2010年全国数学建模A题答案

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测

量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。需要定期对罐容表进行重新标定。在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。

第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为：

abl v b h v b h v b h V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---+=arcsin )(12

2'

π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精

度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件

(1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式：

408.5976-H 395.774852.5322H

-13.2498H 1.1361H

- 0.0320H 2

34

5

++=椭变V

进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下：

第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用

最小二乘拟合确定变位参数α、β。(3)利用已给数据求得表达式：

ααηtan 2tan 10++-=+h R z ，继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值：

利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。

关键词：储油罐 罐容表 变位 契比雪夫公式 等效高度 最小二乘拟合

加油站一般都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且也都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。储油罐的主体为圆柱体，两端为球冠体。

用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用的小椭圆型储油罐（两端

α的纵向变位两种情况平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 1.4

=

做了实验，实验数据已给出。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（已给出），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用已给出的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题的分析

综述，该题要解决的问题是储油罐的变位识别和罐容表的标定。显然这是几何求解的应用问题。可以通过所学过知识求解。

对于问题一，题目中给出一个小椭圆型的平头油罐的模型和纵向的倾斜角的值，并且也给出了对这个罐体无变位和有纵向变位两种情况的实验数据，所以我们可以把这个问题分成两部分来解决，首先解决当罐体无变位时罐中储油量与油液面高度的关系，其次解决当罐体发生倾斜时罐体中油的储油量随油液面高度的变化。然后对这两种情况求出的结果进行比较，判断出油罐变位后对罐容表的影响。最后重新确定变位后罐容表的标定值。分析发现当油罐无变位时，问题比较好解决，我们可以利用积分的方法求出罐中的储油量和油液面高度的关系。当油罐变位时，首先要选好坐标系，确定倾斜后液面高度是怎样变化的。也是通过积分的方法进行求解，但是我们也可以寻找一点，可以把它等效成无变位的情况去解决。

对于问题二，给的是一个实际储油罐，其主体为圆柱体，两端为球冠体。该问题主要是要解决罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。对这个问题可以看成两部分求解。首先也是要选好坐标系，确定好油面高度和变为参数的关系，分别求解主体圆柱体和两端球冠体中的储油量和油位高度的关系。建立出一定的数学模型，然后通过题目给出的数据，确定数据的可用性求出模型中的变位参数。最后通过误差分析检验模型的正确性和方法的可靠性。

1、忽略油罐中温度，压强对储油量的影响；

2、假设油罐的形状是规则的；

3、假设储容表的读数是无读数上的技术误差；

4、假设油罐变位的角度不会太大；

5、假设罐中的油分布均匀；

6、假设油罐不会因为出油的变化而发生位置变化；

四、模型的建立与求解

Ⅰ问题一：

对于本问题，首先可以把它分解成两个问题来考虑，第一个问题是确定小椭圆型储油罐没有变位时储油量与油面高度的关系，利用解析几何的方法确定标高和油量之间的关系。第二个问题确定油体容量和标高及变位角之间的关系，利用等效体积替换的思想把它转化为上一问中未变位的问题进行求解。同时我们分析发现变位数据的油高不是真实值，所以考虑利用已有读数寻求真值。依据上述思想分别对这两个小问题建立合理的模型。

㈠ 无变位时：

小椭圆型储油罐的横截面很明显是一个标准的椭圆，首先建立合适的坐标系，并且椭圆的图形如图1:

1、符号声明： a---------------------椭圆罐横截椭圆面的半长轴

b---------------------椭圆罐横截椭圆面的半长轴 h---------------------无变位椭圆油罐中的油位高度

面积

无变位时椭圆的横切面椭-------------S

l ---------------------小椭圆油罐的母线长

2R -----------------------方差和