华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

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第七章 多元函数微分学

作业1 多元函数

1.填空题

(1)已知函数22,y f x y x y x ⎛

⎫+=- ⎪⎝⎭,则(),f x y =()()

222

11x y y -+; (2)49

arcsin

222

2-+++=y x y x z 的定义域是(){}

22,49x y x y ≤+≤; (3))]ln(ln[x y x z -=的定义域是

(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+;

(4)函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0,

0,sin ),(x y x x xy

y x f 的连续范围是 全平面 ;

(5)函数2222y x z y x

+=-在2

2y x =处间断.

2.求下列极限

(1

)00

x y →→;

解:0000

1

6x t t y →→→→===-

(2)2

2

()

lim (e

x y x y x y -+→+∞→+∞

+).

解:3

y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y

x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞

→+∞

⎡⎤+=+-⎣

⎦)) 由于1lim e lim lim 0t

t t t t t t t e e

-→+∞→+∞→+∞===,2222lim e lim lim lim 0t

t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====,

故22()

2()lim (e

lim (e 20x y x y x y

x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞

→+∞→+∞

→+∞

⎡⎤+=+-=⎣⎦)) 3.讨论极限2630

0lim y x y

x y x +→→是否存在.

解:沿着曲线()()3

,,0,0y kx x y =→,有3

36626262000

lim lim 1x x y kx x y kx k

x y x k x k →→=→==+++因k 而异,从而极限26

30

0lim y x y

x y x +→→不存在

4.证明⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222

22

2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y

都连续,但作为二元函数在点)0,0(却不连续.

解:由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡

从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续,但沿着曲线

()(),,0,0y kx x y =→,有22

22222000

222lim lim 1x x y kx xy kx k

x y x k x k →→=→==+++因k 而异, 从而极限()0

lim ,x y f x y →→不存在,故作为二元函数在点)0,0(却不连续.

作业2 偏导数

1.填空题

(1)设22),(y x y x y x f +-

+=,则=

)4,3(x f 25

; (2)(3)设(),ln 2y f x y x x ⎛

⎫=+

⎪⎝⎭,则1

x y f y

==∂=

∂12

; (3)设2

sin x u xz y =+,则42u

x y z

∂=∂∂∂ 0 ;

(4)曲线22

:44

x y z y ⎧+=

⎪Γ⎨⎪=⎩

在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π.

2.设2

e x

y

u =, 证明 02=∂∂+∂∂y

u y x u x

. 证:因为2223

12,x

x

y y

u u

x e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x x

y y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y

∂∂--+=+=+=∂∂

3. 设x

y

z ln =,求22x z ∂∂,y

x z

∂∂∂2.

解:ln ln x y

z e

⋅=,

从而2

2

2ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭

2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy

⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂

4.设y x z u arctan =, 证明 02

22222=∂∂+∂∂+∂∂z u

y u x u .

解:因为()()22222222222

1

1022,1u

yz u yz x xyz

z x

y x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅

⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭

()()2222222222221

022,1u x xz u xz y xyz

z y

y x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪

⎝⎭

22arctan ,0,u x u

z y x

∂∂==∂∂ 所以()()

2222222222222200u u u xyz xyz

x y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5.设函数()()222

1sin ,

0,0,

x x y x f x y x

x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.

(1)试求(),f x y 的偏导函数; 解:当()(

)()3

2

2

2

221

11

0,,42sin cos x x f x y x xy

x x y x

x x

-≠=+++⋅

()21,2sin y f x y x y x =,()()()322211

,42sin cos x f x y x xy x y x x

=+-+

当()()()

()222

001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x

→→+--≠===-

()()()0

00,0,00

0,lim

lim 00

y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆,

()()()322211

,42sin cos x f x y x xy x y x x

=+-+

(2)考察偏导函数在()0,3点处是否连续.

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