二次方程根的分布情况归纳(完整版本)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳

1、一元二次方程

02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2

00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，

方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）

k k k

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）

需满足的条件是

（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨

<⎪⎩； （2）0a <时，()()0

f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：

1︒ 若()0f m =或()0f n =，

则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2

220

mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2

m

，由213

m <<得

2

23

m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -<即

()()141530m m ++<得出15314m -<<-

；②由0∆=即()2

164260m m -+=得出1m =-或32

m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故3

2

m =不满足题意；

综上分析，得出15

314

m -<<-或1m =-

根的分布练习题

例1、已知二次方程()()2

21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1

12

m -<<即为所求的范围。

例2、已知方程()2

210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

解：由

()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨

⎪>⎪⎩

⇒ ()2

18010

m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩ ⇒

330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒

03m <<-

3m >+

例3、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 1

22

m -<<即为所求的范围。

例4、已知二次方程()2

2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f < ⇒ ()4310m +< ⇒ 1

3

m <-即为所求范围。

（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在()0,1内，由0∆=计算检验，均不复合题意，

计算量稍大）

2、二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值问题探讨

设()()002

>=++=a c bx ax x f ，则二次函数在闭区间[]n m ,上的最大、最小值有如下的分布情况：

对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若[]n m a b

,2∈-

，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫

⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min ； （2）若[]n m a

b

,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x 轴越远，则对应的函数值越小。

二次函数在闭区间上的最值练习

二次函数在闭区间上求最值，讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间，以下三个例题各代表一种情况。

例1、函数()()2

220f x ax ax b a =-++≠在[]2,3上有最大值5和最小值2，求,a b 的值。

解：对称轴[]012,3x =∉，故函数()f x 在区间[]2,3上单调。

（1）当0a >时，函数()f x 在区间[]2,3上是增函数，故()()()()max min

32f x f f x f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒ 32522a b b ++=⎧⎨+=⎩ ⇒ 10a b =⎧⎨=⎩； （2）当0a <时，函数()f x 在区间[]2,3上是减函数，故()()()()max min

23f x f f x f ⎧=⎪⎨

=⎪⎩ ⇒ 25322b a b +=⎧⎨++=⎩⇒ 13a b =-⎧⎨

=⎩