复变函数与积分变换-拉普拉斯变换

0

s2
k
k2
,
(Re(s) 0)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三.存在定理——
若函数 f (t) 满足下列条件：
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
Ⅱ 当 t 时, f (t) 的增长速度不超过某一指数函 数,亦即存在常数 M 0, C 0 ,使得
Complex Analysis and Integral Transform
解：（1） L[ f (t)] (t) cost u(t) sin te-stdt 0
(t)coste-stdt u(t) sin te-stdt
0
0



复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
F(s) 叫做 f (t) 的象函数. f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换或象原函数,记为
f (t) = ℒ 1 F(s)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
8.1 拉普拉斯变换的概念
一.定义
设函数 f (t) 当 t 0 有定义,而且积分
f (t) estdt (s 是一个复参量） 0
在 s 的某一域内收敛,则由此积分所确定的函
数 F(s) 0
f (t) estdt
称为
f (t)
的拉普拉斯变换式
（简称拉氏变换）记为 F (s) ℒ f (t) 或 L[ f (t)]
(t
)c
oste-st
dt

sin te-stdt

0

c oste-st
t 0

e-st ( sin t s2 1

cost)
0

1
s2
1 s2 1 s2 1
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Complex Analysis and Integral Transform
第8章 拉普拉斯变换
复习、引入 6.1 拉普拉斯变换的概念 6.2 拉普拉斯变换的基本性质 6.3 拉普拉斯逆变换 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.4 卷积 6.5 拉普拉斯变换的应用
复变函数与积分变换
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二.求法举例
例1 求下列函数的拉普拉斯变换
(1)
u(t )

0, 1,
t0 t0
; (2) f (t) ekt ; (3) f (t) sin kt
复变函数与积分变换
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解：(1)
L[u(t)] u(t)estdt estdt 1 est
f t Mec t 0 t 成立(满足此条件的函
数，称它的增大是指数级的，c为它的增长指数).
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则 f (t)的拉氏变换 F(s) f (t)estdt 0
在半平面 Res >C上一定存在.此时右端的积分在



(t)est dt



(t
)e
st
dt
0-

est t0 1
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课堂练习
求下列函数的拉普拉斯变换 (1) f (t) δ(t) cos t u(t)sin t
复变函数与积分变换
（2）
L[ekt ] ektestdt e(s-k )tdt 1
0
0
sk
( Re(s) k) Re(s - k) 0
（3） L[sin kt] sin ktestdt 0
两次分部积分


e st s2 k
2
(sin
kt

k
coskt)
0
0
s0
令s α βi, est et-βti et ( cos βt i sin βt)
当Re (s) α 0，et 0(t )，lim est 0 t
模有界
故L[u(t)] 1 s
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Re(s) c1 c 上绝对收敛而且一致收敛.并且在半
平面 Res > C内，F s 为解析函数。
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例2 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换。
解：
L[ (t)] (t)estdt 0