2021年江南十校理科高三一模数学试卷及答案(高清版)

2021届“江南十校”一模联考

数学（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设集合2{|560}A x x x =-->，集合{|47}B x x =< ，则A B =

A ．(]

67，B ．(]47，C ．()()

14-∞-+∞ ，，D ．()()23-∞+∞ ，，2．已知复数1i z =+，z 是z 的共轭复数，若2i z a b ⋅=+，其中a b ,均为实数，则b 的值为

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．23．已知3sin 5α=，π3π(,)22

α∈，则=α2tan A ．24

7-B ．24

25-C ．24

25D ．24

7

4．2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表

面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗

制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有

一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个

角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三

颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，

以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，

1OO ，2OO ，3OO ，4OO 分别是大星中心点与

四颗小星中心点的联结线，16α≈ ，则第三颗

小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为

A ．

0B ． 1C ． 2D ．

35．函数||cos ()2x x x f x =的图象大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知F 为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆C 上一点，若||||OP OF =，120POF ∠= ，则椭圆C 的离心率为

A ．

22B ．3

3C ．12-D 17．现有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为

A ．120

B ．150

C ．240

D ．300

8．将数列}13{-n 与}12{+n 的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的第10项为

A ．1210-

B ．1210+

C ．1220-

D ．1

220+9．已知函数|ln |()e x f x =，(1)a f =，

2(log b f =，12(2).c f =，则

A ．b c a >>

B ．c b a >>

C ．c a b >>

D ．b a c

>>10．在△ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，sin a c B =，则tan A 的最大值为

A ．1

B ．

45C ．34D ．2

311．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形1111A B C D 的中心，,,P M N 分别为1DD AB BC ,,的中点，则四面体OPMN 的体积为

A ．125

B ．

65C ．1225D ．62512．已知函数e ()elog (1)x

a f x x a a =->没有零点，则实数a 的取值范围为

A ．(e,)+∞

B ．)+∞

C ．(1,)+∞

D ．1

e

(e ,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设)(x f 是定义在R 上周期为2的函数，当]1,1(-∈x 时，22,10,() 01,x x m x f x

x ⎧++-<<⎪= 其中R ∈m .若2

3(161(

f f =，则m 的值是__________.14．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |=|a －b |，且|a |=|b |，则a 和a ＋b 的夹角为__________.

15．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，2

PA PB AB ==，

若△PBC 和△PCD 的面积分别为1和，则四棱锥P -ABCD 的外接球的表面积为__________.

16．已知12F F ,为双曲线)00(122

22

>>=-b a b y a x ，的左、右焦点，过2F 作倾斜角为 60的直线l

交双曲线右支于A ，B 两点（A 在x 轴上方），则△AF 1F 2的内切圆半径1r 与△BF 1F 2的内切圆半径2r 之比2

1r r 为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

已知S n 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，11n n S a +=-.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足11222n n n n b S b a +++=+，证明数列{}n n a b +为等差数列，并求其公差.

18．（12分）

如图，在平面四边形ABCD 中，AD AB =，2==CD BC ，且CD BC ⊥.以BD 为折痕把△ABD 和△CBD 向上折起，使点A 到达点E 的位置，点C 到达点F 的位置（E ，F 不重合）.

（1）求证：EF ⊥BD ；

（2）若平面EBD ⊥平面FBD ，点E 在平面ABCD 内的正投影G 为△ABD 的重心，且直线EF 与平面FBD 所成角为60 ，求二面角--A BE D

的余弦值．

19．（12分）

为了调查某地区全体高中生的身高信息（单位：cm ），从该地区随机抽取高中学生100人，其中男生60人，女生40人．调查得到样本数据)60,2,1( =i x i 和)40,2,1( =j y j ，i x 和j y 分别表示第i 个男生和第j 个女生的身高.经计算得10500601∑==i i x ，183840060

12

∑==i i x ，6600401=∑=j j y

，10902004012=∑=j j y

.

（1）请根据以上信息，估算出该地区高中学生身高的平均数z 和方差2s ；

（2）根据以往经验，可以认为该地区高中学生身高X 服从正态分布2(,)N μσ，用z 作为μ的估计值，用2s 作为σ2的估计值.若从该地区高中学生中随机抽取4人，记ξ表示抽取的4人中身高在)4.184171( ，的人数，求ξ的数学期望.

附：（1）数据n t t t ,21,的方差∑∑

==-=-=n i n i i i t n t n t t n s 112222)(1)(1，（2）若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则6827.0)(=+<<-σμσμX P ；7645；9973033；9545022. .σ)μX σP(μ .σ)μX σP(μ≈=+<<-=+<<-.

20．（12分）