初中数学求线段最值问题汇总

C
∴△AEF≌△BFG，(AAS)
∴AF＝BG，AE＝BF.
( ) 设AF＝x，则AE＝BF＝3－x.
在Rt△AEF中，由勾股定理得
x2 +(3－ x)2 =
2
5
解得x＝1或x＝2(舍去)．
∴AF＝BG＝1，BF＝AE＝2.
E A F
O
BG
D
H′
C
A
E
D
F
BG
O HC'
课堂小结 1.定点定长寻找隐形圆 2.定角、定弦寻找隐形圆
模型4： 圆的特性求最值 A，B是⊙O上两个动点．当AB经过圆心时，AB最大．
AB是⊙O的定弦，P是⊙O上的动点，PC过圆心O，且 PC⊥AB时，P点到AB的距离最大．
直线l是定直线，P是⊙O上的动点，过点P作直线的垂线 ：PC过圆心O，PC⊥L时，P2C最长；P1C最短.
P2
P1
C
L
．(2019·东营)如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O 上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC 的中点，则MN的最大值是．522
上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要 求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能， 求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．
A
E
G
Baidu Nhomakorabea
F
B
G
A
E
G
F
解：能裁得．
理由如下： ∵EF＝FG＝
5，∠EFG＝B90°，∠GA＝∠B＝90°，∠AEF = ∠BFG
点P是平面内一点，且 ∠APB=90° 则DP的最小值是 5－1
A
D
O
P
B
P'
C
(2016淮安)如图在 RtΔABC中，∠C = 90°, AC = 6,
BC =8点F在边AC上，并且 CF = 2 ，点E为
边BC上的动点，将ΔCEF 沿直线EF翻折，
点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小
值是
A
P F
C
E
E
B
6 5
E
建立二次函数模型，利用二次函数的增减值，结 合自变量的取值范围，确定线段的最值
1
(2019·凉山州)如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝ 4 AB，点P
在BC上运动(不与B，C重合)，过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则
CQ的最大值为
．
3. 如图，BD是正方形ABCD的对角线，在正方形内 部（不含边界）找一点 O ，使得 ∠AOB= 2∠ADB,
(2019·眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4 2 ，
⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O
的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值
为
．
A，B是直线l同侧两定点，P是直线l一动点，作点B关于 直线l的对称点B′，直线AB′交直线l于点P，此时PA＋PB 最小，等于AB′.)
（1）在图中画出满足条件的 点 O 所形成的图形，
（2）求出 ΔAOB 面积的最大值
解：满足条件的点O所形成
的图形是 AB（不含A、B两点） D
C
当点O为AC和BD的交点时，ΔAOB
的面积取得最大值,此时 ΔAOB
的面积为 1 AB• 1 AB = 1 AB2
22 4
A
O
B E
FG＝ 5 米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC
D
C
C
A
图1
B
A
B
图2
D
C
C
A
B
A
B
图1
图2
如解图1，长方形ABCD中, 弧AB (不含A、B两点) 上任一点即为所求；
如解图2，不存在点P在△ABC内，使∠APB＝90°.
2.如图在正方形中 ABCD，AB = 2,
点P是平面内一点，且 ∠APB=90° 则DP的最小值是
A
D
P'
P
B
C
2.如图在正方形中 ABCD，AB = 2,
(2019·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，已知C(3，4)
，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝
OB.点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大
值为
．
模型4： 圆的特性求最值——动点轨迹为圆，即隐形圆
1.圆的定义是什么
2.请在图1的长方形ABCD和图2的三角形ABC内，分别画出所有使 ∠APB＝90°的点P.
探究最值问题
模型1： 两点之间线段最短
(2019·泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点， P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是(D)
•A．2 •B．4 •C. 2 •D．2 2
模型2： 垂线段最短
直线l处有一定点A，点B是l上一动点，当 AB⊥l时，AB最短