三角函数单位圆的定义
三角函数的单位圆与弧度制的转换
三角函数的单位圆与弧度制的转换三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于物理、工程等领域。
在学习三角函数时，我们需要了解单位圆和弧度制的概念，掌握它们之间的转换关系。
一、单位圆的概念与表示方法单位圆是以原点为中心，半径为1的圆，它在三角函数中起到了重要的作用。
单位圆可以表示三角函数中的正弦、余弦和正切函数，并且与弧度制的转换密切相关。
二、弧度制的概念与转换方法弧度制是一种角度的计量单位，与我们平时常用的度分秒制不同。
在弧度制中，一个完整的圆的角度等于2π弧度（或360°），所以π弧度相当于180°。
我们知道，圆的周长等于2πr，而单位圆的半径为1，所以单位圆的周长等于2π。
所以单位圆上的角度与弧度是一一对应的关系。
而在转化角度为弧度时，可以使用以下公式：弧度数 = 角度数× π / 180（或角度数× π / 200），其中180（或200）是角度制中的一个完整圆的角度。
三、正弦函数在单位圆上的表示正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它可以通过单位圆上的点的纵坐标来表示。
对于任意一个角度θ，单位圆上的点（x，y）的坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
这就是sinθ的定义在单位圆上的表示。
四、余弦函数在单位圆上的表示余弦函数与正弦函数类似，也可以通过单位圆上的点的横坐标来表示。
对于任意一个角度θ，单位圆上的点（x，y）的坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
这就是cosθ的定义在单位圆上的表示。
五、正切函数在单位圆上的表示正切函数是另一个重要的三角函数，它可以通过单位圆上的点的纵坐标除以横坐标来表示。
对于任意一个角度θ，单位圆上的点（x，y）的坐标可以表示为（cosθ，sinθ）。
这就是tanθ的定义在单位圆上的表示。
六、单位圆与弧度制的转换我们已经了解了单位圆和弧度制的概念，现在我们来看一下它们之间的转换关系。
对于任意一个角度θ，它在单位圆上对应的弧长等于θ的弧度数。
三角函数与单位圆
三角函数与单位圆在数学中，三角函数是研究角度和三角形关系的重要工具之一。
而单位圆则是三角函数中的一个重要概念，它与三角函数之间存在着密切的关系。
一、三角函数的基本定义及公式三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个角，正弦值等于对边与斜边长度的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个角，余弦值等于邻边与斜边长度的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个角，正切值等于对边与邻边长度的比值。
这些三角函数在单位圆中也有对应的定义及公式。
单位圆是以圆心为原点、半径为1的圆，在坐标系中可以表示为x^2 + y^2 = 1。
对于单位圆上的任意一点P(x, y)，可以定义其对应的角度为A，单位圆上的点与角度之间存在着一一对应的关系。
二、三角函数与单位圆的关系在单位圆中，以圆心为起点，与圆上任意一点P(x, y)连接，这条线段与圆的半径的夹角即为角A。
根据三角函数的定义，在单位圆中，可以得到以下关系：1. 正弦函数：sin(A) = y2. 余弦函数：cos(A) = x3. 正切函数：tan(A) = y/x利用这些关系，可以得到三角函数在单位圆中的图形。
正弦函数在单位圆中的图形表现为一个周期为2π的正弦波，其振幅为1。
余弦函数与正弦函数相位相差π/2，也表现为一个周期为2π的正弦波。
而正切函数在单位圆中的图形是一个以原点为渐近线的周期为π的函数。
三、三角函数在解决问题中的应用三角函数在数学中有着广泛的应用，特别是在解决与角度和三角形相关的问题时。
1. 几何问题：三角函数可以用于求解直角三角形的边长、角度等问题。
例如，已知一个角的正弦值，可以通过反正弦函数求解角度值；已知两个边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解另外一个角度或边长。
2. 物理问题：三角函数在解决物理问题中也有广泛应用。
例如，通过正弦函数可以描述周期性的振动现象；借助于正切函数可以求解斜面上物体的滑动问题。
用单位圆定义三角函数
用单位圆定义三角函数
三角函数是数学中一类重要的函数，它们描述着特定的物理关系。
在日常的学习生活中，我们经常会用到三角函数，那么它们的定义到底是怎么样的呢？
以一个单位圆为例，假定以原点O为圆心，半径为1，横轴、纵轴分别为圆心和圆上任一点之间的连线，通过圆心指向任意一点记为X1（也就是圆心处于第一象限），然后通过圆心指向另一点X2，X1、X2两点连线连接称为弧度。
由此得出圆心到点X1到点X2两点连线构成的角度称为角θ，我们把X1、X2两点构成的角度ω称为三角函数之弧度。
实际上，三角函数的定义就是以π（π的介绍请参考文末）为2π度的圆的一个角度，比如当弧度ω等于π时，它仍然是一个2π度的圆，即π弧度就对应着2π度,ω=1时就对应着180°，ω = 0.5时就对应着90°，ω = 0.25时就对应着45°，那么与每一个角度ω相对应的函数，也就成为三角函数。
举个例子，当ω=π时，它的三角函数Sin ω的值就是-1，Cos ω的值就是0，tanω的值就是无穷。
当ω=π/2时，它的Sin ω的值就是1，Cos ω的值就是0，tanω的值就是无穷。
其他的值可以通过计算得出。
总的来说，三角函数是从一个单位圆中定义出来的，它是以一个弧度ω作为自变量，计算出来的一系列函数数值进行映射，最终得出sin ω、cos ω和tan ω值，与角度ω成一定比例。
通过三角函数，我们可以用精确的数值计算出特定的物理关系，这对学习生活的应用非常重要。
三角函数圆的知识点总结
三角函数圆的知识点总结1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是三角函数中最基本的两个函数之一。
它们的定义来自于单位圆。
单位圆是一个半径为1的圆，我们可以以圆心为原点建立直角坐标系，这样单位圆的边界就可以表示为坐标为$(\cos \theta, \sin \theta)$的点。
这里$\theta$表示与$x$轴正方向的夹角，即角度。
正弦函数$\sin \theta$在单位圆上对应点的纵坐标，而余弦函数$\cos \theta$在单位圆上对应点的横坐标。
这样，我们可以得到正弦函数和余弦函数的定义：$$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{y}{r}$$$$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{x}{r}$$其中$r$为单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性的，周期为$2\pi$(或$360^{\circ}$)，并且它们都是偶函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是连续的，且在定义域内都是单调递增的。
它们的最大值和最小值都是1和-1。
2. 正切函数正切函数是另一个基本的三角函数，定义为$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$。
可以从正弦函数和余弦函数的定义中得到正切函数的等价定义：$\tan \theta =\frac{y}{x}$。
正切函数的图像是周期性的，周期同样是$2\pi$(或$360^{\circ}$)。
它是一个奇函数，即$\tan (-\theta) = -\tan \theta$。
正切函数在定义域内有无穷多个间断点，因为$\cos \theta = 0$时，$\tan \theta$无定义。
在这些点处，正切函数的图像会有无限大的正向或负向趋向。
正切函数的图像在$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上是单调递增的，在$(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$上是单调递减的。
三角函数单位圆定义
三角函数单位圆定义单位圆是指半径为1的圆，它在数学中被广泛应用于三角函数的定义和性质的研究。
在一个笛卡尔坐标系中，单位圆的圆心位于原点(0,0)，并且半径为1。
由于半径为1，单位圆上的所有点到圆心的距离都是1。
单位圆可以用方程x^2 + y^2 = 1表示。
单位圆的定义直接导致了三角函数的定义。
三角函数是指根据一个角的大小，计算在单位圆上特定点的坐标。
在三角函数中，常见的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别由sin、cos和tan来表示。
首先，我们来看正弦函数sin。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标就是sinθ的值。
也就是说，sinθ可以通过角度θ在单位圆上的y坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以sin0°=0。
当θ等于30度时，单位圆上的点位于正x轴与y轴的夹角为30度的位置上，其坐标为(0.866,0.5)，所以sin30°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的正弦函数值。
接下来，我们来看余弦函数cos。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的x坐标就是cosθ的值。
也就是说，cosθ可以通过角度θ在单位圆上的x坐标来求得。
例如，当θ等于0度时，单位圆上的点位于x轴上，其坐标为(1,0)，所以cos0°=1。
当θ等于60度时，单位圆上的点位于正x轴与负y轴的夹角为60度的位置上，其坐标为(0.5,-0.866)，所以cos60°≈0.5。
以此类推，我们可以通过单位圆上的点的坐标来求得任意角度的余弦函数值。
最后，我们来看正切函数tan。
对于任意角度θ，单位圆上特定点(x,y)的y坐标除以x坐标得到的值就是tanθ的值。
也就是说，tanθ可以通过角度θ在单位圆上的点的坐标来求得。
例如，当θ等于45度时，单位圆上的点位于正x轴与正y轴的夹角为45度的位置上，其坐标为(0.707,0.707)，所以tan45°≈1。
三角函数必背公式(高一版)
1三角函数1、特殊三角函数值：2、角α的弧度数公式：α=lr ；弧长：=l |α|·r =180r n π；S 扇=211||22lr r α== 3602r n π；3、三角函数的定义：①单位圆定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边与单位圆的交点，那么=αsin y，=αcos x，=αtan yx②一般定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点，那么=αsin y r，=αcos x r，=αtan y x，（其中r=22y x +）4、三角函数的正负性：一全正；二正弦；三正切；四余弦；5、同角三角函数的基本关系式：（可知一求二）（1）平方关系：22sin cos 1x x +=（2）商数关系：sin tan cos x x x=6．诱导公式：奇变偶不变；符号看象限.sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.tan(－α)＝－tan α.21,1]π(求三角函数对称轴、对称中心、单调区间：脱衣服；求三角值域问题：穿衣服。
28.和差公式：sin(α＋β)＝s in αcos β＋cos αsin β;sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βcos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βtan(α＋β)＝；tan(α－β)＝.9、二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos αcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2αtan 2α＝.10、降次公式：cos 2α＝；sin 2α＝；＝；tan 2α＝ αα2cos 12cos 1+-11、辅助角公式：a sin α＋b cos α＝(其中tan θ＝)注意：①使sin 系数为正；②a 与b 都取正。
12、正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)+B 参数的求法：求A 看最值：A=2min -max ；求ω看周期：Tπω2=；求ϕ：代点；求B 看最值：B =2minmax +13、正弦函数y ＝sin x 的特殊5点坐标：） （0,0） （1,2π） （0,π） （1,23-π） （0,2π余弦函数y ＝cos x 的特殊5点坐标：） （1,0） （0,2π） （1,-π） （0,23π） （1,2π。
三角函数公式总结
三角函数公式总结三角函数是数学中常用的函数之一，它由三角形的边长比例定义，主要包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数（csc、sec、cot）。
下面是对这些三角函数的公式进行总结：1. 正弦函数（sin）：(1) 单位圆上的定义：在单位圆上，角度θ所对应的点的纵坐标就是该角度的sin值。
(2) 基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(3) 周期性：sin(π+θ) = - sinθ，sin(2π+θ) = sinθ，其中θ为任意实数。
2. 余弦函数（cos）：(1) 单位圆上的定义：在单位圆上，角度θ所对应的点的横坐标就是该角度的cos值。
(2) 基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1(3) 周期性：cos(π+θ) = - cosθ，cos(2π+θ) = cosθ，其中θ为任意实数。
3. 正切函数（tan）：(1) 定义：tanθ = sinθ / cosθ(2) 周期性：tan(π+θ) = tanθ，tan(2π+θ) = tanθ，其中θ为任意实数。
(3) 特殊值：tan(0) = 0，tan(π/4) = 1，tan(π/2) = 无穷大（不存在）。
4. 正割函数（sec）：(1) 定义：secθ = 1 / cosθ(2) 周期性：sec(π+θ) = secθ，sec(2π+θ) = secθ，其中θ为任意实数。
(3) 特殊值：sec(0) = 1，sec(π/2) = 无穷大（不存在）。
5. 余割函数（csc）：(1) 定义：cscθ = 1 / sinθ(2) 周期性：csc(π+θ) = - cscθ，csc(2π+θ) = cscθ，其中θ为任意实数。
(3) 特殊值：csc(π/2) = 1，csc(π) = 无穷大（不存在）。
6. 余角关系：(1) sin(π/2 - θ) = cosθ(2) cos(π/2 - θ) = sinθ(3) tan(π/2 - θ) = 1 / tanθ这些是最基本的三角函数公式，它们在数学和物理等领域中的应用非常广泛。
三角函数与单位圆的关系详解
三角函数与单位圆的关系详解三角函数是数学中重要的概念之一，它与单位圆密切相关。
本文将详细解析三角函数与单位圆的关系，从而帮助读者更好地理解三角函数的概念和性质。
一、三角函数的定义三角函数由正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等组成。
这些函数与三角形的各边长度之间的关系息息相关。
例如，正弦函数定义为一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
二、单位圆的定义单位圆是一个半径为1的圆。
它的圆心位于坐标原点(0, 0)，且可以被看作是一个点在坐标平面上以半径为1做圆周运动的轨迹。
三、三角函数与单位圆的关系单位圆的概念为我们解析三角函数提供了重要便利。
我们可以将一个角度对应到单位圆上的一点，从而更好地理解它们之间的关系。
具体来说，对于一个角度θ，我们可以将它对应到单位圆上的一点P(x, y)，其中x和y分别为点P在坐标平面上的横纵坐标。
值得注意的是，x和y的取值都在-1到1之间。
根据单位圆的定义，点P的横纵坐标可以通过三角函数来表达。
例如，点P的横坐标x就等于该角度的余弦值cosθ，纵坐标y等于该角度的正弦值s inθ。
而切线函数tanθ则等于sinθ除以cosθ。
四、三角函数的周期性单位圆上的点在一周内不断循环，因此三角函数也具有周期性。
以正弦函数为例，它的图像在一个周期内会不断重复，即sin(θ+2π)=sinθ。
同样，余弦函数和正切函数也具有相似的周期性。
五、利用单位圆解析三角函数的性质通过单位圆，我们可以很方便地研究和推导三角函数的性质。
例如，我们可以利用单位圆来证明三角函数的诸多恒等式，如正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1（sin²θ + cos²θ = 1）。
此外，单位圆还可以帮助我们推导三角函数的图像和性质。
例如，通过观察单位圆上的点，我们可以得出正弦函数和余弦函数的图像均是周期函数，且在特定角度上取得最大值和最小值。
六、应用领域三角函数在科学和工程中具有广泛应用。
三角函数单位圆的定义
三角函数单位圆的定义§1．2．1 任意角的三角函数第一课时任意角的三角函数的定义三角函数的定义域和函数值【学习目标、细解考纲】1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2、从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。
【知识梳理、双基再现】1、在直角坐标系中，叫做单位圆。
2、设α是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ⑴ 叫做α的正弦, 记作 ,即. ⑵ 叫做α的余弦, 记作 ,即. ⑶ 叫做α的正切, 记作 ,即 .当α= 时, α的终边在y 轴上, 这时点P 的横坐标等于 ,所以无意义. 除此之外, 对于确定的角α, 上面三个值都是 . 所以, 正弦、余弦、正切都是以为自变量, 以为函数值的函数, 我们将它们统称为 . 由于与之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为的函数.3、根据任意角的三角函数定义，先将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。
y =sin α y = cos αy =tan α【小试身手、轻松过关】4、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为（） A ．－5 B 5 C ．25 D ．25、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（） A ．sin α B ．cosαC ．tan α D ．1tan α6、已知角α的终边过点P （4a , －3a ）（aA ．25B 25 C ．0 D ．与α的取值有关7、α是第二象限角，P （x , 5 ）为其终边上一点，且cos α= 24x ，则sin α的值为（A ．4 B ．24 C ．4 D ．－4【基础训练、锋芒初显】8、函数y =x +-cos x 的定义域是（）A ．(2k π, (2k +1) π) ，k ∈ZB ．[2k π+π2, (2k +1) π]，k ∈Z）C ．[k π+π2, (k +1) π]，k ∈ZD ．[2kπ，（2k+1）π]，k ∈Z（）9、若θ是第三象限角，且cosθ2θ是 2A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角 10、已知点P （tan α, cos α）在第三象限，则角α在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角（） D ．第四象限11、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 12、角α的终边上有一点P （m ，5），且cos α=m, (m ≠0) ，则sin α+cosα=______． 1313、已知角θ的终边在直线y =x 上，则sin θtan θ 314、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 15、函数y =A ．{1}sin x |cos x |tan x++的值域是|sin x |cos x |tan x |B ．{1，3}（）C ．{-1}D ．{-1，3}【举一反三、能力拓展】17、(1) 已知角α的终边经过点P(4,－3) ，求2sin α+cosα的值；【名师小结、感悟反思】当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时, 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.§1．2．1 任意角的三角函数第二课时诱导公式一三角函数线【学习目标、细解考纲】灵活利用利用公式一；掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
单位圆与三角函数线已经更新
(2)y=lg sinx+ cos x .
解：(1)如图.
3 ∵2cosx- 3 ≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ - 6 ,2kπ + 6 ］ (k∈Z).
课堂互动
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例4.确定下式的符号
x P
sin 1 cos 1
解： 因为1
由三角函数线得
（2）在单位圆过点A(1，0)的切线上取 AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1， P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值 集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝ =｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
课堂互动
利用三角函数线解三角不等式 例3.在单位圆中画出适合下列条件的 角α终边的范围，并写出角α的集合。
1 2
变式：求函数 y 2 sin x 3的定义域
解：要使 2 sin x 3 有意义， 只需2 sin x 3 0, 3 , 2 由三角函数线，得 即sin x
3 2 3 2
y
3 2
3 2
x O
2 x 2 k x 2 k , k Z 3 3
4
O
M
y
sin 1 cos10
课堂互动
练习：比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
利用三角函数线证明有关不等式
例5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，
三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)
5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。
单位圆与三角函数
＜ 0.
6π
3.∵ 是第
5
三 象限的角，∴sin6π
5
＜ 0，cos6π
5
4.∵240°是第
三 象限的角，∴sin240° ＜ 0.
5.∵320°是第
四 象限的角，∴cos320° ＞ 0.
＜ 0，tan6π
5
＞ 0.
π
7
6.∵－ 是第
7.
3π
sin ＝
2
π
sin 6 ＝
四 象限的角，∴tan − π
第四章 三角函数
4.3.2
单位圆与三角函数
1.三角函数的单位圆定义.
sin =
设角α的终边与单位圆的交点P（x，y），则൞cos =
tan =
2.sinα、cosα、tanα的正负号标在各象限内如下图所示.
3.特殊角的三角函数值如下表所示.
α
30°
45°
60°
0°
90°
180°
7
－1 ，cosπ＝
2
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0 ，tanπ＝
1
2
π
2 ，cos 4 ＝ 2 ，tan60°＝
＜ 0.
0 ，sin90°＝
1
3 ，cos60°＝ 2 .
1 ，
二、选择题
1.设角α是象限角，且cosα＞0，则角α是（
D ）.
A.第一或二象限的角
B.第二或四象限的角
C.第三或四象限的角
D.第一或四象限的角
2.如果cosα与tanα同号，则角α是（
6π
（2）tan
7
π
2
解：∵ ＜
6π
7
三角函数的单位圆解释与利用
三角函数的单位圆解释与利用三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学、工程学等领域发挥着重要作用。
本文将以单位圆解释三角函数的概念，并探讨其在实际问题中的应用。
三角函数的概念可以通过单位圆来解释。
单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。
在单位圆上，我们可以定义角度，并将角度与三角函数联系起来。
例如，以圆心为顶点的角度为0度，逆时针旋转一周为360度。
根据这个定义，我们可以将角度与三角函数的值对应起来。
首先，我们来看正弦函数。
正弦函数（sin）表示一个角度对应的单位圆上的纵坐标。
例如，在单位圆上，角度为30度对应的纵坐标为0.5，角度为60度对应的纵坐标为√3/2。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为0，在90度处的值为1，在180度处的值为0，在270度处的值为-1。
正弦函数在几何学中常用于描述波动、振动等现象。
接下来，我们来看余弦函数。
余弦函数（cos）表示一个角度对应的单位圆上的横坐标。
例如，在单位圆上，角度为30度对应的横坐标为√3/2，角度为60度对应的横坐标为0.5。
余弦函数的图像也是一个周期性的波形，它在0度和360度处的值都为1，在90度处的值为0，在180度处的值为-1，在270度处的值为0。
余弦函数在几何学中常用于描述旋转、周期性运动等现象。
除了正弦函数和余弦函数，还有一些其他的三角函数，如正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。
这些函数可以通过正弦函数和余弦函数来定义。
例如，正切函数（tan）等于正弦函数除以余弦函数，余切函数（cot）等于余弦函数除以正弦函数，正割函数（sec）等于1除以余弦函数，余割函数（csc）等于1除以正弦函数。
三角函数在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，三角函数可以用来描述物体的运动轨迹、振动频率等。
在工程学中，三角函数可以用来计算力的分解、电流的相位差等。
在计算机图形学中，三角函数可以用来生成曲线、旋转图形等。
高一数学必修4三角函数的定义讲义
三角函数的定义知识梳理1、任意角三角函数的定义(1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0).2、三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数．3、三角函数的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈Z 4、三角函数值的符号5、终边相同的角的同一三角函数的值(1)终边相同的角的同一三角函数的值相等．(2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .例题精讲题型一、三角函数的定义及应用例1、(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sinα＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝ba .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．变式训练已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．题型二、三角函数值符号的运用例2、(1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角(2)判断下列各式的符号：①sin 105°·cos 230°； ②cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.三角函数值的符号规律(1)当角θ为第一象限角时，sin θ>0，cos θ>0或sin θ>0，tan θ>0或cos θ>0，tan θ>0，反之也成立； (2)当角θ为第二象限角时，sin θ>0，cos θ<0或sin θ>0，tan θ<0或cos θ<0，tan θ<0，反之也成立； (3)当角θ为第三象限角时，sin θ<0，cos θ<0或sin θ<0，tan θ>0或cos θ<0，tan θ>0，反之也成立； (4)当角θ为第四象限角时，sin θ<0，cos θ>0或sin θ<0，tan θ<0或cos θ>0，tan θ<0，反之也成立．变式训练若sin 2α＞0，且cos α＜0，试确定α终边所在的象限．题型三、诱导公式一的应用例3、计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π.变式训练求下列各式的值：(1)sin 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°.课堂小测1、若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能2、若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33 3、sin ⎝⎛⎭⎫－196π＝________. 4、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.5、化简下列各式：(1)a cos 180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.同步练习1、25πsin6等于( )A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-2、若角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=（ ）A ．1615 B ．1615- C ．1516D ．1516- 3、利用余弦线比较cos1，πcos 3，cos 1.5的大小关系是( ) A ．πcos1cos cos1.53<< B ．πcos1cos1.5cos 3<< C ．πcos1coscos1.53>> D ．πcos1.5cos1cos 3>> 4、如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( ) A ．正弦线PM ，正切线A T '' B ．正弦线MP ，正切线A T '' C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT5、角α的终边经过点(),4P b -且3cos 5α=-，则b 的值为( ) A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 6、已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数()|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x f x x x=++的值域是( ) A ．{}3,1,1,3-- B ．{}3,1-- C ．{}1,3 D ．{}1,3- 7、在[]0,2π上，满足3sin 2x ≥的x 的取值范围为( ) A ．π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 ( ) A ．sin2θB ．cos2θC ．tan2θD ．cos 2θ9、已知α的终边经过点()36,2a a -+，且sin 0,cos 0,αα>≤则α的取值范围为________．10、若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(),P m n 是α终边上一点，且10OP =，则m n -=_____. 11、已知点()sin cos ,tan P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内α的取值范围为__________． 12、(1)23π17πcos tan 34⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； (2)sin 630tan 1 125tan 765cos 540︒+︒+︒+︒.13、当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：sin tan ααα<<.14、已知角α的终边落在直线2y x =上，求sin α，cos α，tan α的值．。
三角函数的基本关系总结
三角函数的基本关系总结三角函数是数学中非常重要的概念，它们在许多领域中都有广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。
本文将总结三角函数之间的基本关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数之间的关系，以及它们在单位圆上的几何解释。
1. 正弦函数和余弦函数的基本关系正弦函数（sine）和余弦函数（cosine）是最常见的三角函数之一。
它们在单位圆上的定义如下：- 正弦函数：在单位圆上的定义为，对于一个角度θ，正弦函数的值等于θ对应的点的纵坐标值。
- 余弦函数：在单位圆上的定义为，对于一个角度θ，余弦函数的值等于θ对应的点的横坐标值。
正弦函数和余弦函数之间存在着以下基本关系：- 三角恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，这是三角恒等式中最基本的一个。
它表明了在单位圆上，任何角度θ对应的正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1。
- 正弦函数和余弦函数的相位差：两个角度θ和φ的正弦函数和余弦函数之间的关系可以通过它们的相位差来表示，即sin(θ + φ) =sinθcosφ + cosθsinφ，cos(θ + φ) = cosθcosφ - s inθsinφ。
- 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，即对于任意角度θ，有sin(θ + 2π) = sinθ，cos(θ + 2π) = cosθ。
这说明在一个完整的圆周上，正弦函数和余弦函数的值会重复。
2. 正切函数和三角恒等式的关系正切函数（tangent）是另一个重要的三角函数，它在单位圆上的定义如下：- 正切函数：在单位圆上的定义为，对于一个角度θ，正切函数的值等于θ对应的点的纵坐标值除以横坐标值。
正切函数和三角恒等式之间存在着以下关系：- 三角恒等式的倒数形式：tan²θ + 1 = sec²θ，其中secθ是θ对应的余割函数。
- 正切函数的周期性：正切函数具有周期性，即对于任意角度θ，有tan(θ + π) = tanθ。
【初中数学】初中数学单位圆定义的三角函数公式
【初中数学】初中数学单位圆定义的三角函数公式
【—三角函数公式】大家要记住：六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义三角函数
单位圆
单位圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和
π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：
图象中得出了为弧度度量的一些常用的角。
逆时针方向的度量就是正角，而顺时针的度量就是负角。
设立一个过原点的线，同x轴正半部分获得一个角θ，并与单位圆平行。
这个交点的x和y座标分别等同于cosθ和sinθ。
图象中的三角形保证了这个公式;半径等同于斜边且长度为1，所以存有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视作就是通过发生改变邻边和对边的长度，但维持斜边等同于1的一种查阅无穷个三角形的方式。
上面的内容为大家带来的是单位圆定义三角函数，相信大家能认真记忆了吧，接下来还有更多的营养餐等着同学们来汲取呢。
三角函数和圆的关系
三角函数和圆的关系三角函数和圆的关系非常密切，可以说三角函数最初是从圆中定义和推导出来的。
以下是三角函数和圆的主要关系：1.单位圆上的三角函数定义：在单位圆上（即以原点为圆心，半径为1的圆），任意一点P(x, y)的坐标x和y可以分别解释为cosθ和sinθ，其中θ是从正x轴逆时针到射线OP的角度。
这样，单位圆为三角函数提供了几何解释。
2.三角函数的周期性：三角函数具有周期性，这与圆上的周期性旋转相对应。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为360度（或2π弧度），这意味着一个完整的圆旋转后，函数值重复。
3.弧长和扇形面积：圆的弧长公式和扇形面积公式中都涉及三角函数。
例如，圆心角为θ的弧长s可以用公式s = rθ来计算，其中θ必须以弧度为单位。
类似地，扇形面积A可以用公式A =(1/2)r²θ来计算。
4.极坐标：在极坐标系统中，点的位置由距离原点的距离（极径）和与正x轴的角度（极角）确定。
三角函数在极坐标和直角坐标之间的转换中起着关键作用。
5.三角恒等式的几何解释：一些三角恒等式，如和差公式、倍角公式等，可以通过圆的几何性质得到直观的解释和证明。
6.三角函数图像：正弦函数和余弦函数的图像是周期性的波形，这些波形可以看作是单位圆上点的x坐标和y坐标随着角度θ变化而形成的。
7.复数和三角函数：在复平面上，三角函数与复数的指数形式有密切关系。
例如，欧拉公式e^(iθ) = cosθ + isinθ将三角函数与复数指数函数联系起来，其中i是虚数单位。
综上所述，三角函数和圆在多个层面上相互关联。
理解这些关系不仅有助于更深入地理解三角函数的本质和性质，而且在解决各种数学和物理问题时也非常有用。
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
三角函数的单位圆与弧度制
三角函数的单位圆与弧度制三角函数是数学中一个重要的分支，它研究角与边的关系。
而单位圆与弧度制是研究三角函数的基础。
下面我们来探讨一下三角函数的单位圆与弧度制。
一、单位圆单位圆是一个半径为1的圆，它的中心在原点(0,0)处。
单位圆的方程是x²+y²=1。
在单位圆上的点(x,y)的坐标对应于角度θ的弧度。
在单位圆上，我们可以定义三角函数sinθ、cosθ、tanθ。
其中sinθ 的定义是单位圆上点的 y 坐标，cosθ 的定义是单位圆上点的 x 坐标，tanθ 的定义是sinθ 除以cosθ。
二、弧度制弧度制是角度的一种衡量方式。
一个圆的周长为2πr，其中 r 是半径。
我们将圆周等分为360等份，每一份对应的角度称为1度。
而弧度制的基本单位是弧度，它的定义是在单位圆上所对应的弧长。
单位圆的周长是2π，因此一周对应的弧度是2π。
根据等周弧度定义可以推出：1度对应的弧度为π/180。
例如，90度对应的弧度就是π/2。
使用弧度制进行三角函数的计算可以避免繁琐的小数运算，并且更具有普适性和推广性。
三、三角函数的单位圆表示在单位圆上，我们可以通过求点的坐标来定义三角函数值。
例如，以点 P(x,y) 在单位圆上表示角度为θ，那么有sinθ = y，cosθ = x，tanθ= y/x。
同时，我们可以反过来通过给定的三角函数值来确定角度。
例如，已知sinθ 的值为0.5，那么可以通过单位圆上的坐标找到对应的角度。
四、三角函数的值域和周期性三角函数的值域是[-1, 1]，因为在单位圆上所有的坐标的取值范围都在[-1, 1]之间。
而三角函数具有周期性，sinθ 和cosθ 的周期是2π，tanθ 的周期是π。
也就是说，sin(θ + 2πn) = sinθ, cos(θ + 2πn)= cosθ, tan(θ + πn) = tanθ。
其中 n 是整数。
五、总结单位圆与弧度制对于理解三角函数非常重要。
三角函数的基本概念和性质
三角函数的基本概念和性质三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、信号处理等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、三角函数的基本概念三角函数是以单位圆上的点的坐标值为基础定义的。
单位圆是一个半径为1的圆，以原点为中心。
对于单位圆上的点P(x,y)，其中x和y 分别为点P的横坐标和纵坐标，定义三角函数的基本比值为：正弦函数（sine）：sinθ = y余弦函数（cosine）：cosθ = x正切函数（tangent）：tanθ = y/x其中，θ表示单位圆上点P与x轴正半轴的夹角。
二、三角函数的性质1. 周期性：三角函数具有周期性，即在一个周期内的函数值是重复的。
正弦函数和余弦函数的周期是2π，正切函数的周期是π。
周期性使得三角函数在处理周期性现象时非常有用。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ；正切函数是奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。
奇偶性质在简化计算和证明中起到了重要作用。
3. 诱导公式：三角函数存在一系列的诱导公式，可以用来简化函数的表示。
例如，sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ等。
这些公式常用于展开三角函数的乘积或和差形式。
4. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像为连续的曲线，呈现周期性的起伏；正切函数的图像由一系列的无穷多个断点和渐近线组成。
图像能够帮助我们直观地理解三角函数的性质。
三、三角函数的应用1. 几何学上，三角函数可用于解决各种三角形问题，如求解角度、边长、面积等。
例如，利用正弦函数可以求解不直角三角形的任意一边；利用余弦函数可以求解直角三角形的角度。
2. 物理学中，三角函数广泛应用于描述周期性的运动。
例如，调和运动的位移可以用正弦函数或余弦函数表示。
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§1．2．1 任意角的三角函数
第一课时任意角的三角函数的定义三角函数的定义域和函数值【学习目标、细解考纲】
1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；
2、从任意角三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号。
【知识梳理、双基再现】
1、在直角坐标系中，叫做单位圆。
2、设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
⑴叫做α的正弦,记作 ,即
.
⑵叫做α的余弦,记作 ,即
.
⑶叫做α的正切,记作 ,即
.
当α=时, α的终边在y轴上,这时点P的横坐标等于 ,所以无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是 . 所以, 正弦、余弦、正切都是以为自变量,以
为函数值的函数,我们将它们统称为 .由于与之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为的函数.
3、根据任意角的三角函数定义，先将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再
将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。
=y sin α =y cos α
=y tan α
【小试身手、轻松过关】
4、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ）
A ．－55
B ．－ 5
C ．552
D ．25
5、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）
A ．sin α
B ．cos α
C ．tan α
D ． tan 1
α
6、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ）
A ．25
B ．－25
C ．0
D ．与α的取值有关
7、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42
x ，则sin α的值为 （
）
A ．410
B ．46
C ．42
D ．－410
【基础训练、锋芒初显】
8、函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）
A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈
B ．])12(,22[ππ
π++k k ，Z k ∈
C ．])1(,2[ππ
π++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈
9、若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2
θ是 （ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角 10、已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在
（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
11、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．
12、角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13
cos ≠=m m α，则sin α+cos α=______． 13、已知角θ的终边在直线y = 3
3 x 上，则sin θ= ；θtan = ． 14、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．
15、函数|tan |tan cos |cos ||sin |sin x x x x x x y ++=
的值域是 （ ） A ．{1} B ．{1，3} C ．{-1} D ．{-1，3}
【举一反三、能力拓展】
17、(1) 已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；
【名师小结、感悟反思】
当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论.
§1．2．1 任意角的三角函数
第二课时 诱导公式一 三角函数线
【学习目标、细解考纲】
灵活利用利用公式一；掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
【知识梳理、双基再现】
1、由三角函数的定义： 的角的同一三角函数的值 。
由此得诱导公式一
，
，
，其中。
2、叫做有向线段。
3、
角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第象限角时）或其反向延长线（当α为第象限角时）相交于点T。
根据三角函数的定义：
sinα＝y＝；
cosα＝x＝；
y= 。
tanα＝
x
【小试身手、轻松过关】
4、=
2205sin （ ） A ．21 B ．21- C ．22 D ．2
2- 5、⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-341cos 647tan ππ的值为 （ ） A ．21 B ．21- C ．23 D ．6
3 6、若π
4 <θ < π2
，则下列不等式中成立的是 （ ） A ．sin θ>cos θ>tan θ B ．cos θ>tan θ>sin θ
C ． tan θ>sin θ>cos θ
D ．sin θ>tan θ>cos θ
7、sin （－1770°）·cos1500°＋cos （－690°）·sin780°＋tan405°= ．
【基础训练、锋芒初显】
8、角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么α的值为（ ）
A ．π4
B ．3π4
C ．7π4
D ．3π4 或 7π4
9、若0<α<2π，且sin α<2
3 , cos α> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是（ ） A ．（－π３ ，π３ ） B ．（0，π３ ） C ．（5π３ ，2π） D ．（0，π３ ）∪（5π３
，2π） 10、依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sin π6 =sin 7π6 ；②cos （－π4 ）=cos π4 ；③tan π8 >tan 3π8 ；④sin 3π5 >sin 4π5 ． 其中判断正确的有 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11、4
25sin 2)311tan()415(cos 42πππ+--
的值为 （ ） A ．1
B ．13-
C ．12-
D ．()122- 12、化简：2222222425131117cos 3tan sin 9336233
cos 4
m n n m ππππ+--= ． 13、若－2π３
≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是 ． 14、若∣cos α∣＜∣sin α∣，则∈α ．
15、试作出角α=
7π6
正弦线、余弦线、正切线．
【举一反三、能力拓展】
16、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．
⑴ sin x ≥22；⑵ cos x ≤ 12 ；⑶ tan x ≥－1 ；（4）21sin ->x 且21cos >x ．
【名师小结、感悟反思】
1、用三角函数线可以解三角不等式、求函数定义域以及比较三角函数值的大小, 三角函数线也是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具；
2、熟记特殊角的三角函数值。