e’ a
PH e
3 判定可见性：利用重 影点。
c’ d’
k’
d
k
b
c
例题3-11：过点A作一平面与平面DEFG平
行
e'
g'
a' d'
X
f'
O
f
a
d
g e
例题3-12：判定两平面是否平行。
c' d' a'
e'
d
e
a
c
g'
b' g
b
例题3-13：判定两正垂面是否平行。
d c'
e'
a'b来自gde
a
c
g b
二、两平面相交
交线——共有线
求交线的方法：
（1）利用积聚性求交线
b' f' k'
d'
两垂直面的交线是垂直线
l' c'
e' a'
a f
d
k(l)
e
c
例题3-14：求两平面的交线，并判断可见性。
（2）利用线面交点法求交线 温故知新
m' n'
n m
全交
例题3-15：求两平面的交线，并判断可见性。
n'
m'
n m
例题3-15：求两平面的交线，并判断可见性。
n'
m'
n m
互交
（3）用辅助平面求两平面的交线
Pv
k'
Qv
l'
k
l
平面扩大后再交
思考题一参与相交的两个平面都是特殊位 置时，其交线的投影如何求出？
思考题二
两个平面的交线应该在投影图 上画多长？
a'
b'
a
b
三、两平面垂直
包含与平面垂直 线的所有平面都 与该平面垂直
例题3-16：包含直线作一平面，与已知平面垂直。
例题3-17：判定两平面是否垂直。
例题3-18：判定两平面是否垂直。
直线与平面、平面与平面的相对位置：
平行
直线与平面 平面与平面
小结
定理 几何作图
定理
特殊位置的平面和直线 已知直线求平面 已知平面求直线（平面）
判定平行
相交
直线与平面 平面与平面
求交点 求交线
几何作图
特殊位置的平面和直线 一般位置的平面和直线
垂直
直线与平面
平面与平面
垂直于面内的正 平线和水平线
含垂直线
几何作图
用辅助平面（线）求交点的一般步骤：
1 在平面内作一辅助线， 使其一个投影与已知直线 的同名投影重合；
2 求辅助线的另一个投影， 与已知直线的同名投影相 交，得交点；
a’ e’ a
PH e
3 判定可见性：利用重 影点。
c’ d’
k’