二次函数题型分类总结
二次函数题型分类总结
二次函数题型分类总结一、顶点在坐标轴上的二次函数方程当二次函数的顶点坐标为（0，a）或（b，0）时，可以得到以下两种形式的二次函数方程。
1. 顶点在y轴上的二次函数方程：y = ax^2这种形式的二次函数方程对称轴为y轴，开口向上或向下。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 顶点在x轴上的二次函数方程：y = a(x-b)^2这种形式的二次函数方程对称轴为x = b，开口向上或向下。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、顶点不在坐标轴上的二次函数方程当二次函数的顶点坐标为（h，k）时，可以得到以下两种形式的二次函数方程。
1. 一般形式的二次函数方程：y = ax^2 + bx + c这种形式的二次函数方程对称轴为x = -b/2a，开口向上或向下。
根据a的正负值可知抛物线的开口方向。
2. 完全平方形式的二次函数方程：y = a(x-h)^2 + k这种形式的二次函数方程对称轴为x = h，开口向上或向下。
根据a的正负值可知抛物线的开口方向。
三、特殊形式的二次函数方程除了以上分类外，还存在一些特殊形式的二次函数方程。
1. 平移后的二次函数方程：y = a(x-p)(x-q)在一般形式的二次函数方程中，平移抛物线的顶点至（p，q）处即可得到平移后的二次函数方程。
2. 平方差公式：y = (x-h)^2 - k^2这种形式的二次函数方程本质上是一个完全平方公式，可利用平方差公式进行求解。
其对称轴为x = h，开口向上或向下。
四、应用题型除了基本形式的二次函数方程外，还存在一些应用题型，需要根据题目给出的条件进行分析和求解。
1. 求最值问题：通过求二次函数的极值点来解决。
2. 求交点问题：将两个二次函数方程相等，解方程得到交点坐标。
3. 求解区间问题：通过对二次函数方程进行开口方向和对称轴的分析，确定函数的定义域或值域。
(完整版)自己总结很经典二次函数各种题型分类总结.doc
二次函数题型分类总结题型 1、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是.① y=x2－ 4x+1；② y=2x 2；③ y=2x2+4x；④ y=－ 3x；⑤ y=－ 2x－ 1；⑥ y=mx2+nx+p；⑦ y =(4,x) ；⑧ y=－ 5x。
2+2t ，则 t ＝ 4 秒时，该物体所经过的路2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t （秒）的关系式为s=5t程为。
3、若函数 y=(m2+2m－ 7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则m的取值范围为。
4、若函数 y=(m－ 2)x m－2 +5x+1 是关于x的二次函数，则m的值为。
5、已知函数 y=(m－ 1) x m2 1 +5x－ 3 是二次函数，求m的值。
题型 2、二次函数的对称轴、顶点、最值4ac-b 2（技法：如果解析式为顶点式y=a(x － h) 2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c 则最值为4a1．抛物线 y=2x 2 +4x+m 2－ m 经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物 y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（ 1，3），则 b＝， c＝ .3．抛物线 y＝ x2＋3x 的顶点在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．若抛物线 y＝ ax2－ 6x 经过点 (2 ，0) ，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A. 13B. 10C. 15D. 142＋ bx ＋c( )5．若直线 y＝ ax＋ b 不经过二、四象限，则抛物线y＝ axA. 开口向上，对称轴是y 轴B. 开口向下，对称轴是y 轴C. 开口向下，对称轴平行于y 轴D. 开口向上，对称轴平行于y 轴2 16．已知抛物线 y＝ x ＋ (m－1)x －4 的顶点的横坐标是2，则 m的值是 _.7．抛物线 y=x 2+2x－ 3 的对称轴是。
二次函数中考题型总结
二次函数常考知识点总结整理一、函数定义与表达式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二、函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：2bx a=-对称轴顶点式：x=h一般式：2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，顶点式：（h、k）顶点坐标y=-2x 2两根式：x=221x x +（3）对称轴位置一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a 与b 同号（即ab ＞0）对称轴在y 轴左侧a 与b 异号（即ab ＜0）对称轴在y 轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2-，2min 44ac b y a -=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2-，2max 44ac b y a -=；（5）常数项c常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
二次函数九大题型
二次函数九大题型1. 函数的定义二次函数是指形如y=ax2+bx+c的函数，其中a,b,c是常数且a≠0。
它是一个二次多项式，其自变量x的最高次数为2。
二次函数通常用来描述曲线和抛物线的形状。
2. 九大题型2.1 基本形式基本形式的二次函数是y=ax2，其中a是常数。
这种形式的二次函数图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，关于 y 轴对称。
2.2 平移变换平移变换是通过改变二次函数的参数来改变其图像在坐标平面上的位置。
具体地说，对于二次函数y=ax2+bx+c，平移变换可以通过调整参数 b 和 c 来实现。
•当 b > 0 时，图像向左平移；•当 b < 0 时，图像向右平移；•当 c > 0 时，图像向上平移；•当 c < 0 时，图像向下平移。
2.3 翻转变换翻转变换是通过改变二次函数的参数来改变其图像在坐标平面上的方向。
具体地说，对于二次函数y=ax2+bx+c，翻转变换可以通过调整参数 a 来实现。
•当 a > 0 时，图像开口朝上；•当 a < 0 时，图像开口朝下。
2.4 缩放变换缩放变换是通过改变二次函数的参数来改变其图像在坐标平面上的大小。
具体地说，对于二次函数y=ax2+bx+c，缩放变换可以通过调整参数 a 的绝对值来实现。
•当 |a| > 1 时，图像纵向压缩；•当 |a| < 1 时，图像纵向拉伸。
2.5 对称轴和顶点对称轴是指二次函数图像的中心轴线，它与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程。
顶点是抛物线的最低点可以通过求解二次函数的一阶导数为零得到：x=−b2a（当 a > 0）或最高点（当 a < 0），它位于对称轴上。
2.6 零点和交点零点是指二次函数图像与 x 轴相交的点。
求解零点可以将二次函数设置为零并解方程得到：ax2+bx+c=0。
交点是指二次函数图像与其他直线或曲线相交的点。
2.7 极值和最值极值是指二次函数图像的最高点（当 a > 0）或最低点（当 a < 0）。
二次函数题型分类总结
二次函数题型分类总结二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是学生们经常接触到的数学题型之一。
在学习二次函数的过程中，我们会遇到各种不同类型的题目，这些题目涵盖了二次函数的基本概念、性质、图像、方程、不等式等多个方面。
为了帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，本文将对二次函数题型进行分类总结，以便学生们能够更系统地学习和应用这一知识点。
一、基本概念题型。
1. 求二次函数的顶点、对称轴、开口方向等基本性质；2. 确定二次函数的增减性、最值等相关问题；3. 根据二次函数的图像特点进行分析和判断。
二、方程与不等式题型。
1. 解二次函数的方程，包括一元二次方程和二元二次方程；2. 求二次函数不等式的解集，包括一元二次不等式和二元二次不等式。
三、图像与性质题型。
1. 根据给定的二次函数，绘制其图像；2. 根据图像，确定二次函数的各种性质，如开口方向、顶点坐标、对称轴等；3. 利用二次函数的图像进行相关问题的分析和解决。
四、应用题型。
1. 利用二次函数解决实际问题，如抛物线运动、优化问题等；2. 利用二次函数的性质解决相关的数学问题，如几何问题、物理问题等。
五、综合题型。
1. 将多个知识点进行综合运用，解决复杂的二次函数问题；2. 考察学生对二次函数整体理解和运用能力的题目。
通过以上分类总结，我们可以清晰地了解到二次函数题型的多样性和复杂性。
在学习和解答二次函数题目时，我们需要全面掌握二次函数的基本概念和性质，灵活运用相关的解题方法，善于将不同的知识点进行整合和应用。
同时，我们也要注重实际问题的应用，将抽象的数学知识与实际生活相结合，更好地理解和掌握二次函数的相关内容。
希望通过本文的总结，能够帮助大家更好地理解和掌握二次函数的相关知识，提高解答二次函数题目的能力和水平。
同时，也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和积极性，不断提升自己的数学素养，为将来的学习和发展打下坚实的数学基础。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
(完整版)二次函数知识点与题型总结.doc
二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
注意： x 轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用a, b 表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当 a b 时，a,b和b, a是两个不同点的坐标。
知识点二、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y，如果对于 x 的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地，形如y ax2bx c（ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
二次函数的定义域是全体实数．2. 、二次函数y ax2bx c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，x 的二次式，x 的最高次数是b 是一次项系数，c 是常数项．2．3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）（1） y ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
专题5.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)(原卷版)
专题5.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】（2023秋•海淀区期中）写出一个顶点在坐标原点，开口向下的抛物线的表达式．【变式1-1】（2023秋•昌平区期中）请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式．【变式1-2】（2022秋•伊川县期末）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．【变式1-3】（2023•苏州二模）已知抛物线顶点坐标为（2，3），则抛物线的解析式可能为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣3B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3C．y＝﹣（x+2）2+3D．y＝﹣（x﹣2）2+3【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2=++（a，y ax bx ca≠），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；b，c为常数，0【典例2】（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【变式2-1】（2022秋•新罗区校级月考）求经过A（﹣1，﹣5）、B（0，﹣4）、C（1，1）三点的抛物线的表达式？【变式2-2】（2023春•海淀区校级期末）已知抛物线y＝2x2+bx+c过点（1，3）和（﹣1，5），求该抛物线的解析式．【变式2-3】（2023秋•崆峒区校级月考）已知二次函数过点A（﹣1，2），B（1，﹣4），C（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【变式2-4】（2023秋•博乐市月考）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为P．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABP的面积．【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式()k-=2．这顶点坐标为（h，k），对称轴直线x = h，最值为当x = h y+axh时，y最值=k来求出相应的系数.【典例3】（2023秋•龙马潭区月考）若抛物线的顶点坐标是A（﹣1，﹣3），并且抛物线经过点B坐标为（1，﹣1）．（1）求出该抛物线的关系式；（2）当x满足什么条件时，y随x的增大而增大．【变式3-1】（2023秋•临潼区月考）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2），且过点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）试判断点B（1，﹣6）是否在此函数图象上．【变式3-2】（2023秋•越秀区校级月考）已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，﹣3），且经过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C（3，﹣4）、D（1，0）是否在该函数图象上，并说明理由．【方法点拨】已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．【典例4】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣1，0），B （5，0），C （0，﹣5），点D 是抛物线的顶点，过D 作x 轴垂线交直线BC 于E ．（1）求此二次函数解析式及点D 坐标．（2）连接CD ，求三角形CDE 的面积．（3）ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围是 ．【变式4-1】（2023秋•广西月考）若二次函数的图象经过（﹣1，0），（3，0），（0，3）三点，求这个二次函数的解析式．【变式4-2】（2023秋•长沙月考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣3）、（1，0）和C （﹣3，0）．求此二次函数的解析式．【变式4-3】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．【题型5平移变换型】【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右）平移n个单位时，就在x – h上加上（减去）n；当图像向上（下）平移m个单位时，就在k上加上（减去）m．其平移的规律是：h值正、负，右、左移；k值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a得值不变．【典例5】将抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，求平移后的抛物线解析式．【变式5-1】（2022秋•洪山区期中）将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2﹣4C．y＝﹣（x+1）2﹣6D．y＝﹣（x﹣1）2+6【变式5-2】（秋•普陀区校级期中）将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【变式5-3】已知a+b+c＝0且a≠0，把抛物线y＝ax2+bx+c向下平移一个单位长度，再向左平移5个单位长度所得到的新抛物线的顶点是（﹣2，0），求原抛物线的表达式．【变式5-4】抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴正半轴交于A点，M（﹣2，m）在抛物线上，AM交y轴于D点，抛物线沿射线AD方向平移√2个单位，求平移后的解析式．【题型6 对称变换型】【方法点拨】根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．【典例6-1】（2022秋•上城区月考）已知y＝﹣3（x﹣2）2﹣7将它的图象沿着x轴对折后的函数表达式是．【典例6-2】（2022秋•汉阳区校级月考）抛物线y＝x2﹣6x+7绕其顶点旋转180°后得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a＝，b＝，c＝．【变式6-1】（2022秋•萧山区月考）抛物线y＝（x+3）2﹣4关于y轴对称的抛物线解析式为．【变式6-2】（2022秋•汉川市月考）若抛物线y＝ax2+c与y＝﹣4x2+3关于x轴对称，则a+c＝．【变式6-3】（2021秋•镇海区期末）把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y 轴对称后得到的图象的函数关系式为．【变式6-4】（2021秋•闽侯县期中）二次函数y＝2（x﹣3）2+1图象绕原点旋转180°得新图象的解析式为．【变式6-5】（2023•雁塔区校级三模）已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，﹣6）．抛物线L′与L关于x轴对称，点B在L'上的对应点为B′．（1）求抛物线L的表达式；（2）抛物线L'的对称轴上是否存在点P，使得△AB′P是以AB′为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-6】（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．。
二次函数九大题型
二次函数九大题型摘要：1.二次函数的定义与性质2.二次函数的图像与顶点3.二次函数的解析式与标准式4.二次函数的因式分解5.二次函数的根与根的判别式6.二次函数的图像变换7.二次函数的应用题8.二次函数的数学建模9.二次函数的与其他函数的结合题正文：二次函数是数学中一种非常重要的函数类型，它在数学建模、实际应用等方面都有广泛的应用。
今天，我们将介绍二次函数的九大题型，帮助你更好地理解和掌握这个重要的知识点。
首先，我们需要了解二次函数的定义与性质。
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（其中a、b、c 为常数，且a≠0）的函数。
它的图像通常是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，具体形状取决于二次项系数a 的正负。
接下来，我们来看二次函数的图像与顶点。
二次函数的图像可以通过将函数解析式转化为顶点式来表示，顶点式为y=a(x-h)^2+k。
其中（h，k）为顶点坐标。
通过顶点式，我们可以直观地了解抛物线的开口方向、顶点位置以及与x 轴的交点。
然后，我们需要掌握二次函数的解析式与标准式。
解析式指的是将二次函数表示为一般形式y=ax^2+bx+c，而标准式是将二次函数表示为顶点式y=a(x-h)^2+k。
解析式便于我们计算函数的各项性质，而标准式则便于我们直观地了解函数的图像特征。
在实际解题过程中，我们经常需要对二次函数进行因式分解。
因式分解可以帮助我们简化函数表达式，更直观地了解函数的性质，同时也有助于我们解出函数的根。
接下来是二次函数的根与根的判别式。
二次函数的根即为使函数值为零的x 值。
通过求解判别式b^2-4ac 的值，我们可以判断二次函数的根的数量，从而解决实际问题。
二次函数的图像变换是函数图像变换中的一种。
通过平移、伸缩、翻转等操作，我们可以将一个二次函数的图像变换成另一个二次函数的图像。
这对于理解和解决一些实际问题非常有帮助。
在实际生活和学习中，二次函数的应用题非常常见。
例如，通过二次函数我们可以解决最值问题、轨迹问题、设计优化问题等。
二次函数题型总结
二次函数题型总结
二次函数题目类型总结
二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在许多数学问题的解决中起着重要
的作用。
下面将对常见的二次函数题目类型进行总结：
1. 平移与缩放：给定二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c，可以通过将图像
向左右平移或上下平移，以及拉伸或压缩图像来求解问题。
2. 求解函数的零点：要计算二次函数的零点，即使得y等于零的x值。
我们可
以通过因式分解、配方法或求根公式来找到函数的零点。
3. 最值问题：对于给定的二次函数，我们可能需要找到该函数的最大值或最小值。
通过求解顶点坐标或应用求最值的相关知识，可以有效地解决这类问题。
4. 描述图像：给定二次函数的函数式，我们可以根据a的正负、平移与缩放等
信息来描述图像的凹凸性、开口方向、顶点坐标等。
5. 解析几何问题：通过建立二次函数与几何图形之间的关系，我们可以解决与
抛物线、弧线等几何图形相关的问题。
6. 实际问题：二次函数的应用非常广泛，我们可以通过建立实际问题与二次函
数之间的关系，解决与抛物线或曲面相关的物理、经济等实际问题。
总结起来，二次函数题目类型多种多样，包括平移与缩放、求解零点、最值问题、图像描述、解析几何问题和实际问题等。
通过理解不同题型的解题思路和方法，我们能够更好地应用二次函数解决实际问题。
初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析
二次函数【十大题型】【题型1 辨别二次函数】 (1)【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 (3)【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 (4)【题型4 二次函数的一般形式】 (6)【题型5 求二次函数的值】 (7)【题型6 判断函数关系】 (9)【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 (11)【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 (14)【题型9 列二次函数关系式(循环)】 (15)【题型10 列二次函数关系式(销售)】 (16)知识点1：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1 辨别二次函数】【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，yy一定是xx的二次函数的是（）A．yy=2aaxx2B．yy=2xx+aa2C．yy=2xx2−1D．yy=xx2+1xx【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A，当aa=0时，yy=2aaxx2=0，不是二次函数，不合题意；B，yy=2xx+aa2，yy是xx的一次函数，不合题意；C，yy=2xx2−1，yy一定是xx的二次函数，符合题意；D，yy=xx2+1xx中含有分式，不是二次函数，不合题意；故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．yy=2xx−1B．yy=√xx2−1C．yy=xx2−1D．yy=12xx【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如yy=aaxx2+bbxx+cc （aa、b、c为常数，aa≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数yy=2xx−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数yy=√xx2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数yy=xx2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数yy=12xx分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）（1）yy=3(xx−1)2+1；（2）yy=1xx2−xx；（3）SS=3−2tt2；（4）yy=xx4+2xx2−1；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2；（6）yy=mmxx2+8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（1）yy=3(xx−1)2+1是二次函数，故符合题意；（2）yy=1xx2−xx，不是二次函数，故不符合题意；（3）SS=3−2tt2是二次函数，故符合题意；（4）yy=xx4+2xx2−1不是二次函数，故不符合题意；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2=6xx不是二次函数，故不符合题意；（6）yy=mmxx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①yy=5xx−5；②yy=3xx2−1；③yy=4xx3−3xx2；④yy=2xx2−2xx+1；⑤yy=1xx2．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①yy=5xx−5为一次函数；②yy=3xx2−1为二次函数；③yy=4xx3−3xx3自变量次数为3，不是二次函数；④yy=2xx2−2xx+1为二次函数；⑤yy=1xx2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数yy=(mm−1)xx mm2+1是二次函数，则mm=．【答案】−1【分析】根据定义得：形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa、bb、cc是常数，且aa≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：mm2+1=2且mm−1≠0，解得mm=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc中，aa是常数，本题关键点为aa≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果yy=2xx|mm|+3xx−1是关于xx的二次函数，则mm=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵yy=2xx|mm|+3xx−1是关于x的二次函数，∴|mm|=2，解得：mm=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数yy=(kk−1)xx kk2−kk+2+kkxx−1是关于x的二次函数，则kk=．【答案】0【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到kk−1≠0且kk2−kk+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得kk−1≠0且kk2−kk+2=2，解得kk=0．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|kk−1|=2，kk−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc（a、b、c是常数，aa≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．【详解】解：∵yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，∴|kk−1|=2，解得kk1=3，kk2=−1，又∵kk−3≠0，即kk≠3，∴kk=−1，故敏敏正确．【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数yy=(kk−1)xx2+kkxx−1（kk是常数）是二次函数，那么kk的取值范围是．【答案】kk≠1【分析】根据：“形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到kk−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：kk−1≠0，∴kk≠1；故答案为：kk≠1．【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数yy=(mm2−mm)xx2+(mm−1)xx−2（m为常数）．(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】(1)mm=0；(2)mm≠1且mm≠0．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意mm2−mm=0且mm−1≠0，所以mm=0；（2）解：依题意mm2−mm≠0，所以mm≠1且mm≠0．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，则aa的取值范围是（）A．aa≠1B．aa≠−1C．aa≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得aa2−1≠0，解出答案即可．【详解】因为关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，∴aa2−1≠0，解得：aa≠±1．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8．若这个函数是二次函数，求mm的取值范围【答案】mm≠√2且mm≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式mm2-2≠0，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8是二次函数，∴mm2-2≠0，解得mm≠±√2，故答案为：mm≠√2且mm≠-√2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4 二次函数的一般形式】【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数yy=xx2−3xx+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】xx2−3 5【分析】根据二次函数的定义判断即可。
二次函数实际问题易考题型总结(全)
二次函数实际问题易考题型总结技巧1．二次函数的应用：（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。
解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示1，我们要用x分别把h，l表示出来。
经济问题：总利润=出来，如三角形S=hl2总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。
解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。
分为三类：①对称轴在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。
2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．题型：一、利润最值问题1、某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关系式1336 8y x=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b，c的值；(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?3、某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；⑵求y与x之间的函数关系式；⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？二、面积最值问题1.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？2、小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？3.如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．三、图形问题1、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是25322y x x =-++，请回答下列问题： （1）花形柱子OA 的高度；（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？O 2.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．2103335四、图像问题（一）长度最值、平行四边形问题8.如图，抛物线1417452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.O xAMNBPC 题22图（二）周长与面积最值问题9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．（三）等腰三角形问题10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．（四）直角三角形 如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍？若存在，请求出P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．A CB y x0 1 1（五）圆如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．（六）分段函数、累计二次函数问题11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。
(完整word版)二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例题：例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
c的性)2h的性4.()2y a x h k=-+的性质：二次函数的对称轴、顶点、最值如果解顶点式－则最值果解析般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a）1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题：1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。
与二次函数有关的常见题型
与二次函数有关的常见题型形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫二次函数，其图像是一条抛物线，内容相当广泛，是中考的必考内容。
常与一次函数、反比例函数、方程、不等式图、多边形等知识相结合，成为综合性较强、难度较大的压轴题。
因此深刻理解二次函数及其图像的性质，掌握二次函数解析式的几种求法、二次函数与一元二次方程的关系以及抛物线的平移是相当重要的，现举例将二次函数有关的常见题型归纳如下，供大家参考。
类型一：关于二次函数图像的平移问题。
例1、将抛物线y=x2-2x+3向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线，解析式是。
点评：抛物线的平移，其实质是顶点的平移，因此先把抛物线配成顶点式y=a（x-h）2+k，再按顶点横坐标“左移加右移减”，顶点纵坐标“上移加下移减”的规则进行。
解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，∴平移后的抛物线解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3。
类型二：根据二次函数的图像，确定系数间的关系、顶点坐标、对称轴等问题。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示。
给出以下结论：①a+b+c0，其中正确结论的序号是（）。
A、③④B、②③C、①④D、①②③点评：由已知抛物线在坐标系中的位置，判断与系数a、b、c有关的代数式值等有关的问题，应从五个方面进行思考：①开口方向，②与y轴交点的大致位置，③对称轴与y轴的相对位置，④与x轴交点的个数，⑤自变量取特殊值时对应的函数值的符号。
答案为B。
类型三：二次函数图像与坐标轴的交点问题。
例3、函数y=kx2-6x+3（k≠0）的图像与x轴有交点，则k的取值范围是。
点评：函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数，由判别式“△=b2-4a c”来确定。
当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△=0时，抛物线与x轴有且仅有一个交点；当△<0时，抛物线与x轴无交点。
解：由△=（-b）2-4×3k=36-12k≥0得k≤3，∴k的取值范围是k≤3且k≠0。
专题2.1二次函数的图像与性质(一)(六大题型)(原卷版)
专题2.1 二次函数的图像与性质（一）（六大题型）【题型1 判断二次函数的个数】【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【题型3 二次函数的一般式】【题型4根据实际问题列二次函数销售问题】【题型5 根据实际问题列二次函数面积类】【题型6 根据实际问题列二次函数几何类】【题型1 判断二次函数的个数】【典例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式11】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式12】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式13】已知函数：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式14】（2022秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式15】（2022秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x +312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【典例2】已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2B．1C．﹣2D．±1【变式21】有二次函数y＝x m﹣2﹣2x+1，则m的值是（）A．4B．2C．0D．4或2【变式22】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．4D．0或4【变式23】（2022秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m 时，它为二次函数．【变式24】（2022秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【变式25】若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是．【题型3 二次函数的一般式】【典例3】二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1B．2C．﹣2D．3【变式31】将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（）A．y＝x2﹣x+3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【变式32】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20B．y＝﹣x2+2C．y＝﹣x2+6x+20D．y＝﹣x2﹣6x+2【变式33】把二次函数y＝﹣（x+3）（x+4）+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．﹣1，7D．﹣1，﹣7【变式34】二次函数的一般形式为（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0）C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0）D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【变式35】把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是．【变式36】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为．【变式37】（2022春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【变式38】（2022秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【题型4根据实际问题列二次函数销售问题】【典例4】某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740B．y＝10x﹣140C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40）D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【变式41】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x）B．W＝（60﹣x）（300+20x）C．W＝（60+x）（300﹣20x）D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【变式42】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]C．w＝（x﹣50）（200+×10）D．w＝（x﹣50）（200+×10）【变式43】2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（）A．w＝（200+×4）（x﹣48）B．w＝（200﹣×4）（x﹣48）C．w＝（200﹣×4）（x﹣34）D．w＝（200+×4）（x﹣48）【变式44】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y 元，那么y与x的函数关系式是．【变式45】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．x（元∕件）15182022…y（件）250220200180…按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是．【变式46】（2022春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【题型5 根据实际问题列二次函数面积类】【典例5】将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y 与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50xC．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【变式51】长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x）【变式52】长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6）B．y＝32﹣4x（0≤x≤6）C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6）D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）【变式53】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【变式54】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为；自变量x的取值范围为．【变式55】如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设羊圈的总面积为S（不（m2），垂直于墙的一边长为x（m），则S关于x的函数关系式为．必写出自变量的取值范围）【变式56】有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现在长宽上分别剪去宽为x cm（x＜6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y ＝，其中是自变量，是因变量．【题型6 根据实际问题列二次函数几何类】【典例6】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A 开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式61】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC 以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．【变式62】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．【变式63】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，那么△PCQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式64】如图，正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别是BC、DC边上的动点，点E，F同时从点C均以每秒1cm的速度分别向点B，点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x（s），运动过程中△AEF的面积为y（cm2），请写出用x表示y的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．【变式65】如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E 出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，求y与x之间的函数关系式．。
二次函数中考复习题型总结归纳
中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点 （0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。
【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ； 当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数题型总结【回顾与思考】一、二次函数的定义定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2++=是常数，)0≠a，那么y叫做x的二次函数.（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）精典例题：例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0 考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．故选C．点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a 是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．例2：函数y=(m+3)x m2+m-4，当m= 时，它的图象是抛物线．考点：二次函数的定义．分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．解答：解：∵它的图象是抛物线，∴该函数是二次函数，∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2．点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0．例3：若y=x m-2是二次函数，则m=考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：∵函数y=x m-2是二次函数，∴m-2=2，∴m=4．故答案为4．点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题．学以致用：1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为。
3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。
4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k，则对称轴为：，最值为：；如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为：，最值为：；如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为：，最值为：。
精典例题：例1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
考点：二次函数图象与几何变换． 分析：利用二次函数图象的性质．解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m 2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0．解得：m 1=-3，m 2=1．点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式．例2．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：由抛物线y=ax 2-6x 经过点（2，0），求得a 的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐标原点的距离．解答：解：由于抛物线y=ax 2-6x 经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，抛物线y=3x 2-6x ，变形，得：y=3（x-1）2-3，则顶点坐标M （1，-3）， 抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=故选B ．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．学以致用：1．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴2．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.3．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。
三、函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质知识点：（1）①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. ③｜a ｜越大，开口越小。
（2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=（3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大；②当0<a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而增大；在在对称轴右边，y 随x 的增大而减小。
（4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,c )精典例题：例1：（2002•十堰）抛物线y=-x 2+2x+1的顶点坐标是____________，开口方向是____________ ，对称轴是___________．考点：二次函数的性质． 分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：∵y=-x 2+2x+1=-（x 2-2x ）+1=-（x 2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，∴抛物线y=-x 2+2x+1的顶点坐标是（1，2），开口方向是向下，对称轴是x=1．点评：此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向．例2：（2010•兰州）抛物线y=x 2+bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值。
考点：二次函数图象与几何变换．分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值．解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），∴原抛物线的顶点为（-1，-1），设原抛物线的解析式为y=（x-h ）2+k 代入得：y=（x+1）2-1=x 2+2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ．点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．学以致用：1．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物轴下方轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<>线的解析式 。
2．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－14 x 2+x －43．把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
4．某商场以每台2500元进口一批彩电。
如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？四、函数y=a(x －h)2的图象与性质知识点回顾：填表：典型例题：例1：抛物线y=x 2-4x-3的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标 ，函数y 有最 。
考点：二次函数的性质。
分析：二次函数的二次项系数a ＞0，可以确定抛物线开口方向和函数有最小值，然后利用y=ax 2+bx+c 的顶点坐标公式就可以得到对称轴，顶点坐标．解答：解：∵二次函数的二次项系数a ＞0，∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵y=x 2-4x-3，∴根据y=ax 2+bx+c 的顶点坐标公式为，，对称轴是，代入公式求值就可以得到对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-7）．故抛物线y=x 2-4x-3的图象开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标（2，-7），函数y 有最小值． 故填空答案：向上，x=2，（2，-7），小．点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．学以致用：1．已知函数y=2x 2,y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。
可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？2．试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移23 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
3．二次函数y=a(x －h)2的图象如图：已知a=12 ，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式。
五、二次函数的增减性知识点：(1). 0a >，当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a >-时，y 随x 的增大而增大。
(2). 0a <，当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小。
典型例题：例1：已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图：（1）求函数解析式；（2）写出对称轴，回答x 为何值时，y 随着x 的增大而减少？ 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 分析：（1）根据图示知函数经过三点：（-1，0）、（4，0）、（0，-4），将其代入函数解析式，列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，然后解方程组即可；（2）根据图象求得该函数图象的对称轴，然后根据对称轴、函数图象回答问题． 解答：解：（1）根据图示知，该函数图象经过点（-1，0）、（4，0）、（0，-4），∴二次函数的解析式是：y=x 2-3x-4；（2）根据图象知，二次函数y=x 2-3x-4与x 轴的交点是（-1，0）、（4，0）， ∴对称轴是x=，∴根据图象知，当时，y 随着x 的增大而减小．点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想，要求学生具备一定的读图能力，能从图形中寻取关键性信息．例2：（2010•呼和浩特）已知：点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 3＜y 1C ．y 3＜y 2＜y 1D ．无法确定考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：对，由x 1＜0＜x 2＜x 3知，A 点位于第二象限，y 1最大，第四象限，y 随x 增大而增大，y 2＜y 3，故y 2＜y 3＜y 1． 解答：解：∵中k=-3＜0，∴此函数的图象在二、四象限，∵点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3，∴A 点位于第二象限，y 1＞0，B 、C 两点位于第四象限， ∵0＜x 2＜x 3，∴y 2＜y 3， ∴y 2＜y 3＜y 1． 故选B ．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标． 学以致用：1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。