考研数学中值定理总结

中值定理一向是经济类数学考试的重点（当然理工类也常会考到），咪咪结合老陈的书和一些自己的想法做了以下这个总结，希望能对各位研友有所帮助。

1、 所证式仅与ξ相关

①观察法与凑方法

1 ()[0,1](0)(1)(0)0

2() (,)()1 ()()2()0(1) ()() [()]()f x f f f f a b f x f x xf x f x f x xf x xf x xf x '==='ζ''ζ∈ζ=-ζ

'''''ζ--='''''''=L 例设在上二阶可导，试证至少存在一点使得分析：把要证的式子中的换成，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有，从找突破口

因为()(1) ()()[()()]0()()[()]0

()(1)()()

f x f x f x xf x f x f x f x xf x F x x f x f x '+'''''''''''--+=⇒--='=--，那么把式变一下：

这时要构造的函数就看出来了

②原函数法

⎰-⎰-⎰

===⇒=⇒+=⇒='ζζζ=ζ'∈ζ∃==⎰dx

x g dx x g dx x g e x f x F C C e x f Ce x f C dx x g x f x g x f x f x g f f g f b a b a x g b f a f b a b a x f )()()()()( )( )(ln )()(ln )()()(

)

()()(),( ],[)()()( ),(],[)( 2 很明显了

，于是要构造的函数就现在设换成把有关的放另一边，同样有关的放一边，与现在把与方法

造的函数，于是换一种是凑都不容易找出要构分析：这时不论观察还使得求证：上连续

在，又内可导，上连续，在在设例两边积分00

③一阶线性齐次方程解法的变形法

0 ()()()[,](,)()0

()()

(,)()()()()0 [()()]pdx pdx

f pf p x u x e F x f e f x a b c a b f c f f a a b f b a

f f a f b a

f f a '+=⎰⎰==⋅'∈=ξ-'ξ∈ξ=

-ξ-'ξ-=-'⇒ξ-对于所证式为型，（其中为常数或的函数）

可引进函数，则可构造新函数例：设在有连续的导数，又存在，使得求证：存在，使得分析：把所证式整理一下可得：11[()()]00 () C=0()[()()]

()() ()0()() x x

dx b a b a b a f f a f pf b a u x e e F x e f x f a f b f a f c f b f a b a ---'-ξ-=+=-⎰==--'==⇒=-－－，这样就变成了型引进函数＝（令），于是就可以设注：此题在证明时会用到这个结论 2、所证式中出现两端点

①凑拉格朗日

a

b a af b bf f f F x xf x F f f a

b a af b bf b a b a b a x f --=ζ'ζ+ζ=ζ'=ζ'ζ+ζ=--∈ζ)()()()()( ),()( )()()()(),( ),(],[)( 3 下

用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设

证的式子的特点，那么分析：很容易就找到要使得证明至少存在一点内可导

上连续，在在设例

②柯西定理 数就很容易证明了

用柯西定理设好两个函没有悬念了

于是这个式子一下变得分子分母同除一下是交叉的，变换一下，发现容易看出来了

这题就没上面那道那么的式子分析：先整理一下要证，使得

至少存在一点可导，证明在在，设例 )

()( )()( )()()

()()()()

()( ),(],[)( 4 12122121212121211

11

012121221212121x x x x x x x x x x x x x x x x e e e

x f e x f e

x f e x f e c f c f e

e x

f e x f e c f c f x f x f e e e e c x x x x x f x x ---'-=--'-=-<<+

③k 值法

。

，用罗尔定理证明即可记得回带，验证可知那么进入第二步，设还是一样的

称式，也是说互换很容易看出这是一个对整理得设量的这个式子

的形式了，现在就看常以此题为例已经是规范两边

常量的式子分写在等号第一步是要把含变量与值法

方法叫做在老陈的书里讲了一个呢？

很好上面那题该怎么办对柯西定理掌握的不是分析：对于数四，如果仍是上题

k x F x F k x f e x F x x k x f e k x f e k e

e x

f e x f e k x x x x x x x )

()(])([)( ])([])([ )

()( 21212112212121=-=-=-=----- ④泰勒公式法 老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。

3、所证试同时出现ξ和η

①两次中值定理

)]()([)( )( )]()([ )()()( )

()(])([)]()([ )]()([)]()([),( )()( ),(],[)( 5 η'+η=--==ζ'=----=η'+η--=η'='η=η'+η=η'+ηηζ=η'+η∈ηζ==ηζ

ζηηηζ

ηζ-ηf f e a b e e e G e x G e a b e e a b e e f f e a

b a f e b f e F x f e x F f e f f e e f f e f f e b f a f b a b a x f a

b x a

b a b a b x 得到

则再用拉格朗日定理就令这个更容易看出来了，的关系就行了与只要找到再整理一下利用拉格朗日定理可得，设很容易看出子下手试一下

那么可以先从左边的式一下子看不出来什么，分开，那么就有与分析：首先把使得，试证存在内可导，上连续，在在例1

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②柯西定理（与之前所举例类似）

有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。