1.2.3单位圆中的三角函数线

Ox
当角α的终边在y轴上时，角α 的正切线不存在.
例1、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
（1） ；2 （2）
12
3
5
y
y
P
A MO x
MA
O
x
P
例2、在0～2π内，求使sinα= 成3 立的α的取值集合.
2
y
P2
P1
y 3 2
MO M x
2
1
变:在0～2π内，求使sinα> 成3 立的α的取值集合.
三角函数线：用有向线段的数量来表示。
sin y MP MP (正弦线)
r OP
cos x OM OM(余弦线)
r OP
tan y AT AT(正切线)
x OA
y
PT
O MAx
作三角函数线的步骤:
(1) 作出角的终边，画单位圆; (2) 设α的终边与单位圆交于点P，作 PM⊥x轴于M，则有向线段MP是正弦线, 有向线段OM是余弦线; (3) 设单位圆与x轴的正半轴交于点A， 过点A作x轴的垂线与角α的终边 (或其反向延长线)交于点T， 则有向线段AT是正切线.
y P(x,y)
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)），则sinα=y,cosα=x都是负数，此时角α的正弦
值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
-|MP|=y=sinα -|OM|=x=cosα
M Ox
P(x,y)
为了简化表示，能用有向线段表示上述的三角函数 值吗？
思考3：由上分析可知，当角α为第一、三象限角时，
x
正切值最合适？
tan y AT
x
y T
正切线：过点A(1,0)作单 位圆的切线，与角α的终 边或其反向延长线相交于 点T，则AT=tanα.
M O Ax
P
思考9：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何 含义如何？
y P
当角α的终边在x轴上时，角αP 的正切线是一个点；
Ox
当角α的终边在y轴上时，角α 的正切线不存在.
6
6
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cos 1
2
y
1
3
-1 O
2k


3
,2k

5
3
k

Z
-1
1
x1 x
2
5
3
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
3tan 1
y
3
1
4
-1
k


4
,
k


2
)k

Z

k

3
4
,
k
第3课时 三角函数线
y
T
P(x,y) α O MA
(1)掌握正弦线、余弦线、正切线的 概念及画法;
(2)利用三角函数线求角的范围.
单位圆：圆心在原点，半径等于单位 长度的圆叫单位圆.
有向线段：带有方向（规定了起点和 终点）的线段叫有向线段．
有向线段规定方向与x轴或y轴的正方 向一致的为正值，反之为负值．
P Ox
M Ox
P
定义：设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x 轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP,OM分别为 角α的正弦线和余弦线.
思考5：设α为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明 sinα+cosα>1吗？
y
P
OM x
MP+OM>O P=1
思考6：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的
sinα、cosα可分别用有向线段MP、OM表示，即
MP=sinα，OM=cosα，那么当角α为第二、四象限角
时，你能检验这个表示正确吗？
y
y
P(x,y)
P(x,y)
MO x
OM x
y y
M Ox
P(x,y)
M
O
x
P(x,y)
思考4：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦
线的含义如何？
y
P
y

3
2
)k

Z

1
O
Ax
-1 T
4
练习:写出满足 1 cos 3 的角的集合:
2y
2
2
Q1
3
P
6
-1
1
O
x
4 R
S
11
3
-1
6
(2k


6
,2k

2
3


2k

4
3
,2k

11
6
)k

Z
【课堂★小结】
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线确定角的集合.
练习．说出OM， MO， AT， TA ，
MP， AO的符号．
y T
M
A(1,0)
O
x
P
三角函数线
思考1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的
交点为P(x,y)，则sinα=y,cosα=x都是正数，你能分别用
一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
|MP|=y=sinα
|OM|=x=cos α
y α终边
y
PT
P
O
y
P M
O
MA x
MO
正弦线
余弦线
y
T 正切线
Ax
O
Ax T
M Ax
P
PT
思考4：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正弦线和余弦 线的含义如何？
y
P
P Ox
思考9：当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何 含义如何？
y P
当角α的终边在x轴上时，角αP 的正切线是一个点；
O
x
P T
思考8：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则 tan是负y数，此时用哪条有向线段表示角α的
x
正切值最合适？
tan y AT
x
y P
A
MO
x
T
思考8：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则 tan是正y数，此时用哪条有向线段表示角α的
2
练习：利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合:
(1)cosα= ; 2(2)cosα>- . 2
2
2
y
P1
MO
x
P2
x 2 2
例3、在单位圆中作出符合条件的角的终边:
1sin 1
2
5
6 -1
y
1

6
1
y

1 2
O
x
(2k ,2k 5 )k Z -1
交点为P(x,y)，则 tan是正y数，用哪条有向线段表示角α
x
的正切值最合适？
tan y AT
x
yT P
O MA x
思考7：若角α为第四象限角，其终边与单位圆的交点为
P(x,y)，则 tan是负y数，此时用哪条有向线段表示角α的
x
正切值最Байду номын сангаас适？
y
tan y AT
x
MA