上海市实验学校高一数学上学期期末考试试题(扫描版)
2021-2022学年上海市实验学校高一数学理期末试卷含解析
2021-2022学年上海市实验学校高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，则的值为（）．A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据角的范围可知，；利用同角三角函数的平方关系和商数关系构造方程可求得结果.【详解】由可知：，由得：本题正确选项：A2. 已知是定义在R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A．[4,8) B．(4,8) C．[5,8) D．(5,8)参考答案：C3. （多选题）下列判断中哪些是不正确的（）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是非奇非偶函数参考答案：AD【分析】根据奇函数和偶函数的定义，判断每个选项函数的奇偶性即可．【详解】A.的定义域为，定义域不关于原点对称，不是偶函数，该判断错误；B.设，，则，同理设，也有成立，是奇函数，该判断正确；C.解得，，的定义域关于原点对称，且，是偶函数，该判断正确；D.解得，，或，，是奇函数，该判断错误.故选：AD.【点睛】本题考查了奇函数、偶函数的定义及判断，考查了推理和计算能力，属于中档题．4. 的值是（） A. 16 B. 2 C. 3 D. 4参考答案：D5. 如图，在四边形ABCD中，，，，，将沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是（）A. 平面ADC⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ABD⊥平面ABC参考答案：A【分析】根据线面垂直的判定定理，先得到平面，进而可得到平面平面.【详解】由已知得，，又平面平面，所以平面，从而，故平面.又平面，所以平面平面.故选A.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定，熟记面面垂直的判定定理即可，属于常考题型.6. 函数的图象如图，则的解析式的值分别为A.B．C．D．参考答案：C7. 已知等差数列的前n项和为，，，则数列的前100项和为（）A. B. C. D.参考答案：A8. 设，，则下列各式中成立的是（）A． B．C． D．参考答案：D9. 下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4参考答案：C【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选C．【点评】此题考查对数函数和指数函数的性质及其应用，是一道基础题．10. 若集合M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，则M∩N=( )A．{0} B．{1} C．{0，1，2} D．{0，1}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集及其运算得答案．【解答】解：由M={x|﹣2≤x＜2}，N={0，1，2}，得M∩N={x|﹣2≤x＜2}∩{0，1，2}={0，1}．故选：D．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期是___________________。
上海市高一上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高一年级第一学期数学学科期末考试卷（考试时间：90分钟 满分：150分 ）一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________． 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________． 3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,81，则=)(x f ____________． 4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________． 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________． 6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是 ． 7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________． 9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______．10．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围 ． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =题的是__________．13．如图所示，已知函数()2log 4y x =图像上的两点 ,A B 和函数2log y x =上的点C ，线段AC 平行于y 轴，三角形ABC 为正三角形时点B 的坐标为(),p q ，则22qp +的值为14．若点A 、B 同时满足以下两个条件：（1）点A 、B 都在函数()y f x =上；（2）点A 、B 关于原点对称； 则称点对(),A B 是函数()f x 的一个“姐妹点对”．已知函数()()()24020x x f x x xx -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()f x 的“姐妹点对”是 ． 二、选择题（每题5分，共20分）15．“3log 2<x ”是“1218>⎪⎭⎫⎝⎛-x ”的……………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若2{|21},{|}M x y x N y y x ==+==-，则集合N M ,两的关系是（ ） A ．{(1,1)}MN =-B ．M N ＝∅C ．M N ⊆D ．N M ⊆17．已知()f x 是R 上的偶函数， 当0x >时()f x 为增函数， 若120,0x x <> 且12||||x x <， 则下列不等式成立的是…………………………………( ) A ．12()()f x f x ->- B ．12()()f x f x -<- C ．12()()f x f x ->- D ．12()()f x f x -<-18．函数()2()0f x ax bx c a =++≠的图像关于直线2bx a=-对称．据此可以推测，对 任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是………………………………………………………………（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,4 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,4,16,64三、解答题（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域 内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 记关于x 的不等式01x ax -≤+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．（1）若3a =，求出集合P ； （2）若Q P ，求实数a 的取值范围．20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ）某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y (万元)与年产量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为230400010x y x =-+． （1）当该产品的年产量为多少时，每吨的平均成本P 最低，并求每吨最低成本；（2）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时可获得最大利润，并求出最大年利润Q ．21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-，其中a 是实数． （1）当2a =时，解上述方程；（2）根据a 的不同取值，讨论上述方程的实数解的个数．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f xx且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 值；（2）若()10f <，试判断函数单调性并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的t 的取值范围； （3）若()312f =，且()x mf aa x g xx 2)(22-+=-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得()()()1100f x f x f +=+成立．（1）函数()xx f 1=是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()M x ax f ∈+=1lg 2，求a 的取值范围；（3）设函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，证明：函数()M x x f x∈+=22．高一年级数学试卷答案一、填空题（每题4分，共56分）1．若全集R U =，{}{}5|,2|>=>=x x B x x A ，则=B C A U _____________．]5,2( 2．已知1>a ，则12-+a a 的最小值为__________．3．幂函数y =f (x )的图像经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,81，则=)(x f ____________．31-x4. 函数()xx x f 4-=的零点个数为_________．2 5．已知532sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则()απ-cos =______________．35-6．函数()log (3)1a f x x =+-(0 1)a a >≠且，的图像恒过定点A ，则A 点坐标是_(2 1)--，_．7．已知31cos =α，且παπ32<<，则2sin α= _____．33-8．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f的x 的取值范围是__________．)2,2(-9．若关于x 的不等式0342≤++ax ax 的解集为空集，则实数a 的取值范围是______． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,010．已知(21)41()log 1a a x a x f x xx -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那 么a 的取值范围__11[,)62__． 11. 若不等式012>-+-k kx x 对()2,1∈x 恒成立，则实数k 的取值范围是_______．(2]-∞，12．设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈. 给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m ≤≤；④若1l =，则10m -≤≤或1m =.其中正确命题的是__________． ①②③④13．．()()()1,3,1,3-- 二、选择题（每题5分，共20分）15．A 16．D 17．B 18．D三、解答题：（本大题满分74分，共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤）19．（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分 ） 解（1）若3a =，由不等式301x x -≤+，即(3)(1)0x x -+≤且1x ≠-，……… 4分 解得集合{|13,}.P x x x R =-<≤∈ ……………………………… 6分 （2）由不等式|1|1x -≤，解得{|02,}.Q x x x R =≤≤∈ …………………8分由不等式01x ax -≤+，得()(1)0x a x -+≤且1x ≠-，…………………9分 当1a >-时，{|1,}P x x a x R =-<≤∈， 又因为Q P ⊆，所以2a ≥；当1a <-时，{|1,}P x a x x R =≤<-∈，Q P 不成立；当1a =-时，P =∅，QP 也不成立．因此，求实数a 的取值范围是[)2,.+∞（可以不讨论直接判断得出）… 12分20．（本题满分14分，共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分 ） 解（1）()400030,150,25010x P x x=+-∈………………………………3分3010≥=……………………………………………5分()4000200150,25010x x x=⇒=∈ ……………………………6分 当年产量为200吨时，每吨的平均成本最低为10万元．………7分（2）()216304000,150,25010x Q x x x =-+-∈………………………10分 ()212301290129010x =--+≤ ……………………………12分 ()230150,250x =∈……………………………………………13分 生产230吨时，最大年利润1290Q =万元．…………………14分 21．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分 ）解（1）1030(1)(3)2x x x x x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩…………………………………………3分x ⇒=2分 （2）原方程可化为1030(1)(3)x x x x a x ->⎧⎪->⎨⎪--=-⎩，……………………………6分即21353x x x a<<⎧⎨-+-=⎩，………………………………………………8分 作出253(13)y x x x =-+-<<及y a =的图像． 当1x =时1y =，当3x =时3y =，当52x =时134y =．由图像知： ① 413>a 或1≤a 时，两曲线无公共点，故原方程无解；………………10分 ② 当131≤<a 或413=a 时，两曲线有一个公共点，故原方程有一个实数解；…12分③ 当4133<<a 时，两曲线有两个公共点，故原方程有两个实数解．…………14分22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分） 解(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()()001102f k k =⇒--=⇒= ……………………………… 4分 （2）),10()(≠>-=-a a a a x f xx且1(1)0,0,0,1,01f a a a a a<∴-<>≠∴<<又且……………………………5分x y a =在R 上递减，x y a -=在R 上递增，故()f x 在R 上单调递减． …6分不等式化为)4()(2-<+x f tx x f 04)1(,422>+-+->+∴x t x x tx x即恒成立，………………………… 8分016)1(2<--=∆∴t ，解得53<<-t ．………………………………… 9分(3)∵()312f =，231=-∴a a ，即,02322=--a a122a a ∴==-或（舍去）………………………………………………………10分 ∴()()22222)(2222+--+=-+=---x x x x x xm a a x mf a ax g ．令xxaa x f t --==)(由(1)可知xxaa x f --=)(为增函数∵1x ≥，∴()312t f ≥=……………12分 令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2 (32t ≥)……………………………13分 若32m ≥，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2……………… 14分 若32m <，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去…15分 综上可知m ＝2． ……………………………………………16分23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解（1）若()xx f 1=M ∈，则在定义域内存在0x ， 使得01111102000=++⇒+=+x x x x ， ∵方程01020=++x x 无解，∴()xx f 1=M ∉．……………………… 4分 ()()()()2222(2)lglg lg lg 2221011211a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++………………………………………………………………………………6分 当2=a 时，21-=x ；……………………………………………………7分 当2≠a 时，由0≥∆，得[)(]53,22,530462+⋃-∈⇒≤+-a a a ，……9分∴[]53,53+-∈a ． ………………………………………………10分()()()()()00002112000000311212322(1)221x x x x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦（），……………………………………………………………………………………13分又∵函数xy 2=图像与函数x y -=的图像有交点，设交点的横坐标为a ，则()01202010=-+⇒=+-x a x a，其中10+=a x ，…………………16分∴()()()1100f x f x f +=+，即()M x x f x∈+=22 ．…………………18分。
2022-2023学年上海市高一上学期期末数学试题(含解析)
2022-2023学年上海市高一上学期期末数学试题一、填空题1．函数()32lg 53y x x =+-的定义域是______.【正确答案】50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.【详解】()()32lg 53lg 53y x x x =+-=+-，所以0530x x ≥⎧⎨->⎩，解得503x ≤<，所以函数的定义域为50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故50,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．函数3(1)2y x =-+的图象的对称中心是________．【正确答案】()1,2【详解】3y x =的图象的对称中心是()0,0，将3y x =的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，即得()312y x =-+的图象，所以对称中心为()1,2．3．函数55x y x =+的单调增区间是______.【正确答案】(),-∞+∞【分析】根据函数的单调性确定正确答案.【详解】5y x =在R 上递增，5x y =在R 上递增，所以函数55x y x =+的单调增区间是(),-∞+∞.故(),-∞+∞4．函数()2230y x x x =-+≤的反函数为______.【正确答案】13)y x =≥【分析】根据函数解析式确定3y ≥，配方后求得13)x y =≥，根据反函数定义即可确定函数的反函数.【详解】由题意可得2223(1)2y x x x =-+=-+在(,0]-∞上递减，故3y ≥，则13)x y =≥，故函数()2230y x x x =-+≤的反函数为13)y x =≥，故13)y x =≥5．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin cos θθ⋅=_________.【正确答案】310由条件可得tan 3θ=，然后222sin cos tan sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθ⋅⋅==++，可算出答案.【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以tan 12tan 1θθ+=-，所以tan 3θ=所以222sin cos tan 33sin cos sin cos tan 19110θθθθθθθθ⋅⋅====+++故3106．已知函数()y f x =是在定义域[]22-,上的严格减函数，且为奇函数.若()11f =-，则不等式()21f x -≤的解集是______.【正确答案】[]1,4【分析】根据函数的奇偶性得到()()111f f -=-=，从而得到()()21f x f -≤-，再根据定义域和单调性列出不等式组，求出解集.【详解】因为()y f x =是在定义域[]22-,上的奇函数，()11f =-，所以()()111f f -=-=，故()()211f x f -≤=-，因为()y f x =是在定义域[]22-,上的严格减函数，所以21222x x -≥-⎧⎨-≤-≤⎩，解得：14x ≤≤，故[]1,47．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，经过t 分钟后物体的温度C θ 可由公式()010e ktθθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数，.现有80C 的物体，放在20C o 的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是60C ，则______分钟后温度首次低于40C o （保留到整数部分）.【正确答案】11【分析】代入数据计算得到42e3k-=，再次带入数据得到21381t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，根据1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭，1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭得到答案.【详解】根据题意：()460208020ek-=+-⋅，解得42e3k-=；()40208020ekt->+-⋅，即1e3kt-<，即()44421e 33tt k -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即21381t⎛⎫< ⎪⎝⎭，1021381⎛⎫> ⎪⎝⎭，1121381⎛⎫< ⎪⎝⎭，故11t =.故118．已知正数a 、b 满足4a b =，且2log 3a b +=，则a b +=________.【正确答案】4或5【分析】由4a b =，得出log 42log 2b b a ==，由2log 3a b +=得出22log 2log 3b b +=解出b 的值，进而得出a 的值，从而得出a b +的值.【详解】4a b =Q ，log 42log 2b b a ∴==，由2log 3a b +=得出22log 2log 3b b +=，由换底公式可得21log 2log b b =，222log 3log b b∴+=，可得2log 1b =或2log 2b =.①当2log 1b =时，2b =，此时，22log 22a ==，则4a b +=；②当2log 2b =时，4b =，此时，4log 41a ==，则5a b +=.因此，4a b +=或5，故答案为4或5.本题考查对数换底公式的应用，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题时要观察出两个对数之间的关系，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.9．设()2,0A 为平面上一定点，ππsin 2,cos 233P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为动点，则当t 由0变化到π4时，线段AP 扫过的面积是______.【正确答案】π1422+-【分析】由题意点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，结合图形，利用面积差求解即可.【详解】由22ππsin 2cos 2133t t ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，点P 在半径为1，圆心在原点的单位圆上，如图，10,(,)22t P =，π4t =点P 运动到1(,)22Q ，则π2POQ ∠=，扇形POQ 面积为1ππ1144⨯⨯⨯=,而11222AOQ Q S OA h =⋅=⨯⨯ ，111122222AOP P S OA h =⋅=⨯⨯= ,故线段AP扫过的面积为π1422+-,故答案为.π1422+-10．已知R λ∈，函数()2221,01,0 1x x x f x x x x λλ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪+⎩，若函数()y f x =的值域为[)3,∞-+，则λ的值为______.【正确答案】2【分析】考虑0λ>，0λ=，0λ<三种情况，根据二次函数性质和函数单调性计算最值得到()2min 1f x λ=-和()1,12f x λ⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，分别计算，再验证得到答案.【详解】当0λ>时，0x ≥时，()()222211f x x x x λλλ=-+=-+-，()()2min 1f x f λλ==-，当0x <时，()21111xf x x x xλλ=+=+++，1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，故(]1,2y x x =+∈-∞-，故()11,112f x x xλλ⎡⎫=+∈-+⎪⎢⎣⎭+，当213λ-=-时，2λ=，此时满足值域.当132λ-+=-时，8λ=，此时21633λ-=-<-，不满足，故2λ=.当0λ=时，0x ≥时，()211f x x =+≥，当0x <时，()1f x =，不满足；当0λ<时，0x ≥时，()221f x x x λ=-+，单调递增，()()min 01f x f ==，当0x <时，()2111xf x x λ=+>+，不成立；综上所述：2λ=故211．设θ，x ，y 是实数，0xy ≠.若442222cos sin 1x y x y θθ+=+，则2024202420222022cos sin x y θθ+的值为______（用x ，y 表示）【正确答案】()1011221xy +【分析】确定()442222cos sin 1x y xy θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式计算得到2222cos sin y x θθ=，结合22cos sin 1θθ+=得到22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，代入计算得到答案.【详解】442222cos sin 1x y x y θθ+=+，即()442222cos sin 1x y x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即24244422cos sin cos sin 1y x x y θθθθ+++=，而2424444422cos sin cos sin cos sin y x x y θθθθθθ+++≥++()2442222cos sin 2cos sin cos sin 1θθθθθθ=++=+=，当且仅当242422cos sin y x x y θθ=，即2222cos sin y x θθ=时等号成立，又222222cos sin cos sin 1y x θθθθ⎧=⎨+=⎩，解得22222222sin cos y x y x x y θθ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，()()()2024202420242024221012101210122022202220222220222222cos sin y yy x x y x y x x x y x y θθ++=+=+++()1011221xy =+.故()1011221x y +12．设{}min ,A B 表示A ，B 中的较小数.若函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】[6,)+∞【分析】设2()23g x x ax a =-+-，()2h x x =-，根据函数()h x 的图象得出6a ≥或2a ≤.然后根据a 的取值讨论即可求解.【详解】设2()23g x x ax a =-+-，()2h x x =-，由20x -=可得.2x =±要使函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则函数()g x 至少有1个零点，则24(23)0a a ∆=--≥，解得：6a ≥或2a ≤.(1)当2a =时，2()21g x x x =-+，作出函数(),()g x h x的图象如下图所示：此时函数()f x 只有两个零点，不满足题意；(2)当2a <时，设函数()g x 的两个零点分别为1212,()x x x x <，要使得函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则22x ≤-，所以22(2)410ag a ⎧<-⎪⎨⎪-=-≥⎩，解得：a ∈∅；(3)当6a =时，2()69g x x x =-+，作出函数(),()g x h x的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 的零点个数为3，满足题意；(4)当6a >时，设函数()g x 的两个零点分别为3434,()x x x x <，要使得函数(){}2min 2,23f x x x ax a =--+-至少有3个零点，则32x >，所以()2224310a g ⎧>⎪⎨⎪=-=>⎩，解得：2a >，此时6a >，综上所述，实数a 的取值范围是[6,)+∞，故答案为.[6,)+∞二、单选题13．若πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()sin 2π0θ->，则角θ的终边位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据题意和诱导公式可得：cos 0θ>且sin 0θ<，利用任意角三角函数的定义即可求解.【详解】因为πsin 02θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，()sin 2π0θ->，由诱导公式可得：cos 0θ>，sin 0θ<，根据任意角三角函数的定义可知：角θ位于第四象限，故选.D14．已知函数()lg |1|lg |1|f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在(1,)+∞上是增函数B ．是奇函数，且在(1,)+∞上是减函数C ．是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数D ．是偶函数，且在(1,)+∞上是减函数【正确答案】C【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用复合函数单调性法则判断单调性，结合选项可得结果.【详解】()lg 1lg 1f x x x -=-++ ()f x =，()f x \是偶函数；当1x >时，()()()2()lg 1lg 1lg 1f x x x x =++-=-，设()21t x x =-，则()t x 在(1,)+∞上单增，又()lg f t t =为增函数，所以()2()lg 1f x x =-在(1,)+∞上单增，()f x \是偶函数，且在(1,)+∞上是增函数.故选：C.本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1为偶函数，1-为奇函数）.15．若,,,a b t x 都是实数，且1,0a b t <，x a a t =+，则x b 与b t +的大小关系是A ．x b b t >+B ．x b b t =+C ．x b b t <+D ．不能确定【正确答案】A【详解】构造函数f (m )=mx ，g (m )=m +t .∵a ＞1，t ＞0，ax =a +t ＞a ＞1，∴x ＞1.在同一坐标系内作出两函数图象.∵ax =a +t ，即两图象交点的横坐标为a .若b ＞a ＞1，则f (b )＞g (b )，即bx ＞b +t .本题选择A 选项.16．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>．其中正确的是（）A ．①与②均正确B ．①正确，②不正确C ．①不正确，②正确D ．①与②均不正确【正确答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示，①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+，不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x f x f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+，不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>，即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>，所以②正确.故选：A.方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.三、解答题17．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程()20R x ax a a -+=∈的两个根.(1)求实数a 的值，(2)求221cos sin cos sin cos 1tan θθθθθθ-++--的值.【正确答案】(1)12a =(2)12【分析】（1）计算240a a ∆=-≥，根据韦达定理得到222sin cos 21a a θθ+=-=，解得答案；（2）根据三角恒等变换化简得到原式为sin cos θθ+，代入数据计算即可.【详解】（1）sin θ、cos θ是关于x 的方程()20R x ax a a -+=∈的两个根，240a a ∆=-≥，解得4a ≥或0a ≤，则sin cos a θθ+=，sin cos a θθ=，()2222sin cos sin cos 2sin cos 21a a θθθθθθ+=+-=-=，解得1a =1a =，故1a =（2）()222222sin cos cos 1cos sin cos sin cos 1tan sin cos si o i s n n s c θθθθθθθθθθθθθθ+-++=-----()()22sin cos sin cos sin cos sin cos sin co s n s i cos θθθθθθθθθθθθ-+=-=---sin cos 1a θθ=+==18．设()()22log 1f x x a x =-+-.(1)判断函数()y f x =的奇偶性；(2)若12a =，求证：函数()y f x =在()1,+∞内有且仅有一个零点.【正确答案】(1)0a =，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数(2)证明见解析【分析】（1）考虑0a =和0a ≠两种情况，根据函数奇偶性的定义，计算()f x 和()f x -的关系，得到答案.（2）根据复合函数奇偶性确定函数单调递增，计算0f >，02f ⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭，根据零点存在定理得到证明.【详解】（1）当0a =时，()()22log 1f x x x =+-，定义域关于原点对称，()()()()()2222log 1log 1f x x x x x f x -=-+--=+-=，函数为偶函数；当0a ≠时，()()22log 1f x x a x =-+-，()()()()2222log 1log 1f x x a x x a x -=--+--=++-，()()f x f x ≠-，且()()f x f x ≠--，函数为非奇非偶函数；综上所述：0a =，()f x 为偶函数；0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数.（2）()()221log 12f x x x =-+-，当1x >时，()()221log 12f x x x =-+-，12y x =-为增函数，21y x =-在()1,+∞上为增函数，2log y x =在()0,∞+上为增函数.故函数()()221log 12f x x x =-+-在()1,+∞上为增函数，110022f=+=->，152022222f ⎛⎫=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭，故函数在⎝上有零点，函数单调递增，故函数()y f x =在()1,+∞内有且仅有一个零点19．一研究小组在对某学校的学生上课注意力集中情况的调查研究中发现，其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线.当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图像的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()log 583(0a y t a =-+>，且1)a ≠图像的一部分.根据研究，当注意力指数p 不小于80时听课效果最佳.(1)求()p f t =的函数关系式；(2)有一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完？请说明理由.【正确答案】(1)213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（(2)能，理由见详解【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t ∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点14,81（），代入函数()log 583a y t =-+求出t ∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.(2)对分段函数，分别解不等式80p ≥，求出t 的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.【详解】（1）当(0,14]t ∈时，设2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<，将点(14,81)代入得14c =-，∴当(0,14]t ∈时，21()(12)824p f t t ==--+；当[14,40]t ∈时，将点(14,81)代入log (5)83a y t =-+，得13a =.所以213112)82,(0,14]4()log (5)83,(14,40]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩（（2）当(0,14]t ∈时，2112)82804t --+≥（，解得:1212t -≤≤+所以[12t ∈-；当[14,40]t ∈时，13log (5)8380t -+≥，解得532t <≤，所以[14,32]t ∈，综上[12t ∈-时学生听课效果最佳.此时(32122022t =--=+> .所以，教师能够合理安排时间讲完题目.故老师能经过合理安排在学生听课效果最佳时段讲完.20．若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合A 上，()()()22x xf x x A -∈是一个常数，则称()f x 在A 上具有P 性质.若I 是函数()y f x =定义域的一个子集，称函数()()g x f x =，x I ∈是函数()y f x =在I 上的限制.(1)设()y f x =是[]3,3-上具有P 性质的奇函数，求[]3,3x ∈-时不等式()32f x >的解集；(2)设()y f x =为[]3,3-上具有P 性质的偶函数.若关于x 的不等式()()220f x m f x +⋅<在[]3,3-上有解，求实数m 的取值范围；(3)已知函数()y f x =在区间[]1,1-上的限制是具有P 性质的奇函数，在[)(]2,11,2-- 上的限制是具有P 性质的偶函数.若对于[]22-,上的任意实数1x ，2x ，3x ，不等式()()()1234f x f x mf x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)(]1,3(2)12m <-(3)24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】（1）设()()22xxf x a -=，根据奇函数确定()122x xf x =-+，再解不等式即可.（2）设()22xx a f x =+，根据函数为偶函数，得到1a =，不等式转化为12k m k <-，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案.（3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为33517,,2224⎡⎤⎛⎤- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，再考虑0m >，0m =，0m <三种情况，分别计算综合得到答案.【详解】（1）设()()22xxf x a -=，则()22x xaf x =+，函数为奇函数，故()010f a =+=，1a =-，则()122x xf x =-+，()()112222x x x x f x f x ---=-+=-+=-，函数为奇函数，满足，13222x x -+>，设2xt=，132t t -+>，解得2t >或21t <-（舍）即22x >，解得1x >，故(]1,3x ∈（2）设()()22xxf x a -=，则()22x xaf x =+，函数为偶函数，故()()1222222x x xx x x a a f x a f x ---=+=⋅+==+，故1a =，()122x x f x =+，()()220f x m f x +⋅<，即2211222022x x x xm ⎛⎫+++< ⎪⎝⎭，设122xx k +=，[]3,3x ∈-，则12,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数1y x x =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在[]1,8上单调递增，故16522,28xx k ⎡⎤+=∈⎢⎣⎦，2222111122222222202222x x x x x x x x m m k mk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++-=+-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22122k km k k -<=-，函数12k y k =-在652,8k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故max 11212222k k ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，故12m <-.（3）根据（1）（2）知：()[][)(]12,1,1 212,2,11,22x x x xx f x x ⎧-+∈-⎪⎪=⎨⎪+∈--⋃⎪⎩，当[]1,1x ∈-时，()122x x f x =-+，设2xb =，则1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1y b b =-+，函数单调递增，133,22y b b ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，(]1,2x ∈时，()122x x f x =+，设2x c =，则(]2,4c ∈，1y c c=+单调递增，故1517,24y c c ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，函数在[)(]2,11,2-- 上的偶函数，故()15172,224xx f x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦，综上所述：()33517,,2224f x ⎡⎤⎛⎤∈- ⎢⎥⎣⎦⎝⎦()()()1234f x f x mf x ++>，当0m >时，即()()min max 24f x mf x +>，即17344m -+>，解得417m <；当0m =时，即()min 240f x +>，即340-+>，成立；当0m <时，即()()min min 24f x mf x +>，即3342m -+>-，解得23m >-；综上所述：24,317m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握.21．若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【正确答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【详解】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...m m g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|ni i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|nii i q x M q x-=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nni i i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|n i i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.。
2019年上海实验高一期末
上海实验学校高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的 弧度数是2. 化简：cos()sin()tan(2)2cot()cos()cos()2x x x x x x πππππ++--+=-+-++ 3. 设0m >，角α的终边经过点(3,4)P m m -，那么sin 2cos αα+的值等于4. 在△ABC 中，45A =︒，3AC =，2BC =，则B =5. 如图为函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<，x ∈R ）的部分图像，则()y f x =函数解析式为6. 已知23sincos22θθ+=，那么cos2θ的值为 7. △ABC 中，60A =︒，1b =，△ABC 的面积为3，则sin sin sin a b cA B C++=++8. 把函数4sin(2)5y x π=+的图像上各点向右平移2π个单位，再把横坐标变为原来的一半， 纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的函数的对称中心坐标为 9. 已知sin(2)3sin αβα+=，且12k βπ≠，2n παβπ+≠+（,n k ∈Z ），则tan()tan αββ+的 值为10. 如图，在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若(sin cos )a b C C =+，2A π=，D 为△ABC 外一点，3DB =，2DC =，则平面四边形ABDC 面积的最大值为二. 选择题11. 设θ∈R ，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件12. 函数2sin cos y x x =+，当x ϕ=时函数取得最大值，则cos ϕ=（ ）A.55 B. 255 C. 223 D. 1313. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、 汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围 成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所 对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与 其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为403米的弧田，其实际面积与按照 上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米 （其中3π≈，3 1.73≈）A. 14B. 16C. 18D. 2014. 已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，若(sin sin sin361)1f αβ++︒-=-，(cos cos cos361)3f αβ++︒+=，则cos()αβ-=（ ）A. 12B. 2C. 12- D. 2-三. 解答题15. 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈.（1）求cos()4πα-的值；（2）求tan()24απ-的值.16. 2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的单调减区间；（2）若[,0]4x π∈-，求函数()f x 的值域.17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1cos 3A =. （1）求2sin cos22B CA ++的值； （2）若3a =，求bc 的最大值；（3）若17a =，3b =，D 为BC 的中点，求线段AD 的长度.18. 已知函数2()cos cos()64f x x x x π=-+-，x ∈R . （1）将()f x 化为sin()A x B ωϕ++的形式（0A >，0ω>，||2πϕ<）并求()f x 的最小正周期T ；（2）设()()g x af x b =+，若()g x 在[,]44ππ-上的值域为[0,3]，求实数a 、b 的值； （3）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44x ππ∈-和*n ∈N 恒成立，求实数m 取值范围.19. 已知17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-，17cot cot cot cot cot cot 5αββγγα++=-，求tan()αβγ++.20. 已知对任意x ∈R ，cos cos210a x b x ++≥恒成立（其中0b >），求a b +的最大值.参考答案一. 填空题1. 12. 1-3. 25-4. 3π 5. ()2sin(2)3f x x π=+6.79 7. 3 8. (,0)420k ππ+，k ∈Z9. 2 10. 134+二. 选择题11. A 12. A 13. B 14. C三. 解答题15.（1；（2）13.16.（1）()2sin(2)16f x x π=++，2[,]63k k ππππ++，k ∈Z ；（2）[1,2]. 17.（1）19-；（2）94. 18.（1）1()sin(2)23f x x π=-，T π=；（2）4a =，2b =，或4a =-，1b =；（3）11(,)22-.19. 11 20. 2。
上海市实验学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
明： f x 是偶函数；
(3)已知 a 0 ，k 为给定的正实数，若函数 f x log2 4x a x 具有性质 P k ，求 a 的
取值范围.（用 k 表示）
19．（1） f n 是定义在正整数集上的函数，并且满足
①当 n 为正整数时， f f n 4n 9 ；
②当 k 为非负整数时， f 2k 2k1 3.
（1））若 x1、x2 为区间[ α， β] 上的两个不同的点，求证： 4x1x2 t x1 x2 4 0；
（2）设
f x
4x t x2 1 ，
f
x 在区间[ α，
β]
上的最大值和最小值分别为
fmax 和
fmin ，
g t fmax fmin .求 g t 的最小值.
试卷第 4页，共 4页
.
4．已知函数 f (x) loga (2x 3) 1(a>0且 a 1) ，且的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标
为
.
5．幂函数 f (x) (m 2 m 1)x 2 m1 在 (0, ) 上单调递增，则实数 m
．
6．若不等式 x 1 x 3 a 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是
D． A B 0,1
三、解答题
15．已知集合
A
x
1
2x
8
，
B
x y
2
2 log2 x 2 .
(1)求 A B ；
(2)当 x A B 时，求函数 f x 22x 的值域.
16．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡 献．生产口罩的固定成本为 200 万元，每生产 x 万箱，需另投入成本 p(x) 万元，当产量
上海高一上学期期末考试数学试卷
高一第一学期期末考试数学试卷班级：_________ 姓名：___________ 学号：__________一、填空题1. 不等式2302x x -≤+的解集为_______________. 2. 已知a 、b ∈R ，且2{,,1}{,,0}b a a a b a =+，则a b +=_________. 3. 若1420x x +-=，则x =________.4. 函数12y x=-的定义域为____________________________. 5. 函数2()22f x x ax =++在[3,3]x ∈-上是单调函数，则实数a 的取值范围是________.6. 设全集U =R ，已知集合{}3,1x A y y x ==<，{}2B x x =<，则A B =________.7. 设22x a =，且0a >，则33x xx x a a a a--+=+ ． 8. 函数91y x x =++，当[8,10]x ∈时的最小值是________. 9. 已知18log 9a =，185b =，则用a 、b 表示36log 45=__________．10. 函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]a ，则a 的值为_____________. 11. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()1142x x f x =-+，则此函数的值域__________.12. 设两个命题：①不等式21()423x m x x +>>-对一切实数x 恒成立；②函数()(72)x f x m =--是R 上的减函数.如果这两个命题仅有一个是真命题，则实数m 的取值范围是______________.二、选择题13. 下列写法正确的是（ ）A .{}0(0,1)∈B . {}(0,1)0,1∈C . {}00,1∉D . {}10,1∈14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y x a =+与对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图像关系可能是（ ）15. 设)(x f y =和)(x g y =是两个不同的幂函数，集合{})()(|x g x f x M ==，则集合中的元素个数是（ ）A . 1 或2或0B .1或2或3C .1或2或3或4D . 0或1或2或316. 若函数2()1f x x =+，其值域为{}5,10，那么满足条件的函数的个数有（ ） A . 4B .5C .8D .9三、简答题 17. 已知a 、b 、c 都是正数，求证：6b c c a a b a b c+++++≥.18. 已知{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且B A ⊆，求实数m 的取值范围.19. 已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数. （1）求b a ,的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.A .B .C .D .20. 已知1x 、2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； （2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.21. 设函数()a f x x x=+，2()22g x x x a =-+-，其中0a >. （1）求函数()a f x x x =+在(0,2]x ∈上的最小值； （2）若对任意的1x ，2(0,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）当32a =时，令()()()h x f x g x =+，试研究函数()h x 在(0,)x ∈+∞上的单调性，并求()h x 在该区间上的最小值.。
上海实验学校高一数学上学期期末试卷(含解析)
上海实验学校2014～2015学年度高一上学期期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．函数的定义域是．2．若函数在（﹣2，4）上的值域为．3．若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．4．函数在（0，+∞）上取最小值时的x的值为．5．方程lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）的解是x= ．6．函数的反函数是．7．若f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，，则f（x）的值域是．8．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．9．已知实数a＞0，函数f（x）=a x+log a x在[1，2]上最大值和最小值之差为|a2﹣a|+1，则实数a的值为．10．关于函数f（x）=，给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值，则其中真命题是．（只要写标题号）二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．“a=﹣3”是“函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．如图是函数（m，n∈N*，m，n互质）的图象，则下述结论正确的是（）A．m，n是奇数，且m＜n B．m是偶数，n是奇数，且m＞nC．m是偶数，n是奇数，且m＜n D．m是奇数，n是偶数数，且m＞n13．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞014．若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．三、解答题（本大题共6小题，满分64分）15．已知A={x||x﹣a|＜1}，，且A∪B=B，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=lg（x+1）（1）当x∈[1，9]时，求函数f（x）的反函数；（2）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围．17．设是R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性并证明；（3）若方程f（x2﹣2x﹣a）=0在（0，3）上恒有解，求实数a的取值范围．18．对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=lg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2﹣x+1；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f1（x）=log2x；x，a=2，b=1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常熟m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．19．已知集合M={f（x）|在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立}．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由．（2）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．（3）设函数f（x）=lg∈M，求实数a的取值范围．20．已知f（x）=x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a+]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（a k）＜f（a k+1）成立，求k的最大值．上海实验学校2014～2015学年度高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．函数的定义域是（﹣∞，﹣2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解指数不等式得答案．【解答】解：由，得，∴x≤﹣2．∴函数的定义域是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．2．若函数在（﹣2，4）上的值域为．【考点】函数的值域．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=1﹣，由于x∈（﹣2，4），利用反比例函数的单调性可得∈，即可得出．【解答】解：函数==1﹣，∵x∈（﹣2，4），∴∈，∴1﹣∈，∴函数在（﹣2，4）上的值域为∈，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数的单调性，考查了变形能力与计算能力，属于基础题．3．若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则a= ．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】欲求a的值，可先列出关于a的两个方程，由已知得y=f（x）的反函数图象过定点（2，﹣1），根据互为反函数的图象的对称性可知，原函数图象过（﹣1，2），从而解决问题．【解答】解：若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），则原函数的图象过点（﹣1，2），∴2=a﹣1，a=．故答案为．【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．4．函数在（0，+∞）上取最小值时的x的值为 1 ．【考点】基本不等式．【专题】计算题；构造法；不等式的解法及应用．【分析】在将函数式裂项，=2（x+）+1，再运用基本不等式求最值，最后确定取等条件．【解答】解：=2x++1=2（x+）+1，∵x＞0，∴x+≥2，因此，f（x）≥2×2+1=5，当且仅当：x=即x=1时，函数f（x）取得最小值5，故答案为：1．【点评】本题主要考查了运用基本不等式求函数的最小值，以及取等条件的分析，“一正，二定，三相等”是其前提条件，属于基础题．5．方程lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）的解是x= 3 ．【考点】函数的零点与方程根的关系；对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】由对数式的真数大于0，然后去掉对数符号直接解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg（16﹣x﹣x2）得，解得：x=3．故答案为：3．【点评】本题考查了对数式的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是验根，是基础题．6．函数的反函数是4﹣x2（x≥0）．【考点】反函数．【专题】计算题；定义法；函数的性质及应用．【分析】先确定原函数的值域[0，+∞），这是其反函数的定义域，再从原式中分离x，最后交换x，y得到函数的反函数f﹣1（x）．【解答】解：根据求反函数的步骤，先求函数的值域，显然函数的值域为y∈[0，+∞），这是其反函数的定义域，再将函数式两边同时平方，y2=4﹣x，即x=4﹣y2，再交换x，y得到函数的反函数f﹣1（x）=4﹣x2（x≥0），故答案为：4﹣x2（x≥0）．【点评】本题主要考查了反函数的求法，涉及函数值域的确定以及原函数与反函数定义域与值域间的关系，属于基础题．7．若f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，，则f（x）的值域是[﹣，] ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】设t=，利用换元法求得当x≥0时函数的值域，再根据奇函数的性质求得当x≤0时函数的值域，然后求并集可得答案．【解答】解：设t=，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴0≤f（t）≤，故当x≥0时，f（x）∈[0，]；∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f（x）∈[﹣，0]；故函数的值域时[﹣，]．故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了函数的性质及其应用，考查了函数值域的求法，运用换元法求得x≥0时函数的值域是解答本题的关键．8．已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）．【考点】函数的零点．【专题】作图题．【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案．【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k∈（0，1）时，满足题意，故答案为：（0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题．9．已知实数a＞0，函数f（x）=a x+log a x在[1，2]上最大值和最小值之差为|a2﹣a|+1，则实数a的值为2或．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】分类讨论以确定函数的单调性及最值，从而建立方程，从而解得．【解答】解：若0＜a＜1，函数f（x）=a x+log a x在[1，2]上是减函数，故f min（x）=f（2）=a2+log a2，f max（x）=f（1）=a，故f max（x）﹣f min（x）=a﹣（a2+log a2）=|a2﹣a|+1，解得，a=；若a＞1，函数f（x）=a x+log a x在[1，2]上是增函数，故f max（x）=f（2）=a2+log a2，f min（x）=f（1）=a，故f max（x）﹣f min（x）=（a2+log a2）﹣a=|a2﹣a|+1，解得，a=2；故答案为：2或．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及基本初等函数的单调性的判断与应用．10．关于函数f（x）=，给出下列四个命题：①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；④y=f（x）是偶函数且有最小值，则其中真命题是②．（只要写标题号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】①x＞0时，由x≠1知y=f（x）不具有单调性，判定命题错误；②函数f（x）=是偶函数，在x＞0且k＞0时，判定函数y=f（x）与y=kx在第一象限内有交点；由对称性知，x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内有交点；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；③函数f（x）=是偶函数，且f（x）=0，举例说明k=0时，方程f（x）=k有1个解；④函数f（x）=是偶函数，由①，即可判断结论是否正确．【解答】解：①当x＞1时，y=f（x）==1+在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，0＜x＜1时，y=f（x）=﹣=﹣1﹣在区间（0，1）上是单调递增的函数且无最值；∴命题①错误；②函数f（x）=f（x）=是偶函数，当x＞0时，y=f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；当k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第一象限内一定有交点；由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内一定有交点；∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；∴命题②正确；③∵函数f（x）=是偶函数，且f（x）=0，当k=0时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点，∴方程f（x）=k的解的个数是奇数；∴命题③错误；④∵函数f（x）=是偶函数，x≠±1，当x＞0时，y=f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；由对称性知，函数f（x）无最小值，命题④错误．故答案为：②．【点评】本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题，解题时应先去掉绝对值，化为分段函数，把分式函数分离常数，是易错题．二、选择题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11．“a=﹣3”是“函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】先求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：函数y=x2+2（a﹣1）x+2的对称轴是：x=﹣（a﹣1），若函数在区间（﹣∞，4]上单调递减，则﹣（a﹣1）≤4，解得：a≥﹣3，∴“a=﹣3”是“函数y=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减”的充分必要条件，故选：A．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，考查充分必要条件，是一道基础题．12．如图是函数（m，n∈N*，m，n互质）的图象，则下述结论正确的是（）A．m，n是奇数，且m＜n B．m是偶数，n是奇数，且m＞nC．m是偶数，n是奇数，且m＜n D．m是奇数，n是偶数数，且m＞n【考点】幂函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的图象，结合幂函数的图象和性质，分析m，n的奇偶性和大小，可得答案．【解答】解：∵函数（m，n∈N*，m，n互质）的图象的图象关于y轴对称，故n为奇数，m为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故m＜n，故选：C【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的图象和性质是解答的关键．13．已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选B．【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．14．若函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g （x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【考点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：∵函数f（x）=（k﹣1）a x﹣a﹣x（a＞0，a≠1）在R上是奇函数，∴f（0）=0∴k=2，又∵f（x）=a x﹣a﹣x为减函数，所以1＞a＞0，所以g（x）=log a（x+2）定义域为x＞﹣2，且递减，故选：A【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．三、解答题（本大题共6小题，满分64分）15．已知A={x||x﹣a|＜1}，，且A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；集合；不等式．【分析】由题意得出A是B的子集，再分别解出A，B两个集合，最后根据集合间的包含关系得出参数a的取值范围．【解答】解：因为A∪B=B，所以A是B的子集，对于集合A，由|x﹣a|＜1解得x∈（a﹣1，a+1），对于集合B，由≤1得≤0，解得，x∈（﹣3，2]，根据（a﹣1，a+1）⊆（﹣3，2]得，，解得﹣2≤a≤1，即实数a的取值范围为[﹣2，1]．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，涉及绝对值不等式的解法和分式不等式的解法，属于基础题．16．已知函数f（x）=lg（x+1）（1）当x∈[1，9]时，求函数f（x）的反函数；（2）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围．【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）先确定函数的值域，就是其反函数的定义域，再对函数求反函数；（2）将该不等式等价为：1＜＜10且x+1＞0，再直接解不等式即可．【解答】解：（1）∵y=f（x）=lg（x+1），∴当x∈[1，9]时，y∈[lg2，1]，且x+1=10y，即x=10y﹣1，互换x，y得，y=10x﹣1，所以，f﹣1（x）=10x﹣1，x∈[lg2，1]；（2）不等式0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1可化为：0＜lg＜1，等价为：1＜＜10且x+1＞0，解得x∈（﹣，），所以，原不等式中x的取值范围为：（﹣，）．【点评】本题主要考查了反函数的解法及其定义域的确定，以及对数不等式与分式不等式的解法，属于中档题．17．设是R上的奇函数（1）求实数a的值；（2）判定f（x）在R上的单调性并证明；（3）若方程f（x2﹣2x﹣a）=0在（0，3）上恒有解，求实数a的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由f（x）在R上为奇函数便可得到f（0）=0，从而可以求出a=1；（2）分离常数得到，可看出f（x）在R上单调递增，根据增函数的定义，设任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，然后作差，通分，根据指数函数的单调性证明f（x1）＜f（x2）便可得出f（x）在R上单调递增；（3）可设g（x）=x2﹣2x﹣a，可看出g（x）的对称轴为x=1，从而有g（1）≤g（x）＜g （0），或g（1）≤g（x）＜g（3），这样根据f（x）在R上单调递增便有f[g（1）]≤f[g （x）]＜f[g（0）]，或f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（3）]，而要使方程f（x2﹣2x﹣a）=0在（0，3）上恒有解，则需，这样即可求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）为R上的奇函数；∴f（0）=；∴a=1；（2）=，f（x）在R上单调递增，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则：=；∵x1＜x2；∴，；又；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在R上单调递增；（3）设g（x）=x2﹣2x﹣a，g（x）的对称轴为x=1，则：g（1）≤g（x）＜g（0），或g（1）≤g（x）＜g（3）；f（x）在R上单调递增；∴f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（0）]，或f[g（1）]≤f[g（x）]＜f[g（3）]；∵方程f（x2﹣2x﹣a）=0在（0，3）上恒有解；∴；∴；解得﹣1≤a＜3；∴实数a的取值范围为[﹣1，3）．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，在原点处的函数值为0，分离常数法的运用，增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，二次函数的对称轴，二次函数的最值，清楚方程的解和函数的零点的关系，要熟悉二次函数的图象．18．对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由；第一组：f1（x）=lg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2﹣x+1；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f1（x）=log2x；x，a=2，b=1生成函数h（x），若不等式3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；（3）设f1（x）=x（x＞0），f2（x）=，取a＞0，b＞0，生成函数h（x）图象的最低点为（2，8），若对于任意的正实数x1，x2，且x1+x2=1，试问是否存在最大的常熟m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）化简h（x）=a•f1（x）+b•f2（x），使得与h（x）与x2﹣x+1相同，求出a，b 判断结果满足题意；类似方法计算判断第二组．（2）由已知得h（x）=log2x，从而+2log2x+t=3（log2x+）2+t﹣≤0在x∈[2，4]上有解，由t=﹣3（log2x+）2+在[2，4]上单调递减，能求出实数t的取值范围．（3）由题意得，h（x）=ax+，从而h（x）=2x+，x＞0，假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立，设μ=h（x1）h（x2），从而转化为求u的最小值即可．【解答】解：（1）第一组：∵f1（x）=lg，f2（x）=lg（10x），h（x）=x2﹣x+1，∴alg+blg（10x）=algx﹣a+b+blgx=（a+b）lgx+b﹣a≠x2﹣x+1，∴第一组函数h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．第二组：设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解．∴h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数．（2）∵f1（x）=log2x；x，a=2，b=1生成函数h（x），∴h（x）=a•f1（x）+b•f2（x）=2log2x+log x=log2x，∵3h2（x）+2h（x）+t≤0在x∈[2，4]上有解，∴+2log2x+t=3（log2x+）2+t﹣≤0在x∈[2，4]上有解，∵x∈[2，4]，∴log2x+∈[，]∴t=﹣3（log2x+）2+在[2，4]上单调递减，∴=﹣5，=﹣．∴实数t的取值范围是[﹣，﹣5]．（3）由题意得，h（x）=ax+，x＞0，则h（x）=ax+，故，解得，∴h（x）=2x+，x＞0，假设存在最大的常数m，使h（x1）h（x2）≥m恒成立．于是设μ=h（x1）h（x2）==4x1x2++16•=+16（）=4+16•==，设t=x1x2，则t=x1x2≤=，即t∈（0，]，设﹣32，t∈（0，]，∵＜0，t∈（0，]，∴﹣32在（0，]上单调递减，从而μ≥μ（）=289．故存在最大的常数m=289．【点评】本题考查函数性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、换元法的合理运用．19．已知集合M={f（x）|在定义域内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立}．（1）函数f（x）=是否属于集合M？说明理由．（2）证明：函数f（x）=2x+x2∈M．（3）设函数f（x）=lg∈M，求实数a的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）f（x）=，令f（x+1）=f（x）+f（1）⇒x2+x+1=0，该方程无实数解，从而知函数f（x）=不属于集合M；（2）令f（x+1）=f（x）+f（1），依题意可求得2x﹣1+x﹣1=0，构造函数g（x）=2x﹣1+x﹣1，利用零点存在定理即可证得结论；（3）依题意可求得a=，设2x=t＞0，通过分离常数易求a==+，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=，令f（x+1）=f（x）+f（1），则=+1=，∴（x+1）2=x，即x2+x+1=0，∵△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，∴方程x2+x+1=0无实数解，即不存在x0∈R，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，∴函数f（x）=不属于集合M；（2）令f（x+1）=f（x）+f（1），则2x+1+（x+1）2=2x+x2+3，即2x+1﹣2x+2x﹣2=0，整理得：2x﹣1+x﹣1=0；令g（x）=2x﹣1+x﹣1，∵g（0）=﹣＜0，g（1）=1＞0，∴g（x）在（0，1）内必然有解，即存在x0∈R，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，∴函数f（x）=2x+x2∈M；（3）∵lg=lg+lg，∴=，∴a=，设2x=t＞0，a==+，∵t＞0，∴0＜＜1，∴＜+＜3，即a∈（，3）．【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查方程思想，考查构造函数思想及零点存在定理、分离常数法的综合应用，属于难题．20．已知f（x）=x+．（1）指出的f（x）值域；（2）求函数f（x）对任意x∈[﹣2，﹣1]，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．（3）若对任意正数a，在区间[1，a+]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（a k）＜f（a k+1）成立，求k的最大值．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【专题】综合题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）分x＞0和x＜0写出分段函数，分段求出值域后取并集得答案；（2）由导数判断出f（x）=x﹣在[﹣2，﹣1]上为增函数，然后分m＞0和m＜0两种情况代入f（mx）+mf（x），把f（mx）+mf（x）＜0转化为含参数m的不等式恒成立，m＞0时分离参数m，求出函数的最值，则m的范围可求，m＜0时，不等式不成立，从而得到实数m的取值范围；（3）取正数a=，在区间[1，a+]内存在k+1个实数a1，a2，…，a k+1使得不等式f（a1）+f（a2）+…+f（a k）＜f（a k+1）成立，可考虑在其子集内成立，由函数是增函数得到k个不等式f（1）≤f（a i）（i=1，2，…，k），作和后结合已知转化为关于k的不等式，则k的最大值可求．【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）=x+=≥2；当x＜0时，f（x）=x+=∈R．∴函数f（x）的值域为R；（2）由题意知，m≠0，当x∈[﹣2，﹣1]，函数f（x）=x﹣，，∴f（x）=x﹣在[﹣2，﹣1]上为增函数，①当m＞0时，由x∈[﹣2，﹣1]，得f（mx）+mf（x）=恒成立，即2m2x2﹣m2﹣1＞0恒成立，由于x∈[﹣2，﹣1]时，2x2﹣1＞0，也就是恒成立，而在[﹣2，﹣1]上的最大值为1，因此，m＞1．②当m＜0时，，即2m2x2﹣m2+1＜0．由于x∈[﹣2，﹣1]时，2x2﹣1＞0，不等式左边恒正，该式不成立．综上所述，m＞1；（3）取a=，则在区间内存在k+1个符合要求的实数．注意到⊆[1，a+]．故只需考虑在上存在符合要求的k+1个实数a1，a2，…，a k+1，函数f（x）=在上为增函数，∴f（1）≤f（a i）（i=1，2，…，k），，将前k个不等式相加得，，得，∴k≤44．当k=44时，取a1=a2=…=a44=1，，则题中不等式成立．故k的最大值为44．【点评】本题考查了函数的值域，考查了函数恒成立问题，训练了分离变量法和数学转化思想方法，特别对于（3）的处理，体现了特值化思想在解题中的应用，是难度较大的题目．。
2022-2023学年上海市实验学校高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市实验学校高一上学期期末数学试题一、填空题1．设集合，全集，则________．{}213A x x =-<U =R A =【答案】(,1][2,)-∞-+∞ 【分析】求解不等式得到集合，再求.|21|3x -<A A 【详解】由得，故，所以当全集时，或|21|3x -<12x -<<{}12A x x =-<<U =R A ={1xx ≤-.}2x ≥故答案为：.(,1][2,)-∞-+∞ 2．函数的定义域为_________．y =【答案】113,,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据分母不为零，被开方数不小于零，零次的底不为零列不等式求解.【详解】由已知得，解得221060x x x +≠⎧⎨-->⎩113,,222x ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即函数y =113,,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.113,,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．函数的零点为_________．)3log 1y =【答案】或41-【分析】直接令解方程即可.)3log 10=【详解】令，)3log 10=，解得或411==1x -故答案为：或4.1-4．若，，则是第______________象限角．cos 0a <tan 0a >a 【答案】三【分析】根据，判断应该在第二或第三象限，再根据锁定象限cos 0a <a tan 0a >【详解】在第二或第三象限，又在第一或第三象限，cos 0a α< ，tan 0a α>∴ ，在第三象限∴α【点睛】本题考查任意角对应三角函数所在象限的判断，熟记正弦、余弦、正切在每一象限对应值的正负是关键5．若一半径为2的扇形的弧长是其半径的，则该扇形的面积为_________．13【答案】23【分析】由扇形的弧长及其半径求得圆心角的大小，再求扇形的面积.【详解】设扇形的弧长，半径，圆心角，l r α则由得，故扇形的面积，l r α=13α=22111222233S r α==⨯⨯=故答案为：236．“”是“”的________条件2131x x x +-=-0x ≤【答案】必要不充分【分析】求出的解集，并判断与此解集的推出关系得出结论.2131x x x +-=-0x ≤【详解】当时，方程为化为，此时成立；12x ≥2131x x x +-=-当时，方程为化为，解得舍去；1132x ≤<()2131x x x --=-12x =当时，方程为化为，此时舍去；103x <<()()2131x x x --=--0x =当时，方程为化为，此时成立；0x ≤()()2131x x x ---=--故的解集为.2131x x x +-=-1(,0][,)2x ∈-∞⋃+∞由可推得，反之不成立，0x ≤1(,0][,)2x ∈-∞⋃+∞故“”是“”的必要不充分条件.2131x x x +-=-0x ≤故答案为：必要不充分.7．记函数所过定点为P ，若P 位于幂函数的图象上，则_________．831x y a -=-()f x ()27f -=【答案】3-【分析】求出函数所过定点P 的坐标，代入幂函数解析式求出的解析式，再求831x y a-=-()f x 的值.()27f -【详解】在函数中令得，故所过定点为，831x y a -=-80x -=8x =831x y a -=-()82P ，设，将代入得，所以，故，()f x xα=()82P ，28α=13α=()13f x x =所以.()()1327273f -==-－故答案为：3-8．若函数的定义域为R ，则实数k 的取值范围是_________．()2lg 61y x k x =+-+⎡⎤⎣⎦【答案】()4,8【分析】根据函数定义域为R ，可得在R 上恒成立，则()2lg 61y x k x =+-+⎡⎤⎣⎦()2610x k x +-+>，从而可得出答案.Δ0<【详解】因为函数定义域为R ，()2lg 61y x k x =+-+⎡⎤⎣⎦所以在R 上恒成立，()2610x k x +-+>所以，解得.()2640k ∆=--<4<<8k 故答案为：.()4,89．记的减区间D ，则在上的值域为_________．()20.7log 116y x =-286421x x y x -+=-x D ∈【答案】4,1⎡--⎣【分析】由复合函数的单调性判断方法求出区间D ，由对勾函数的单调性求出函数的值域.286421x x y x -+=-【详解】的定义域为，在定义域上为减函数，且当()20.7log 116y x =-11,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭0.7log y x =时，为增函数，由复合函数的单调性判断方法知的减区间1(,0]4x ∈-2116y x =-()20.7log 116y x =-为，1(,0]4-，()()()2222121386432211212121x x x x y x x x x -+-+-+===-++---令，由得，则，21t x =-1(,0]4x ∈-3(,1]2t ∈--321y t t =++因为在时为增函数，为减函数，321y t t =++3(,2t ∈-[1]t ∈-所以当，当 即时，函数取得最小值t =x 1-1t =-0x =.4-故答案为：4,1⎡--⎣10．称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域D 中任取x ，总存在唯一的满足()f x k P 0y D ∈．根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为_________．()()02()f x f y k k +=∈R ①若为函数，则；②是函数；(),f x x D∈0P ,x D x D ∀∈-∈1423xy x -=-2P -③是函数；④是函数；2221x x y x ++=2P 151y x x =--++1P⑤若为函数，则(3,)),,(y x x a a x =+∈-∞-+∞ 0P a ≥【答案】②⑤【分析】①：举例说明不成立；()()1,0,2f x x x =-∈②：根据函数定义的判断可以证明为函数；2P -1423xy x -=-2P -③：取时满足的不是唯一的，判断不是函数；1x =()()04f x f y +=0y 2221x x y x ++=2P ④：取，满足的无穷多解，判断不是函数；1x =()()02f x f y +=0y 151y x x =--++1P ⑤：由函数得，一定可求得两根，0P 002330y x y x ⎛⎫+ ⎪⎭+⎝+=0y x =-03y x '=-显然，所以恒成立，0()(),,x y a a ∈-∞-=-+∞ 03y x '=-()(,,)a a ∉-∞-+∞ 求得的范围.a 【详解】①：对，对任意的，取，满足()()1,0,2f x x x =-∈()0,2x ∈()0022,y x ∈=-;()()00f x f y +=若即，则，由得，且是唯一()()00f x f y +=0110x y -+-=02y x =-()0,2x ∈()0022,y x ∈=-0y 的，所以为函数，但，故①错误；()()1,0,2f x x x =-∈0P ()()0,2,0,2x x ∀∈-∉②：，其图象可看作由的图象向右平移个单位，向下平5145222323232x y x x x ---==-=----52y x -=32移2个单位得到，故的图象关于点中心对称，14()23x f x x -=-322⎛⎫ ⎪⎝⎭,- 所以对定义域内任意有成立，的定义域为，x ()(3)4f x f x +-=-14()23xf x x -=-(33,,22()x ∈-∞+∞ 值域，在上均为单调函数，()),2,(2y ∈-∞--+∞ 33(,),(,)22-∞+∞对定义域内任意，取也在定义域内，都有，x 03y x =-()()04f x f y +=-若满足，则，由值域知故 ，故0y ()()04f x f y +=－()()04f y f x =--()2f x ≠-()42f x --≠-,又在上均为单调函数，故满足的是存在且唯一的，032y ≠()f x 33(,),(,)22-∞+∞()()04f y f x =--0y 所以是函数，故②正确；1423xy x -=-2P -③，定义域为，取，由得22211()22x x f x x x x ++==++(,0)(0,)-∞+∞ 1x =()()04f x f y +=，即，解得或，故 不是唯一的， 所以001212224y y +++++=2002310y y +=+01y =-012y =-0y 不是函数，故③错误；2221x x y x ++=2P ④：，取，由得，()151f x x x =--++1x =()()012f f y +=001506112y y -+-++-+=即，当时均成立，故 不是唯一的，00615y y -+=-05y ≤-0y 所以不是函数，故④错误；()151f x x x =--++1P ⑤若为函数，显然,3(),,,()()f x x x a a x =+∈-∞-+∞ 0P 0a >则满足的是唯一的 ，()()00f x f y +=0y 由得，()()00f x f y +=00330x y x y +++=(,)(,)x a a ∈-∞-+∞ 即，一定可求得两根，002330y x y x ⎛⎫+ ⎪⎭+⎝+=0y x =-03y x '=-显然，0()(),,x y a a ∈-∞-=-+∞按函数定义知，0P 03y x '=-()(,,)a a ∉-∞-+∞ 所以，即恒成立，03y x '=-[)(,,00]a a ∈-⋃3a x ≤-所以，解得⑤正确；3a a ≤a ≥故答案为：②⑤【点睛】若关于中心对称，且在中心两侧为单调函数，则为“函数”，()f x (),m k ()f x k P 由对称中心知，故存在满足．由单调函()()22f x f m x k+-=02y m x =-()()02()f x f y k k +=∈R 数知满足的是唯一存在的.()()02f y k f x =-0y 在本题中①②③④⑤都可用此结论引导求解.二、单选题11．已知，以下不等关系不一定成立的是（ ）0a b c >>>A ．B ．33ac bc>a bb ccc ++>C ．D ．()()lg lg a b a c -<-a c b a >【答案】B【分析】①：利用不等式的性质判断；②：当时由指数函数的单调性知不能判断与的大小关系，当时显然不成立；1c ≠a bc +b cc+1c =③：利用的单调性判断；lg y x =④：可将与1比大小.a cb a ，【详解】①：由得，故①成立；300a b c >>>，33ac bc >②：当时根据指数函数的单调性知，当时，，当时，，当1c ≠1c >a bb c cc ++>01c <<a b b c c c ++<时，，故②不成立；1c =a b b c c c ++=③：因为为增函数，，知，故③成立；lg y x =0a b a c <-<-()()lg lg a b a c -<-④：因为，所以，故④成立；0a b c >>>a c ba >1>故选：B12．在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为33210y x x =--，则下一步应当确定零点位于区间（ ）()1.625,1.7A ．B ．()1.625,1.6625()1.6625,1.7C ．D ．()1.625,1.675()1.625,1.65【答案】A【分析】利用二分法及零点存在定理判断函数零点所在区间【详解】设，3()3210f x x x =--()()1.6250.380, 1.7 1.340,f f ≈-≈由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得()1.625,1.7()1.66250.460,f ≈>由知，下一步应当确定零点位于区间，(1.625)(1.6625)0f f <()1.625,1.6625故选：A13．函数y=ax 2+ bx 与y=（ab ≠0，| a |≠| b |）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）log b axA ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：对于A 、B 两图，而y=ax 2+ bx 的两根为0和，且两根之和为，由图知1b a >b a -b a -得，矛盾，01b a <-<10ba -<<对于C 、D 两图，，在C 图中两根之和，即矛盾，C 错，D 正确．01b a <<1b a -<-1b a >故选：D ．14．函数的解析式为，值域为，则符合要求的函数的个()y f x =()2231f x x x =-+{}0,1,2,3()f x数为（ ）A ．16个B ．945个C ．2025个D ．1个【答案】B【分析】先求出值域中每个函数值对应的自变量构成的集合，根据函数的{}0,1,2,3x (0,1,2,3)i A i =定义，要产生一个函数值只要从相应的集合中取出至少一个元素，这些(0,1,2,3)i i =(0,1,2,3)i A i =元素构成了的一个非空子集，可以确定非空子集的个数，的定义(0,1,2,3)i A i =(0,1,2,3)i B i =()f x 域为集合的并集，从而求出的定义域的个数即为不同的函数的个数.(0,1,2,3)i B i =()f x ()f x 【详解】满足解析式为，值域为，()2231f x x x =-+{}0,1,2,3①，解得，要使，的定义域必须含有集合22310x x -+=0111,1,,22x A ⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭()0f x =()f x 中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合111,1,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭0B 0B 的一个非空子集，这样的集合共有15个；111,1,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭0B ②，解得，要使，的定义域必须含有集合22311x x -+=1330,,22x A ⎧⎫∈-=⎨⎬⎩⎭()1f x =()f x 中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合330,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1B 1B 的一个非空子集，这样的集合共有7个；330,,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1B ③，解得，要使，的定义域必须含有集22312x x -+=2x A ⎧⎪∈=⎨⎪⎩()2f x =()f x 合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于⎧⎪⎨⎪⎩2B 2B 集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；⎧⎪⎨⎪⎩2B ④，解得，要使，的定义域必须含有集合中至22313x x -+={}32,2x A ∈-=()3f x =()f x {}2,2-少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的3B 3B ⎧⎪⎨⎪⎩一个非空子集，这样的集合共有3个；3B要使值域为，则①②③④中的解组合后形成的定义域，即定义域为()f x {}0,1,2,3()f x ()f x ，因此的定义域的组合情况有：种，故符合要求的函数0123B B B B ⋃⋃⋃()f x 15733945⨯⨯⨯=的个数为945.()f x 故选：B【点睛】函数的三要素有定义域、值域、对应法则，只要定义域不同就是不同的函数，当多个自变量对应同一个函数值时，要得到此函数值，只要从中取至少一个即可，()1,2,3,i x i =⋅⋅⋅()1,2,3,i x i =⋅⋅⋅从而可以组成不同的函数定义域，也就是得到不同的函数.三、解答题15．已知函数．()3131x xy f x +==-(1)判断函数的奇偶性，并按定义证明；(2)判断函数在时的单调性，并按定义证明．0x >【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递减，证明见解析【分析】（1）直接利用奇偶性的定义证明即可；（2）直接利用单调性的定义证明即可.【详解】（1）由题意得，解得，310x-≠0x ≠函数的定义域为，()3131x xy f x +==-()(),00,∞-+∞ 又，()()31133113x xx xf x f x --++-===---所以函数为奇函数；()f x （2），()3131221313131x x x x xf x +-+===+--- 任取，120x x >>则，()()()()()21121212233221131313131x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪---⎭--⎝⎝⎭，，120x x >> 121231,31,33x x x x ∴>>>即，1221310,310,330x x x x ->->-<，即()()120f x f x ∴-<()()12f x f x <即函数在时的单调递减.0x >16．已知集合，若．()(){}{}2240,1||A x x x B x x a =-+>=+<A B A ⋃=(1)求a 的取值范围；(2)当a 为可能取得的最大整数时，解关于x 的方程：．212512x x a +-=【答案】(1)(],5-∞(2)5log 4x =【分析】（1）分别求出集合，根据讨论是否为空集并列出满足的不等式求出其,A B A B A ⋃=B a 取值范围；（2）视为关于的二次方程，求得的值再求出x 的值.212512x x a +-=5x 5x 【详解】（1），()(){}()2404,2A x x x =-+=-当时，，满足题意；1a ≤B =∅当时,，由得，解得，1a >{}(21|B x x a =+<=A B A ⋃=24≤≥-⎪⎩15a <≤故a 的取值范围：.(],5-∞（2）由（1）知，故方程转化为，5a =212512xx a +-=()22555120x x -⨯-=解得或（舍），故.54x=352x =-5log 4x =17．设．()()212,f x a x x a =+-∈R (1)求在上的最小值；()f x []13x ∈-，m (2)当时，若不等式在上有解，求x 的取值范围．12a =()()()2lg 2lg 0.1f x t t <+[]0.01,10t ∈【答案】(1)当时，；当时；12a ≤66=-m a 12a >22=--m a (2){}|1x x ≠【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论可得最小值；（2）把问题转化为在上的最大值大于，结合对数的运算()()()2lg 2lg 0.1g t t t =+[]0.01,10t ∈()f x和二次函数的性质求出的最大值，再解不等式即可．()g t 【详解】（1），()()222412(12)12(2a a f x a x x x ++=-++=--当，即时，在上的最小值；1122a +≤12a ≤()f x []13x ∈-，()663m f a ==-当，即时，在上的最小值.1122a +>12a >()f x []13x ∈-，()221m f a -==--（2）当时，，12a =()22f x x x =-令，，()()()2lg 2lg 0.1g t t t =+[]0.01,10t ∈，()()()22lg 2lg 2lg 13g t t t t +=+=--当时，，则当，即时，取最大值1，[]0.01,10t ∈[]lg 2,1t ∈-lg 1t =10t =()g t 由题意得，即，解得，221x x -<2(1)0x ->1x ≠所以x 的取值范围是．{|1}x x ≠18．已知．()21log ,f x a a x ⎛⎫⎪⎝⎭=+∈R(1)当时，解不等式；1a =()1f x >(2)若关于x 的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a 的值；()22log 0f x x +=(3)若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +a 的取值范围．【答案】(1)()0,1(2)或014a =-(3)21,53⎛⎤-- ⎥⎝⎦【分析】（1）利用对数函数的单调性，求不等式的解集即可；221log (1)1log 2x +>=（2）根据题意得出方程恰有一个实根，化简转化为判断方程的2221log ()log 0a x x ++=210ax x +-=根的个数问题，通过讨论和即可求出答案.0a =0a ≠（3）对任意，函数在区间上总有意义，得对恒成立，求13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +10a x +>[],1x t t ∈+得.25a >-根据题意得出，即任意恒成立，利用二2211log ()log ()21a a t t +≥+++()21103at a t ++-≤13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦次函数在区间上恒成立求得的范围.a 【详解】（1）当a ＝1时，不等式化为，()1f x >221log (1)1log 2x +>=∴，即，解得0＜x ＜1，112x +>11x >经过验证满足条件，因此不等式的解集为；()0,1（2）由，得，22()log 0f x x +=2221log ()log 0a x x ++=即，所以，21()1a x x +=210ax x +-=当时，则，解得x ＝1，经过验证此时满足题意；0a =10x -=当时，①若，则a ＝，此时解得x ＝2．经过验证满足题意；0a ≠140a ∆=+=14-②若时，方程有两不等实根，设为，显然，140a ∆=+>210ax x +-=12,x x 120,0x x ≠≠由，得，因为，所以，210ax x +-=()211x a x +=20x >10a x +>即12110,0a a x x +>+>所以都满足，所以此时不满足题意.12,x x 2221log ()log 0a x x ++=综上可得或；0a =14-（3）因为对任意，函数在区间上总有意义，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +所以对恒成立，10a x +>[],1x t t ∈+因为在上为减函数，故只需对任意恒成立，1y a x =+[],1x t t ∈+101a t +>+13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以只要，故，解得min 101a t ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭10312a +>+25a >-对任意，函数在区间上单调递减，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x [],1t t +所以函数在区间上最大值为，最小值为， ()f x [],1t t +21log ()+a t 21log ()1++a t 所以，所以，2211log ()log ()21a a t t +-+≥+2211log ()log ()21a a t t +≥+++即任意恒成立，()21103at a t ++-≤13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()()2113g t at a t =++-当a ＝0时，任意不恒成立；()103g t t =-≤13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当a ＞0时，在上单调递增，()()2113g t at a t =++-13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以t ＝时，取得最大值，且最大值为，32()()2113g t at a t =++-()233157********a a a ⎛⎫⨯++-=+> ⎪⎝⎭所以当a ＞0时不满足.当时，任意恒成立，有以下三种情况：2(,0)5a ∈-()21()103g t at a t =++-≤13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①，解得，结合得.0∆≤133a -≤≤-2(,0)5a ∈-21,53a ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦②，由得 ，而，故此情况无解.Δ011221()02a a g ⎧⎪>⎪+⎪-<⎨⎪⎪≤⎪⎩1122a a +-<12a <-2(,0)5a ∈-③，解得，此时无解.Δ013223()02a ag ⎧⎪>⎪+⎪->⎨⎪⎪≤⎪⎩1(,3)(,)3141445a a a ∞∞⎧∈--⋃+⎪⎪⎪>-⎨⎪⎪≤-⎪⎩所以实数a 的取值范围是．21,53⎛⎤-- ⎥⎝⎦【点睛】二次不等式在区间上恒成立问题解决方法：设，2()(0)f x ax bx c a =++>在上恒成立或或，()0f x >[,]x αβ∈2()0b a f αα⎧-<⎪⇔⎨⎪>⎩2Δ0b a αβ⎧≤-≤⎪⎨⎪<⎩2()0b af ββ⎧->⎪⎨⎪>⎩在上恒成立.()0f x <[,]x αβ∈()0()0f f αβ<⎧⇔⎨<⎩二次项系数小于0，可转化为二次项系数大于0处理.19．已知函数.()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1）解不等式；()0x f x ⋅≤（2）设均为实数，当时，的最大值为1，且满足此条件的任意实数及的,k m (],x m ∈-∞()f x x m 值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；x ()()22310f x m k m k ≤--+-k （3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根，且t x ()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦12,x x ，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域.12x x <1221212log 211x x x x -++--+-t 【答案】（1）； （2）； （3），定义域为.(,1]-∞[4,)+∞12212112log 211x x t x x t-++=+--+-(1,3]【分析】（1）把转化为或，分别求得不等式组的解集，即可求解；()0x f x ⋅≤020x x ≤⎧⎨≥⎩020xx >⎧⎨≤⎩（2）根据题意求得的范围，把不等式恒成立，转化为m ()()22310f x m k m k ≤--+-恒成立，结合基本不等式，即可求解；4(3)83k m m ≥-++-（3）由题意得到，转化为是方程的两个根，22,1(())log (log ),1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩12,x x 22,log xt x x t x =-=-且，并求得的范围，进而求得关于的函数，即可求解.121x x t≤<<t 1221212log 211x x x x -++--+-t 【详解】（1）由题意，函数，()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则不等式等价于或，()0x f x ⋅≤020xx ≤⎧⎨≥⎩020x x >⎧⎨≤⎩即或，即不等式的解集为.0x ≤01x <≤(,1]-∞（2）当时，的最大值为1，所以，(,]x m ∈-∞()f x 02m ≤≤要使得不等式恒成立，()()22310f x m k m k ≤--+-只需，即对任意恒成立，()223101m k m k --+-≥()223110m k m k --+-≥[]0,2m ∈因为，所以恒成立，133m ≤-≤4(3)83k m m ≥-++-由，所以，430,3m m ->>-4(3)8843m m -++≤-=-当且仅当时，即时等号成立，所以，433m m -=-1m =4k ≥即的取值范围是.k [4,)+∞（3）由函数，可得，()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩22,1(())log (log ),1x x f f x x x ≤⎧=⎨>⎩①若，则方程可变为，1x ≤2[()]log ()0f f x t x --=2log ()x t x =-即且；2xt x =-13t <≤②若，则方程可变为，1x >2[()]log ()0f f x t x --=222log (log )log ()x t x =-即且，2log x t x =-1t >于是分别是方程的两个根，且，12,x x 22,log xt x x t x =-=-121x x t ≤<<，1221212112log 2(),211x x t x x t x x t+=-+==--+-故，其中定义域为.12212112log 211x x t x x t-++=+--+-(1,3]20．已知集合，x 、(){}(){}12,,,1,11,2,,n niA x x x x i n =∈-= ()12,,,,,nny A x x x x ∈= ，其中．定义，若，()12,,,n y y y y = {}()1,11,2,,i i x y i n ∈-= 、1122n n x y x y x y x y =+++ 0x y = 则称x 与y 正交．(1)若，写出中与x 正交的所有元素；()1,1,1,1x =4A (2)令，若，证明：为偶数；{},|n B x y x y A =∈ m B ∈m n +(3)若，且A 中任意两个元素均正交，分别求出，14时，A 中最多可以有多少个元素．n A A ⊆8n =【答案】(1)()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,----------()1,1,1,1--(2)证明见解析(3)8个，2个【分析】（1）由定义可写出中与x 正交的所有元素.4A （2）令，，当时，，当时，，那么1,,0,i i i i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩1nii k δ==∑=i i x y 1i i x y =≠i i x y 1=-i i x y x y，可得证.1()2ni i i x y k n k k n===--=-∑（3）先考虑时，共有四种互相正交的情况，设这4种情况的排列为，4n =1234,,,z z z z 则按，的方式进行搭配也相互正交，故()12341234,,,,,,,x z z z z z z z z =()12341234,,,,,,,x z z z z z z z z '=----当时可形成8种情况．8n =当时，不妨设（有14个1），（有7个，7个1），则14n =1(1,1,1)y = 2(1,1,,1,1,1,1)y =--- 1-正交，再令，，，且它们之间互相正交，讨12,y y 1214(,,,)a a a a = 1214(,,,)b b b b = 1214(,,,)c c c c = 论相应位置数字都相同的个数，可得出，利用它们相互正交得矛盾，从而得出A ,,a b c a b a c ，中最多可以有的元素个数.【详解】（1）中所有与x 正交的元素为4A ()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,----------．()1,1,1,1--（2）证明：对于，存在，m B ∈(){}12,,,,1,1n i x x x x x =∈- ，使得．(){}()12,,,,1,11,2,,n i y y y y y i n =∈-= = x y m 令，，1,0,i ii i ix y x y δ=⎧=⎨≠⎩1nii k δ==∑当时，，当时，．≠i i x y 1=-i i x y =i i x y 1i i x y =那么．()12ni i i m x y x y k n k k n====--=-∑ 所以为偶数．2m n k +=（3）时，不妨设．8n =()()121,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1x x ==----再考虑时，共有四种互相正交的情况，4n =即，设这4种情况的排列为，11 1 11 1 1 11 1 1 111 1 1------1234,,,z z z z 则按的方式进行搭配，12,x x 即，()12341234,,,,,,,x z z z z z z z z =，可形成8种情况．()12341234,,,,,,,x z z z z z z z z '=----所以时，A 中最多可以有8个元素．8n =时，不妨设14n =()1141,1,,1y =⋯个2771,1,,1,1,1,,1y =--⋯-⎛⎫⎪⎭⋯ ⎪⎝ 个个则与正交．1y 2y 假设且它们互相正交．()()()121412141214,,,,,,,,,,,a a a a b b b b c c c c === 设a ，b ，c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外．a ，b 相应位置数字都相同的共有m 个，b ，c 相应位置数字都相同的共有n 个，则．()1422140a b m k m k m k =+---=+-= 所以，同理．7m k +=7n k +=可得．n m =由于，()1420a c m m k k m =--++--= 可得矛盾．*727,2m m ==≠N 所以除外任意三个元素都不互相正交．12,y y 综上，时，A 中最多可以有2个元素．14n =【点睛】关键点点睛:本题考查集合中的新定义问题，解题关键是理解好正交的定义，为对应x y 位置两数乘积之和，由于每个位置均为1或－1，对应位置相同时乘积为1，不相同时乘积为－1，故可以用按对应位置相同的个数表示出，解决问题.x y。