2.因式分解作业
作业07 因式分解的应用-2021年七年级数学暑假作业(浙教版)(原卷版)
作业07 因式分解的应用注意事项：本试卷满分120分，完成时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．基础过关（70分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·江苏扬州市·七年级期末）利用因式分解简便计算6999329999⨯+⨯-正确的是（ ） A ．99(6932)991019999⨯+=⨯= B ．99(69321)99109900⨯+-=⨯=C ．99(69321)9910210096⨯++=⨯=D ．99(693299)992198⨯+-=⨯=2．（2020·山东历城·期中）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为（ ）. A ．140 B ．70 C ．35 D ．243．（2021·山东沂源·初二期中）设a ，b ，c 是ABC 的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-，则这个三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．（2021·浙江七年级月考）设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四种结果，其中正确的结果是（ ）A ．2180B ．2181C ．2184D ．21835．（2021·浙江七年级月考）如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边（x y >）．则①x y n -=；②224m n xy -=；③22x y mn -=；④22222m n x y -+=，错误的是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④6．（2020·浙江七年级期末）已知一个长为(2)x +，宽为(2)x -的矩形A ，将它的长增加8、宽增加a 得到一个新矩形B ，且矩形B 的周长是A 周长的3倍（如图）．同时，矩形B 的面积和另一个一边长为()x m -的矩形C 的面积相等，则m 的值（ ）A ．10m =-或2m =B ．2m =C ．10m =-D ．不能确定二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 7．（2018·福建宁德市·八年级期中）计算：22018 5.5⨯-22018 4.5⨯= __________．8．（2020·浙江省初三二模）如图，有一张边长为x 的正方形ABCD 纸板，在它的一个角上切去一个边长为y 的正方形AEFG ，剩下图形的面积是32，过点F 作FH ⊥DC ，垂足为H.将长方形GFHD 切下，与长方形EBCH 重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD 的面积是____. 9．（2021·山东济宁市·八年级期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y - ，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++ ，若取9, 9x y ==时，则各个因式的值是：()()()220,18,162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式3294x xy -，取10,10x y ==时，用上述方法产生的密码是：____________（写出一个即可）．10．（2021·全国九年级专题练习）对于正整数m ，若m ＝pq （p ≥q ＞0，且p ，q 为整数），当p ﹣q 最小时，则称pq 为m 的“最佳分解”，并规定f （m ）＝q p（如：12的分解有12×1，6×2，4×3，其中，4×3为12的最佳分解，则f （12）＝34）．关于f （m ）有下列判断：①f （27）＝3；②f （13）＝113；③f （2018）＝11009；④f （2）＝f （32）．其中，正确判断的序号是____．三、解答题（本大题共5小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11．（2021·浙江七年级期中）实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片．实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有22(32)()2a ab b a b a b ++=++或22(2)()32a b a b a ab b ++=++．探索问题：（1）选取图①所示的正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图②的长方形，计算图②的面积，并写出相应的等式；（2）试借助拼图的方法，把二次三项式22252a ab b ++分解因式，并把所拼的图形画在方框内．（3）小明同学又用了x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张边长为a ，b 的长方形纸片拼出了一个面积为(257)(1845)a b a b ++的长方形，那么x y z ++的值为________．12．（2020·河北河间·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如22424x y x y --+,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：22424(2)(2)2(2)(2)(22)x y x y x y x y x y x y x y --+=+---=-+-，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：2292a ab b --+；(2)△ABC 三边a 、b 、c 满足2440a bc ac ab -+-=，判断△ABC 的形状．13．（2020·广东龙岗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．14.（2021•乳山市期中）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．【问题解决】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．15．（2021·南阳市第三中学月考）阅读材料：若22-+-+，求m、n的值．22816=0m mn n n解：∵2222816=0m mn n n -+-+，∴()()22228160m mn n n n -++-+= ∴()()2240m n n -+-= ，而()20m n -≥，()240n -≥，∴()20m n -= 且()240n -=，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)22440a b a +-+=，则a=______；b=_________．(2)已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足222222a b c ab bc ++--=0，关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为________________．(3)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且2226100a b a b +--+=，求△ABC 的周长．能力培优（50分）一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）对于算式320182018-，下列说法错误的是（ ） A ．能被2016整除 B ．能被2017整除 C ．能被2018整除 D ．能被2019整除2．（2020·南通市东方中学八年级月考）已知()()22113(21)a b ab ++=-，则1b a a ⎛⎫-⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．-1 3．（2021·沙坪坝区·重庆一中七年级期中）已知2330x x +-=，则代数式325310x x x ++-的值为（ ）A ．-1B ．10C ．6D ．-44．（2020·沭阳县修远中学初一期末）已知a 、b 、c 是正整数，a ＞b ，且a 2-ab -ac +bc =11，则a -c 等于（ ） A ．1- B ．1-或11- C ．1 D ．1或11二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 5．（2020·四川成都市·八年级期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（单位：cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以因式分解为______．（2）若每块小长方形的面积为28cm ，四个正方形的面积和为266cm ，则图中所有裁剪线（虚线部分）长之和______．6．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：3222x x x +--因式分解的结果是()()()112x x x -++，当取19x =时，各个因式的值是：118x -=，120,221x x +=+=，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式32(3)21x m n x nx +---，当取66x =时，得到密码596769，则m =______，n =________．7．（2020·上海市静安区实验中学初一课时练习）已知2227x xy y +-=，且x ，y 都是正整数，则x 的值为 ，y 的值为 ．三、解答题（本大题共3小题，共26分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）8．（2020·河北邢台·初三二模）如果,a b 都是非零整数，且4a b =，那么就称a 是“4倍数”．（1）30到35之间的“4倍数”是_________，小明说：222321-是“4倍数”，嘉淇说：2126129-⨯+也是“4倍数”，他们谁说的对？____________．（2）设x 是不为零的整数．①()1x x +是__________的倍数；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为____________，它_____________（填“是”或“不是”）32的倍数．（3）设三个连续偶数的中间一个数是2n （n 是整数），写出它们的平方和，说明它们的平方和是“4倍数”．9．（2021·沙坪坝·重庆八中课时练习）若正整数p 是4的倍数，那么规定正整数p 为“四季数”，例如：64是4的倍数，所以64是“四季数”．（1）已知正整数p 是任意两个连续偶数的平方差，求证：p 是“四季数”；（2）已知一个两位正整数10k x y =+（19x y ≤<≤，其中x ，y 为自然数），将其个位上的数字与十位上的数字交换，得到新数m ，若m 与k 的差是“四季数”，请求出所有符合条件的两位正整数k ．10．（2020·浙江杭州市·七年级期末）发现与探索：（1）根据小明的解答将下列各式因式分解小明的解答：222656995(3)4(5)(1)a a a a a a a -+=-+-+=--=--①21220a a -+②2(1)8(1)7a a ---+③2265a ab b +-（2）根据小丽的思考解决下列问题：小丽的思考：代数式2(3)4a -+无论a 取何值2(3)a -都大于等于0，再加上4，则代数式2(3)4a -+大于等于4，则2(3)4a -+有最小值为4．①说明：代数式21220a a -+的最小值为16-．②请仿照小丽的思考解释代数式2(1)8a -++的最大值为8，并求代数式2128a a -+-的最大值．。
《12.5因式分解》作业设计方案-初中数学华东师大版12八年级上册
《因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《因式分解》第一课时的练习，使学生能够：1. 理解因式分解的概念和基本方法；2. 掌握因式分解的常用技巧，如提公因式法、平方差公式法等；3. 通过练习加强理解，提升学生运用因式分解解决实际问题的能力。
二、作业内容本次作业主要包括以下内容：1. 基础练习：通过简单的例题，让学生熟悉因式分解的基本方法和步骤。
2. 技巧提升：设计一些稍具难度的题目，要求学生运用提公因式法、平方差公式法等技巧进行因式分解。
3. 实际问题解决：设置几个与日常生活相关的数学问题，要求学生运用因式分解的知识解决，以增强学生的应用能力。
4. 自主探究：布置一些具有挑战性的题目，鼓励学生自主探究，培养其独立思考和解决问题的能力。
三、作业要求1. 基础练习部分，要求学生独立完成，并确保每一步的分解过程清晰明了。
2. 技巧提升部分，要求学生不仅要得出正确答案，还要理解每一步的解题思路和运用的数学原理。
3. 实际问题解决部分，要求学生先分析问题，再运用所学知识进行解答，并注意答案的完整性和条理性。
4. 自主探究部分，鼓励学生进行小组合作或个人探究，并记录下探究过程和结果，准备课堂交流。
四、作业评价1. 教师将对每位学生的作业进行批改，并给出详细的评语和建议。
2. 评价标准包括正确性、解题思路的清晰度、答案的完整性和条理性等方面。
3. 对于表现优秀的学生，将在课堂上进行表扬，并作为其他学生的榜样。
4. 对于存在问题的学生，教师将进行个别辅导，帮助其改正错误并提高解题能力。
五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业情况，总结学生在因式分解学习中存在的共性问题，并在课堂上进行讲解和指导。
2. 对于学生在自主探究中提出的独特见解和创意，将在课堂上进行分享和交流，以激发学生的创新思维。
3. 通过作业反馈，帮助学生查漏补缺，为下一课时的学习打下坚实的基础。
4. 教师将根据学生的作业情况和课堂表现，调整教学计划和教学方法，以更好地满足学生的学习需求。
八年级数学 暑假同步讲义 第7讲 因式分解法及配方法求解元二次方程(解析版)
利用因式分解法及配方法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程因式分解和配方法两种解法进行讲解，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是因式分解法和配方法在解一元二次方程中的灵活应用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习求根公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习一元高次方程奠定基础．1、因式分解法定义运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法．2、因式分解法理论依据①如果两个因式的积等于零，那么这两个因式中至少有一个等于零；反之，如果两个因式中至少有一个等于零，那么这两个因式的积也等于零（即：当0A B⋅=时，必有0A=或0B=；当0A=或0B=时，必有0A B⋅=）．因式分解法及配方法解一元二次方程知识结构模块一：因式分解法解一元二次方程知识精讲内容分析班假暑级年八2/16②通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 3、因式分解法解一元二次方程一般步骤①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例1】 已知x 、y 是实数，若0xy =，则下列说法正确的是（ ）．A 、x 一定是0B 、y 一定是0C 、0x =或0y =D 、0x =且0y =【答案】C【解析】xy =0 只需要xy 其中一个为零整个乘式就为零，故选C ． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例2】 口答下列方程的根： （1）(8)0x x +=； （2）(4)(3)0x x --=； （3）(7)(6)0x x ++=； （4）(51)(2)0x x +-=； （5）()()0x a x b -+=．【答案】（1） 0x =或8x =-；（2）3x =或4x =；（3） 6x =-或7x =-；（4）15x =-或2x =；（5） x a =或x b =-．【解析】两数相乘为零其中一个为零即可，所以只要满足每一项分别为零，即可求解． 【总结】本题考查当两个因式的乘积为零时，则每一个因式均为零．【例3】 解下列方程：（1）25+60x x =；（2）2340x x -=．例题解析【答案】（1）15x =，265x =-； （2）10x =，243x =．【解析】（1）由2560x x +=，得(56)0x x +=，解得：15x =，265x =-，所以原方程的解为：15x =，265x =-；（2）由2340x x -=，得340x x -=（），解得：10x =，243x =，所以原方程的解为：10x =，243x =． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例4】 解下列方程：（1）5(32)(1)(32)0x x x x --+-=；（2）()()3254520x x x ---=．【答案】（1）123x =，214x =； （2）152x =，243x =-． 【解析】（1）由5(32)(1)(32)0x x x x --+-=，得()32510x x x ---=（），即 ()324 10x x --=（），所以原方程的解为：123x =，214x =； （2）由()()3254520x x x ---=，得()()25340x x -+=，所以原方程的解为：152x =，243x =-． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例5】 解下列方程：（1）()()22231x x +=-； （2）229(21)16(2)0x x +--=； （3）24410x x -+=；（4）21236x x =--．【答案】（1）1 32x =，214x =-； （2）1112x =-，212x =； （3）1212x x ==； （4）126x x ==-．【解析】（1）由()()22231x x +=-，得231x x +=-或者2(31)x x +=--，所以原方程的解为：1 32x =，214x =-； （2）由229(21)16(2)0x x +--=，得229(21)16(2)x x +=-，(21)4(23)x x +=±-，解得：112x =-或12x =，所以原方程的解为：1112x =-，212x =； （3）由24410x x -+=，得2(21)0x -=，解得：12x =．所以原方程的解为：1212x x ==； （4）由21236x x =--，得212360x x ++=，即2(6)0x +=，所以原方程的解为：126x x ==-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程．【例6】 解下列方程：（1）27120x x -+=；（2）2421x x +=．【答案】（1）13x =，24x =； （2）17x =-，23x =．【解析】（1）由27120x x -+=，得(3)(4)0x x --=，解得：3x =或者4x =， 所以原方程的解为：13x =，24x =；（2）由2421x x +=，得24210x x +-=，即(7)(3)0x x +-=，解得：7x =-或者3x =，所以原方程的解为：17x =-，23x =．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程． 【例7】 解下列方程：（1）23180x x -++=；（2）20.1 1.20.4x x -=．【答案】（1）16x =，23x =-； （2）16x =，22x =-．【解析】（1）由23180x x -++=，得23180x x --=，即(6)(3)0x x -+=，解得：6x =或者3x =-，所以原方程的解为：16x =，23x =-；（2）由20.1 1.20.4x x -=，得24120x x --=，即(6)(2)0x x -+=，解得：6x =或者2x =-，所以原方程的解为：16x =，22x =-．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程，注意符号的变化．【例8】 解下列方程：（1）()2225x x x -=+；（2）()()315x x +-=．【答案】（1）15x =，21x =-； （2）14x =-，22x =．【解析】（1）由()2225x x x -=+，得22245x x x -=+，即2450x x --=，解得：5x =或 者1x =-，所以原方程的解为：15x =，21x =-；（2）由()()315x x +-=，得2280x x +-=，即(4)(2)0x x +-=，解得：4x =-或者2x =，所以原方程的解为：14x =-，22x =．【总结】本题要先化成一般形式后再用十字相乘法进行求解，注意计算过程中的符号．【例9】 解方程：()()25258x x +-+=． 【答案】11x =-，27x =-．【解析】由()()25258x x +-+=，得()()252580x x +-+-=，即(54)(52)0x x +-++=， 解得：1x =-或者7x =-，所以原方程的解为：11x =-，27x =-． 【总结】本题必须把x +5看成一个整体，利用整体思想进行因式分解．【例10】解方程：20x x -+=．【答案】1x =2x【解析】由20x x -+=，得(0x x =，解得：x 或者x所以原方程的解为：1x =2x =【总结】本题主要考查将一个无理数化成两个无理数的乘积的形式．【例11】解方程：2(1(30x x -++=．【答案】1x =21x =．【解析】由2(1(30x x +-+=，得[(11](0x x -=，解得：x或者x =，所以原方程的解为：1x =21x =．【总结】本题需要仔细观察之后利用十字相乘法进行因式分解．【例12】 已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程．【答案】260x x +-=．【解析】由(2)(3)0x x -+=，得260x x +-=． 【总结】本题考查一元二次方程根的运用．【例13】 学生A 在解一元二次方程(1)x x x -=时过程如下，请判断是否正确，若不正确，请说明理由解：等式两边同时消去相同的数x ，得到11x -=解得2x =所以原方程的根为：2x = 【答案】不正确．【解析】不正确，因为等式两边同除的数不能为零，所以当0x =时，此算法是错误的．因此学生A 的做法完全错误的．【总结】本题主要考查等式的性质，注意两边同乘和同除的数不能为零．1、配方法定义先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法． 2、配方法理论依据配方法的理论依据是完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±． 3、配方法解一元二次方程一般步骤①先把二次项系数化为1：即方程左右两边同时除以二次项系数； ②移项：把常数项移到方程右边；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()x m n +=的形式； ④当0n ≥时，用直接开平方的方法解变形后的方程．【例14】构造完全平方式，完成下列填空：（1）2226()()x x x ++=+；例题解析知识精讲师生总结1、含有字母系数的一元二次方程如何求解？2、若二次项系数含有字母，求解时应注意哪些问题？模块二：配方法解一元二次方程（2）2228()()x x x ++=+； （3）22210()()x x x -+=-；（4）2221()()2x x x -+=-．【答案】（1）9 、3； （2）16、4； （3）25、5； （4）116、14． 【解析】当二次项系数为1时，配方时，方程两边同加一次项系数一半的平方． 【总结】本题考查对配方法的理解及运用．【例15】用配方法解方程：2210x x +-=．【答案】11x =-21x =--．【解析】由2210x x +-=，得2212x x ++=，即2(1)2x +=，所以原方程的解为：11x =-+，21x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例16】用配方法解方程：2220x mx m +-=．【答案】1x m =-+，2x m =-．【解析】由2220x mx m +-=，得22222x mx m m ++=，即22()2x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-+，2x m =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例17】用配方法解方程：21099750x x --=．【答案】195x =-，2105x =．【解析】由21099750x x --=，得2102510000x x -+=，即2(5)10000x -=， 所以5100x -=±，所以95x =-或者105x =，所以原方程的解为：195x =-，2105x =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例18】用配方法解方程：220130y --=．【答案】145y =，245y =-．【解析】由220130y --=，得2122025y -+=，即2(2025y -=，所以45y -±， 所以原方程的解为：145y =，245y =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例19】用配方法解方程：225200x x --+=．【答案】154x =-，254x =-．【解析】由225200x x --+=，得225200x x +-=，即251002x x +-=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =-所以原方程的解为：154x =-，254x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例20】用配方法解方程：210.30.2030x x -+=． 【答案】1213x x ==．【解析】由210.30.2030x x -+=，得213203x x -+=，即221039x x -+=，所以21()03x -=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．【例21】用配方法解方程：2(1)2(1)10x x -+--=（要求用整体法的思想求解）．【答案】12x x == 【解析】由2(1)2(1)10x x -+--=，得2(1)2(1)12x x -+-+=，即2(11)2x -+=，所以原方程的解为：12x x == 【总结】本题考查整体思想的运用，把1x -看成一个整体进行配方．【例22】用配方法解关于x 的方程：222240x ax b a --+=．【答案】1222x a b x a b =+=-，．【解析】由222240x ax b a --+=，得22224x ax a b -+=，即22()4x a b -=，解得：2x a b =±，所以原方程的解为：1222x a b x a b =+=-，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．【例23】 若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=． 【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．【例24】已知方程260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，则262x x q -+=可以配方成下列的（）．A 、2()5x p -=B 、2()9x p -=C 、2(2)9x p -+=D 、2(2)5x p -+=【答案】B【解析】因为260x x q -+=可以配方成2()7x p -=的形式，所以262x x q -+=可写成2()72x p -=+的形式，即2()9x p -=．故选B ．【习题1】 完成下列填空： （1）方程22x x =的根为； （2）方程(1)(2)0y y -+=的根为； （3）方程(2)4(2)x x x -=-的根为．【答案】（1）12x =，20x =； （2）11y =，22y =-； （3）12x =，24x =． 【解析】（1）由22x x =，得(2)0x x -=，解得：2x =或者0x =， 所以原方程的解为：12x =，20x =； （2）由(1)(2)0y y -+=，得1y =或者2y =-， 所以原方程的解为：11y =，22y =-；（3）由(2)4(2)x x x -=-，得(2)(4)0x x --=，解得2x =或者4x =，所以原方程的解为：12x =，24x =．【总结】本题考查特殊的一元二次方程的解法．随堂检测师生总结1、一元二次方程各项系数满足什么关系时，配方法能求出实数根？2、用配方法解一元二次方程时先要考虑什么因素？【习题2】 完成下列填空： （1）224()()x x x ++=+；（2）2225()()4y y y ++=-．【答案】（1）42、； （2） 552-、 ．【解析】利用完全平方公式的概念完成填空． 【总结】本题考查配方法的基本概念．【习题3】 用因式分解法解下列方程，并写出是因式分解法中哪类方法： （1）2540x x -=；（2）224(32)0x x -+=；（3）2690x x ++=； （4）260x x --=．【答案】（1）12405x x ==，； （2）12225x x =-=-，； （3）123x x ==-； （4）1223x x =-=，． 【解析】（1）由2540x x -=，得(54)0x x -=，解得：12405x x ==，； （2）由224(32)0x x -+=，得(52)(2)0x x ++=，解得：12225x x =-=-，；（3）由2690x x ++=，得2(3)0x +=，解得：123x x ==-；（4）由260x x --=，得(3)(2)0x x -+=，解得1223x x =-=，．【总结】本题考查利用因式分解求解特殊的一元二次方程的根．【习题4】 已知一个一元二次方程的两个根分别为3和6-，那么这个方程可以是（ ）．A 、23180x x --=B 、23180x x +-=C 、23180x x -+=D 、23180x x ++=【答案】B【解析】直接将两个根分别为3和6-代入原方程，即可验证，结果为B ． 【总结】考查一元二次方程的根的概念，直接代入即可．【习题5】 用适当的方法解下列方程：（1）2421x x -=-； （2）(2)(2)2(2)x x x -+=-； （3）2230x x +-=； （4）23180x x --=；（5）22570x x --=；（6）224(3)25(2)0x x +--=．【答案】（1）1273x x =-=，； （2）1202x x ==，； （3）1213x x ==-，； （4）1263x x ==-，； （5）12712x x =-=，； （6）126437x x ==，．【解析】（1）由2421x x -=-，得(7)(3)0x x +-=，解得：1273x x =-=，； （2）由(2)(2)2(2)x x x -+=-，得(2)0x x -=，解得：1202x x ==，； （3）由2230x x +-=，得(3)(1)0x x +-=，解得：1213x x ==-，； （4）由23180x x --=，得(6)(3)0x x -+=，解得：1263x x ==-，； （5）由22570x x --=，得(27)(1)0x x -+=，解得：12712x x =-=，； （6）由224(3)25(2)0x x +--=，得2(3)5(2)2(3)5(2)x x x x +=-+=--或，即31674x x ==或，解得：126437x x ==，．【总结】本题主要考查用适当的方法求解一元二次方程的解，注意方法的选择．【习题6】 解方程：2228x --=+．【答案】12218x x =-=--，【解析】由2228x --+，得22)80x +++=，分解因式，得：2)42)0x x +++=，解得：12218x x =-=--，【总结】本题主要考查利用因式分解求一元二次方程的根，注意准确计算．【习题7】 如果222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，求m 的值． 【答案】2m =．班假暑级年八14/16【解析】因为222(1)5x m x m -+++是一个完全平方式，所以225(1)m m +=+，解得：2m =．【总结】本题主要考查学生对完全平方公式的理解及运用．【作业1】 已知方程2222(3)(2)0a b a b ++--=，则22a b +的值为（）．A 、2B 、3-C 、2或3-D 、以上都不对【答案】C【解析】将22a b +看作一个整体，解得22a b +的值为2或3-，因为22a b +是一个非负数，所以22a b +的值为2，故选A ．【总结】本题一方面考查整体代入思想的运用，另一方面考查非负数的概念．【作业2】 用因式分解法及配方法解下列方程：（1）2(4)5(4)x x +=+； （2）25240x x --=； （3）21042000x x --=； （4）2240x x --=； （5）23410x x -+=；（6）2650x x ++=．【答案】（1）1214x x ==-，； （2）1283x x ==-，； （3）127060x x ==-，；（4）1242x x ==-，； （5）12113x x ==，； （6）1215x x =-=-，．【解析】（1）由2(4)5(4)x x +=+，得(4)(45)0x x ++-=，解得：1214x x ==-，； （2）由25240x x --=，得(8)(3)0x x -+=，解得：1283x x ==-，； （3）由21042000x x --=，得(70)(60)0x x -+=，解得：127060x x ==-，；（4）由2240x x --=，得：(4)(2)0x x -+=，解得：1242x x ==-，；课后作业（5）由23410x x -+=，得：(1)(31)0x x --=，解得：12113x x ==，；（6）由2650x x ++=，得：(1)(5)0x x ++=，解得：1215x x =-=-，．【总结】本题主要考查利用因式分解法求解一元二次方程的解．【作业3】 用适当的方法解下列方程：（1）3(1)33x x x +=+；（2）2723200x x --=； （3）22(2)5x x x -=+；（4）(3)(4)8x x -+=；（5）(32)(21)(32)0x x x x -+--=；（6）222(1)5(1)40x x ---+=；（7）220y y -=． 【答案】（1）1211x x ==-，； （2）12547x x ==-，； （3）1251x x ==-，；（4）1254x x =-=，； （5）12213x x ==-，； （6）1234x x x x ====（7）12y y = 【解析】（1）由3(1)33x x x +=+，得21x =，解得：1211x x ==-，； （2）由2723200x x --=，得(75)(4)0x x +-=，解得：12547x x ==-，；（3）由22(2)5x x x -=+，得(5)(1)0x x -+=，解得：1251x x ==-，；（4）由(3)(4)8x x -+=，得2200x x +-=，即(5)(4)0x x +-=，解得：1254x x =-=，； （5）由(32)(21)(32)0x x x x -+--=，得(32)(21)0x x x -+-=，解得：12213x x ==-，；（6）由222(1)5(1)40x x ---+=，得22(11)(14)0x x ----=，解得：1234x x x x ===（7）由220y y -=，得：(20y y -=，解得：12y y =． 【总结】本题主要考考查用适当的方法求解一元二次方程的根，注意在用十字相乘法分解时，先将方程化为一般形式再分解．【作业4】 若△ABC 的三边a 、b 、c 的长度是2760x x -+=的解，求△ABC 的周长． 【答案】3或18或13．【解析】由2760x x -+=，得(6)(1)0x x --=，解得16x x ==或． 当1a b c ===时，成立；当6a b c ===时，成立；当61a b c ===，时，成立； 当16a b c ===，时，不成立．所以周长为3或18或13．【总结】本题一方面考查因式分解解一元二次方程的根，另一方面考查三角形的三边关系．【作业5】 求证：无论x 为何值，代数式245x x -+的值总是大于零． 【答案】略．【解析】因为245x x -+2(2)1x =-+，所以无论x 取何值，代数式245x x -+的值总是大于零．【总结】本题主要考查利用配方法判定代数式的取值范围．。
因式分解法
一元二次方程（分解因式法） 【学习目标】1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
2、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。
【知识要点】1、 分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】例1、（1）方程)2(2)2)(1(+=+-x x x 的根是__________ （2）方程0)3)(2)(1(=-+-x x x 的根是__________ 例2、 用分解因式法解下列方程（1）0632=-x x （2）)5(2)5(32x x -=-（3） 0122=+-x x （4）4842-=+x x（5） 0)3()23(22=+-+x x （6）22)6(16)3(49+=-x x（7）0625412=-+x x （8）(x －1)2－4(x －1)－21＝0．例3、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________.例4、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 （ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或例5、解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2+4abx ＝a 2－b 2．例6、x 为何值时，等式0232222=--+--x x x x【经典练习】填空题1、用因式分解法解方程9=x 2-2x+1 (1)移项得 ；(2)方程左边化为两个数的平方差，右边为0得 ； (3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ； (4)分别解这两个一次方程得x 1 = ， x 2= 。
著名机构七年级数学秋季拓展班讲义因式分解专题课后作业-教师版
【作业1】 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A 、()x a b ax bx -=-B 、()()222111x y x x y -+=-++C 、221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭D 、()22296432m mn n m n ++=+【答案】C【作业2】 多项式322322361812a b a b a b -+各项的公因式是（ ）A 、22a bB 、3312a bC 、336a bD 、226a b【答案】D【作业3】 分解因式41x -得（ ） A 、()()2211x x +-B 、()()2211x x +-C 、()()()2111x x x -++D 、()()311x x -+【答案】C【作业4】 已知正方形的面积是()22168x x cm -+（4x cm >），则正方形的边长是 （）A 、()4x cm -B 、()4x cm -C 、()164x cm -D 、()416x cm -【答案】B【作业5】 分解因式：34m m -=________________． 【答案】(2)(2)m m m -+．【作业6】 利用因式分解简便计算：227.29 2.71-=___________． 【答案】45.8．【作业7】 若()()2310x x x a x b --=++，则a =________，b =________．因式分解专题【答案】12125225a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩；． 【作业8】 已知：若22340a ab b --=，则ab的值为________． 【答案】4或-1．【作业9】 把下列各式因式分解：（1）4323862x y x y x y -+-； （2）()()232x x y y x ---； （3）3222245954a b c a bc a b c +-；（4）322159a ab ac -+-； （5）222x y xy -；（6）2325205a b ab ab -+-．【答案】（1）32(431)x y x y --+；（2）2()(32)x y x y --；（3）29(516)a bc ab b +-； （5）222(159)a a b c --+；（5）(2)xy x y -；（6）25(41)ab ab b --+．【作业10】 把下列各式因式分解： （1）6216a a -；（2）()()()433a b a a b b b a -+-+-；（3）543351881a b a b a b ++；（4）421681x x -+． 【答案】（1）22(2)(2)(4)a a a a -++；（2）42()a b -； （3）322(9)a b a b +；（4）22(21)(21)x x -+．【作业11】 把下列各式因式分解：（1）22122x y -；（2）422454x x y y -+；（3）3222a a b a b -+-；（4）222223x xy y x y -++--．【答案】（1）112()()22x y x y -+； （2）(2)(2)()()x y x y x y x y -+-+； （4）(1)(1)(2)a a a b -+-； （4）(3)(1)x y x y -+--．【作业12】 利用分解因式进行计算：3.4614.70.5414.729.4⨯+⨯-． 【答案】29.4．【作业13】 已知：2a b +=，求221122a ab b ++的值．【答案】2．。
初三上学期《因式分解》能力提升卷 1
初三上学期<因式分解>能力提升卷1一．选择题（共12小题）1．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（）A．50 B．100 C．98 D．97 3．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5）D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）4．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×10175．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）6．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1 7．化简：，结果是（）A．B．C．D．8．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z10．下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+2x+4 C．﹣（﹣a）2﹣b2 D．﹣a2+b211．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 二．填空题（共18小题）13．把多项式2x2y﹣16xy+32y分解因式的结果是．14．已知xy=，x+y=5，则2x3y+4x2y2+2xy3=．15．分解因式：﹣xy2+4x=．16．已知a﹣b=3，ab=﹣2，则a2b﹣ab2的值为．17．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，则该三角形是三角形．18．已知关于x的二次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为．19．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+1=．20．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为．21．若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．22．已知x2+x+1=0，则x3﹣x2﹣x+7=23．已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为．24．已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y2的值为．25．分解因式：a2+2ab+b2﹣4=．26．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为．27．给出几个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1其中能够分解因式的是（填上序号）．28．把多项式9x3+6x2y+xy2分解因式的结果是．29．若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是30．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2=b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是．三．解答题（共10小题）31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？32．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．33．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y234．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．35．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为，m的值为；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．36．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数“．（1）36是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？37．请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解．38．甲、乙两个同学分解因式x2﹣4x+m+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．39．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a，b的代数式表示S1=，S2=；（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：；（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．40．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．初三上学期<因式分解>能力提升卷1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【分析】能利用平方差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于10的正整数，则该指数可能是2、4、6、8、10五个数．【解答】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选：D．2．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（）A．50 B．100 C．98 D．97【解答】解：∵993﹣99=99×（992﹣1）=99×（99+1）×（99﹣1）=99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．3．下列因式分解正确的是（）A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5） D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）【分析】A、利用完全平方公式分解；B、利用提取公因式a2进行因式分解；C、利用十字相乘法进行因式分解；D、利用提取公因式5xy进行因式分解．【解答】解：A、4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2，故本选项错误；B、a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；C、（x﹣2）（x﹣5）=x2﹣7x+10，故本选项错误；D、10x2y﹣5xy2=xy（10x﹣5y）=5xy（2x﹣y），故本选项正确；故选：D．4．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027C．1.111111×1056D．1.1111111×1017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第8个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可．【解答】解：根据题意得：第⑧个式子为5555555552﹣4444444452=（555555555+444444445）×（555555555﹣444444445）=1.1111111×1017．故选：D．5．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），=b（x﹣3）（b+1）．故选：B．6．若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【分析】设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p 的值．【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣（a+2）x+2a，∴﹣p=﹣a﹣2，2a=﹣6，解得：a=﹣3，p=﹣1．故选：C．7．化简：，结果是（）A．B．C．D．【分析】将所求式子的分子分母前两项提取20122，整理后分子提取2010，分母提取2013，约分后即可得到结果．【解答】解：原式====．故选：A．8．下列各式：①4x2﹣y2；②2x4+8x3y+8x2y2；③a2+2ab﹣b2；④x2+xy﹣6y2；⑤x2+2x+3其中不能分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项，且异号．完全平方公式的特点：两个数的平方项，且同号，再加上或减去这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：①原式=（2x+y）（2x﹣y），能分解因式；②原式=2x2（x+2y）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式=（x+3y）（x﹣2y），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选：B．9．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．【解答】解：原式=（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），∴另一个因式是2x+y﹣z．故选：D．10．下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（）A．﹣a2﹣b2B．x2+2x+4 C．﹣（﹣a）2﹣b2D．﹣a2+b2根据公式法分解因式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2=（a±b）2的公式特点，把四个选项进行分析可得到答案．【解答】解：A、﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；B、x2+2x+4=x2+2x+22有三项，考虑完全平公式分解，由于中间的项2x不是x与2的2倍，所以不能用公式法分解，故此选项错误；C、﹣（﹣a）2﹣b2=﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；D、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故此选项正确．故选：D．11．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断．【解答】解：依据新运算可得①2=1×2，则，正确；②24=1×24=2×12=3×8=4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1，正确；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），如64=43=8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．12．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+（b﹣2）x﹣2b=x2﹣ax﹣1，∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，∴b=0.5，a=1.5，∴a+b=2．故选：A．二．填空题（共18小题）13．把多项式2x2y﹣16xy+32y分解因式的结果是2y（x﹣4）2．14．已知xy=，x+y=5，则2x3y+4x2y2+2xy3=﹣25．15．分解因式：﹣xy2+4x=﹣x（y+2）（y﹣2）．16．已知a﹣b=3，ab=﹣2，则a2b﹣ab2的值为﹣6．17．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，则该三角形是等边三角形．18．已知关于x的二次三项式2x3+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则另一个因式为x2+2.5x+．【分析】设另一个因式为x2+ax+b，根据多项式乘以多项式法则进行计算，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：设另一个因式为x2+ax+b，则2x3+3x﹣k=（2x﹣5）（x2+ax+b）=2x3+（2a﹣5）x2+（2b﹣5a）x﹣5b，所以，解得：a=2.5，b=，即另一个因式为x2+2.5x+，故答案为：x2+2.5x+．19．已知m2+m﹣1=0，则m3+2m2+1=2．【解答】解：∵m2+m﹣1=0，∴m3+2m2+1=m（m2+m﹣1）+（m2+m﹣1）+2=m×0+0+2=2，故答案为：2．20．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为9．【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，求出m、n后代入即可．【解答】解：设另一个因式为x+a，则（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，∴﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，∴m=3﹣a∴3m﹣n=3（3﹣a）﹣（﹣3a）=9﹣3a+3a=9，故答案为：9．21．若a+b=2，ab=﹣3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为﹣12．22．已知x2+x+1=0，则x3﹣x2﹣x+7=9【解答】解：x3﹣x2﹣x+7=x3+x2+x﹣2x2﹣2x﹣2+9=x（x2+x+1）﹣2（x2+x+1）+9=0﹣0+9=9．答案：923．已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为．24．已知x+y=0.2，x+3y=1，则代数式x2+4xy+4y的值为0.36．【分析】原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵x+y=0.2，x+3y=1，∴2x+4y=1.2，即x+2y=0.6，则原式=（x+2y）2=0.36．故答案为：0.3625．分解因式：a2+2ab+b2﹣4=（a+b+2）（a+b﹣2）．26．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则m﹣n的值为3．27．给出几个多项式：①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy+y2；④x4﹣1其中能够分解因式的是②③④（填上序号）．28．把多项式9x3+6x2y+xy2分解因式的结果是x（3x+y）2．29．若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是930．已知a，b，c是△ABC的三边，且a4﹣a2c2=b4﹣b2c2，那么△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．【分析】移项后分组，分解因式，即可得出a=b或a2+b2=c2，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出即可．【解答】解：a4﹣a2c2=b4﹣b2c2，a4﹣a2c2﹣b4+b2c2=0，（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0，（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0，∴（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0 ∵a，b，c是△ABC的三边，∴a﹣b=0或a2﹣b2﹣c2=0，即a=b或a2+b2=c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为：等腰三角形或直角三角形．三．解答题（共10小题）31．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”（1）28和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？【分析】按照新概念的定义，进行验证即可．【解答】解：（1）∵28=82﹣62，2020=5062﹣5042，∴28和2020是“和谐数”；（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2=4（2k+1），∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．32．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：=A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k=45c，化为90a+11a+10b+k=45c，所以11a+10b+k能同时被45整除，分情况计算可得结论．【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A=A×10n+10B﹣10A=10（A×10n﹣1+B﹣A），∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，∴设100a+10b+a+k=45c，101a+10b+k=45c，90a+11a+10b+k=45c，∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，∴当a=1，b=3，k=4时，这个三位“轴对称数”是131．当a=1，b=8，k=4时，这个三位“轴对称数”是131．当a=2，b=2，k=3时，这个三位“轴对称数”是222．当a=3，b=1，k=2时，这个三位“轴对称数”是313．当a=4，b=0，k=1时，这个三位“轴对称数”是404．当a=4，b=9，k=1时，这个三位“轴对称数”是494．所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．33．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3（2）4ax2﹣48ax+128a；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2（1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．（2）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式根据十字相乘法分解因式；（3）先根据平方差公式分解因式，再采用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；（2）4ax2﹣48ax+128a=4a（x2﹣12x+32）=4a（x﹣4）（x﹣8）；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2=（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）=（x+4y）2（x﹣4y）2．34．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的6位数密码就很有必要了．有一种用“因式分解法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x ﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出两个）（2）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．【分析】（1）根据因式分解的方法可以将题目中的式子因式分解，从而可以解答本题，注意本题答案不唯一；（2）根据因式分解的方法和等号左右两边对应相等，可以求得m、n的值．【解答】解：（1）x3﹣xy2=x（x2﹣y2）=x（x+y）（x﹣y），当x=21，y=7时，x+y=28，x﹣y=14，∴可以形成的数字密码是：212814、211428；（2）设x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=（x+p）（x+q）（x+r），∵当x=27时可以得到其中一个密码为242834，∴27+p=24，27+q=28，27+r=34，解得，p=﹣3，q=1，r=7，∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=（x﹣3）（x+1）（x+7），∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21=x3+5x2﹣17x﹣21，∴，得，即m的值是56，n的值是17．35．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴利用方程组可以解决．请回答：另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21；参考小明的方法，解决下面的问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．【分析】求出方程组的解，即可求出答案；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，得出方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：解方程组得：，即另一个因式为x﹣7，m=﹣21；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，则2x2+3x﹣k=（x﹣4）（2x+a），2x2+3x﹣k=2x2+（a﹣8）x﹣4a，所以，解得：a=11，k=44，即另一个因式是2x+11，k=44，故答案为：x﹣7，﹣21．36．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数“．（1）36是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？【分析】（1）可根据神秘数的定义解决．（2）可利用平方差公式解决【解答】解：设36是x和x﹣2平方差得到的∴36=x2﹣（x﹣2）236=4x﹣4x=10∴36是10和8的平方差得到的∴36是神秘数（2）∵（2k+2）2﹣（2k）2=4k2+8k+4﹣4k2=4（2k+1）∴这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．37．请给4x2+1添上一个单项式，使新得到的多项式能运用完全平方公式分解因式．请写出两种情况，并对其分别进行因式分解．【分析】添加4x或﹣4x，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：添加4x，得4x2+4x+1=（2x+1）2，添加﹣4x，得4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2．38．甲、乙两个同学分解因式x2﹣4x+m+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），求a+b的值．【分析】直接利用多项式乘法进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵甲看错了b，所以a正确，∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8，∴a=6，∵因为乙看错了a，所以b正确∵（x+1）（x+9）=x2+10x+9，∴b=9，∴a+b=6+9=15．39．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a，b的代数式表示S1=a2﹣b2，S2=（a+b）（a﹣b）；（2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）利用这个公式说明216﹣1既能被15整除，又能被17整除．【分析】（1）图1用大正方形的面积去掉小正方形的面积，图2用长方形的面积计算公式；（2）因为两个图形的阴影部分面积相等，可以根据第（1）问列出等式；（3）利用所得到的平方差公式分解因式后进行说明．【解答】解：（1）图1用大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，故阴影部分面积为a2﹣b2，图2用长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），故阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；故答案是：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；（2）观察图1和图2中阴影部分面积是相等的，故a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）216﹣1=（28﹣1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=15×17×（28+1）因为28+1是整数，故216﹣1既能被15整除，又能被17整除．40．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB=a，DE=b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b 的值．【分析】（1）结合图示，由线段间的和差关系进行计算即可；（2）图中阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积；或者把阴影部分分割为两个矩形的面积进行计算；（3）利用（2）中的平方差公式进行计算．【解答】解：（1）AG=a﹣b；（2）能．a2﹣b2或a•（a﹣b）+b•（a﹣b）；a2﹣b2=a•（a﹣b）+b•（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（3）由题意，得a﹣b=16①，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，∴a+b=60②，由①、②方程组解得a=38，b=22．故a的长为38cm，b的长为22cm。
第10讲 二次三项式的因式分解(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与常见题型通关
第10讲 二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．,【考点剖析】题型一：两根与二次三项式因式分解关系例1．若方程24210y y --=的两个根是1y =2y =2421y y --=____________．【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2615x x +-；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,,C.2224x x --；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y -+.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562-+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422--x x ,,,,,D.22542y xy x +-【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +-；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x --;,,,D.,22245x xy y -+.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解例3.在实数范围内分解因式:241x x --=______________【变式1】在实数范围内分解因式：232x x --＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【变式2】在实数范围内分解因式：243x x --=,____________________．【变式3】在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,(x+22B.,(x-)(x-)22C.,D., 【变式1】在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【变式4】分解因式：2235a ab b --.题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【变式1】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【变式2】阅读题：分解因式：223x x --.解：原式22113x x =++--,,,,,,,,()2214x x =++-,,,,,,,,()214x =+-,,,,,,,,()()1212x x =+++-,,,,,,,,()()31x x =+-.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x -+ B ．21x mx -+ C ．21x mx -- D ．22x xy y -+3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．x 2﹣3x +2B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 24．（2020秋·上海浦东新·八年级上海市实验学校校考期中）在实数范围内因式分解2223x xy y --，下列四5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +-=__________．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________． 9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x --=_____．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231--=x x _________________．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x --=_______．12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231x y xy --=__________15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +-=_____．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x --=__．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x --___________． 18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y --=_____________.三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +-；(2)4241036y y --+．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y --21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y --+22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y --．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y -++25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +-；（2）2235x xy y --．。
因式分解的六种常见方法
方法
2 公式法
题型1 直接用公式法 5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4 ＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)
＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)
(2)x4－(5x＋3)2 ＝[x2＋(5x＋3)][x2－(5x＋3)] ＝(x2＋5x＋3)(x2－5x－3) (3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81 ＝(x2＋6x＋9)2 ＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4 (4)(x2＋y2)2－4x2y2 ＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy) ＝(x＋y)2(x－y)2
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2m(x－3y)． 2．(中考· 广州)分解因式：2mx－6my＝__________
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3．把下列各式分解因式： (1)2x2－xy ＝ 2x2－xy＝x(2x－y) (2)xn＋2－2xn－1(n为大于1的整数)； ＝xn－1(x3－2) (3)－4m4n＋16m3n－28m2n.
＝－4m2n(m2－4m＋7)．
＝(3x＋4)(2x－7)．
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题型4 先展开再分解法 8.把下列各式分解因式. (1)x(x＋4)＋4 ＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2 (2)4x(y－x)－y2 ＝4xy－4x2－y2 ＝－(4x2－4xy＋y2) ＝－(2x－y)2.
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方法
3 分组分解法
9．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学的因式分解：
第14章 整式的乘法与因式分解
双休作业(九)
1 因式分解的六种常见方法
1 6
2 7
3 8
4 9
5 10
11
12
13
14
15
方法
1 提公因式法
题型1 公因式是单项式的因式分解 1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－ 4x2y2，则另一个因式是( B ) A．3y＋4x－1 C．3y－4x＋1 B．3y－4x－1 D．3y－4x
初三数学公式法分解因式-----10月20、21、22日作业
初三数学10月20日作业一、选择题1.多项式x2-4分解因式的结果是（）A.（x+2）（x-2）B.（x-2）2C.（x+4）（x-4）D.x（x-4）2.把多项式x2-8x+16分解因式，结果正确的是（）A.（x-4）2B.（x-8）2C.（x+4）（x-4）D.（x+8）（x-8）3.下列因式分解正确的是（）A.a2b-2a3=a（ab-2a2）B.x2-x +=C.x2+2x+1=x（x+2）+1D.4x2-y2=（4x+y）（4x-y）4.若（a-b-2）2+|a+b+3|=0，则a2-b2的值是（）A.-1B.1C.6D.-65.下列因式分解正确的是（）A.x2+9=（x+3）2B.a2+2a+4=（a+2）2C.a3-4a2=a2（a-4）D.1-4x2=（1+4x）（1-4）6.下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（）A.a2-b2+2abB.a2+b2+abC.4a2+12a+9D.25n2+15n+97.如果代数式x2+kx+49能分解成（x-7）2形式，那么k的值为（）A.7B.-14C.±7D.±148.下列多项式中能用公式进行因式分解的是（）A.x2+4B.x2+2x+4C.x2-x +D.x2-4y9.下列因式分解正确的是（） A.x3-4=（x+4）（x-4）B.x2+2x+1=x（x+2）+1C.4x2-2x=2x（2x-1）D.3mx-6my=3m（x-6y）10.若81-x n=（3-x）（3+x）（9+x2），则n的值为（）A.2B.3C.6D.411.已知9x2-mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（）A.12B.±12C.24D.±24二、分解因式填空1：xy2+8xy+16x= ______ ．2、 4m2-36= ______ ．3. 3ax2-6axy+3ay2= ______ ．4、2a3-8ab2= ______ ．5 .3x2-12 ______ ． 6. -2x2y+16xy-32y= ______ ．7 . mn2+2mn+m ______ ．8. 4ax2-9ay2 ______ ．9、 2x2-32x4= ______ ． 10、a2b-4ab+4b= ______ ．11、mx2-4m= ______ ． 12、a2b-a______ ．13、2ax2-8a= ______ ．14、4a2-4a+1= ______ ．15、2m2-8= ______ ．16、ma2+2mab+mb2= ______ ．17、a2b-b3= ______ ．18、x（x-1）-y（y-1）= ______ ．19、ax3y -axy= ______ ．20、m2n-6mn+9n= ______ ．21、a2b-ab +b= ______ 22、-a3+2a2b-ab2= ______ ．23、a2b+4ab+4b= ______ ． 24、ax2+2a2x+a3= ______ ．25、 4x-x3= ______ ．26、ab2-2ab+a= ______ ．27、4a2-8a+4= ______ ． 28、-8ax2+16axy-8ay2= ______ ．29、2x2+2x += ______ ． 30、x3+6x2+9x= ______ ．31、m3n-2m2n+mn= ______ ． 32、9x2-6x+1= ______ ．33、 4a2-b2= ______ ． 34、ax2-4axy+4ay2= ______ ．35、a3-a= ______ ． 36、a-a3= ______ ．37、-2a3+8a= ______ ． 38、 4mn-mn3= ______ ．39、x3+2x2y+xy2 ______ ． 40、x5-4x= ______ ．41、x3-x2+x= ______ ． 42、m4-16n4= ______ ．43、（x+4）（x-1）-3x= ______ ．44、1002-2×100×99+992= ______ ．45、 -3x2y3+27x2y= ______ ． 46、x2y-2xy2+y3 ______ ．47、x3+2x2y+xy2= ______ ． 48、m3-mn2= ______ ．49、 -x2+2x-1= ______ ． 50、（）2-（）2= ______ ．51、 8m2n-6mn2+2mn= ______ ． 52、3m2-6m+3= ______ ．53、mn2-2mn+m= ______ 54、ax2+a2x +a3= ______ ．55、a4（x-y）+（y-x）= ______ 56、a2b-10ab+25b= ______ ．57、 -2m2+8mn-8n2= ______ ． 58、2ax2+4axy+2ay2= ______ ．59、-3a+12a2-12a3= ______ ． 60、2mx2-4mxy+2my2______ ．61、9a3c-ab2c ______ ． 62、ax2-4ax+4a ______ ．63 .x3y-xy3 ______ ．64、（a+b）2-4b2= ______ ．65、2mx2-4mxy+2my2= ______ ．66、xy2-4x= ______ ．67、4xy2-4x2y-y3= ______ ． 68、-2xy2+8xy-8x= ______ ．69、ay2+2ay+a= ______ ． 70、6a3-54a= ______ ．71、 3x3+6x2y+3xy2= ______ 72、ax2+2a2x+a3______ ．73、m3（x-2）+m（2-x） ______ ．74、ab4-4ab3+4ab2= ______ ．75、（a+b）2-12（a+b）+36= ______ ． 76、7x2-63= ______ ；77、 9-12t+4t2= ______ ； 78、 -2x3+4x2-2x= ______ ；79、（a2+4）2-16a2= ______ ．三、填空题12.若m-2n=-1，则代数式m2-4n2+4n= ______ ．13.已知4x2-12xy+9y2=0，则式子的值为 ______ ．14.若y-x=-1，xy=2，则代数式-x3y+x2y2-xy3的值是 ______ ．15.若x2+2（m-3）x+16=（x+n）2，则m= ______ ．16.已知a+b=2，ab=2，则a3b+a2b2+ab3的值为 ______ ．17、已知a+b=7，a-b=3，则a2-b2的值为 ______ ．18.己知xy=4，x-y=5，则x2+5xy+y2= ______ ．19.已知a（a-1）-（a2-b）=1，求的值 ______ ．20.已知（x-1）（y-2）-x（y-3）=8，那么代数式的值为 ______ ．21.若|p+2|与q2-8q+16互为相反数，分解因式（x2+y2）-（pxy+q）= ______ ．22.已知x=y+95，则代数式x2-2xy+y2-25= ______ ．三角形题1、.如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC 为直角边，向△ABC作等腰R t△ABE和等腰R t△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．（1）求证：△AEP≌△BAG；（2）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图2，若连接EF交GA的延长线于H，由（2）中的结论你能判断EH与FH的大小关系吗？并说明理由；2.如图，等腰△ABC中，AB=CB，M为ABC内一点，∠MAC+∠MCB=∠MCA=30°（1）求证：△ABM为等腰三角形；（2）求∠BMC的度数．3.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F 为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点C作AD的垂线角AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB=15°，AB=4，求线段AD的长度（2）求证：∠EFB=∠CDA．初三数学10月21日作业1.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1 （3）-3a+12a2-12a3．2、分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．3.因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4 （3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．（5）x+xy+xy2（6）（m+n）3-4（m+n）4.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．5.因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．6.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．（3）x3-16x（4）8a2-8a+2．7.分解因式：（1）3m4-48；（2）b4-4ab3+4ab2．（3）9a2-1 8.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．9.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．10.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）11.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．12.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．（3）p3-16p2+64p．13.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）9x4-81y4．（4）（x2+y2）2-4x2y2 （5）16a2b2-1 （6）12ab-6（a2+b2）14.因式分解（1）4a2-16 （2）（x2+4）2-16x2． 2x3-32x．15.分解因式（1）a（x-y）3+2（y-x）2（2）-3x2+18x-27．16.因式分解：（1）20a-15ab（2）x2-12x+36 （3）-a2+1 （4）2a（b-c）2-3b+3c．17.因式分解（1）-2x2y+12xy-18y（2）2x2y-8y．x2y-14xy+49y．18.分解因式：（1）4xy2-4x2y-y3；（2）（a2+1）2-4a2．（3）-4x3+16x2-26x．19.因式分解（1 ）a3-a（2）-4x2+12xy-9y2（3）x3y-2x2y2+xy320.分解因式（1）a3-2a2+a（2）a2（x-y）+16（y-x）21.因式分解（1）-3m2+6m-3 （2）4（x+y）2-（x-y）2．22.因式分解：（1）4x2-64 （2）2x3y-4x2y2+2xy3．23.因式分解（1）a3-4a（2）4m（a+b）-2n（a+b）（3）a-a2+a3；24.分解因式（1）9（x+2）2-25（x-3）2；（2）（x+1）（x+2）+．25.因式分解：（1）-2ax2+8ay2；（2）4m2-n2+6n-9．（3）（a+b）2-4（a+b-1）26、因式分解（1）m2+mn+n2（2）a3-4a2-12a（3）x2（x-y）-y2（x-y）27.因式分解：（1）2x3y-8xy；（2）（x2+4）2-16x2．（3）4x3-4x2y-（x-y）（4）2x2-8xy+8y2（5）-ab+2a2b-a3b（6）（x2+1）2-4x（x2+1）+4x2．（7）-a3+a2b -ab（8）.（a2+4）2-16a2= ______初三数学三角形的证明填空题专题训练一10月22日1.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为60和38，则△EDF的面积为 ______ ．1 2 4 3 52.如图示在△ABC中∠B= ______ ．3.如图，已知R t△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ______ ．4.如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是 ______ ．5.如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO，再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OA n的长度为 ______ ．7 8 9 10 126.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是 ______ ．7.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是 ______ cm2．8.如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB的距离是 ______ ．9.如图，已知△ABC的面积是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的周长是 ______ ．10.如图，△ABC中，AC=6，BC=4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 ______ ．11.等腰三角形的一个外角是140°，则其底角是 ______ ．12.如图，在R t△ABC中，∠B=90°，AP、CQ分别平分∠BAC、∠BCA，AP交CQ于I，连PQ，则S△IAC：S四边形ACPQ= ____ __ ．13 15 16 1713.如图，AB=4，∠C=90°，E为AB中点，D为△ABC内心．当点C在AB上方运动时，则DE的最小值为 ______ ．14.从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是 ______ ．15.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A的度数= ______ ．16.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=78°，AB=AD=DC，则∠C= ______ ．17.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠BDC=90°，AD=2，∠ADB=∠C，则点D到BC边的距离等于 ______ ．18.如果等腰三角形的一个内角为50度，那么这个等腰三角形的底角是 ______ 度．19.若等腰直角三角形的斜边长为3，则其直角边长为 ______ ．20 21 2220.如图，在R t△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC上，∠BAE：∠BAC=1：5，则∠C= ______ ．21.如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以证△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2…，以此类推，则S n= ______ ．（用含n的式子表示）22.如图，在△ABC中，C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=3，AB=10，S△ABD= ______ ．23.点O在△ABC内，且OA=OB=OC，若∠BAC=60°，则∠BOC的度数是 ______ ．24.等边三角形的边长为2，则该三角形的高为 ______ ．。
《第四章1因式分解》作业设计方案-初中数学北师大版12八年级下册
《因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业的设计旨在帮助学生进一步理解和掌握因式分解的基本概念和方法，提高学生的计算能力和问题解决能力，同时加强学生对数学学习的兴趣和信心。
二、作业内容因式分解是初中数学的重要知识点，也是后续学习的基础。
本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础练习：通过大量的例题和习题，让学生熟练掌握因式分解的基本方法和步骤，如提取公因式法、十字相乘法等。
2. 概念理解：通过填空题和选择题的形式，检验学生对因式分解概念的理解，如公因式、整式等。
3. 拓展应用：设计一些综合性较强的题目，让学生在解决实际问题的过程中，运用因式分解的知识和方法。
4. 自我检测：设置一份自测题，让学生自我检测本课时的学习效果，找出自己的不足之处。
三、作业要求1. 独立完成：要求学生独立完成作业，不得抄袭他人的答案。
2. 认真审题：要求学生认真审题，理解题目的要求和意图，避免因理解错误而导致的计算错误。
3. 规范书写：要求学生书写规范，步骤清晰，计算过程和结果要正确无误。
4. 及时订正：学生完成作业后，要及时订正错误，找出错误的原因并加以改正。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的作业完成情况，从正确性、规范性、解题思路和创造性等方面进行评价。
2. 评价方式：采取多种评价方式相结合的方式，如自评、互评和教师评价等。
3. 反馈方式：教师根据评价结果，及时给予学生反馈，指出学生的不足之处和需要改进的地方，同时鼓励学生继续努力。
五、作业反馈1. 个性化指导：教师根据学生的作业情况，针对个别学生的问题进行个性化指导，帮助学生解决疑惑。
2. 集体讲解：对于普遍存在的问题，教师可以进行集体讲解，强调解题的注意事项和方法。
3. 巩固练习：针对学生的薄弱环节，教师可以布置一些额外的巩固练习题目，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
4. 激励机制：教师可以设置一些激励机制，如优秀作业展示、进步之星等，激发学生的积极性和学习动力。
因式分解
因式分解一、知识点：1、因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积．化和．，因式分解是和．化积．。
（3）因式分解的方法：①提公因式法；②运用公式法。
2、因式分解的应用：（1）提公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来。
把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）公因式：多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，a称为多项式各项的公因式。
（3）用提公因式法时的注意点：①公因式要提尽，考虑的顺序是，先系数，再单独字母，最后多项式。
如：4a2(a-2b)-18ab(a-2b)=2a(a-2b)(2a-9b)；②当多项式的第一项的系数为负数时，把“－”号作为公因式的负号写在括号外，使括号内的第一项的系数为正。
如：-2m3+8m2-12m= -2．m(m2-4m+6)；③提公因式后，另一个多项式的求法是用原多项式除以公因式。
（4）运用公式法的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（5）因式分解的步骤和要求：把一个多项式分解因式时，应先提公因式．．，然后再应用公式，．．．，注意公因式要提尽如果是二项式考虑用平方差公式，如果是三项式考虑用完全平方公式，直到把每一个因式都分解到不能再分解为止。
如：-2x5y+4x3y3-2xy5=-2xy(x4-2x2y2+y4)=-2xy(x2-y2)(x2+y2)=-2xy(x+y)(x-y)(x2+y2) 二、举例：例1：分解因式：（1）(a+b)2－2(a+b) （2）a(x－y)+b(y－x)+c(x－y)（3）(x+2)2－9 （4）4(a+b)2－9(a－b)2（5） 80a 2(a ＋b)－45b 2(a ＋b) （6）(x 2－2xy)2＋2y 2(x 2－2xy)＋y 4（7）(m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 （8）x 4-81（9） (x ＋y)2－4(x 2－y 2)＋4(x －y)2 （10）16a 4－8a 2＋1（11）(x 2+4)2-16x 2 （12）12422---y y x例2：计算：（1）20042-4008×2005+20052 （2）9.92－9.9×0.2＋0.01（3） 22200120031001- （4）(1－221)(1－231)(1－241)…(1－291)(1－2101)例3：观察下列算式回答问题：32－1=8×1 52－1=24=8×3 72－1=48=8×6 92－1=80=8×10 ………问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？例4：解答题：（1）已知x 2－y 2=－1 ， x+y=21，求x －y 的值。
专项训练--因式分解(全)
因式分解专项练习题（一）提取公因式一、分解因式1、2x2y－xy2、6a2b3－9ab23、 x（a－b）＋y（b－a）4、9m2n-3m2n25、4x2-4xy+8xz6、-7ab-14abx+56aby7、6m2n-15mn2+30m2n28、-4m4n+16m3n-28m2n9、x n+1-2x n-1 10、a n-a n+2+a3n11、p(a-b)+q(b-a) 12、a(b-c)+c-b13、(a-b)2(a+b)+(a-b)(a+b)2= 14、ab＋b2－ac－bc15、3xy(a-b)2+9x(b-a) 16、(2x-1)y 2+(1-2x)2y17、6m(m-n)2-8(n-m)3 18、15b(2a-b)2+25(b-2a)319、a 3-a 2b+a 2c-abc 20、2ax ＋3am －10bx －15bm21、m （x －2）－n （2－x ）－x ＋2 22、（m －a ）2＋3x （m －a ）－（x ＋y ）（a －m ）23、 ab(c 2+d 2)+cd(a 2+b 2) 24、(ax+by)2+(bx-ay)225、-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 26、a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 二、应用简便方法计算1、4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.82、9×10100-101013、2002×20012002-2001×200220024、1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯三、先化简再求值（2x ＋1）2（3x －2）－（2x ＋1）（3x －2）2－x （2x ＋1）（2－3x ）（其中，32x =）四、在代数证明题中的应用例：证明：对于任意正整数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。