可解三角形与需解三角形

“可解三角形”与“需解三角形”

江苏宜兴市丁蜀高级中学 汤文兵

解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．致于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量。但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这个概念，则情形就不一样了。

所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形。当一个题目的图形中三角个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和 “需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理的选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况。

“可解三角形” 和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间。一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底。分析问题的思路也从“试试看”、“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”的去挖掘，去探究。下面通过例题分析说明之。

例1 已知：梯形ABCD 中，CD=2，AC=19 , ∠BAD=60°，求梯形的高。

分析：如图1，过D 作DE ⊥AB ，D 为垂足，则DE 为所求之高。由

∠BAD=60°知∠ADC=120°，又边CD 和AC 长已知，故△ADC 为已知“边边角”的可解三角形。Rt △DAE 就为需解三角形。易知需先求AD 之长，这只需在△ADC 中应用余弦定理即可。

解：在△ADC 中，由∠BAD=60°得∠ADC=120°，在△ADC 中由余弦定理，AC 2

=AD 2

+DC 2

－2AD ·DCcos ∠ADC ，将CD=2、

AC= 19， 代入整理得：AD 2

+2AD －15=0，故AD=3，故DE=ADsin60°=

32

3

。

例2已知，圆内接四边形ABCD ，∠DAB=60°，∠ABC=75°，边AB=2、DC=1，求边AD 、BC 、对角线AC 长。 分析：如图2，按条件，找不到可解三角形，但已知条件中的 ∠DAB=

60°，AB=2，∠ABC=75°却给我们以“角边角”的形象，于是延长AD 、BC 交于点E ，则△AEB 构成已知“角边角”的可解三角形，此时需解三角形为△AEC ，在△AEB 中用正弦定理可求得AE 和BE ，再由△EBA ∽△EDC ，可得ED=2

1

EB ，EC=

2

1

EA ，这样△AEC 又构成已知“边角边”的可解三角形，再由余弦定理可求得AC 之长。 A

B

C

D E 图

1

图2

例3 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=AD=4，求四边形ABCD 的面积。（2001年全国高考

数学文科第19题）

分析：该四边形并非特殊四边形，需连对角线BD 分割成两个三角形。但这两个三角形不可解，然而若BD 能求出，则△ABD 和△BCD 又都是可解三角形了，同时这两个三角形也是需解三角形。故可设BD=x ，在△ABD 和△BCD 中，从角A 和角C 入手，建立等式，解出x 。

解：如图3，连接BD ，并设BD=x ，则S 四边形ABCD = S △ABD + S △BCD =

21AB ·ADsinA+2

1

BC ·CDsinC ，由A+C=180°知，sinA =sinC ，故S 四边形ABCD =16 sinA 。由余弦定理，在△ABD 中，cosA=162022222x ABAD BD AD AB -=-+，同理，在△BCD 中，cosC=48522x -, 又cosA=－ cosC ，故16202x -= －48

522

x -，

解之

x 2

=28，从而cosA=－2

1

，故S 四边形ABCD =16 sinA=183。

例4 设 P 是正方形ABCD 内的一点，点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1、2、3， 求正方形的边长。 分析：从条件看，图中没有一个三角形是可解的，但一旦正方形边长确定后，△ABP 和△PBC 又都是可解三角形了，同时这两个三角形也是需解三角形。若设边长为x ，则在 △ABP 和△BPC 中，从角入手，建立等式，便可解出x 。

解：设正方形边长为x （1﹤x ﹤3），设∠ABP=α，则∠CBP=90°-α，

在△ABP 中cos ∠ABP=x 43

x x 412x 2222+=-+ ⑴

在△CBP 中cos ∠CBP= x

45

x x 432x 2222-=-+ ⑵

⑴2

+⑵2

得 （x x 432+ ）2+（x

x 452- ）2=cos 2α+sin 2

α=1

解之，x= 225+，即正方形边长为225+ 。

注：上两例表明，当题中条件较少或不具可解三角形时，引进末知数以增加条件，这是一种常用的解题技巧，更是方程思想的积极运用。

A

B

C

D

P

图

4

B

图3

此外，从广义的角度理解，当一个三角形三边之比或一已知角的二边之比确定时，也可认为它是一个可解三角形。与此类似，面积、高、中线、角平分线等也可视为三角形可解的一个元素。 例5 扇形的半径为R ，中心角AOD=2（0﹤α﹤2

π

），内接矩形ABCD 的顶点B 、C 在弧上，OF ⊥BC 交于F ，求内接矩形ABCD 的最大面积。

分析：由题意，要建立矩形ABCD 面积的一个目标函数，故需

引进一个变量 。注意到矩形ABCD 的面积随点B 位置的变化而变化，设∠BOF = x ，则由∠AOF =2

1

∠AOD=α知，∠OAB=π-α，这样△OAB 和△OBF 就都可解了，在△OAB 中，由正弦定理，

OAB

sin OB

AOB sin AB ∠=

∠ ， ∴AB =α

-αsin )x sin(R ,在△OBF 中，BC = 2BF = 2Rsinx ，故S

四边形ABCD = BC ·AB=

α-α⋅sin )x sin(x sin R 22= α

sin R 2

〔cos （2x －α）－ cos α〕，

故当x = 2α 时，S 四边形ABCD 取到最大值为αsin R 2（1－ cos α）= R 2

tg 2

α。

例6 直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，直线l 交AB 于M ，交BC 于N ，△BMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求线段MN 的最小值。

分析：由已知，△ABC 为可解三角形，△BMN 为需解三角形，且S △BMN =

2

1

S △ABC = 3，因在△BMN 中，只知它的面积及角B 的三角函数值，为了求出MN 的目标函数，设BM= x ，BN= y,则由余弦定理：

MN 2

= x 2

+ y 2

－2xycosB,又S △BMN =

2

1

xysinB=3,故xy = 10, 从而MN 2

= x 2

+ y 2

－16 ≧ 2xy －16=20－16 = 4。

故当x = y 时，线段MN 的最小值为2。

A

B

C

M

N x

y 图6D

O A

B C F 图5