年上海八校高三联考数学试卷
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所成角分别为 ，则 。若把它推广到空
间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________
_____________________________________________________。
二、选择题（本大题共16分，每小题4分）
13．若 是异面直线，则以下命题正确的是（）
相切，试求实数 的值；
（3）如图， 是经过椭圆 长轴顶点 且与长轴垂直的直线， 是两个
焦点，点 ， 不与 重合。若 ，则有 ，类比此结论到双曲线
， 是经过焦点 且与实轴垂直的直线， 是两个顶点，点
， 不与 重合。若 ，试求角 的取值范围。
21．（本题满分16分）已知函数 ， 。
（1）试求函数 的反函数 ；
（3）（理）当 时，由 。
当 时，由 。∴ 的取值范围是 。
（文）当 时，由 ；
（2）函数 ，求 的定义域，并判断函数 的增减性；
（3）（理）若（2）中函数 ，有 在定义域内恒成立，求 的范围。
（文）若（2）中函数 的最小值为3，试求 的值。
22．（本题满分18ຫໍສະໝຸດ Baidu）
（1）已知数列 的通项公式： ，试求 最大项的值；
（2）记 ，且满足（1），若 成等比数列，求 的值；
（3）（理）如果 ，且 是满足（2）的正常数，试证：对于任意
① ；② 。则 的数值为__________。
11．上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为
年份2003年2004年2005年2006年
常住人口出生数 万 万 万 万
根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从________年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍。
12．已知命题：平面上一矩形 的对角线 与边 和
5．从抛物线 图象上一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线焦
点为 ，则 的面积为__________。
6．已知 ， ，若 ，则实数 的取值范围是________。
7．若 ，则 的一个表达式为_________________（只需写出一个）。
8．（理）已知极坐标系中， ， 两点，那么直线 与极轴所在直线所夹的锐
所成的角分别为 ，则 ， 。或是：长方体 中，对角面 与平面 所成的二面角分别为 ，则 。
二、选择题13．C 14．B 15．A 16．D
三、解答题
17．（1） ， ，又 ，∴ 或 。
（2） ，当 ，即 时， 。
18．（1）设正方体的棱长为 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，又 ，∴ 平面 。
（2） ，设 与 所成的角为 ， ，∴ 。
止，平改坡剩余面积为原来的 。
（1）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年
（2）若通过技术创新，至少保留 的老房子开辟新的改造途径。今后最多还需平改坡多少年
20．（本题满分14分）
（1）已知平面上两定点 、 的距离为4，点 满足 ，求点 的轨迹方程；
（2）若把(1)的 的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线
设 ，由 得 ，此即点 的轨迹方程.
（2）将 向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆 ，
依题意有 。
（3）不妨设点 在 的上方，并设 ，则 ，
所以 ，由于 且 ，故 。
21．（1）易求 。
（2） ， 时，定义域为 ； 时，定义域为 ；
此函数在定义域内单调递增（∵ 与 在公共定义域内均为增函数，∴它们的和也为增函数）。
自然数 ，或者都满足 ；或者都满足 。
（文）若 是满足（2）的数列，且 成等比数列，
试求满足不等式： 的自然数 的最小值。
2004年3月八校高三联合考试数学试卷参考答案
一、填空题1．2 2． 3． 4．2 5．10 6． 7． 8．(理) (文)2 9． 10．3004 11．2010 12．长方体 中，对角线 与棱 所成的角分别为 ，则 ， 。或是：长方体 中，对角线 与平面
视角为（）
（A） （B） （C） （D）
15．在 中，角 的对边分别是 ，且 ，则 等于（）
（A） （B） （C） （D）
16．如图， 的定义域为 ，则不等式 的解集为（）
（A） （B）
（C） （D）
三、解答题（本大题共86分）
17．（本题满分12分）
（1）已知 且 ，求 的值；
（2）记 （ ），求 的最大值及对应的 值。
18．（本题满分12分）如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 为平面
内一点， 。
（1）证明 平面 ；
（2）求 与平面 所成的角；
（3）若正方体的棱长为 ，求三棱锥 的体积。
19．（本题满分14分）本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区 的老房子进行平改坡。
且每年平改坡面积的百分比相等，若改造到面积的一半时，所用时间需10年。已知到今年为
角是__________。
（文）已知 ，则 的最大值是__________。
9．某四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学
生发出录取通知书。若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生录
取到同一所大学的概率为____________。
10．定义一种运算“*”，对于 ，满足以下运算性质：
（A）至多有一条直线与 都垂直（B）至多有一个平面分别与 平行
（C）一定存在平面 与 所成角相等（D）一定存在平面 同时垂直于
14．我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心 为一个
焦点的椭圆，测得近地点 距地面200公里，远地点 距地面350
公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大
由（1）知 平面 ，∴ 为 与平面 所成的角。 。
（3） 。
19．设每年平改坡的百分比为 ，则 。
（1）设到今年为止，该工程已经进行了 年，则 。
故到今年为止，该工程已经进行了5年。
（2）设今后最多还需平改坡 年，则 。
故今后最多还需平改坡15年。
20．（1）以 中点 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 。
年上海八校高三联考数学试卷
2006年1月上海市八校高三联考数学试卷
一、填空题（本大题共48分，每小题4分）
1．已知 展开式中 的系数为 ，则常数 的值为。
2．已知函数 ，则 __________。
3．若方程 的一个根为 ，则 __________。
4．若 展开式中 的系数为 ，则常数 __________。
间长方体中，试写出相应的命题形式：____________________
_____________________________________________________。
二、选择题（本大题共16分，每小题4分）
13．若 是异面直线，则以下命题正确的是（）
相切，试求实数 的值；
（3）如图， 是经过椭圆 长轴顶点 且与长轴垂直的直线， 是两个
焦点，点 ， 不与 重合。若 ，则有 ，类比此结论到双曲线
， 是经过焦点 且与实轴垂直的直线， 是两个顶点，点
， 不与 重合。若 ，试求角 的取值范围。
21．（本题满分16分）已知函数 ， 。
（1）试求函数 的反函数 ；
（3）（理）当 时，由 。
当 时，由 。∴ 的取值范围是 。
（文）当 时，由 ；
（2）函数 ，求 的定义域，并判断函数 的增减性；
（3）（理）若（2）中函数 ，有 在定义域内恒成立，求 的范围。
（文）若（2）中函数 的最小值为3，试求 的值。
22．（本题满分18ຫໍສະໝຸດ Baidu）
（1）已知数列 的通项公式： ，试求 最大项的值；
（2）记 ，且满足（1），若 成等比数列，求 的值；
（3）（理）如果 ，且 是满足（2）的正常数，试证：对于任意
① ；② 。则 的数值为__________。
11．上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为
年份2003年2004年2005年2006年
常住人口出生数 万 万 万 万
根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从________年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍。
12．已知命题：平面上一矩形 的对角线 与边 和
5．从抛物线 图象上一点 引抛物线准线的垂线，垂足为 ，且 ，设抛物线焦
点为 ，则 的面积为__________。
6．已知 ， ，若 ，则实数 的取值范围是________。
7．若 ，则 的一个表达式为_________________（只需写出一个）。
8．（理）已知极坐标系中， ， 两点，那么直线 与极轴所在直线所夹的锐
所成的角分别为 ，则 ， 。或是：长方体 中，对角面 与平面 所成的二面角分别为 ，则 。
二、选择题13．C 14．B 15．A 16．D
三、解答题
17．（1） ， ，又 ，∴ 或 。
（2） ，当 ，即 时， 。
18．（1）设正方体的棱长为 ，则 ， ，
∵ ，∴ ，又 ，∴ 平面 。
（2） ，设 与 所成的角为 ， ，∴ 。
止，平改坡剩余面积为原来的 。
（1）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年
（2）若通过技术创新，至少保留 的老房子开辟新的改造途径。今后最多还需平改坡多少年
20．（本题满分14分）
（1）已知平面上两定点 、 的距离为4，点 满足 ，求点 的轨迹方程；
（2）若把(1)的 的轨迹图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位，恰与直线
设 ，由 得 ，此即点 的轨迹方程.
（2）将 向右平移一个单位，再向下平移一个单位后，得到圆 ，
依题意有 。
（3）不妨设点 在 的上方，并设 ，则 ，
所以 ，由于 且 ，故 。
21．（1）易求 。
（2） ， 时，定义域为 ； 时，定义域为 ；
此函数在定义域内单调递增（∵ 与 在公共定义域内均为增函数，∴它们的和也为增函数）。
自然数 ，或者都满足 ；或者都满足 。
（文）若 是满足（2）的数列，且 成等比数列，
试求满足不等式： 的自然数 的最小值。
2004年3月八校高三联合考试数学试卷参考答案
一、填空题1．2 2． 3． 4．2 5．10 6． 7． 8．(理) (文)2 9． 10．3004 11．2010 12．长方体 中，对角线 与棱 所成的角分别为 ，则 ， 。或是：长方体 中，对角线 与平面
视角为（）
（A） （B） （C） （D）
15．在 中，角 的对边分别是 ，且 ，则 等于（）
（A） （B） （C） （D）
16．如图， 的定义域为 ，则不等式 的解集为（）
（A） （B）
（C） （D）
三、解答题（本大题共86分）
17．（本题满分12分）
（1）已知 且 ，求 的值；
（2）记 （ ），求 的最大值及对应的 值。
18．（本题满分12分）如图，在正方体 中， 是棱 的中点， 为平面
内一点， 。
（1）证明 平面 ；
（2）求 与平面 所成的角；
（3）若正方体的棱长为 ，求三棱锥 的体积。
19．（本题满分14分）本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区 的老房子进行平改坡。
且每年平改坡面积的百分比相等，若改造到面积的一半时，所用时间需10年。已知到今年为
角是__________。
（文）已知 ，则 的最大值是__________。
9．某四所大学进行自主招生，同时向一所高中的已获市级竞赛一等奖的甲、乙、丙、丁四位学
生发出录取通知书。若这四名学生都愿意进这四所大学的任意一所就读，则仅有两名学生录
取到同一所大学的概率为____________。
10．定义一种运算“*”，对于 ，满足以下运算性质：
（A）至多有一条直线与 都垂直（B）至多有一个平面分别与 平行
（C）一定存在平面 与 所成角相等（D）一定存在平面 同时垂直于
14．我国发射的神舟5号飞船开始运行的轨道是以地球的中心 为一个
焦点的椭圆，测得近地点 距地面200公里，远地点 距地面350
公里，地球的半径为6371公里，则从椭圆轨道上一点看地球的最大
由（1）知 平面 ，∴ 为 与平面 所成的角。 。
（3） 。
19．设每年平改坡的百分比为 ，则 。
（1）设到今年为止，该工程已经进行了 年，则 。
故到今年为止，该工程已经进行了5年。
（2）设今后最多还需平改坡 年，则 。
故今后最多还需平改坡15年。
20．（1）以 中点 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，则 。
年上海八校高三联考数学试卷
2006年1月上海市八校高三联考数学试卷
一、填空题（本大题共48分，每小题4分）
1．已知 展开式中 的系数为 ，则常数 的值为。
2．已知函数 ，则 __________。
3．若方程 的一个根为 ，则 __________。
4．若 展开式中 的系数为 ，则常数 __________。