定积分典型例题
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定积分典型例题
例1 求2
1lim
n n
→∞
+
．
分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n
等分写出积分和，再
与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．
解 将区间[0,
1]n
等分，则每个小区间长为1i
x n
∆=
，然后把
2
111
n
n n
=
⋅的一个
因子1
n
乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即
2
1lim
n n
→∞
+
++
=1lim
n n
→∞
+
=0
34
=
⎰
．
例2 0
⎰
=_________．
解法1 由定积分的几何意义知，0
⎰等于上半圆周22
(1)1x y -+=
(0y
≥)
与x 轴所围成的图形的面积．故0
⎰
=
2
π
．
解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22
t π
π
-
≤≤
），则
⎰
=22
tdt ππ-
⎰
=2tdt
=2202cos tdt π
⎰=
2
π
例3 比较12
x
e dx
⎰
，2
12
x
e dx
⎰
，12
(1)x dx
+⎰
．
分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．
解法1 在[1,2]上，有2
x
x
e e
≤．而令()(1)x
f x e x =-+，则()1
x
f x e
'=-．当0
x >时，
()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而
()(0)
f x f >，可知在[1,2]上，有
1x
e x >+．又
122
1
()()f x dx f x dx =-⎰
⎰，从而有2
11
12
2
2
(1)x
x
x dx e dx e dx
+>>
⎰⎰⎰
．
解法2 在[1,2]上，有2
x
x
e e
≤．由泰勒中值定理2
12!
x
e
e
x x
ξ
=++
得1x e x >+．
注意到12
2
1
()()f x dx f x dx =-⎰
⎰．因此
2
11
12
2
2
(1)x
x
x dx e dx e dx
+>>
⎰
⎰⎰
．
例4 估计定积分2
02
x x
e
dx
-⎰
的值．
分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值． 解 设 2
()x x
f x e
-=, 因为
2
()(21)
x
x
f x e
x -'=-, 令
()0
f x '=，求得驻点12
x =
,
而
(0)1f e ==, 2
(2)f e
=,
14
1
()2
f e -
=,
故
12
4
(),[0,2]e
f x e x -≤≤∈,
从而
2
122
4
22x x
e
e
dx e
--≤
≤⎰
,
所以
2
102
4
2
22x x
e e
dx e
-
--≤
≤-⎰
.
例5 设
()
f x ，()
g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求l i m ()b
a n g x
→∞⎰．
解 由于
()f x 在[,]a b 上连续，则
()
f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由
()0
f x >知0
M
>，0
m >．又()0g x ≥，则
()b
a
g x dx (b a
g x ≤⎰
()b a
g x dx ≤
．
由于lim
lim
1
n n →∞
→∞
==，故
lim
(b a
n g x →∞
⎰
=()b
a
g x dx ⎰．
例6求sin lim n p
n
n x dx
x
+→∞
⎰,
,p n
为自然数．
分析 这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．
解法1 利用积分中值定理 设
sin ()x f x x
=
, 显然
()
f x 在[,]n n p +
上连续, 由积分中值定理得
sin sin n p n
x dx p
x
ξ
ξ
+=
⋅⎰
,
[,]n n p ξ∈+,
当n →∞时,
ξ→∞
, 而sin 1ξ
≤, 故
sin sin lim
lim
n p n
n x dx p x
ξξ
ξ
+→∞
→∞
=⋅=⎰
．