经典均值不等式练习题
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
数学课后训练：第一章§平均值不等式
平均值不等式练习1已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是（ ）．A ．2+ B ．3+ C ．2+ D ．7+2当x ＞0时，212y x x 3+＝的最小值为( ）．AB ．3CD ． 3已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是（ )． A ．3 B ．4 C ．92 D ．1124设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y ）＝1，则下列不等式正确的是( )． A ．)21x y +≥ B ．1xy ≤ C ．)21x y +≤ D ．)21xy ≥5若a 是正实数，2a 2＋3b 2＝10,则的最大值等于__________．6已知lg x ＋lg y ＝2，则11xy+的最小值为__________．7求证：21x+≥．8在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝1(定值），将图形沿AB 的中垂线折叠，使点A 落在点B 上,求图形未被遮盖部分面积的最大值．参考答案1 答案:B ∵x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＝1，∴112221+2x y x y y x xyxyxy+++=+=++≥当且仅当2y x xy=，即x =，也就是当12y =-，1x =时等号成立,故11xy+的最小值为3+．2 答案:A22133132222x x y x x x =+=++≥== 当且仅当23122x x=，即x =3 答案：B∵222(2)2x y xy x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭，∴228=2222x y x y xy x y +⎛⎫++≤++ ⎪⎝⎭，即(x ＋2y )2＋4（x ＋2y ）－32≥0． 又x ＞0,y ＞0，∴x ＋2y ≥4．当且仅当x ＝2,y ＝1时取等号，即x ＋2y 的最小值是4． 4 答案：A ∵xy －（x ＋y ）＝1,∴212x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当x ＝y 时等号成立．∴（x ＋y )2－4(x ＋y ）－4≥0．∴x y +≥2x y +≤-（舍去）．5∵a ＞0，2a 2＋3b 2＝10,∴a =≤222232a b ++=222366a b ++=1066+==．当且仅当=即2a 2－3b 2＝6，即a 2＝4,223b =时，等号成立． 6 答案：15∵lg x ＋lg y ＝2，∴lg xy ＝2，∴xy ＝102＝100,∴1111005x y xyxy++=≥==， 当且仅当x ＝y ＝10时等号成立．7 答案：证明：设t 则t ≥1，∴222422t 1111x t t t t =-+=++-≥=． 当且仅当22tt=，即t =，x =∴21x≥．8 答案：分析:根据题意先列出解析式,利用解析式中的关系及平均值不等式的定理求解．解：如图，将图形沿AB 的中垂线折叠,使点A 落在点B 上，未被遮盖部分是Rt △ACD ．设BC ＝a ，AC ＝b ，b ＜a ，则a ＋b ＝1,tan =b B a，∠ADC ＝2∠B ，DC ＝b cot 2B ．∴Rt △ACD 的面积：222211=cot 2=222a b S b B b ab -⋅1121=4a a a (-)(-)⋅ 11=324a a ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1(34≤-．当且仅当12=a a ,即=2a 时,max1=(34S-． 故图形未被遮盖部分面积的最大值是1(34-．。
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题1、 求下列函数的最小值（1） 已知t > 0 ,y = tt t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ;（3）、y = 182++x x (x > 0 )（4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = xx x 2sin sin 62cos 12++的最小值（5）若x> 0,y > 0,求 (x+22)21()21x y y ++ 的最小值2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +541-x 的最大值。
3、求下列函数的最大值（1）、y = 41622++x x ; （2）、若20<x<60, y = 250022+-x x x4、已知x>0,132++x x x ≤ a 恒成立，求a 的取值范围5、已知a > 0,b > 0, a 2 +4b 2 = 1 , 求t = ba ab 22+的最大值。
6、已知:x > 0, y > 0,且x + y = 20,求lgx + lgy 的最大值7、已知：a > 0,b > 0,且.1222=+b a 求a.21b +的最大值8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。
10、求下列函数的最大值（1）0< x <23,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x -(3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 ,求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示）（4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值（5）、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值11、求下列函数的最小值（1）已知:x > 0, y > 0,且,191=+y x 求 x + y 的最小值（2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba 11+的最小值（3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值（4）、已知：x > 0,y > 0,134=+yx 求x + 3y 的最小值 （5）、已知：x ＞ 0,y ＞0,xlg2+ ylg8 = lg2. 求yx 311+的最小值均值不等式的高级应用12、求下列各式的最小值（1）、求)(162b a b a -+的最小值 (2）、设a ＞0,b ＞0, 求ab b a 211++的最小值。
经典均值不等式练习题
均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x<，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域。
技巧4：整体代换例 已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
专题3：均值不等式
一．【知识要点】
1.均值不等式
二．【经பைடு நூலகம்例题】
1.阅读理解：对于任意正实数a、b, ≥0, ≥0, ≥ ,只有当a=b时，等号成立。
结论：在 ≥ (a、b均为正实数)中,若ab为定值p,则 ≥ ,只有当a=b时,a+b有最小值 .
根据上述内容，回答下列问题：
(1)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
【D】
1.如图，正方形ABCD的边长为2，P是△BCD内一动点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，分别与对角线BD相交于点E，F．记PM= ，PN=b，当点P运动时，
（1）求证： ；
（2）设△AEF的面积为S，试探究S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由．
(2)若m>0,只有当m=______时, 有最小值______.
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．已知正数a和b，有下列结论：
(1)若a＝1，b＝1，则 ；(2)若 ，则 ；
(3)若a＝2，b＝3，则 ；(4)若a＝1，b＝5，则 ．
根据以上几个命题所提供的信息，请猜想：若a＝6，b＝7，则ab≤______．
高考考前复习均值不等式典型题汇编
高考考前复习均值不等式典型题汇编【典型例题】例1、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
例2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
例4、 求函数221632y x x =++的最小值.例5、已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.例6、 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.例7、 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 例8、已知0,0x y >>且22283y x +=求.例9、求函数25y x =+的最大值.【高考题汇编】例1、（重庆理，2005）若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、（天津文，2009） 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B.23 C. 1 D. 21 例3.（福建文，2011）若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】A.2 B ．3 C ．6 D ．9例4、（重庆文，2011）若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4例5、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.例6、函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2B. 3C. 4D. 5例7、函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 例8、（天津文，2011）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例9、（重庆文，2009）已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5 例10、（四川理，2009）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 例11、（重庆文，2005）若y x y x -=+则,422的最大值是 .例12、（福建理，2005）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例13、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1)例14、已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为例15、（重庆理，2011）已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5例16、（天津理，2009）设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 【 】A. 8B. 4C. 1D.14例17、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是【 】A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]例18、（重庆文，2010）0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例19、（湖北文，2004）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45 B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1 例20、（浙江理，2011）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .例21、(重庆文，2004)已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例22、（重庆理，2007）若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15 B ．4 C ．5 D ．2例22、（重庆文，2006）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12 B. 13 C. 14D. 15 例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B.12 C. 14D. 18例26、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27例27、（全国1，2004）,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12 B ．12 C ．12- D ．12+例28、（湖南理，2004）设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例29、（陕西理，2006）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例30、（全国1理，2008）若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥例31、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例32、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a。
经典均值不等式练习题
均值不等式 【2 】均值不等式别名根本不等式.均值定理.主要不等式.是求规模问题最有利的对象之一,在情势上均值不等式比较简略,但是其变化多样.应用灵巧.尤其要留意它的应用前提（正.定.等）.1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数,则2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+,当且仅当b a =时等号成立. （注：以上四个式子分别为：折衷平均数.几何平均数.代数平均数.加权（平方）平均数）一、 根本技能技能1：凑项例 已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值. 技能2：分别配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域. 技能3：应用函数单调性例求函数2y =的值域.技能4：整体代换例 已知0,0x y >>,且191x y+=,求x y +的最小值. 典范例题1. 若正实数X,Y 知足2X+Y+6=XY , 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0,x ,a ,b ,y 成等差数列,x ,c ,d ,y 成等比数列,则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 4 3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0,1］恒成立,则a 的取值规模为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）等分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0,则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是.6. 已知,x y R +∈,且知足134x y +=,则xy 的最大值为.7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ,y 知足x +3y =5xy ,则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=,则下列不等式对一切知足前提的,a b 恒成立的是(写出所有准确命题的编号)．①1ab ≤; ②≤; ③ 222a b +≥; ④333a b +≥; ⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞,则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中准确的是 A.1y xx =+的最小值是2B.2y =的最小值是2C.423(0)y x x x =-->的最大值是2-D.423(0)y x x x=-->的最小值是2-12. 若21x y +=,则24x y +的最小值是______。
均值不等式【高考题】
利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数，则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0，则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值，则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域：（a +b ）2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则（1一1）（1一1）（1一1）最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +，且x +4y -1，则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +，且满足x +y =1，则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时，求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值，则a -【】x -2⑴y-3x 2+2：2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列，x , d ,y 成等比数列，则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5，求函数尸4，一2+，的最大值.44%—5 练习2.函数，+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1，贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0，则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0，则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0，A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0，则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0，则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0，则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则％-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数，且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数，满足%.2y +3z =0，则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,，则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+；")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数，则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2，贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项，则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数，且满足log(9a+b)=log abb，则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A，若点A在直线a mx+ny+1=0上，其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1，则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0，且1+9=1，求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1，求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab［，求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数，则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立，则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0，则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0)，则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项，则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\；215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1，则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -（a +b ）=1，求a +b 的最小值.练习5：已知5+2=2（X >0,y >0）恒成立，则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12，则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a （a+b+c ）+bc =4-2a ，则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\；3+1C .2七3+2D.2,；3-2练习2.已知X ,y 为正实数，3X +2y =10，求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值，并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,（X >0）（2）y _2X +—,X >3X X -3（3）y _2sin X +—i —,X e （0,兀）sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E ）的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1，则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,，则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+；32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ，且ab>0，则以下不等式中，恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数， A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立，则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式的应用（习题+标准答案）
均值不等式的应⽤（习题+标准答案）均值不等式的应⽤(习题+答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：均值不等式应⽤⼀．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最⼩值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最⼩值，正所谓“积定和最⼩，和定积最⼤”．（2）求最值的条件“⼀正，⼆定，三取等”(3)均值定理在求最值、⽐较⼤⼩、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题⽅⾯有⼴泛的应⽤．应⽤⼀：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧：技巧⼀：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最⼤值。
完整版)均值不等式测试题(含详解)
完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。
3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。
4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。
5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。
6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。
7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。
填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。
9．最小值为2，当x=2时取得。
10．最小值为2，当x=1时取得。
11．最大值为4，当x=2时取得。
解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
高二下册均值不等式练习题
高二下册均值不等式练习题在高中数学的学习中，均值不等式是一个非常重要且常用的概念。
它包含了一系列不等关系，可以帮助我们解决许多数学问题。
在下面的练习题中，我们将通过实例来巩固和应用均值不等式的知识。
练习题1：已知实数a、b、c均为正数，并且满足abc=1，证明：(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8。
解答：首先，我们可以展开(a+b)(b+c)(c+a)的乘积：(a+b)(b+c)(c+a) = ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2abc + (a^2c + b^2a + c^2b)。
注意到abc=1，我们可以得到：(a+b)(b+c)(c+a) = ab^2 + bc^2 + ca^2 + 2 + (a^2c + b^2a + c^2b)。
由于a、b、c均为正数，所以ab^2 + bc^2 + ca^2 ≥ 3√(ab^2bc^2) = 3abc = 3，而(a^2c + b^2a + c^2b) ≥ 3√(a^2c^3b) = 3abc = 3。
将这两个不等式代入前面的等式，我们得到：(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 3 + 2 + 3 = 8。
因此，要证明的不等式成立。
练习题2：已知实数a、b、c大于0，并且满足a+b+c=1，证明：(3a+1)(3b+1)(3c+1) ≤ 8。
解答：我们可以先展开(3a+1)(3b+1)(3c+1)的乘积：(3a+1)(3b+1)(3c+1) = 27abc + 9(ab+ac+bc) + 3(a+b+c) + 1。
注意到a+b+c=1，我们可以得到：(3a+1)(3b+1)(3c+1) = 27abc + 9(ab+ac+bc) + 3 + 1。
由于abc≤(ab+ac+bc)/3，所以27abc ≤ 9(ab+ac+bc)。
将这个不等式代入前面的等式，我们得到：(3a+1)(3b+1)(3c+1) ≤ 9(ab+ac+bc) + 9(ab+ac+bc) + 3 + 1 =18(ab+ac+bc) + 4。
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。
28道基本不等式均值不等式练习题
基本不等式习题1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+>>2 B.b ab b a a >>+>2C.ab b b a a >>+>2D.b b a ab a >+>>22．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42B.8C.9D.123．已知0,2b a ab >>=，则22a b a b+-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y+的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．425．设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ）A.245B.285C.6D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431，D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式212m a b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．913．正实数a ，b 满足123a b+=，则()()12a b ++的最小值是 ． 15．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是 ． 16．若点()1,1A 在直线022=-+ny mx 上，其中,0>mn 则11m n+的最小值为 ． 18．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．19．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是 ，2242x y x y++的最小值是 ． 20．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 . 21．0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则m 的取值范围是 ． 22．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则1224x y x y ++-的最小值为 ． 23．若正实数,a b 满足115a b a b+++=，则a b +的最大值是________． 24．设,0,5a b a b >+=,则1++3a b +的最大值为________.25．已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y y x x 的最小值为 ． 26．若0,0>>y x ，且2421=+++y x y x ，则y x 57+的最小值为__________． 27．已知32x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ． 28．已知0x >，0y >，1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ．。
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
均值不等式练习测试题
一、选择题1．若0≥x ，0≥y 且，那么232y x +的最小值为（ ） A. 2 B. D. 0 2．设若的最小值 ( ) M N 等于（ D.{}x7．设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b +的最小值是（ ）A ．8B ．4C ．1D ．148．正数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为A ．18B ．14C ．1D ．329．已知，则的最小值是( )A. 4B. 3C. 2D. 110．已知关于x 的不等式在),(+∞∈a x 上恒成立，则实数a 的最小值为 ()A. 1B. 32 C. 2 D. 11．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用814．已知关于x 的不等式022>++b x ax (0≠a )的解集是22a b a b +-，且b a >，则22a b a b +-的最小值是A ．2 D ．115．在R 上定义运算：对R y x ∈,，有y x y x +=⊕2，如果1=⊕b a (0>ab )，则11()3a b⊕ 的最小值是（ ）A．10 B．9 C．323 D．28316．若0>>ba，则代数式()A.2B. 3C.4D. 517．若0>a，0>b，且2=+ba,则下列不等式恒成立的是()D. 222≥+ba1821．22．若函数)(xf满足：，则|)(|xf的最小值为23．24．已知Ra b∈、，且0ab≠，则下列结论恒成立的是 ( )．A．222a b ab+>25．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n N *∈年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（）A.3B.4C.5D.626．如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块．若，则的最小值为A ．若Z k k x ∈≠,π，则．若0<a ，则C ．若0,0>>b a ，则．若0,0<<b a ，则31．已知)2(log )(2-=x x f ，若实数n m ,满足3)2()(=+n f m f ，则n m +的最小值为A. 5B. 7C. 8D. 93216b a对任意),0(,+∞∈b a 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．)0,2(- B ．),0()2,(+∞--∞ C ．)2,4(- D ．),2()4,(+∞--∞二、填空题33．已知,a R b R ++∈∈，函数2x y ae b =+的图象过（0，1）点，______.34．若关于x 的不等式（组）35关于x 363941．已知b a ,是正数，且3ab a b =++，则ab 的最小值为 .42．M 是△ABC 内的一点(不含边界)，且AB ·AC ， 30=∠BAC ，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为z y x ,,，记49y z+，则),,(z y x f 的最小值是________．43．已知函数9)(22-+=x a x x f 的定义域为{}0,≠∈x R x x ，则实数a 的取值范为 .44．(1成立当且仅当b a ,均为正数.（2（34成立当且仅当0≠a . 以上命题是真命题的是45．设M 是△ABC 内一点,且AB ·AC ， 30=∠BAC ，定义),,()(p n m M f =，46474849515253的图象过点)7,3(A ，则函数)(x f 的最小值是________．54．设R y x ∈,，且5=+y x ，则y x 33+的最小值是________．55．设0<x ，则________．56的值为 57．若0,0>>b a ，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于_.58．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比，除燃料费外其它费用为每小时96元. 当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元. 若匀.62 65．0>,67工厂(68．设A B C D 、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .69．下列结论中 ①函数)0)(21(>-=x x x y 有最大值81②函数xx y 432--=（0<x ）有最大值342-③若0>a ，则4)11)(1(≥++aa 正确的序号是_____________. 70．若不等式)(2222y x a xy x +≤+对于一切正数y x ,恒成立，则实数a 的最小值为________．三、解答题71．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2162m 的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/2m ，中间两道隔墙建造的厚(2)（13≤；（2）若c ab =，求c 的最大值．75．已知0,0x y >>，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥76．(1)的最大值；(2)，求正数a 的值．77．若对任意0>x ，恒成立，求a 的取值范围． 78．（本小题满分12分）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度x （厘米）满足关系式：()()10053≤≤+=x x k x C ，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设()x f 为隔热层建造费用与使用20年的79．第一（180(2)为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？81．已知0,0>>y x ，求证：114x y x y≥＋. 82．设y x z +=2，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－－，＋，，求z 的最大值和最小值．83．设函数()2,f x x a a =-∈R .（1）若不等式1)(<x f 的解集为{}31|<<x x ，求a 的值；（2）若存在0x ∈R ，使3)(00<+x x f ，求a 的取值范围.84．某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（385参考答案1．B【解析】由得得，，所以，因为，所以当时，有最小值，选B.2．C【解析】由题意知，即，所以。
均值不等式练习题
均值不等式练习题1. 练习题一已知非零实数a、b满足ab<0，证明(a+b)/2 > √ab.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意两个正数x和y，有(x + y)/2 ≥ √xy.因此，我们可以推导出(a + b)/2 > √ab.首先，根据已知条件ab < 0，我们可以得出a和b有不同的符号。
假设a>0，b<0，那么我们可以得到√ab = √(a*(-b)) = √(a * -1 * (-b)) = √(a * 1 * b) = √(ab) < 0.另一方面，由于a>0，b<0，所以(a + b)/2 = (a + b)/2 > a/2 + b/2 > √ab + √ab = 2√ab > √ab.综上所述，我们证明了(a + b)/2 > √ab.2. 练习题二已知非零实数a、b、c满足abc = 1，证明a/b + b/c + c/a ≥ a + b + c.解：我们将证明这个不等式是基于均值不等式的。
首先，根据均值不等式，我们知道对于任意三个正数x、y、z，有(x/y + y/z + z/x)/3 ≥ (x + y + z)/(x + y + z)，即(x/y + y/z + z/x) ≥ (x + y + z).因此，我们可以推导出(a/b + b/c + c/a)/3 ≥ (a + b + c)/(a + b + c)，即(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).首先，根据已知条件abc = 1，我们可以得到a、b、c有不同的符号。
假设a>0，b<0，c>0，那么我们可以得到b/c < 0，c/a > 0，那么a/b +b/c + c/a = a/b + (b/c) + (c/a) > a/√(bc) + (-1) + √(bc)/a = (a^2 - bc)/a√(bc) = (a^2 - 1)/a√(bc) = (a - 1/a)/√(bc).另一方面，由于abc = 1，我们知道√(bc) = 1/√a，所以(a - 1/a)/√(bc)= (a - 1/a)√a = (a^2 - 1)/a ≥ a + b + c.综上所述，我们证明了(a/b + b/c + c/a) ≥ (a + b + c).3. 练习题三已知非零实数a、b满足a+b = 2，证明a^2b^2(a^2+b^2) ≤ 2.解：我们将通过变量替换的方法来证明这个不等式。
均值不等式习题
沈阳捷登教育培训学校第1页共 2页 均值不等式一、选择题1.当x>1时，不等式x+11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞,2] B ．[2,+∞) C ．[3,+∞)D ．(－∞,3] 2.若yx y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为（ ） A ．9 B ．28 C ．249+ D ．243.已知正整数b a ,满足304＝＋b a ，使得b a 11+取最小值时，则实数对（),b a 是（ ） A ．(5，10） B ．（6，6） C ．（10，5） D ．（7，2）4.已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.85.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（ ） A.最小值1 B. 最大值1 C. 最小值-1 D.最大值-16.在ABC ∆中，A,B,C 分别为边c b a ,,所对的角，若c b a ,,成等差数列，则B ∠的范围是（ ） A.40π≤<B B. 30π≤<B C. 20π≤<B D. ππ<<B 27.已知22)21(,21-=-+=x q a a p ，其中R x a ∈>,2，则q p ,的大小关系为（ ） A.q p ≥ B. q p > C q p <. D. q p ≤ 8.已知圆()2212x y +-=上任一点P (),x y ，其坐标均使得不等式x y m ++≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）[)1,+∞（B ）(],1-∞（C ）[)3,-+∞(D)(],3-∞-9.若直线220ax by -+=（0a >，0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4 10.设)11)(11)(11(---=cb a M ，且1=++c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,8沈阳捷登教育培训学校第2页共 2页 二、填空题11.已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为___________ 12.已知t o >,则函数2t 41t y t -+=的最小值为 ___________13.若对任意0x >，231x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是___________14.函数y =2m ＋112+m 的值域为___________ 15.若x ≥0，y ≥0，且x+2y=1，则2x 2+3y 2的最小值是___________16.设12,0,022=+>>b a b a ，则21b a +的最大值为 17.已知正数z y x ,,满足,032=+-z y x 则xzy 2的最小值为 18.已知函数)10(31≠>-=+a a a y x 且的图象恒过定点A ，且点A 在直线01=++ny mx 上，若0,0>>n m ，则nm 21+的最小值为 ___________ 19.函数1)1(log +-=x y a (01)a a >≠且，的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数n mx y +=的图象上，其中0mn >，则12m n+的最小值为___________。
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均值不等式
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b
a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*
,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2
211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）
一、 基本技巧
技巧1：凑项
例 已知54x
<，求函数14245
y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑 例 求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性
例 求函数2
y =的值域。
技巧4：整体代换
例 已知0,0x y >>，且
191x y
+=，求x y +的最小值。
典型例题
1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是
2. 已知x ＞0,y ＞0，x ,a ,b ,y 成等差数列，x ,c ,d ,y 成等比数列，则()cd
b a 2+的最小值是( )
A.0
B.1
C.2
D. 4
3. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )
A.[)+∞,0
B.[)+∞-,4
C.[)+∞-,5
D.[]4,4-
4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b
1的最小值是( )
A.1
B.5
C.42
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .
6. 已知,x y R +∈，且满足134
x y +=，则xy 的最大值为 .
7. 设0,0.a b >>1133a b a b
+与的等比中项，则
的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 14 8. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285
C.5
D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．
①1ab ≤； ②≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；
⑤112a b
+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()
211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11.下列命题中正确的是
A 、1y x
x
=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2
C 、4
23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、423(0)y x x x =-->的最小
值是2-
12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。