《立体几何初步》测试题及答案

《立体几何初步》测试题及答案

《立体几何初步》测试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）

1. 在空间四点中，无三点共线是四点共面的是（ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件 2. 若a ∥b ，A c b =⋂，则c a ,的位置关系是（ ）

A.异面直线

B.相交直线

C.平行直线

D.相交直线或异面直线

3．圆锥的侧面展开图是直径为a 的半圆面，那么此圆锥的轴截面是 （ ）

A ．等边三角形

B ．等腰直角三角形

C ．顶角为30°的等腰三角形

D ．其他等腰三角形

4. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是 一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边 长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（ ）

A 48

B 64

C 96

D 192

5. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8

个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）

A ．25π

B ．50π

C ．125π

D ．都不对

6. 已知正方体外接球的体积是32

3π，那么正方体的棱长等于 （ ）

A 22 B

233 C 42

3

D 433

7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n

B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m

17.（10分）如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC

18.（10分）在长方体1

1

1

1D C B A ABCD -中，已知3,41===DD DC DA ，求异面直线B A 1与C B 1

所成角的余弦值 。.

P A

B

C

P

E

D

C

B

A

19.

（12分）在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，

AB ∥CD ，AB=

2

1

DC ，中点为PD E . (1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)求证：AE ⊥平面PDC.

20.

（14分）如图，P 为ABC ∆所在平面外一点，⊥

PA 平面ABC ，︒=∠90ABC ，PB AE ⊥于E ，PC AF ⊥于F 求证：（1）⊥BC 平面PAB ；

（2）⊥AE 平面PBC ； （3）⊥PC 平面AEF ．

F

E

P

C

B

A

21. （14分）已知△BCD 中，∠BCD =90°，

BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ， ∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD

上

的动点，且(01).AE AF

AC AD

λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面

BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？

F

E

D

B

A

C

《立体几何初步》测试题参考答案

1-5 DDABB 6-10 DCBCD 11. 矩形 8 12. 25

13. 平行或在平面内；

14. 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 设棱长是a

3232,322

a a a r r a r r r r ==

===内切球内切球外接球外接球内切球外接球，，：： 15. 4 16. （1）（2）（4）

17. 证明：过A 作AD ⊥PB 于D ，由平面PAB ⊥平面PBC ，得AD ⊥平面PBC ，故

AD ⊥BC ，

又BC ⊥PA ，故BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AB

18. 连接D A 1， D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. 连接BD ，在△DB A 1中，24,511===BD D A B A ，

则D A B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠25

9

552322525=

⋅⋅-+=. 19.(1)证明:取PC 的中点M,连接EM,则EM ∥CD ，EM=

2

1

DC,所以有EM ∥AB 且EM=AB,则四边形ABME 是平行四边形.所以AE ∥BM,因为AE 不在平面PBC 内,所以AE ∥平面PBC.

(2) 因为AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD,所以CD ⊥平面PBC ，CD ⊥BM.由(1)得,BM ⊥PC,所以BM ⊥平面PDC ，又AE ∥BM,所以AE ⊥平面PDC.

20.证明:(1)∵⊥PA 平面ABC ，∴BC PA ⊥，∵︒=∠90ABC ，∴BC AB ⊥， 又A AB PA = ∴⊥BC 平面PAB .

(2)∵⊥BC 平面PAB 且⊂AE 平面PAB ，∴AE BC ⊥，又∵AE PB ⊥，且

B PB B

C = ，∴⊥AE 平面PBC .

(3)∵⊥AE 平面PBC ，∴PC AE ⊥，又∵PC AF ⊥，且A AF AE = ，∴⊥PC 平面AEF ．

21. 证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，