浅谈单位圆在三角函数中的应用
单位圆在三角函数中的应用
规定 可利用 中间 的一 根 棒 作 为帮 助 ， 每次 只能搬 但
一
个， 而且大 的不 能放在 小 的上 面． 答结果恰 如上 解
在研究一般性问题之前 ， 先研究几个简单的、 个
别的、 特殊 的情况 ， 中归 纳 出一般 的规 律 和性 质 ， 从 这种 从特殊 到一般 的思 维 方式 称 为 归 纳思 想． 学 数
小 格 内放 人 Ｉ２４ 、 、 粒麦 子． 和 ， ２＋ 、 、８ … ２ 求 Ｉ＋ ４
＋ ８＋… ＋２ ＝１４ ６ ４ Ｏ ３Ｏ ５ １ ｌ． 然 ， 罕 ８４ ７４７７９ ５６５ 显 舍
王是 无法满 足大 臣要 求 的．
河内塔 问题同样是印度的一个古老的传说． 开 悉和陌生、 困难和容易等， 实现这些矛盾的转化， 化未 天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石 的 知为已知 ， 化复杂为 简单 ， 陌生为熟 悉 ， 困难为容 棒 ， 化 化 第一根 上面套 着 ６ ４个 圆 的金 片 ， 大 的一 个 在 最 易， 是化归的思想实羼 任何数学问题的解决过程， 都 底下， 其余一个比一个小 ， 依次叠上去 ， 庙里 的众僧 是一个未知 向已知转化 的过程 ， 一个等价转 化的过 不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另～根棒上 ， 是
・ ．
‘
Ｉ 伽
Ｉ－
ｃｓ ｏ
…
ｓ
，
・ ． ．
ｃ ＝ｏ ２－ 一． ｏ 一 ２２ ｌ ÷ ｓ ）ｃ ＿ （ ｓ
ｘ－
一
４ 求 三 角 函数 最值
例 ４ 求函数厂 ：ｓ （ ｎ ） ｉ
＿ ＿
（ ６≠ ０ ａ ＝ ≠ 口 ， ， ∈ ｚ） 求 证 ： 。２ ， ｃｓ
，
单位圆上的三角函数解析讨论
单位圆上的三角函数解析讨论在数学领域中，三角函数是一类非常重要且广泛应用的函数。
而在三角函数的研究中，单位圆上的三角函数解析讨论是一个非常有趣且有深度的话题。
本文将从单位圆的定义、三角函数的性质以及其在解析几何中的应用等方面进行探讨。
一、单位圆的定义与性质单位圆是指半径为1的圆，其圆心位于坐标原点(0,0)处。
单位圆的定义十分简洁，但其性质却非常丰富。
首先，单位圆上的点坐标可以用三角函数来表示。
例如，对于单位圆上的点P(x,y)，其坐标可以表示为P(cosθ,sinθ)，其中θ为点P与x轴正半轴的夹角。
其次，单位圆上的三角函数在数学中具有重要的几何意义。
以正弦函数sinθ为例，当θ为0时，sinθ等于0，对应的点P位于单位圆上的(1,0)处；当θ为90°时，sinθ等于1，对应的点P位于单位圆上的(0,1)处。
通过这种方式，我们可以将三角函数与单位圆上的点一一对应起来，从而建立起几何与代数之间的桥梁。
二、三角函数的性质与图像三角函数包括正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ等。
这些函数在单位圆上的表现形式各异，但它们都具有一些共同的性质。
首先，三角函数的周期性。
以正弦函数sinθ为例，它的周期为2π，即当θ增加2π时，sinθ的值会重复。
这一性质使得三角函数在数学和物理等领域中得到广泛应用。
其次，三角函数的奇偶性。
正弦函数sinθ是奇函数，即sin(-θ)=-sinθ；而余弦函数cosθ是偶函数，即cos(-θ)=cosθ。
这一性质使得三角函数在函数图像的对称性研究中起到重要作用。
再次，三角函数的图像特点。
通过绘制三角函数在单位圆上的图像，我们可以观察到它们的周期性、振幅、最大值和最小值等特点。
这些图像特点有助于我们更好地理解和应用三角函数。
三、三角函数在解析几何中的应用三角函数在解析几何中有着广泛的应用。
例如，在直角三角形中，我们可以利用正弦函数、余弦函数和正切函数来求解未知边长和角度。
单位圆在三角函数中的应用
单位圆在三角函数中的应用
1 单位圆在三角函数中的定义
单位圆是以原点O为中心，以半径为1的圆，三角函数的定义就是根据单位圆来定义的，因此三角函数中也用到了单位圆，由此可以看出单位圆在三角函数中有重要的作用和地位。
2 弧度角
在三角函数中，直角三角形一个角称为直角，其对应的角度也叫做直角角，单位圆上任意一点A(x,y)，到圆心原点O的距离就是半径（和单位圆一样），从原点O到点A之间的弧度就称为弧度角，也称作弧度。
弧度角在三角函数中是非常重要的一个概念，它与度数角之间的关系是一个弧度的多少度数等于180度。
3 三角函数中的概念
三角函数中还有六边形概念，其中原点O为顶点，半径r构成六边形，其边长为2r，因为半径是单位圆的半径，所以单位圆也构成六边形。
两个相邻的角构成一个角，这个夹角被表示为rad，
rad(radians)就是弧度角所表示的值，因此单位圆的重要性也体现在了这里。
4 三角函数的应用
三角函数是数学和物理学中最常用的函数之一，三角函数的应用广泛，几乎涉及到几何、物理和科学的各个领域，比如测量角度、求
取球面表面面积和体积等，三角函数一般有三个基本函数——正弦函数、余弦函数和正切函数，这些函数均来源于单位圆，因此单位圆对于三角函数的运算不可或缺。
5 结论
正如本文所介绍的，单位圆和三角函数的使用是相辅相成的，而单位圆的重要性在于它以1度的最小角度来表示三角函数，可以精准运算达到测量。
由此可见，圆有受三角函数这一概念的应用，而圆也回馈出了三角函数精确计算的可能。
浅谈单位圆在三角函数教学中的作用
浅谈单位圆在三角函数教学中的作用临猗中学 姚霞单位圆是半径等于单位长的圆，而三角函数是以自变量为实数的函数；它们似乎没什么关系，在直角坐标系的媒介作用下，这两者的关系可谓“密不可分”。
与旧教材相比，课标教材中单位圆贯穿于三角函数教学始终，本文对此作一个探讨。
1．借单位圆定义任意角的三角函数。
如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(y x P 。
那么y 叫做α的正弦，记作αsin ，即y =αsin ；x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x =αcos ；xy 叫做α的正切，记作αtan ，即)0(tan ≠=x x y α。
这样正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数；比大纲版的“距离比值”定义要简单直观，而且应用定义解决问题也非常简捷。
如课本第12页例1，求35π 的正弦、余弦和正切值。
解法过程：在直角坐标系中，作35π=∠AOB ，易知AOB ∠的终边与单位圆的交点坐标)23,21(-B ，所以2135cos ,2335sin =-=ππ，335tan -=π，这样的解法学生易掌握好计算，只需找角的终边与单位圆的交点，用定义即可解决问题。
2．借单位圆来证明同角三角函数关系，让推导过程直观具体。
图1图2 图3如图3，以正弦线MP ，余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形，且OP=1，由勾股定理有：OM 2+MP 2=1，因此122=+y x ，即1sin cos 22=+αα；当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立。
再者，单位圆让学生求解知角一函数值，求其余两函数值不易出错。
如课本19页例6，已知53sin -=α，求αcos 、αtan 的值。
先利用正弦线找出α角的两条终边OP 、OQ ，然后再分第三、第四象限讨论，不易漏解，也不会出现54cos ±=α的错误写法。
3．借单位圆推导诱导公式。
大纲版从求三角函数值引入，把180°α±、α-、360°α-、90°α-的三角函数与α的三角函数关系作为诱导公式，并且把关于90°α-的诱导公式作为和（差）角公式的推论给出。
利用单位圆解三角函数
利用单位圆解三角函数
三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
而利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。
什么是单位圆？单位圆是指半径为1的圆，它的圆心在坐标系的原点上。
在单位圆上，我们可以定义三角函数的值。
以正弦函数为例，对于一个角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sinθ。
这样，我们就可以把三角函数的值与角度联系起来。
利用单位圆解三角函数的好处在于，它可以帮助我们更好地理解三角函数的性质。
例如，我们知道正弦函数的值域在[-1,1]之间，但是为什么会这样呢？如果我们画出单位圆，就可以看到，对于任意一个角度θ，sinθ的值都在-1和1之间，因为点P的纵坐标在-1和1之间。
利用单位圆解三角函数还可以帮助我们求解三角函数的值。
例如，如果要求sin(π/4)的值，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标和纵坐标都是√2/2，因此sin(π/4)=√2/2。
除了正弦函数，余弦函数、正切函数等三角函数也可以利用单位圆来解析。
例如，对于余弦函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为cosθ，纵坐标为sin(π/2-θ)，因此cosθ=sin(π/2-
θ)。
同样地，对于正切函数，我们可以在单位圆上找到对应的点P，它的横坐标为1/tanθ，纵坐标为1，因此tanθ=sinθ/cosθ。
利用单位圆解三角函数是学习三角函数的重要方法之一。
通过画出单位圆，我们可以更好地理解三角函数的性质，同时也可以帮助我们求解三角函数的值。
巧用单位圆解决三角函数问题
、
引言
单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 是 三 角 函数 的 一 种 几 何 表 示 ， 任 意 角 三 角 函 数 值 都 可 以用 单 位 圆上 的 点 的 坐 标 或 者 单 位 圆 中 的 有 向线 段 （ 三 角 函数 线 ） 表示． 同 学 们 在 学 习 三 角 函数 时 ， 大 多 比较 注 重 三 角 函数 的 图像 和性 质 ，而 对 三 角 函 数 线 重 视 不 够． 其实用 三角 函数线解题 直观 、 简捷 ， 用 函 数 线 的 数 值 代 替 三 角 函 数 值 比 由定 义 所 规 定 的 比来 得 出 三 角 函 数 的 值 优 越 得 多． 因此 ． 三 角函数线 是讨论数学 的一个 重要 工具 ， 而 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函数 线 研 究 有 关 的 三 角 函 数 问 题 ， 思路 清晰 ， 方 便 直 观 ．本 文 通 过 实 例 谈 谈 如 何 巧 用 单 位 圆解 决 简 单 的 三 角
一
２ 彳ｑ 用单 位 圆 中三 角函 数 线 比较 函数 值 的 大 小
例２ ： 若０ ＜ ＜ １ ３ ＜ ， 试 比较 ｓ ｉ ｎ ｏ ｔ － ｃ ｔ ￣ｓ ｉ ｎ ｐ — ｐ 的大 小 ．
此题求 解方法 繁多 ． 仅 给 出 利 用 三 角 函 数 线 的简 捷 求 解
方法．
二 二
解 ： 由 于 詈 ， 等， … ， 孚的 终 边 与 单 位 圆 的 交 点 为 单 位
圆 的 内接 正 八 边 形 的８ 个顶点 ， 于 是 由 三 角 函 数 线 与 平 面 几 何
易知ｓ ｉ ｎ ＋ ｓ ｉ ｎ
４
即ｓ ｉ ｎ ｏ ｌ — ｄ ＞ ｓ ｉ ｎ ｐ — ｐ ．
三角函数与单位圆的关系详解
三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。
本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。
一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。
这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。
例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。
它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。
三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。
我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。
具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。
值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。
根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。
例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。
而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。
四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。
以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。
同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。
五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。
例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。
此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。
例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。
六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。
用单位圆定义任意角三角函数的深层次领悟
用单位圆定义任意角三角函数的深层次领悟作者：李志敏来源：《师道·教研》2012年第05期以直角三角形为载体的锐角三角函数是解三角形的工具，而任意角的三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，两者之间的研究对象不同，表现的性质不同，但结合直角三角形中锐角三角函数有助于任意角三角函数的研究.一、“单位圆定义法”有利于直观领悟角与实数之间的对应关系三角函数是建立在两个变量之间对应关系的基础上的.为了直观理解这种对应关系，我结合自制教具，如图1，用木头制作的圆盘，用一条彩带从圆上定点O开始缠绕于圆盘上，若将圆盘的半径看作一个单位长度，根据弧长公式：弧OP的长?謀=r·｜?琢｜=｜?琢｜，这样，角（弧度数）与弧长之间就建立了对应关系，两者之间单位一致；同时，若将缠绕于圆盘上的弧OP以O为起点拉直，对应数轴上的有向线段OQ，则弧长与数轴上的点建立了对应关系，而缠绕方向可以顺时针或逆时针方向，所以角（弧度数）与实数之间可以建立一对一关系.二“单位圆定义法”有利于后续内容学习“单位圆定义法”直接反映了三角函数定义中的数形关系，为后续研究三角函数线、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、和（差）化积公式等奠定了直观基础.1. 有利于诱导公式的学习“单位圆定义法”以单位圆为载体，点P（x,y）即P（cos?琢,sin?琢），根据单位圆上点旋转的周期性、点的对称性，能方便地得出：⑴点P（cos?琢,sin?琢）的位置相同：sin(?琢+k·2?仔)=sin?琢，cos（?琢+k·2?仔）=cos?琢，tan(?琢+k·2?仔)=tan?琢，(k∈z)；⑵点P（cos?琢,sin?琢）关于原点对称：sin(?仔+?琢)=-sin?琢,cos(?仔+?琢)=-cos?琢,tan(?仔+?琢)=tan?琢；⑶点P（cos?琢,sin?琢）关于x轴对称：sin(-?琢)=-sin?琢,cos(-?琢)=cos?琢,tan(-?琢)=-tan?琢；⑷点P（cos?琢,sin?琢）关于y轴对称：sin(?仔-?琢)=sin?琢，cos(?仔-?琢)=-cos?琢,tan(?仔-?琢)=-tan?琢；⑸点P（cos?琢,sin?琢）关于直线y=x对称：sin(■-?琢)=cos?琢, cos(■-?琢)=sin?琢；⑹点P（cos?琢,sin?琢）关于直线y=-x对称：sin(■-?琢)=-cos?琢,cos(■-?琢)=-sin?琢.2. 有利于三角函数线的学习三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数概念.如图2，单位圆中，根据三角函数定义：｜OM｜=｜x｜=｜cos?琢｜，而有向线段OM的方向与x轴的正方向一致，与cos?琢的符号一致，于是，有向线段OM可以表示角?琢的余弦值，叫做角?琢的余弦线；同理，MP,AT分别是角?琢的正弦线、正切线.3. 有利于两角和与差的三角函数的学习两角和与差公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表示，也是圆的反射对称性的解析表述.如图3，在平面直角坐标系xOy中，角?琢的终边与单位圆交于?琢(cos?琢,sin?琢)点，角?茁的终边与单位圆交于点B（cos?茁,sin?茁），设向量■与■的夹角为?兹，易知｜?兹｜=｜?琢-?茁±k·2?仔｜（k∈z），则cos?兹=cos(?琢-?茁±k·2?仔)=cos(?琢-?茁).∴■·■=■｜·■｜cos?兹=cos?兹=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁.∴cos(?琢-?茁)=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁.“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的.“单位圆定义法”是任意角?琢的终边与单位圆的交点P(x,y)，以单位长为半径；“终边定义法”是任意角?琢的终边上任意一点P(x,y)，相当于以r=■为半径.因此，它们两者之间是一致的.但是单位圆定义法有利于完善学生的认知结构，更简单、清楚地突出三角函数的周期性且有利于三角函数的后续学习.。
单位圆在三角函数中的应用
单位圆在三角函数中的应用作为数学中重要的概念之一，单位圆在三角函数中扮演了非常重要的角色。
它不仅是研究三角函数的基础，还在实际应用中有广泛的应用。
本文将介绍单位圆在三角函数中的应用，包括三角函数的定义、性质以及其在几何中、物理中的应用等。
首先，我们来了解一下三角函数的定义。
常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）以及它们的倒数函数。
以正弦函数为例，定义为单位圆上一个角的对边与斜边的比值。
也就是说，给定一个角度θ，在单位圆上，将线段OA的长度定义为对边，线段OP的长度定义为斜边，则正弦函数sin(θ)等于对边OA的长度。
三角函数的性质可以在单位圆上进行直观地解释。
对于正弦函数sin(θ)和余弦函数cos(θ)，单位圆上的点(x, y)满足x^2 + y^2 = 1，也就是说对于任意角度θ，单位圆上的点(x, y)满足这个方程。
这表明，单位圆上所有的点和角度θ之间存在着一一对应的关系。
而正弦函数和余弦函数的值正是对应角度所在点的纵坐标和横坐标。
单位圆在几何中的应用是显而易见的。
以正弦函数为例，可以用来计算三角形的边长和角度。
当已知一个三角形的一条边长和一个角度时，可以用正弦函数计算出另外两条边的长度。
当已知一个三角形的两条边长时，可以用正弦函数计算出两个角度。
这些计算都是基于单位圆上的三角函数值进行的。
单位圆在物理中的应用也非常广泛。
在力学中，单位圆可以用来描述物体在圆周运动时的速度和加速度的变化。
在电学中，单位圆可以用来表示交流电的相位差和频率，以及计算电阻、电容和电感等元件的阻抗。
在信号处理中，单位圆可以用来分析和设计滤波器，尤其是数字滤波器。
在光学中，单位圆可以用来描述光的偏振状态。
除了几何和物理领域，单位圆在经济学、概率统计和信号处理等学科中也有广泛的应用。
在经济学中，单位圆可以用来表示经济指标的周期性变化，如季节性变化和商业周期。
在概率统计中，单位圆可以用来描述正态分布和复平面上的随机变量。
单位圆应用举例
单位圆应用举例单位圆在学习高一数学、尤其在三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。
1、利用单位圆定义三角函数来求三角函数值。
例1、求67π的正弦、余弦和正切值。
解：，在直角坐标系中，作∠AO B=67π， 则∠AO B 的终边与单位圆的交点坐标为B(23-，21-) ∴ sin 67π=21-，cos 67π=23-，tan 67π=33 析：先求出这个角的终边与单位圆的交点坐标，再利用定义求解。
例2、若函数f(n)=sin6πn (n ∈Z)，则f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)= 。
解：∵sin 6πn =sin(6πn +2π)= sin 6)12(π+n ∴f(n)= f(n+12)，将单位圆均匀地分成12等份，则依次对应n=1,2, …,12时的弧度数为6π，62π，…，612π ∵这12个角两两关于x 轴对称∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)=0∵102=8×12+6∴f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(102)=8×[f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(12)]+f(97)+f(98)+ …+f(102) =0+ f(1)+f(2)+f(3)+ … +f(6)=2[f(1)+f(2)+f(3)]=2(sin 6π+sin 62π+ sin 63π) =3+32、利用单位圆中的三角函数线解三角函数不等式。
例：利用单位圆解不等式3tan α+3>0 。
解：要使3tan α+3>0，即要tan α>－33由正切线可知 k π－6π<α< k π+2π，k ∈Z∴ 不等式的解集为（k π－6π，k π+2π），k ∈Z3、利用单位圆中的三角函数线求函数定义域。
单位圆与三角函数基本关系
单位圆与三角函数基本关系
单位圆是在平面直角坐标系中以坐标原点为圆心，半径为1的圆，是三角函数中非常重要的图形。
在单位圆中，角度的度数可以转换成弧度，也可以呈现为弧长，这使得单位圆成为了三角函数中极其实用的工具。
在单位圆中，从圆心开始的线段叫做半径，而任意一条半径可以代表一条直线，从圆心开始沿着圆弧所经过的长度就是弧长，也就是我们通常所说的圆周长。
当一个角度θ终止于单位圆上一点时，这个角度就称为终边，同时这个点的坐标可以是((cosθ, sinθ))。
三角函数中最常用的有三个：正弦函数、余弦函数和正切函数，它们常常被缩写为sin、cos和tan。
正弦函数的值被定义为相对于由角度终点所在的单位圆上的弧的纵坐标。
余弦函数被定义为相对于同一弧的横坐标。
正切函数则被定义为这条线段与x轴之间的夹角的正切值，也就是横坐标除以纵坐标的值。
通过单位圆与三角函数之间的基本关系，我们可以计算出任意角的正弦、余弦和正切值，这对于许多应用来说都很重要。
在几何、物理和工程学中，三角函数的应用广泛，单位圆的图形给了我们一种直观的观念，这使得我们更容易理解三角函数基本关系的意义与实际意义。
单位圆在三角中的重要作用
点足关于 ｘ 轴对称的 ， 以它们 的横坐标相等 、 所 纵坐标 相反 ，
所 以我们 就 有 ｃｓ ｎ）ｃｓｒｓ （ｄ）一ｉ 。 ｏ（ － ｏ ，ｉ ＿ ＝ ｓ ０ ． ￣ ｏ ｎ ． ｎ【 （） ３ 订～旺 和 的终 边 与 单 位 圆 的交 点是 关 于 Ｙ 对 称 轴
的 ，所 以它们 的横 坐标 相反 、纵坐标 相等 ，所 以就有 ＣＳ Ｏ
就是偶函数 ， 正弦函数是奇 函数。
４诱导公式 ： 、
（ ） 为 与 ２ 竹＋ 是 终 边 相 同 的 角 ， １因 ｋ 即终 边 与 单 位
圆的交点 是同一个 点 ，可 得第一组 ，即 ｓ （ｋ Ｔ ）ｓ ｉ ２ 叮＋ ＝ｉ ｎ ｎ
ｅｓ ｋ ｒ ： ｏ 。 ｏ（ 叮＋ｄ１ｅｓ ２ （ ） 和 ｄ的从单位圆上可看出， ２一 终边 与单位 圆的交
度 是指这个角度所对应弧 的长度与半径 的比。举例来说 ， 如 果半径是 ｌ， 就意昧着 弧度是 弧长 ， 而这个 弧长 相当于要 测
量这个弧的 长度 ， 它所使 用的单位 和在 Ｘ 上所选择的 长度 轴 单位是一致 的 ，这样就把角度 的单位和长度单位统一起来 ，
非常有利于学生理解三角函数也是从数集到数集的对应。 ３ 单位圆在认识三角函数的性质 中发挥重要作用。 、 （） １利用单位圆里的正 弦线 。通过平移正 弦线用光滑 曲 线连接正 弦线 的端点 ，得到正弦 函数 的图象一个周 期的 图 像， 再利 用周期性进行平移 ， 就可得到正弦 曲线 。另外 ， 利用
了， 再根据 同号得正 ， 异号得负 ， 町判定正切值 的符号了。 就
分体 现 。 比如 三 角函数 求值 ， 角 函数 符 号 ， 角 函数 值 的 大 三 三 小 比较 ， 导 公 式 以及 同 角三 角 函数 的 关 系式 ， 角函 数 的 诱 三
浅谈三角函数与单位圆
，即xy =a tan浅谈三浅谈三角函数角函数与单位圆与单位圆三角函数是三角函数是高中数学高中数学的重要内容，对培养学生的数形结合能力以及严密的逻辑推理能力都起着很大的作用。
尤其是单位圆在研究三角函数方面起着灵魂的作用，让每一位数学教学者不得不另眼相待。
学者不得不另眼相待。
一、我对教材编排的一点看法：一、我对教材编排的一点看法：1、不同版本的教材对三角函数的内容编排有很大差异：人教A 版中，三角函数采用了版中，三角函数采用了 “单位圆定义法”。
“单位圆定义法”。
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x P(x，，y)y)，那么：，那么：，那么：（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y =y；；（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x =x；； （3）xy 叫做α的正切，记作tan α（x≠0）．（x≠0）．可以看出，当α=2pp +k (k∈Z)时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以xy=a tan 无意义．除此之外，对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．所以，正弦、余弦、正切都是以角为正弦、余弦、正切都是以角为自变量自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．”我们将它们统称为三角函数．”人教B 版教材采用的是终边定义法，即在角α的终边上任取一点P(x P(x，，y)y)，，P 到原点的距离为r ，比值xyr x r y ,,分别定义为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数。
而在后续的内容中又加入了正弦线、余弦线、正的内容中又加入了正弦线、余弦线、正切线切线，并且得到了结论“角α的正弦和余弦分别等于角α的终边与单位圆的的终边与单位圆的交点交点的纵坐标和横坐标。
的纵坐标和横坐标。
””而α的正切没有进行明确说明，的正切没有进行明确说明，只是只是讲了正切线，并在图中标注了T(1,tan α)。
y O x p 2、结合教学实践，我认为两种版本均有一些缺憾。
三角函数的单位圆解释与利用
三角函数的单位圆解释与利用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域发挥着重要作用。
本文将以单位圆解释三角函数的概念，并探讨其在实际问题中的应用。
三角函数的概念可以通过单位圆来解释。
单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。
在单位圆上，我们可以定义角度，并将角度与三角函数联系起来。
例如，以圆心为顶点的角度为0度，逆时针旋转一周为360度。
根据这个定义，我们可以将角度与三角函数的值对应起来。
首先，我们来看正弦函数。
正弦函数（sin）表示一个角度对应的单位圆上的纵坐标。
例如，在单位圆上，角度为30度对应的纵坐标为0.5，角度为60度对应的纵坐标为√3/2。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为0，在90度处的值为1，在180度处的值为0，在270度处的值为-1。
正弦函数在几何学中常用于描述波动、振动等现象。
接下来，我们来看余弦函数。
余弦函数（cos）表示一个角度对应的单位圆上的横坐标。
例如，在单位圆上，角度为30度对应的横坐标为√3/2，角度为60度对应的横坐标为0.5。
余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为1，在90度处的值为0，在180度处的值为-1，在270度处的值为0。
余弦函数在几何学中常用于描述旋转、周期性运动等现象。
除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他的三角函数，如正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
这些函数可以通过正弦函数和余弦函数来定义。
例如，正切函数（tan）等于正弦函数除以余弦函数，余切函数（cot）等于余弦函数除以正弦函数，正割函数（sec）等于1除以余弦函数，余割函数（csc）等于1除以正弦函数。
三角函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，三角函数可以用来描述物体的运动轨迹、振动频率等。
在工程学中，三角函数可以用来计算力的分解、电流的相位差等。
在计算机图形学中，三角函数可以用来生成曲线、旋转图形等。
三角函数和圆的关系
三角函数和圆的关系三角函数和圆的关系非常密切，可以说三角函数最初是从圆中定义和推导出来的。
以下是三角函数和圆的主要关系：1.单位圆上的三角函数定义：在单位圆上（即以原点为圆心，半径为1的圆），任意一点P(x, y)的坐标x和y可以分别解释为cosθ和sinθ，其中θ是从正x轴逆时针到射线OP的角度。
这样，单位圆为三角函数提供了几何解释。
2.三角函数的周期性：三角函数具有周期性，这与圆上的周期性旋转相对应。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为360度（或2π弧度），这意味着一个完整的圆旋转后，函数值重复。
3.弧长和扇形面积：圆的弧长公式和扇形面积公式中都涉及三角函数。
例如，圆心角为θ的弧长s可以用公式s = rθ来计算，其中θ必须以弧度为单位。
类似地，扇形面积A可以用公式A =(1/2)r²θ来计算。
4.极坐标：在极坐标系统中，点的位置由距离原点的距离（极径）和与正x轴的角度（极角）确定。
三角函数在极坐标和直角坐标之间的转换中起着关键作用。
5.三角恒等式的几何解释：一些三角恒等式，如和差公式、倍角公式等，可以通过圆的几何性质得到直观的解释和证明。
6.三角函数图像：正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，这些波形可以看作是单位圆上点的x坐标和y坐标随着角度θ变化而形成的。
7.复数和三角函数：在复平面上，三角函数与复数的指数形式有密切关系。
例如，欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ将三角函数与复数指数函数联系起来，其中i是虚数单位。
综上所述，三角函数和圆在多个层面上相互关联。
理解这些关系不仅有助于更深入地理解三角函数的本质和性质，而且在解决各种数学和物理问题时也非常有用。
巧用单位圆求解三角函数问题
2020年第6期(上)中学数学研究41巧用单位圆求解三角函数问题广东省中山市中山纪念中学(528454)李文东三角函数的定义来自于单位圆,利用单位圆的定义法来研究三角函数,以及单位圆中的三角函数线与单位圆的定义的联系,使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的性质,如经典的不等式:当α∈(0,π2)时,sin α<α<tan α以及两角差的余弦公式的证明都用到了单位圆.在三角函数中会经常遇到一些涉及已知三角函数值求角,求三角函数值,比较三角函数值的大小及其证明的问题,有时我们可以利用单位圆数形结合的思想去思考、分析和判断,往往能达到出奇制胜的效果,下面举例说明.一、巧用单位圆求值例1已知2sin α+cos α=−√5,则tan α=.解点A (cos α,sin α)可看作直线l :x +2y +√5=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l 的距离为d =√5√12+22=1,故直线l 与圆相切.从而tan α=k OA =−1k l=2.变式若方程sin x +2cos x =√102(−π2<x <π2)的两根为α,β,则tan α·tan β=.解点A (cos x,sin x )可看作直线l :2x +y −√102=0与单位圆x 2+y 2=1的交点,由于原点O 到直线l的距离为d =√102√12+22=√22,故直线l 与圆相交.由题意两交点分别为图1P (cos α,sin α),Q (cos β,sin β),结合距离可知此时OP ⊥OQ .于是tan α·tan β=k OP ·k OQ =−1.评注借助单位圆,我们还可以分别求出tan α,tan β,如图1,作OM ⊥l 于点M ,记直线OM 的倾斜角为θ,则tan θ=k OM =12,于是tan α=k OP =tan (θ+π4)=1+tan θ1−tan θ=3,tan β=k OQ =tan (θ−π4)=tan θ−1tan θ+1=−13.例2已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,求cos 2α+cos 2β+cos 2γ的值.解点A (cos α,sin α)、B (cos β,sin β)、C (cos γ,sin γ)均在单位圆上,由条件可知∆ABC 的重心坐标y =13(sin α+sin β+sin γ)=0,x =13(cos α+cos β+cos γ)=0,而其外心也为原点,即重心与外心重合,故∆ABC 为正三角形.于是α=β−2π3+2kπ,γ=β+2π3+2kπ,k ∈Z 从而cos 2α+cos 2β+cos 2γ=cos 2(β−2π3+2kπ)+cos 2β+cos 2(β+2π3+2kπ)=cos 2(β−2π3)+cos 2β+cos 2(β+2π3)=12(1+cos (2β−4π3)+1+cos 2β+1+cos (2β+4π3))=12(3+cos 2β−cos (2β−π3)−cos (2β+π3))=32.二、巧用单位圆证明三角恒等式例3已知cos 4αcos 2β+sin 4αsin 2β=1,求证:cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.证明由已知条件可知点A (cos 2αcos β,sin 2αsin β)在x 2+y 2=1上,记x 0=cos 2αcos β,y 0=sin 2αsin β,则x 0cos β+y 0sin β=1,又单位圆x 2+y 2=1在点A 处的切线l的方程为x 0x +y 0y =1,可见它过点B (cos β,sin β),故A,B 两点重合,于是cos 2αcos β=cos β,sin 2αsin β=sin β.因为cos 2α=cos 2β,且sin 2α=sin 2β,所以cos 4βcos 2α+sin 4βsin 2α=1.例4已知锐角α,β为方程a cos x +b sin x =c (a=0,c=0)的两不等实根,求证:cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.证明由已知,点M (cos α,sin α),N (cos β,sin β)(α<β)可看作图2直线l :ax +by −c =0与单位圆x 2+y 2=1的两个交点,42中学数学研究2020年第6期(上)如图2,过原点O 作OP ⊥MN 于点P ,原点O 到直线l 的距离|OP |=c √a 2+b 2,在Rt ∆OP N 中,∠P ON =α−β2,则cos α−β2=c √a 2+b 2,于是cos 2α−β2=c 2a 2+b 2.三、巧用单位圆求三角函数的最值例5求函数y =sin xcos x −2的值域.解令P (cos x,sin x ),Q (2,0),则sin x cos x −2=k P Q ,如图3,当过Q 点的直线与单位圆相切时的斜率便是函数y =sin xcos x −2的最值,由几何知识,易求得过Q 的两切线图3的斜率分别为−√33、√33.结合图形可知,函数的值域是[−√33,√33].例6(2018年高考全国I 卷第16题)求函数f (x )=2sin x +sin 2x 的最值.解显然f (x )为奇函数,故只需求出f (x )的最大值即可.又f (x )=2sin x +sin 2x =2sin x (1+cos x ),记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则2m (1+n )=t ⇒n =12·tm−1,于是原题等价于在单图4位圆m 2+n 2=1条件下求目标函数n =12·t m−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,如图4,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有−12·t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=12·t m 0−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 20√1−m 20,化简得:m 20(4m 20−3)=0,因为m 0>0,从而m 0=√32,此时t =2m 30√1−m 20=3√32,即f (x )max =3√32,利用f (x )为奇函数知f (x )min =−3√32.点评此题作为2018年高考全国卷I 的填空压轴题,一般是利用导数求最值.这里我们利用单位圆求解,此法很容易推广到如下的一般情形:求函数f (x )=sin x (a +cos x )的最大值t .(1)当a 0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=−m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=√4−a 2+a √a 2+88,最大值为(4−a 2+a √a 2+8)328√4+a 2−a √a 2+8;(2)当a <0时,它由下面的方程组确定: −t m 20=m 0√1−m 20,n 0=t m 0−a,n 0=−√1−m 20,化简得4m 40+(a 2−4)m 20+1−a 2=0,此时m 0=−√4−a 2−a √a 2+88,最大值为(4−a 2−a √a 2+8)328√4+a 2+a √a 2+8.例7求函数f (x )=sin x +12sin 2x +25cos x 的最大值.解f (x )=sin x +sin x cos x +25cos x =(sin x +25)(1+cos x )−25记sin x =m,cos x =n ,f (x )=t ,则(m +25)(1+n )−25=t ⇒n =t +25m +25−1,于是原题等价于在单位圆m 2+n 2=1下求目标函数n =t +25m +25−1的最大值,它是由反比例函数变换过来的,当它们的图像在第一象限相切时,t 最大,设切点为(m 0,n 0),则有 −t +25(m 0+25)2=−m 0√1−m 20,n 0=t +25m 0+25−1,n 0=√1−m 20,消去n 0和t 得:√1−m 20+1=m 0(m 0+25)√1−m 20,化简得:100m 30+40m 20−71m 0−20=0,即(5m 0−4)(20m 20+24m 0+5)=0,因为0<m 0 1,从而m 0=45,此时t =m 0(m 0+25)2√1−m 20−25=3825,即f (x )max =3825.评注利用单位圆思想,此法很容易推广到下面的一般情形:函数f (x )=sin x cos x +a sin x +b cos x=(sin x +b )(cos x +a )−ab,2020年第6期(上)中学数学研究43非等差等比数列常见模型问题的探究南京外国语学校仙林分校(210023)高斌摘要数列是刻画离散现象的数学模型,在学习等差等比数列的基础上,分析非等差等比数列问题,探究常见模型,通过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程,经过反思、交流,多角度解决数列通项、前n 项和、单调性和最值等问题,总结常用方法,形成模型巧解模块.培养学生观察、分析、探索、归纳的能力,体会特殊到一般,一般到特殊的思想方法,保证了高效课堂,体现了数学核心素养.关键词非等差等比数列;通项;前n 项和;单调性;最值;模型巧解教材中建立等差数列和等比数列两种特殊的数列模型,教学过程中,通过归纳法、叠(累)加法、逐差法和迭代法等基础方法推导等差数列的通项公式,通过倒序相加法和首末求和法推导等差数列的前n 项和公式,通过归纳法、叠(累)乘法和迭代法推导等比数列的通项公式,通过错位相减法、等比定理法推导等比数列的前n 项和公式,根据学生分层教学情况,还可以介绍拆项法、乘法运算公式法和方程法推导等比数列的前n 项和公式.实际上遇到更多的是非等差等比数列,对于此类问题的常见模型做一些探究和方法总结,学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义.一、对于非等差等比数列,求其通项例1(1)已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+3n (n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n ;解法1由题意知:a n −a n −1=3n ,a n −1−a n −2=3n −1,···,a 2−a 1=32,叠加得:当n 2时,a n −a 1=3n+3n −1+···+32=3n +1−92所以a n =3n +1−72,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.解法2当n 2时,迭代得:a n =a n −1+3n =a n −2+3n −1+3n =···=a 1+32+33+···+3n −1+3n=3n +1−72当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =3n +1−72.(2)已知数列{a n }中,a 1=1,na n=(n −1)a n −1(n ∈N ∗,n 2),求通项公式a n .解法1由题意知:a n a n −1=n −1n ,a n −1a n −2=n −2n −1,···,a 2a 1=12,叠乘得:当n 2时,a n a 1=a n a n −1·a n −1a n −2·····a 2a 1=n −1n ·n −2n −1·····12=1n,所以a n =1n ,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法2由题意知:a n =n −1na n −1,当n 2时,迭代得:a n =n −1n a n −1=n −1n ·n −2n −1·a n −2=···=n −1n ·n −2n −1·····12·a 1=1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.解法3由题意知:na n =(n −1)a n −1,则a 2=12a 1=12,若将n ·a n 视为整体,则当n 2时,2·a 2,3·a 3,···,n ·a n ,···构成一个常数列,所以n ·a n =2·a 2=1,即a n =1n,当n =1时,a 1=1符合上式,所以a n =1n.的最大值为t ,这里只讨论a 0,b 0的情形.它由下面的方程组确定:−t +ab (m 0+b )2=−m 0√1−m 20,n 0=t +ab m 0+b −a,n 0=√1−m 20,化简得(2m 20+bm 0−1)2=a (1−m 20)(0<m 0<1),此时t =m 0(m 0+b )2√1−m 20−ab .从以上问题我们看到,利用单位圆求解三角函数问题有时会给我们带来意想不到的效果,在平时的教学中,我们要引领学生从不同的角度去观察问题,这样不仅能拓展学生的思维,还能取得很好的教学效果.。
单位圆在三角函数中的应用
单位圆在三角函数中的应用利用单位圆，可以得到三角函数的一种几何表示．按照三角函数的定义，角α的三角函数值，不因其终边上取点的变化而变化，因此，可以将所取的点的位置作适当调整，使三角函数“比”的分母为1．这样，我们就可以利用单位圆作出正弦线、余弦线、正切线． 特别地，当角α的终边在x 轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． 例1 用单位圆证明：若α∈(0,)，则有sin α<α<tan α． 分析 利用单位圆中角α的正弦线、正切线，所对的弧长及有关图形的面积，直观列出不等式证明之．证明 如图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为M ，则有向线段MP=sin α．过点A(1,0)作单位圆的切线，交角α的终边于点T ，则有向线段AT=tan α．∴S =·OA·MP=sin α，S=··OA=|α|，S =·OA·AT=tan α． 又∵当0<α<时，有S <S <S ，∴sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α．此结论仅适用于α为锐角时．本质上，这个结论反映了三个函数的关系，即对x∈(0,)，f(x)=x ，g(x)=sinx ，φ(x)=tan(x)，下面的不等式成立g(x)<f(x)<φ(x)．用这个不等式，可以进行三个数的大小的比较．如，设x=，则sin<<tan．利用单位圆还可以证明如下结论：sinα+cosα>1的充要条件是α为第一象限角．sinα+cosα<-1的充要条件是α为第三象限角．若α为象限角，则有|sinα|+|cosα|>1；若α为任意角，则有|sinα|+|cosα|≥1．利用单位圆中的三角函数线，可以解简单的三角不等式．例2分别根据下列条件，解出角θ的取值范围．⑴cosθ<；⑵tanθ>-1．分析在单位圆中画出符合条件的角θ终边所在范围(用阴影表示)，根据图形写出θ的取值范围(先特殊后一般)．解⑴∵ cos=cos=，且cosθ<，由图可得θ的取值范围为(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)．⑵∵tan(-)=tan=-1，且tanθ>-1，由图可得θ的取值范围为(-+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ)=(-+nπ,+nπ)(k∈Z，n∈Z)．相应的图形请同学们自行作出．已知三角函数值的范围，在单位圆中作出相应角θ取值范围的图形的步骤如下：⑴对于正弦、余弦：①在坐标轴上由原点出发画三角函数线，过终点作与坐标轴平行的直线，它与单位圆交于两点；②将单位圆上的这两点分别与坐标原点连结得两条由原点出发的射线；③该两条射线将单位圆分为两部分，根据三角函数值的范围确定角θ的终边应落的区域．⑵对于正切：①在过点A(1,0)的单位圆的切线上画出由点A(1,0)出发的三角函数线；②将终点与原点连结并延长为一直线；③该直线与y轴将单位圆分为两两相对的四个部分，由正切函数值的范围可确定θ的终边应落的区域．例3求函数y=+lg(2sinx+)的定义域．分析定义域即为使函数有意义的x的值所组成的集合．解要使函数y有意义，必须即根据上面说明的步骤在单位圆中画出符合条件的x的范围，据阴影部分写出：-+2kπ<x≤+2kπ(k∈Z)．故所求函数的定义域为(-+2kπ,+2kπ](k∈Z)．本题也可由得∴ -+2kπ<x≤+2kπ(k∈Z)．例4已知f(n)=sin(n∈N)，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)的值．解∵(n∈N)表示8条终边，这8条终边分成四组，每组互为反向延长线，所以f(1)+f(2)+…f(8)=0，f(9)+f(10)+…f(16)=0，……f(89)+f(90)+…+f(96)=0，而 f(97)+f(98)+f(99)+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=+1++0=1+．故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=1+．。
单位圆在三角函数的定义中起着重要作用
单位圆在三角函数的定义中起着重要作用。
它能体现数形结合的工具功能。
三角函数的定义借助单位圆进行，把直角三角形放在直角坐标系里，然后推广。
而且引入单位圆后正弦，余弦，正切就变成了单位圆上点的坐标，或者是坐标的比值来表示这三个量，任意角的三角函数.可以用单位圆来进行定义。
尤其新课程用单位圆定义三角函数，提升了单位圆，三角函数线的地位，三角函数的知识结构和方法体系也发生了一系列变化。
（1）利用单位圆本身的对称性能直观的理解三角函数；（2）能形象、方便体现函数的性质周期性；（3）结合相关知识，使问题化难为易、化繁为简，思路清晰，方法明确，激发了学生的学习兴趣。
在任意角的三角函数怎么建立起函数的基本概念教学案例课堂实录中，这位老师从以下几个角度对三角函数的性质进行探究：三角函数的定义借助单位圆进行，把直角三角形放在直角坐标系里，然后推广。
三角函数的定义采用以旧带新的方式来进行教学探究的。
同时她还兼顾传统的教学方式，用坐标和解析几何的思想把函数表示出来，这样对于我们更好的理解三角函数用重要意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈单位圆在三角函数中的应用
单位圆在学习三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个象限的符号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。
所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。
单位圆的应用主要体现在必修④三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌握这部分知识。
下面简单谈一下单位圆在三角函数教学中的应用。
1、利用单位圆定义任意角的三角函数：
如图1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 α的正弦为： sin α=y ，
α的余弦为： cos α=x ，
α的正切为： tan α=x y
(x ≠0)
用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。
2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号：
根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y 的符号，余弦的符号决定于横坐标x 的符号，正切是由纵坐标y 、横坐标x 的符号决定：同号为正，异号为负。
因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2：
3、利用单位圆的对称性研究诱导公式
借助单位圆的几何直观效果，可以帮助学生学习和理解正弦、余弦函数的诱导公式。
在直角坐标系的单位圆中，不难看出，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，它们和单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反。
单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出
诱导公式。
如图5，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称，
由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，
知角π+α的终边与单位圆的交点为P 2(－x,－y)，
推出诱导公式（二）：sin(π+α)=－sin α
cos(π+α)=－cos α
tan(π+α)= tan α
如图6，角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，
知角－α的终边与单位圆的交点为P 2(x,－y)，
推出诱导公式（三）：sin(－α)=－sin α
cos(－α)= cos α
tan(－α)=－tan α
如图7，角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，
由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)，
知角π－α的终边与单位圆的交点为P 2(－x, y)，
推出诱导公式（四）：sin(π－α)= sin α
cos(π－α)=－cos α
tan(π－α)=－tan α
如图8，角
2π
－α的终边与角α的终边关于直线y=x 对称， 角
2π+α的终边与角2π
－α的终边关于y 轴对称， 由角α的终边与单位圆的交点P 1(x,y)， 知角
2π
－α的终边与单位圆的交点为P 2(y ,x)， 角2π
+α的终边与单位圆的交点为P 3(－y ,x)，
推出诱导公式（五）：sin(
2π
－α)= cos α cos(
2π－α)= sin α 诱导公式（六）：sin(
2π+α)= cos α cos(2π
+α)=－sin α
4、利用单位圆中的有向线段表示三角函数值（三角函数线）：
三角函数线是三角函数的一种几何表示，在旧教材中，三角函数线通过“终边定义法”，引入单位圆，花了一节课的时间专门学习，内容详细，没有例题设置，需要用练习中的习题在堂上评讲。
而在新课程中，因为三角函数线的作用有限，三角函数线只是作为一种工具一代而过，目的是淡化这一概念，同时突出单
位圆的作用。
由于应用了“单位圆定义法”，三角函数线就变得很简单，是“数”与“形”的结合而已。
5、利用单位圆中的有向线段（三角函数线）作三角函数的图象：
如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。
6、利用单位圆讨论三角函数的性质.
看函数的性质首先看定义域，我们知道对于任何一个角可以任意的旋转运动，它的定义域是整个实数，由于三角函数定义是终边和单位圆交点的坐标，所以它的值域也是非常清楚的。
最值问题，对正弦函数来说在π/2处达到最大值，在3π/2处达到最小值。
周期性，周期性在有单位圆以后，也是非常明显的问题，要比函数图象好的多，所以周期性2π这个性质，也是可以通过单位圆看得非常清楚的。
除了周期性和最值以外，我们还可以看三角函数的符号。
因为正弦函数是纵坐标，纵坐标在x轴上方是正，下面是负的。
横坐标cos在y轴这边是正，那边是负。
再者单调区间，正弦函数随y值的增大而增大，余弦函数随x值的增大而增大。
再看一个α和-α，不管是α角在哪，-α和α的终边是关于x轴对称的。
也就是它们的横坐标相等、纵坐标相反。
所以奇偶性，或者说对称性就很明显了。
如果这个再加上2kπ的话，这就是一个诱导公式。
所以函数的最基本的性质从单位圆里，都可以看得非常清楚。
而且可以看出诱导公式。
所以在我们研究三角函数性质的时候，除了传统的画出图象来研究以外，同时充分利用单位圆也是很有必要的。