上海交通大学线性代数B类试卷
线性代数第二版(上海交大)习题答案3
1.由()()()542αββγαγ-+-=+得()14111363326Tγαβ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭. 2．设112233k k k βααα=++，则有1232313123k k k k k k k ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得11k =-，22k =-，34k =， 即12324βααα=--+.3.设112233440k k k k αααα+++=，则有13412341212420530200k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+--=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩ 解得142k k =-，24k k =，30k =， 即只有3α不能由其余三个向量线性表出.4.(1) 因为()12313111012012010112200301010012a A B b a b αααβ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==→= ⎪ ⎪-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以0a ≠，10b -≠且()231a b -=-，即0a ≠，1b ≠且()312a b =-时β是向量1α，2α，3α的线性组合，当1a =，13b =时，101210050101010100300130120000B a b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以12353βααα=-++.(2)由(1)知，当0a =或1b =或0a ≠，1b ≠且()312a b ≠-时β不能由向量1α，2α，3α线性表出.5.(1) 设()211401A αβγ⎛⎫==⎪-⎝⎭，则()23r A =<，所以α，β，γ线性相关.(2) 设()211011220011112112A αβγ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 则()23r A =<.(3) 设()211111111033112003A αβγ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则()3r A =，所以α，β，γ线性无关.6.(1) 设()12110021010310001412002k A k αβγ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以不论k 取何值α，β，γ都线性无关.(2) 设()210214425030234001213000k A k αβγ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪==→ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以当302k--=，即6k =-时，()23r A =<，α，β，γ线性相关； 当302k--≠，即6k ≠-时α，β，γ线性无关. 7.不一定.若()12m A ααα= ，则当()r A m <时12,,,m ααα 线性相关. 8. 由定义，12,,,m ααα 一定线性无关.9.设()()()1230k k k αββγγα-+++-=，则()()()1312230k k k k k k αβγ-+-+++=，由于α，β，γ线性无关，则131223000k k k k k k -=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，解得1230k k k ===，所以αβ-，βγ+，γα-也线性无关. 10. 设()()()11222310s s k k k αααααα++++++= ， 则()()()1112210s s s s k k k k k k ααα-++++++= ，由于12,,,s ααα 线性无关，则1121000s s s k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，系数距阵1000111000011000001000011A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当s 为奇数时1000101001001010001100002A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，()r A s =，方程组只有零解，所以12231,,,s αααααα+++ 线性无关；当s 为偶数时1000101001001010001100000A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()r A s <，方程组有非零解， 所以12231,,,s αααααα+++ 线性相关. 11. 设()()()1230k l k m k βαγβαγ-+-+-=， 则()()()1312230k k lk k mk k αβγ-++-+-=，由于,,αβγ线性无关，则13122300k k lk k mk k -+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，系数距阵101101100101001A l l m lm --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 只有当10lm -≠即1lm ≠时，()3r A =，方程组只有零解，,,l m βαγβαγ---线性无关. 12.n 维单位向量12,,,n εεε 线性无关，不妨设:11111221221122221122n nn nn n n nn nk k k k k k k k k εαααεαααεααα=+++=+++=+++所以 1112111212222212T T n T T n T T n n nn n n k k k k k k k k k εαεαεα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，得1112111212222212TTn T Tn T Tn n nn nnk k k k k k k k k εαεαεα=，由112200T T T T T T nnεαεαεα≠⇒≠即n 维向量组12,,,n ααα 所构成矩阵的秩为n ，故12,,,n ααα 线性无关.13．证明 证法一：设12,,,n εεε 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量12(,,,)T n a k k k = 则有1122n n a k k k εεε=+++ ，即任一n 维向量都可由单位向量线性表示.⇒必要性12,,,n ααα 线性无关，且12,,,n ααα 能由单位向量线性表示，即11111221221122221122n n n nn n n nn nk k k k k k k k k αεεεαεεεαεεε=+++=+++=+++故 1112111212222212T T n T T n T T n n nn n n k k k k k k kk k αεαεαε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式，得1112111212222212T Tn T Tn T Tn n nn nnk k k k k k k k k αεαεαε=由1112112122221200T n T n T n n nnnk k k k k k k k k ααα≠⇒≠，令111212122212n n n nn n nn k k k k k k A k k k ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭， 则由 111112222T T T T T T T T T T T T n n n n A A εεαεαεαεαεαε-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即12,,,n εεε 都能由12,,,n ααα 线性表示，因为任一n 维向量能由单位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由12,,,n ααα 线性表示.⇐充分性已知任一n 维向量都可由12,,,n ααα 线性表示，则单位向量组：12,,,n εεε 可由12,,,n ααα 线性表示，由12题知12,,,n ααα 线性无关.证法二：必要性 设α为任一n 维向量，因为12,,,n ααα 线性无关, 而12,,,,n αααα 是1n +个n 维向量是线性相关的, 所以α能由12,,,n ααα 线性表示, 且表示式是唯一的.充分性 已知任一n 维向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 故单位坐标向量组12,,,n εεε 能由12,,,n ααα 线性表示, 于是有()()1212,,,,,,n n n r r n εεεααα=≤≤ ,即()12,,,n r n ααα= ，所以12,,,n ααα 线性无关.14.证明 设11220s s m n k k k k k αααβγ+++++= ，则由条件知0m k ≠，0n k ≠，因为若0m k =，则由12,,,s ααα 线性无关，12,,,,,s αααβγ 线性相关知，γ能由12,,,s ααα 线性表出，与已知条件矛盾，故0m k ≠；同理可得0n k ≠.因此，1212s n s m m m mk k k kk k k k βαααγ=----- ，即β可由12,,,,s αααγ 线性表出,12,,,,s αααβ 也可由12,,,,s αααγ 线性表出，同理可得，12,,,,s αααγ 也可由12,,,,s αααβ 线性表出，故12,,,,s αααβ 与12,,,,s αααγ 等价. 15．反证法：假设存在0i k =，使得1122112211110m m i i i i m m k k k k k k k k αααααααα--+++++=++++++= ，因为任意1m -个向量线性无关，则12110i im k k k k k -+======= ，即()01,2,,j k j m == ，又12,,,m ααα 线性相关，则存在不全为零的数12,,,m k k k ，使得 11220m m k k k ααα+++= ，矛盾，故()01,2,,i k i m ≠= ，即必存在m 个全不为零的数12,,,m k k k ，使得11220m m k k k ααα+++= .16.(1)构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即31121000513401002011001015330001A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭初等行变换 显然，()()4r A r B ==，即()1234,,,4r αααα=，1234,,,αααα是A 的列向量组的极大无关组. (2) 构造矩阵()12345,,,,A ααααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即1100020144631272501000310111001030031200001A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭初等行变换 显然，()()4r A r B ==，即()12345,,,,4r ααααα=，1235,,,αααα，1245,,,αααα或2345,,,αααα是A 的列向量组的极大无关组.17. (1)构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即1101212324135011120120000A B ⎛⎫⎪⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭初等行变换 显然，()()2r A r B ==，即()1234,,,2r αααα=，12,αα是A 的列向量组的极大无关组，且有31312ααα=+，412ααα=+.(2) 构造矩阵()1234,,,A αααα=，对A 作初等行变换，将其化为规范的阶梯形矩阵，即611710104041015012900001131610000242230000A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 初等行变换显然，()()3r A r B ==，即()1234,,,3r αααα=，124,,ααα是A 的列向量组的极大无关组，且有312450αααα=-+.18.法1：已知()()()453425330αβγξηξηξη-+=--++-+=，且4,5,3-不全为零，由定义,,αβγ线性相关.法2：,,αβγ由,ξη线性表出,且32>，则由定理3.5知,,αβγ线性相关. 19.从向量组12,,,s ααα (1)中任取m 个向量，记为12,,,i i im ααα (2)在组(1)中删掉一个向量后，则其秩最多减1. 组(2)可作为组(1)删掉s m -个向量后所得的向量组，因此组(2)的秩至少是()r s m r m s --=+-.20．设()()()12121212,,,,,,,,,,,,,,,n n n n A B C αααβββαααβββ=== 的极大线性无关组分别为',','A B C ,含有的向量个数(秩)分别为()()(),,r A r B r C ,则,,A B C 分别与,,A B C '''等价,易知,A B 均可由C 线性表示,则()()r C r A ≥,()()r C r B ≥，即()()()max{,}r A r B r C ≤.设'A 与'B 中的向量共同构成向量组D ,则,A B 均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而'C 可由D 线性表示，所以()()r C r D '≤，D 为()()r A r B +阶矩阵，所以()()()r D r A r B ≤+，即()()()r C r A r B ≤+. 21．(1) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，111213713210173540001174000A ⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭选z 为自由未知量，取7z =-，得基础解系1117η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭于是原方程组的通解为X c η=，即1117x X y c z ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，c 为任意常数.(2) 首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵,11111111111011532113012260122601226000000000054331000000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭345,,x x x 为自由未知量.分别取345x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为1000,1,0001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 得基础解系123115226,,100010001ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原方程组的解为112233X k k k ηηη=++, 其中123,,k k k 为任意常数. (3) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，12431108713564201651452310000038241950000---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ 选34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得特解01100γ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系18610η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，27501η-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12187165010001c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.22．首先将系数矩阵化为规范阶梯矩阵，432210131111110124221020000003211100000A ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭选345,,x x x 为自由未知量，分别取3451,0,0x x x ===，3450,1,0x x x ===和3450,0,1x x x ===，得基础解系112100η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234010η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，312001η⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以四个解向量不能构成方程组的基础解系，必须去掉二、四列，取112100η⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，234010η⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，补充312001η⎛⎫⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ηηη构成基础解系.23．(1) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，()222211111,11011110111k k k A k k k k k k B k k k k k β⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭当1k ≠时，()221110101101101110021k k k k k B k k k k k k ⎛⎫++⎛⎫⎪⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎝⎭，若2k =-，则20k +=，而()2110k +=≠，原方程组无解； 若2k ≠-，则原方程组有唯一解；当1k =时，111100000000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，原方程组有无穷多组解，选,y z 为自由未知量.令0y z ==，得特解0100γ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取y z ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系1110η-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101η-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12111010001c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.24．(2) 用初等行变换将(),A β化为规范阶梯矩阵，()11110101110122101221,013200101321100010A B a b a b a a β---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→=⎪ ⎪----+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭当1,1a b =≠-时，10a -=，而10b +≠，原方程组无解；当1a ≠时，2100011011123012210100100101100100010100010b a a a b B a a b b a a -+⎛⎫ ⎪----⎛⎫⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪=→- ⎪-+⎪+ ⎪⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭则原方程组有唯一解：123421231110b a a x a b x a x b x a -+⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭； 当1,1a b ==-时，10111012210000000000B ---⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭原方程组有无穷多组解，选34,x x 为自由未知量.令340x x ==，得特解01100γ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分别取34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭为10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫⎪⎝⎭，得出对应的齐次线性方程组的基础解系11210η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21201η⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是原方程组的通解为01122X c c γηη=++12311218133010000100001k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中12,c c 为任意常数.25．由解向量()12,,,Tn X x x x = 的任意性可得AX O =的基础解系含解向量个数为n ，则()0r A n n =-=，所以A O =.26.因为0ij A ≠，则()1r A n =-，又由于方程组含有n 个未知量，故其基础解系只含一个非零的解向量，亦即任何非零的解向量都是一个基础解系，而由于111122111221122000i i n in i i i i in in n i n i nn in a A a A a A a A a A a A A a A a A a A +++=+++==+++= 且0ij A ≠，故12,,,i i in A A A 是方程组的一个非零解，即()12,,,Ti i in A A A是该齐次线性方程组的一个基础解系.27.充分性：若0A ≠，则由克莱姆法则知，方程组有解.必要性：若方程组有解，则系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩相同，再由i b 的任意性，秩都应等于n ，即A 必为非奇异矩阵，故0A ≠.28.(1)反证法, 假设12,,,,r ηηηξ 线性相关. 因为12,,,r ηηη 线性无关, 而12,,,,r ηηηξ 线性相关, 所以ξ可由12,,,r ηηη 线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明ξ也是齐次线性方程组的解, 矛盾.(2)显然向量组12,,,,r ξηξηξηξ+++ 与向量组12,,,,r ηηηξ 可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组12,,,,r ηηηξ 线性无关, 所以向量组12,,,,r ξηξηξηξ+++ 也线性无关.(3)由定理3.8知，1122r r c c c γξηηη=++++ ()()()()1211221r r r c c c c c c ξηξηξηξ=----+++++++ 设0121r c c c c =---- ，则0121r c c c c ++++= ，且()()()01122r r c c c c γξηξηξηξ=+++++++ .29. 证明 当()r A n =时, 0A ≠, 故有**n AA A A A E A ===，1*0n A A-=≠，所以(*)r A n =；当()1r A n =-时, 0A =, 故有*0AA A E ==即*A 的列向量都是方程组0Ax =的解. 因为()1r A n =-, 所以方程组0Ax =的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此(*)1r A =；当()2r A n ≤-时,A 中每个元素的代数余子式都为0, 故*0A =, 从而(*)0r A =.。
线性代数第二版（上海交大）习题答案1
1. （1）()17263540123219τ=+++++＝,为奇排列. （2）()9854673218763222131τ=+++++++＝，为奇排列. （3）()()()()121215311212n n n n n n τ++-=+-+++= ， 当42n k =-或43n k =-时，为奇排列； 当41n k =-或4n k =时，为偶排列. 2.()()21211n n n n a a a a a a C ττ-+= ，()()21112n n n n n a a a C s s τ--=-=-∴ . 3. （1）()127435689002111005τ+++++++= ＝，8,3i j ∴==时为偶排列;（2）()132564897010200205τ+++++++= ＝，6,3i j ∴==时为偶排列.4.含23a 的所有项为()()1324112332441a a a a τ-、()()1342112334421a a a a τ-、()()2314122331441a a a a τ-、()()2341122334411a a a a τ-、()()4312142331421a a a a τ-、()()4321142332411a a a a τ-，()()()()()()13241,13422,23142,23413,43125,43216ττττττ====== ， 23112332441223344114233142,,a a a a a a a a a a a a a ∴所有包含并带负号的项为---.5．证明 ()()121212121n n ni i i i i i n i i i D a a a τ=-∑()()()()()121212121n nni i i i i ni i i i a a a τ=----∑()()()1212121211n n n ni i i i i ni i i i a a a τ=--∑()1nD =-，当n 为奇数时，,20,0D D D D =-==.6．（1）2512371459274612----- ()()212313134142512152215223714173402162592729570113146121642012r r r c c r r r r r r ---+→-----↔+-→--+-→---()3232343442415221522152220113011301139021600300030012000330003r r r r r r r r r r r ---+-→↔+→=----+→-. （2）1200340000130051--()()121346115283451D -==--=- .（3）222111x xy xz xyy yz xzyzz +++ ()()()()()()222222222222222222111111D x y z x y z x y z x z y x y z y z x =+++++-+-+-+2221x y z +++＝.（4）xy x y yx yx x yxy+++()()()3333332D xy x y x y x y x y =+-+--=-+.（5）0000x y z xz y y z x z y x ()12341010********010x y z x y z x y z x yz x z yx y z z y z y c c c c c x y z y z x x y z z x z x z y x x y zy xy x +++++++→=++++++()()()()()2123134141101010x y zr r r x z yy z x z y y zr r r x y z x y z z x y x z z x y x zy x x yzr r r y x x yz+-→------+-→++=++---------+-→--- ()12123200z x yy z c c c x y z z x yx y z x z c c c x y z z---+→++-----+→--- ()()()101101y z x y z z x y x y z x z z-=++------ ()()()()()21232310101100y z r r r x y z z x y x y z x y r r r y x z-+-→++-----+-→-- ()()()()444222222222x y z z x y x y z y x z x y z x y x z y z =++------=++---. （6）1111111111111111x x y y +-+-()()()14124234311110011111001111100111111111x x yr r r x x yr r r y y y r r r y y++-→--+-→++-→--000000000001110110x yyx yy x y y x y x y xy yy y y--=--=---- ()2222200011111xyyx yxy xy xy xy x y xy x y x x -=+=+=-+=--.7．（1）122222222232222n()()12121122210002222122222222010012232001000203,4,,22200020002i i n r r r r r r i n nn n --+-→+-→=-=--()22!n =--.（2）1231234111321221n n n n n n n n n n ------设此行列式的值为D , 将第2,3,,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为()112312n n n ++++=+ ，将此公因式提出, 因此有 121125411431321)1(21-+=n nn n D，再令第n 行减去第1n -行, 第1n -行减去第2n -行, …, 第2行减去第1行, 可得()()11231111110111111111110111122111110111111111n n n n n n n n n n D n n nn -----++==----()123111111111111121111111111n n n n n c c c c c n -----+++++→---()()()1210000000100000001112,3,,12210000000100000n i i n n n n n c c c n n n n i n n n n -------+→++=--=------()()()()()()()()32112212211111122n n n n n n n n n n n n n ---+---++=---=-.（3）123103121230n n n ------11231231030262!120322,3,,1230000i innn nr r r n n n i nn-+→=--=---. （4）0000000000000000x y x y x x y yx将行列式按第一列展开得nn n n n y x y x y x y y x y x y x x D 11)1(0000000)1(0000000++-+=-+= . 8. （1）11001010001x y zx y z =()()()2222221234111100100110100010001001xy zx y z x y z x c x c y c z c c x y z y z---+-+-+-→=---=2220x y z ∴++=,0x y z ===.（2）2222134526032113212x x ---=--+--22132222131223452625463211123132121232x x c c x x ------↔---+--+----()()212223134342224141223122320900090010052005200510001r r r x x r r r r r r x x r r r x --+-→--+-→-+→-----+→- ()()225910x x =---=31x x ∴=±=±或.9. （1）()11111111222222222333333331a b x a x b c a b c a b x a x b c x a b c a b xa xbc a b c ++++=-++证明 第二列乘以()x -加到第一列得()()()()21111111122222222222333333331111x aa xbc a a x b c D x aa xbc x a a x b c a a x b c x aa xbc -++=-+=-++-+ ()()11122122223331a b c c x c c x a b c a b c +-→-， 得证.（2）12111000100010nn k k k n na a x a x a x a x-=---=-∑.证明 用数学归纳法证明. 当2n =时, 212212121k k k a D a x a a x a x-=-==+=∑, 命题成立.假设对于()1n -阶行列式命题成立, 即 1111n n k n k k D a x ----==∑,则n D 按最后一行展开, 有111000001000001000(1)0001001n n nn xx D a xD x x+----=-+--11111(1)(1)n n n n k n k k a x a x -+---==--+∑11n n k n k k a a x --==+∑1nn k k k a x -==∑，因此, 对于n 阶行列式命题成立.（3）cos 100012cos 100012cos 00cos 0002cos 1012cos n αααααα=.证明 用数学归纳法证明.当1n =时, 1cos D α=, 命题成立. 假设对于1n -阶行列式命题成立, 即 1cos(1)n D n α-=-, ， 则n D 按最后一列展开, 有11cos 100012cos 100012cos 00(1)2cos 0002cos 101n n n n D D ααααα+--=-+22cos cos(1)n n D αα-=--[]12cos cos(2)cos(2)2n n n ααα=+--- cos n α=，因此, 对于n 阶行列式命题成立.(4)121211111111(1)111nn i ina a a a a a a =++=++∑证明 法一11212121323131414111111111000011100001110000011100000001n n n na a a a r r r a a a r r r D a r r r a a a a a -+-+-→-+-→=--→+--+提取公因子123211211111111110000101000100000100010100001n n n n na a a a a a a a a a ---+----- 12321121121111111101000000100000000000001000001nk kn n n n n na a a a a a c c c c a a a a =---++++→∑1211(1)nn i ia a a a ==+∑. 法二122112133223243431100001000111100011110001111000100001n n n n n n a a a a c c c a a a c c c D a c c c a a a a a ---+-→-+-→=--→+--+按最后一列展开（由下往上）121(1)()n n a a a a -+ 12233422000000000000000000000000000n n na a a a a a a a a --------122331100000000000000n n na a a a a a a a ----+---22334110000000000000n n na a a a a a a a -----+--1211232123123(1)()n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a -----=+++++1211(1)nn i ia a a a ==+∑. (5)()()12311231123111123112311n n n n nn n n ij j i j i i n nn nx a a a a a x a a a a a x a a a x a x a a a a x a a a a a x ---==--⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏ . 证明 法一12311231123112311231n n n n n n n n n n n x a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=1231112221211333134141111110000000000n n n n n nx a a a a a x x a r r r a x x a r r r r r r a x x a a x x a ------→---→-→----()()()3112112233111122110001010010010101n n n n n nn n a a a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ---------------提取公因子()()()12122111211122101000000001001ni n n i i i n n n nn n n a a a a x a x a x a x a c c c c x a x a x a -=--+----+++→---∑()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 法二12311231123112311231n n n n n n n n n n nx a a a a a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x -----=121232343c c c c c c c c c -→-→-→ 1122223333111231000000000000n n n n n nx a a x x a a x x a x a a x a a a a x ----------按最后一行展开（由右往左）11222211()()()()n n n n n x x a x a x a x a -------- 1122223333122000000000000000000n n n n nx a a x x a a x x a a x a a x -----------11222233332111100000000000000n n n n n n n x a a x x a a x x a a a x x a a x ----------+----()22223313344111110000000100000n n n n n n na x x a a x x a a x a a x x a a x +---------+----1122221111222211()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n x a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------=-----+----12222112113311()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a --------+----+----+ 111223322()()()()()n n n n n n a x a x a x a x a x a ----+-----()()111nn ij j i j i i a x a x a ==⎛⎫=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭∑∏. 10.解：由范德蒙德行列式性质得21211112111111()1n n n n n n x x x a a a P x a a a ------=12111111211111n n n n n n x a a a x a a a ------=()()()1231121222212311111n n n n n n n a a a a x a x a x a a a a a ----------＝，121,,,n a a a - 互不相同,∴由范德蒙德行列式性质得12312221123111110n n n n n n a a a a a a a a ------≠，故()P x 是x 的1n -次多项式，方程()0P x =的所有根为121,,,n x a x a x a -=== . 11. （1）方程组的系数行列式504211217041201111D -==-≠， 所以方程组有唯一解.又130421121711200111D -==-，253421121741201011D ==，350321111741101101D -==，450431121741211110D -==-， 故可得解为111D x D ==，221D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （2）方程组的系数行列式2151130627002121476D ---==≠--，所以方程组有唯一解.又1815193068152120476D ---==---，22851190610805121076D --==----，3218113962702521406D --==--，4215813092702151470D --==---，故可得解为113D x D ==，224D x D ==-，331D x D ==-，441Dx D==. （3）方程组的系数行列式3200013200630013200013200013D ==≠，所以方程组有唯一解.又1120000320031013200013200013D ==，2310001020015003200013200013D ==-，332100130007010200003200013D ==，432010132003013000010200003D ==-，532001132001013200013000010D ==，故可得解为113163D x D ==，22521D x D ==-，3319D x D ==，44121D x D ==-，55163D x D ==. 12.设平面方程为ax by cz d ++=，则由题意知233a b c da b c d a b c d ++=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩， 方程组的系数行列式111231160311D =-=-≠--，所以方程组有唯一解.又11131811d D dd d=-=---，21121231dD d d d=-=--，31123631dD d d d==--，故可得解为12D d a D ==，28D db D ==，338D dc D == ，代入平面方程得438x y z ++=. 13. 证明充分性：若0a b c ++=，则把c a b =--带入方程组000ax by c bx cy a cx ay b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（1） 可得1x y ==即三条直线相交于一点()1,1；必要性：若三条不同直线（1）相交于一点，则三个平面000ax by cz bx cy az cx ay bz ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（2） 相交于非零点，而由克莱姆法则，方程组（2）有非零解的必要条件是其行列式为零，又()()()()22212a bcb c a a b c a b b c c a c a b ⎡⎤=-++-+-+-⎣⎦， 所以，a b c ==或0a b c ++=，由题意a b c ==不满足， 故0a b c ++=.14.令()32f x ax bx cx d =+++，由()10f -=，()14f =，()23f =，()316f =知048423279316a b c d a b c d a b c d a b c d -+-+=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 方程组的系数行列式11111111480842127931D --==≠， 所以方程组有唯一解.又10111411196342116931D -==，2101114112408321271631D --==-，31101114108431279161D -==，4111011143368423279316D --==，故可得解为12D a D ==，25D b D ==-，30D c D ==，47Dd D==， 即()32257f x x x =-+.。
线性代数B期末试卷及答案
2008 – 2009学年第二学期《线性代数B 》试卷3．设方阵B 为三阶非零矩阵，且AB=O ，则。
4。
设向量组线性无关，向量β不能由它们线性表示，则向量组β的秩为。
5．设A 为实对称阵，且｜A |≠0，则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x =．６．设的两组基为,,;T ,,则由基到基 的过渡矩阵为。
6小题,每小题3分，满分18分) n 为n 阶行列式，则D n ＝0的必要条件是［ ］。
（A ）D n 中有两行元素对应成比例; (B ） D n 中各行元素之和为零； （C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解． 2．若向量组α，β，γ线性无关，α,β，σ线性相关,则[ ］。
（A)α必可由β，γ，σ 线性表示； （B) β必可由α，γ，σ 线性表示; （C)σ必可由β,γ，α 线性表示; （D ）γ必可由β，α,σ 线性表示.３．设3阶方阵A 有特征值0，－1，1,其对应的特征向量为P 1，P 2，P 3，令P ＝（P 1,P 2，P 3），则P －1AP ＝[ ］。
(A ）；（B ）；（C) ； （D ）．４．设α1,α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是[ ]。
(A)α1，α2,α3 - α1； （B)α1，α1+α2，α1+α3； （C)α1+α2,α2+α3，α3+α1; （D)α1-α2，α2-α3，α3—α1。
５．若矩阵A 3×4有一个3阶子式不为0,则A 的秩Ｒ（）=[ ］.(A ）1;(B ）2； （C ）3；(D ）4．６．实二次型f ＝x T Ax 为正定的充分必要条件是［ ]。
（A ） A 的特征值全大于零； （B ） A 的负惯性指数为零； （C) ｜A | 〉 0 ；（D ）R （A ） = n 。
三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分） . ２.求向量组,，，的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出。
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
上海大学线性代数样题
5 * 1 7. 已知A = 0 0
5 0 4 0 7 8 , A−1 = 0 5 0 0 7 5
一、选择题： 选择题： （每小题 2 分，5 题共 10 分）
1．A 是数域 F 上 m x n 矩阵，b 为 m 维列向量， 以下错误的是（ ） A．如果 A 是列满秩的，则线性方程组 Ax=b 有唯一解 B．如果 A 是列满秩且 m=n，则线性方程组 Ax=b 有唯一解。 C．齐次线性方程组 Ax=0 若有两个不同的解，它一定有无穷多个解 D．当 m < n 时，则齐次线性方程组 Ax=0 有非零解 E．若 Ax=b 所有解向量至多有 n 个解向量线性无关，则 r(A)=1 2．设 A 是 m╳n 矩阵，且 AB=AC，则（ ） A．当 A≠O 时，B=C B．当 m=n 时，B=C C．当 r(A)=n 时，B=C D．当 r(A)=m 时，B=C 3．设 A，B，C 是方阵，若 ABC =I ,则必有（） A． BCA=I； B． CBA = I ；C． BAC =I ；D． ACB =I . 4. 设 A 是方阵，若 A = 0 ,则错误的是（）
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得分
评卷人
三、计算题： 计算题： （本大题 6 小题，共 57 分）
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1 3 13.(9分) 设D = −2 5
1 1 1 1
7 −1 8 0 ，设A11 , A12 , A13 , A14为其第一行代数余子式。 4 3 2 5
1 1 1 1 1 1 1 −1 ( 共 4 页 ) , 且AXA −1 = −2 XA −1 + I , 求A和X 14.（ 10分）设( A + 2 I ) = 1 1 1
交大版线性代数答案
交大版线性代数答案（一）1，（1）（2）（3）（4）也可化简为上三矩阵角或者按某一行（列）展开。
（5）（6）2，（1）,为奇排列、例如和式的第二项5表示与排列中第二项7构成逆序的数，也就是7后面比7小的数的个数。
资料个人收集整理，勿做商业用途（2），为奇排列、（3）当时为奇排列，否则为偶排列。
3，在共有个数对，逆序数为，故顺序数为个。
但在排列中将排列中的逆序数变为顺序数，顺序数变为逆序数，故排列的逆序数为个。
（变为）。
资料个人收集整理，勿做商业用途4，（1）当时为奇排列，交换顺序排列改变奇偶性，故当时排列为偶排列。
（2）当时为奇排列，交换顺序排列改变奇偶性，故当时排列为偶排列。
5，含的所有项为、、、、、，，、6，（1）（2）（3）（4）7，（1）、（2）第二、三行都加到第一行，从第一行中提出即得：（3）（4）（5）（6）8，（1）（2）9，10，11，故：也可按行列式的性质将上两式构成行列式来求：12，（1）、（2）（3）（4）（5）（6）13，（1）证明：第二列乘以加到第一列得（2）、证明：用数学归纳法证明、当时, , 命题成立、假设对于阶行列式命题成立, 即 , 则按最后一行展开, 有，因此, 对于阶行列式命题成立、（3）、证明：用数学归纳法证明、当时, , 命题成立、假设对于阶行列式命题成立, 即 , ，则按最后一列展开, 有，因此, 对于阶行列式命题成立、（4）、（也可按把最后一列分开来证）。
（5）14，（1）方程的系数行列式为：故原方程有唯一解，又所以方程的解为：（2）方程的系数行列式为：当原方程有唯一解，此时方程的解为：（3）方程组的系数行列式为：所以方程组有唯一解、又，，，，故可得解为，，，、（4）方程组的系数行列式，所以方程组有唯一解、又，，，，，故可得解为，，，，、（5）方程组的系数行列式为：故方程组有唯一解，又（各行减第一行再按第一行展开）故可得解为，，，，、15，当方程组的系数行列式为零是才有非零解：（1）系数行列式为：故当时方程组有非零解。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线性代数第3版习题全解(上海交通大学)
上海交通大学试卷(答案)
上海交通大学试卷(答案)（2019至2020学年第1学期）课程名称初等数论第1题：选择题[共21分]1.1[3分]15125与25256能否表示成两个整数的平方和？（B）(A)都不能(B)仅15125能(C)仅25256能(D)都能1.2[3分]令k为三维实空间中一条直线上的全体整点的集合的势。
k的可能取值有多少种？（B）(A)2种(B)3种(C)可数无穷种(D)不可数多种1.3[3分]下面各数中哪一个没有原根？（B）(A)4(B)8(C)9(D)181.4[3分]最小的可以被所有判别式为−100的整正定二元二次型表出的(正)整数为哪一个？（B）(A)5(B)25(C)100(D)不存在1.5[3分]令A为一个正整数集合，令αn表示A中不超过n的元素的个数，并且令α˙=lim sup n→∞αnn >0。
∑a∈A 1a等于多少？（C）(A)π2+π4+π61−α(B)11−α2(C)∞(D)具体取值不能仅由α决定1.6[3分]225+1含有下述哪一个素因子？（D）(A)2(B)11(C)101(D)6411.7[3分]实数轴上是否存在一族开区间，使得每个有理数都只被其中有限个区间覆盖，每个无理数都被其中无限个区间盖住？（A）(A)存在(B)不存在(C)存在性与选择公理等价(D)由Godel不完全性定理可知这无法判定第2题：填空题[共30分]2.1[5分]11x+8y=600的正整数解(x,y)的个数为6。
2.2[5分]72020在十进制展开中最后两位是01。
2.3[5分]称2的幂次或者2的幂次的3倍为一个好数。
把100颗一模一样的珠子分成大小不一的若干堆，使得每一堆里头的珠子个数都是好数。
这种分法的个数为34。
2.4[5分]模257的原根共有128个。
2.5[5分](1747)=1（填一个整数）。
2.6[5分]13x=71(mod380)的解为327+380k。
第3题：计算题[10分]试确定y2+x−x3=0的所有整数解(x,y)。
上海交通大学线性代数第一,二章深刻复知识题附答案解析
6 3 74 7 1，贝y A中元素的代数余子式等于-11 ；1 1 3Q A12A 2B = 54 _______3印30 & 2d〔a1b c1 2d1A 2B = 3 a? 3d C2 2d 2 32a2 d c2 2d23a3 3b；j C3 2d 3 a3 b s C3 2d3A j0 A 0a1b1a1b2abazd a2b2a2b n6•设A = ，其中a i 0 , b i 0, i 1,2, ,n ,and a n b2 a n b n则r(A) = 1 ；7、设A,B,C都是行列式等于3的3阶方阵，则行列式一、填空题Q 3A 3n A 33A9 A 131 2 3 1 3 53、设3阶方阵 A 4 0 6 0 ,B 2 4 t，且AB 0 ,1 0 3 3 0 3则t = -7a1 b1 C1 a1 b1 d14 •设A = a2 b2 C2 , B a2 b2 d2，且 A =4 , B =1，则a3 b3 C3 a3 b3 d33 a1 bi C1 ai bi 2d19 a2b2 C2 9 a2 b2 2d2 a3 b a C3 a3 b3 2d3 9[4 2 1] 54 ；1)12、设A是3 阶方阵，5已知A是秩为2的4阶矩阵，则r(A )=__0_________D 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( 3 A) 1 ； B 3A 1 B ( 3)3 A 127&已知 A 为三阶方阵,且| A | 4 , A2E 8 ,则A A 1 =2________ J ______ ?1 1 11 1 01 1 1 12 110、设A 为n 阶可逆矩阵，B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵，则1AB = _pij_ _。
11 •设A 为5阶方阵，且|A =-4，则行列式 A A 46a11 a12a135a 〔13a 〔2 a1312如果Da 21 a22 a233，则 D 15a ?1 3a ?2a23=-45a 31a32a3353313a32a33、选择题9、设A4行各元素的代数余子式之和为an a 123H X 113 如果a 21 a 222,线性方程组 a 21X 1是1 X 314 .已 知行 列 式 X 4 0中元 素(1,5 6 4Q2X 2 b的解必元素(2,1)的代数余子式A 21的值—O15 .已知A 为5阶方阵，且行列式 5|A| a ，则 |2A| _|2A| 2 a 322X 2b2)的代数余子式A 128an a 12 a 134an 2an 3a 12 a 13 1、如果Da 21 a 22 a 231，则 D 14a 21 2a 21 3a 22 a 23a 31 a 32 a 334a 312a 313a 32a 334、当adbe 时， c;d=( )1 d e1de(A)(B)ad be b aad be b a1d b1d b(C)(D)be < a d eaad be ea5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是( )1 01 0 01 0 0(A)0 0 1(B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 11 0 10 0 40 0 10 1 010 1a11 a12 a13a 113a 31a 〔2 3a32a133a336、若 Pa21 a22 a23=a21a22a[23 ，则a 31a 32a33a31a32a33P =()1 0 01 030 03(A)0 1 0(B)0 1 0 (C)0 1 03 0 10 0 11 01CBA Ea ib(A) 8 (B) 12 (C)24(D)24 2 •设A 为4阶方阵，已知 且，则3、设A ,B ,C 是n 阶方阵且ABC 必成立的是 BCAE , E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中(A) )(B) ACB(C) BAC E(D)(A) (B)(C) A A i(D)ii •设，且a ,c 均不为零，则A i(A) (B)i 412(C)(D)i2 .设(A) B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B) r(B) 2AB 0,r(A)(C) r(B)2，则( 2 (D))r(B) 2(a i a 2 b i b 2)(a 3a 4 b s b q )(A) A 2A i(B) Aii2E(C) A -A(D)A i9、设A 、 B 都是n 阶非零矩阵，且 AB 0，则A 和B 的秩(B ) (A) 必有一个等于零(B)都小于n(C) 一个小于n ，—个等于n(D)都等于028、设n 阶方阵A 满足A 2E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有()0，其中 E 为n 阶单位矩阵, io •设n 阶矩阵 A 满足 则必有)( A 2 E1 0 0(D) 01 0 03 1a i 0 0 bi0 a 2 b 2 0A7、设A，则 =()0 t h a 3 0 b 4 0 0 a 4(B)a i a 2a 3a 4b 1b 2b 3b 4(C)(a 2a 3 b 2b 3)(a i a 4 bb 4) (D)(A) a i a 2a 3a 4 b]b 2b 3b 4计算题T0 17 T0 14 3AB14 1317 13 103 10法二2 1 A T0 3 1 2 1 4 22 1 AB T B T A T7 2 0 0 3 1 3 11 22、求行列式;X nX x 2x n m1 1 1 1 21(4)1 1n21 12 1 (1 )2 23 1 3 34 245 5 32 0 11、 已知 A1 32 1 7 1 B 4 23 求(AB)T。
2009-2010《线性代数B》B卷试题答案
故解为
x1 x2 ，其中 x2 为自由变量； x3 0
……………………..3 分
3 1 0 5 1 1 1 2 当 3 时， A 3 2 1 ~ 0 1 ， ……………………..1 分 5 2 3 0 0 0 0
所以 B A E ……………………..2 分
1 0 1 1 0 0 2 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 。 1 0 1 0 0 1 1 0 2
五、 （12 分） 解：
……………………..1 分
1
……………………..2 分
2 2 1 3 3 3 1 2 2 ， 3 3 3 2 1 2 3 3 3
……………………..1 分
9 0 0 且 Q AQ 0 18 0 ，令 X QY ， 0 0 9
2 11 8 解：(1) A 8 5 10 2 10 2
所以该二次型的秩为 3；
1 5 1 ~ 0 5 2 ， ……………………..3 分 0 0 1
……………………..1 分
(2) 计算 A 的特征值和特征向量。
上海大学 2009～2010 学年秋季学期《线性代数 B》B 卷答案
一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1 10 1 12 1． ； 2． 5 5 3 10
1．B； 2．C；
0 1 5 2 5
0 0 0 0 0 ； 3． l m 1 ； 4． 0 4 0 ； 5．3。 0 0 6 1 2
3
上海交通大学2005至2006第一学期线代数bA卷期末考试试题
上海交通大学2005至2006第一学期线代数bA卷期末考试试题线性代数（B）试卷——-—A卷2006—1—4姓名____ _____ __班级____ ___ ___学号______ ________题号一二三四总分得分一、单项选择题（每题3分,共15分）1。
向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则以下结论中不能成立的是(A）向量组线性无关；(B）对任一个，向量组线性相关；（C) 存在一个,向量组线性无关;（D）向量组与向量组等价。
2。
设三阶矩阵，已知伴随矩阵的秩为1，则必有（A) ；(B）；（C) ; （D）.3。
设是维非零实列向量,矩阵，，则___________（A) 至少有－1个特征值为1；(B）只有1个特征值为1；（C）恰有个特征值为1；(D）没有1个特征值为1。
4。
（A) ; (B）；（C) ；(D)。
5。
设为实矩阵，,则（A) 必合同于阶单位矩阵；（B）必等价于阶单位矩阵；（C）必相似于阶单位矩阵；（D）是阶单位矩阵.二、填空题（每题3分，共15分）1．已知为阶方阵,不是的特征值，且，则。
2. 若三阶方阵有特征值，则行列式。
3．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。
4。
已知为阶方阵，是的列向量组，行列式,其伴随矩阵，则齐次线性方程组的通解为。
5. 设为阶实矩阵，且，，则行列式。
三、计算题(每题9分,共54分）1．线性方程组为,问，各取何值时,线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
2. 设3阶方阵满足方程，试求矩阵，其中，。
3．计算行列式,其中,4。
已知实二次型=,求正交变换,化为标准形,并写出正交变换5. 已知为三阶实对称矩阵，秩，,,是对应特征值的特征向量，试求:（1）的另一个特征值及其特征向量；（2）矩阵,矩阵。
6. 设的两个基，，；,，（1) 求由基的过渡矩阵；(2) 已知向量,求向量在基下的坐标；(3）求在基下有相同坐标的所有向量。
矩阵论B卷及答案上海交通大学
上海交通大学《矩阵论》 B 卷姓名： 班级： 学号： 一、 单项选择题(每题3分，共15分)（答案AAAAB ）1. 设1()kk A f A k ∞==∑收敛，则A 可以取为A. 0091⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ B. 0091⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C. 1011⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ D. 100.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：A 的特征值为0，-1，而1kk x k∞=∑的收敛区间为[1,1)-2. 设M 是n 阶实数矩阵，若M 的n 个盖尔圆彼此分离，则M A. 可以对角化 B. 不能对角化 C. 幂收敛 D. 幂发散 注：由定理M 有n 个不同特征值，故可以对角化3. 设211112121M --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的，则M 不存在 A. QR 分解 B. 满秩分解 C. 奇异值分解 D. 谱分解 注：M 的秩为2故无QR 分解 4. 设，则A = A.214020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B.114010061-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.224020031-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭D.204020061-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：'()At Ate Ae =，故()'A At t A Ae Aee ====5. 设3阶矩阵A 满足多项式222(4)(3)A E A E O --=, 且其最小多项式m (x )满足条件(1)(3)1m m ==,则A 可以相似于A. 200130002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B. 20002002M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 20012002M ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ D. 200030013M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦注：B 中矩阵的最小多项式为()22x - 二、填空题(每题3分，共15分) 1． 设220A A -=，则cos 2A ＝ [ E+()2cos11A - ]。
2．已知n nA C ⨯∈,并且()1A ρ<,则矩阵幂级数kk kA ∞=∑=［()2AE A - ］。
线性代数考试试卷答案(北交大)
解： 因为，所以向量组线性无关，而 线性相关，所以，存在数，使得
（*） 设有数，使得 将（*）式代入上式并化简，得 由于，所以向量组线性无关．因此，由上式，得
， 解此方程组，得 ，因此，向量组 线性无关，即此向量组的秩为4．
八．（本题满分10分）
已知是矩阵的一个特征向量． ⑴. 试确定参数、及特征向量所对应的特征值； ⑵. 问是否相似于对角阵？说明理由． 解： ⑴. 由于是矩阵的一个特征向量，所以有 成立．即有
已知 ，
且，其中是3阶单位矩阵，求矩阵． 解： 由，得，而且
因此矩阵可逆，且 ，
所以，由，得，因此， ．
四．（本题满分10分）
问为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式．
解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵： （第1行乘以、后分别加到第2、3行） （第2行乘以后加到第3行） 所以，原线性方程组的系数矩阵的秩为．当时，其增广矩阵的秩为，因 此此时原线性方程组无解． 当时，，故线性方程组有解．此时，上面的阶梯矩阵为 因此，原线性方程组的通解为 其中是任意实数． 写成基础解系的形式，有
北方交通大学
2002-2003学年第二学期线性代数（B）重修课考 试试卷答案
一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道 小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．4阶行列式__________________． 应填：． 2．已知向量组 ，，，， 则该向量组的秩是_________________． 应填：． 3．已知线性方程组 无解，则__________________． 应填： 4．设是阶矩阵，，是的伴随矩阵，是阶单位矩阵．若有特征值，则 必有特征值是_________________． 应填：． 5．设矩阵
上海交通大学线性代数期末考试题07081线代BA卷
一 单项选择题（每题3分，共18分）1． 设33)(⨯=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a.621； b. 611； c. 311； d. 6。
2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=若，，333231232221131211001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。
3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关；c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，为任意常数） （ ） a. **B A ＋； b. **-B A ； c. **B A ； d. **B k A k 21＋。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222a a a A ，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ）a. 2=a ；b. 2=a 或4=a ；c. 4=a ；d. 2≠a 且4≠a 。
6．设βα，是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ）线性代数考试题及答案a.βα+； b ．βα-； c ．α； d ．β。
二 填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 30000210=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则∑∑==3131i j j i A ＝ 。
《线性代数》模拟试卷B及答案
《线性代数》模拟试卷B及答案一、选择题(每小题3分，共30分)(1)若A为4阶矩阵，则|3A|=()(A)4|A| (B) 34|A| (c) 4*1 (D)3|A|(2)设A, B为n阶方阵，AHO且A3 = 0,则()(A)3 = 0 (B)B4 = 0(C) (A + B¥ =A2 + B2(D)|A| = 0或网=0(3)A, B, C均为n阶方阵，则下列命题正确的是()(A) AB = BA(B) A H 0,3 H 0则A3 工0(D)若A3 = AC,贝ijB = C(4) (A + B)2=A2+2AB + B2成立的充要条件是()(A) AB = BA(B) A = E (C)B = E(D)A = B(5)线性方程组伙—l)：+2y = ：有唯—解,贝％为( )[2x + (k-\)y = b(A)任意实数(B)不等于(C)等于土岳(D)不等于0(6)若A为可逆阵，则⑺丁、()(A)|A|A(B)|A|A*(c)|矿A(D)|A「&(7)含有4个未知数的齐次方程组AX=09如果/?(A) = 1,则它的每个基础解系中解向量的个数(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(8)设A为加X”矩阵，齐次方程组AX=0仅有零解的充要条件是A的()(A)列向量线性无关(B)列向量线性相关(C)行向量线性无关(D)行向量线性相关3已知矩阵A=，下列向量是A的特征向量的是(-1blb2(A)(B)(C)(D)1k°丿a11（10）二次型/（x p x2,x3） = x l2 +4可+4若+2加宀-2%宀+4心疋为正定二次型,的取值范围(A)-2<2<1 (C)-3<2<-2 (D)2>2二、计算题（第1、2小题每题5分, 第3、4小题每题10分，共30分）U计算行列式（5分）2、设A二3<3 r5 ,求A的逆A」。
（5分）3丿10、 (\3＞求矩阵方程AX+B = X9其中A= -1 1 1 、B= 2o -1丿〔5 -1、0 o (10 分)一3‘4、求向量组a严(-1 I 4 3)', a2 = (2 -1 3 5)', a3=(l 0 7 8)； , a4 = (5 -3 2 7)'的秩,并求出它的一个最大无关组。
上海交通大学 线性代数 b行列式的性质
第4页
记
a11 a12 a1n D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a21 an1
DT a12 a22
an2
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
第5页
32
31
10
14
24
a11 a12 a1n
0 a22 a2n
a11a22 ann
an1 an2 ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
第9页
ka11 ka12 ka1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k n ai1 ai2 ain
kan1 kan2 kann
an1 an2 ann
第10页
性质 行列式中如果有两行（列）元素成比例， 则此行列式为零．
221122111211nn2221112211性质性质行列互换行列式的值不变即说明行列式中行与列具有同等的地位因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立所以我们以后只讨论行列式行的有关性质性质性质互换行列式的两行列行列式变号
1.2 行列式的性质
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考虑二元一次方程组
a1x1 b1x2 c1 a2 x1 b2 x2 c2
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则
此行列式为零.
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171
662
666
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性质 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
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上海交通大学线性代数B类试卷
一单项选择题（每题3分，共18分）
1．设为实矩阵,则线性方程组只有零解是矩阵为正定矩阵的（）
(A) 充分条件；(B) 必要条件；(C) 充要条件；(D) 无关条件。
2．已知为四维列向量组，且行列
式，
，则行列式（）
(A) 40； (B) －16；(C) －3； (D) －40。
3．设向量组线性无关，且可由向量组
线性表示，则以下结论中不能成立的是（）
(A) 向量组线性无关；
(B) 对任一个，向量组线性相关；
(C) 存在一个，向量组线性无关；
(D) 向量组与向量组等价。
4．已知为阶可逆矩阵（），交换的第1，2列得，为的伴随矩阵，则（）
(A) 交换的第1，2行得； (B) 交换的第1，2行得；
(C) 交换的第1，2列得； (D) 交换的第1，2列得。
5．设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，则（）
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 。
6．设是方程组的基础解系，下列解向量组中也是
的基础解系的是（）
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) 。
二填空题（每题3分，共18分）
7. 已知列向量是矩阵的对应特征值的一个特征向量。
则＝，＝，＝。
8．设维列向量，其中。
已知矩阵
可逆,且，则___ ______。
9．已知实二次型正定，则常数的取值范围为________________。
10．设矩阵，是中元素的代数余子式。
已知
，，且，则。
11．设,，其中是非齐次线性方程组的
解，已知为矩阵，且。
则线性方程组的通解为。
12．设，已知相似于对角阵，则= ，= 。
三计算题（每题8分，共48分）
13．设，计算阶行列式。
14．设线性方程组为，试问取何值时，此线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？当其有无穷多解时，求其通解。
15．设为4阶方阵，其中为4维列向量，且线性无关，。
已知向量，试求线性方程组的通解。
16．已知为阶矩阵，且满足，其中。
求矩阵。
17．已知；都是线性空间的基，，在基
和下的坐标分别为和，且，
其中：；。
试求：(1) ；(2) 基（用线性表示）。
18．设实二次型。
求：正交变换，将化为标准型。
四证明题（每题8分，共16分）
19．设矩阵，试证明：
(1) 存在矩阵，使得的充分必要条件为秩；
(2) 若，矩阵，满足，则。
20．设是阶矩阵,是的特征多项式。
证明: 矩阵
可逆的充分必要条件为的特征值都不是的特征值。
参考答案
一选择题 1.(C) 2.(D) 3.(B) 4．(B) 5.(A) 6.(C)
二填空题7．-1,-3,0； 8. ； 9. ； 10．；
11. ； 12.。
三计算题
13. 。
14. 无解；唯一解；无穷多解，
通解为。
15. ，
线性无关，，解得。
16．
；。
17．（1）
，
（2）。
18．
；。
四证明题
19．(1) ，有非零解；
(2) 若，只有零解，，所以，因此。
20．设是矩阵的特征值，，则，
于是
，行列式
故都不是的特征值。