特征向量的几何意义
矩阵的特征值与特征向量的几何意义
矩阵的特征值与特征向量的几何意义1、矩阵乘法的几何意义矩阵乘法的几何意义就是对一个向量进行一定的变化，变成一个新的向量。
在变化过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。
如果矩阵对某些向量只发生伸缩变化的话，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
例如，这个矩阵的线性变化形式如下（）如果矩阵不是对称的，如，则该矩阵描述的变换如下：这其实相当于在平面对一个轴做拉伸变化，图中的蓝色箭头就是最主要的变化方向。
变化的方向可能不止一个，但只需要描述好这个变换的最主要的变换方向就好了。
2、特征值分解与特征向量设A为一个方阵，v为一个非零列向量，若，则称λ为A的特征值，v为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
特征值分解：将矩阵A分解为如下形式：。
Q为矩阵A的特征向量v组成的矩阵（一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基），∑为一个对角阵，主对角线上的元素为A的特征值从小到大排列。
这些特征值所对应的特征向量用来描述矩阵A的变换方向，从最主要的变换到最次要的变换排列。
也就是说，一个矩阵的信息可由其特征值和特征向量来描述。
对于矩阵为高维的情况下，那么这个矩阵就是高维空间下的一个线性变换。
可以想象，这个变换也同样有很多的变换方向，我们通过特征值分解得到的前N 个特征向量，那么就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。
我们利用这前N 个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。
总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么。
不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。
在机器学习的特征提取中，对应特征值越大的特征向量包含的信息越多。
若果某特征向量对应的特征值很小，就可以把它去掉（降维），只保留特征值大的方向的信息，这样就可以减少数据量，PCA降维就是应用了这一原理。
特征值与特征向量
的概念.
定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个
线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一
个非零向量 ，使得
A = 0 .
那么 0 称为 A 的一个特征值，而 称为 A 的属 于特征值 0 的一个特征向量.
这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,
换在这组基下矩阵的特征多项式的根. 随着基的不 同，线性变换的矩阵一般是不同的. 但是这些矩阵 是相似的。
的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则
(1) 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ; (2) 12 …n = |A|.
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多
项式
a11
a21 E A an1
a12 an 2
于 0 的特征向量 . 因为从 A = 0 可以推出
A (k ) = 0 (k ) . 这说明特征向量不是被特征值唯一决定的. 相反， 特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特 征向量只能属于一个特征值.
三、求法
设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , … ,
上式可进一步变形成
x01 x02 (0 E A) 0. x 0n
这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , … , x0n ) 满足 齐次方程组 ( 0E - A ) X = 0 . 由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , … , x0n 不全为
它的特征多项式为
sin . cos
cos sin 2 2 cos 1 . sin cos
一特征值与特征向量
设 A Pnn , f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
f ( A) An (a a a )An1 (1)n A E 0.
11
22
nn
证: 设 B( )是 E A 的伴随矩阵，则
零矩阵
B( )( E A) E A E f ( )E 又B( )的元素是 E A 的各个代数余子式，它们
a a ... a
11
12
1n
E A
a 21 ...
a ... 22 ...
a 2n
fA( )
a a ... a
n1
n2
nn
称为A的特征多项式.
（ fA( )是数域P上的一个n次多项式）
注：① 若矩阵A是线性变换 A 关于V的一组基的矩阵，
而0是 A 的一个特征值，则0是特征多项式 fA( ) 的根，即 f A(0 ) 0.
A
在基
1
,
2
,
3
下的矩阵是
1 2 2
A
2 2
1 2
2 1
,
求 A 特征值与特征向量.
解：A的特征多项式
1 2 2 E A 2 1 2 ( 1)2( 5)
2 2 1
故 A 的特征值为： 1 1（二重）, 2 5
把 1 代入齐次方程组 ( E A)X 0, 得
2 2
（1） kA (k P) 必有一个特征值为 k ;
（2） Am (m Z ) 必有一个特征值为 m ;
（3）A可逆时，A1必有一个特征值为 （4）A可逆时，A* 必有一个特征值为
1 ;
A
.
（5） f ( x) P[ x], 则 f ( A)必有一个特征值为 f ( ) .
方阵的特征值与特征向量
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练习题3: P143 判断下列命题是否正确．
(1) 如果 i 是方阵 A 的特征值，则 i 对应的特征
向量构成的集合 N(i E A) {x | (i E A)x 0};
(错)
(2) 方阵 A 的任何一个特征值一定对应无穷多个特征向量;
(对)
(3) 由于方阵 A 和 AT有一样的特征值, 故他们也有一样的
再由Ax x可得
x A1 Ax A1 x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
的特征向量.
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下证： Ax A x.
当A可逆时, 即 A 0时,
由 12 n A，知 0， 再由Ax x可得
A x A Ix AAx Ax A x
分别对应于 k , m , 1, 1 A 的特征向量。
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证明 2 Ax x
AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x 故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
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3当A可逆时, 由 12 n A，知 0，
1 1 1
2.
设A
2 1
2 1
21
求 A 的特征值与特征向量.
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感谢您的欣赏
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当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
矩阵特征值分解与奇异值分解
奇异值分解
分解形式：
（矩阵论P114）
假设A是一个N * M的矩阵，那么得到的U是一个M * M的方阵 （称为左奇异向量），Σ是一个N * M的矩阵（除了对角线的元素都是0， 对角线上的元素称为奇异值），V’(V的转置)是一个N * N的矩阵（称 为右奇异向量），从图片来反映几个相乘的矩阵的大小可得下面的图片。
奇异值与主成分分析（PCA）：
即要得到下面的式子：
这样就从一个m行的矩阵压缩到一个r行的矩阵了，对SVD来说 也是一样的，我们对SVD分解的式子两边乘以U的转置U‘：
可以看出，其实PCA几乎可以说是对SVD的一个包装，如果我们 实现了SVD，那也就实现了PCA了，而且更好的地方是，有了SVD， 我们就可以得到两个方向的PCA，如果我们对A进行特征值的分解， 只能得到一个方向的PCA。
奇异值与主成分分析（PCA）：
假设矩阵每一行表示一个样本，每一列表示一个特征，用矩阵的 语言来表示，将一个m * n的矩阵A的进行坐标轴的变化，P就是一 个变换的矩阵从一个N维的空间变换到另一个N维的空间，在空间中 就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化。
将一个m * n的矩阵A变换成一个m * r的矩阵，这样就会使得本 来有n个特征，变成了有r个特征了（r < n)，这r个其实就是对n个 特征的一种提炼，我们就把这个称为特征的压缩。用数学语言表示 就是：
总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量， 特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示 这个特征是什么。不过，特征值分解也有很多的局限，比 如说变换的矩阵必须是方阵。
奇异值分解
特征值分解是一个提取矩阵特征很不错的方法，但 是它只是对方阵而言的，在现实的世界中，我们看到的 大部分矩阵都不是方阵，比如说有N个学生，每个学生 有M科成绩，这样形成的一个N * M的矩阵就不可能是 方阵，我们怎样才能描述这样普通的矩阵呢的重要特征 呢？奇异值分解可以用来干这个事情，奇异值分解是一 个能适用于任意的矩阵的一种分解的方法：
矩阵特征值和特征向量的几何意义汇总
矩阵特征值和特征向量的几何意义（---by 小马哥整理）从定义来理解特征向量的话，就是经过一个矩阵变换后，空间沿着特征向量的方向上相当于只发生了缩放，比如我们考虑下面的矩阵：A=1.50.50.51.0⎡⎤⎢⎥⎣⎦求这个变换的特征向量和特征值，分别是：0.850.530.530.85U -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(列向量特征值为：1λ=1.81，2λ=0.69 注意，这里U 是正交矩阵，根据正交矩阵的性质，我们有1T U U -=。
用一个形象的例子来说明一下几何意义，我们考虑下面笑脸图案：图1.1为方便演示笑脸图案在[0,0]和[1,1]围起来的单位正方形里，同时也用两个箭头标出来了特征向量的方向。
经过矩阵A=1.50.50.51.0⎡⎤⎢⎥⎣⎦的变换，也就是用这个图案中的每个点的坐标和这个矩阵做乘法，得到下面图案：图1.1可以看到就是沿着两个正交的，特征向量的方向进行了缩放。
根据特征向量的定义，我们知道1U AU -=Λ，也即，T U AU =Λ，那么：TA U U =Λ假设我们把笑脸图案也看作某一个矩阵C ，那么，矩阵A*C，即把矩阵A 作用于C ，可以理解为：TU U C Λ我们从这个式子就可以看出来，A 矩阵是从旋转和沿轴缩放的角度来作用于C ，分成三步：第一步，把特征向量所指的方向分别转到横轴和纵轴，这一步相当于用U 的转置，也就是T U 进行了变换图1.2第二步，然后把特征值作为缩放倍数，构造一个缩放矩阵1.810.69⎡⎤⎢⎥⎣⎦，矩阵分别沿着横轴和纵轴进行缩放：图1.3 第三步，很自然地，接下来只要把这个图案转回去，也就是直接乘U 就可以了图1.4所以，从旋转和缩放的角度，一个矩阵变换就是，旋转-->沿坐标轴缩放-->转回来，的三步操作。
多提一句，这里给的是个(半正定矩阵的例子，对于不镇定的矩阵，也是能分解为，旋转-->沿坐标轴缩放-->旋转，的三步的，只不过最后一步和第一步的两个旋转不是转回去的关系了，表达如下：TT U V=∑这个就是SVD 分解，就不详细说了。
特征向量的几何意义
特征向量的几何意义特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在很多领域中都被广泛应用。
特征向量的几何意义可以从不同的角度来理解，下面将从线性变换、空间映射和特征值的角度来分别阐述。
首先，特征向量的几何意义可以通过线性变换来理解。
对于一个线性变换矩阵A，如果存在一个非零向量v使得Av=λv，其中λ是一个常数，那么v就是矩阵A的特征向量，λ称为特征值。
特征向量表示了在变换过程中不被改变方向的向量，也就是说经过线性变换后，特征向量仅仅是被缩放了一个倍数。
这意味着特征向量在变换过程中依然保持原来的方向不变，只是长度或者尺度发生了改变。
因此，特征向量可以用来描述线性变换的变化规律，它们的方向可能与变换前后的向量方向相同或者相反，但是不会发生转向。
其次，特征向量的几何意义可以从空间映射的角度来理解。
对于一个n维向量空间，线性变换矩阵A将空间中的每个向量都映射到另一个向量空间中。
特征向量就是在这个映射过程中保持不变的向量。
具体来说，特征向量v在线性变换矩阵A的作用下仍然是自己的倍数，即Av=λv，其中λ是特征向量所对应的特征值。
特征向量可以看作是空间映射中的“基准向量”，在映射过程中保持不变的方向。
通过分析特征向量，可以对线性变换矩阵的映射性质进行深入理解和研究。
最后，特征向量的几何意义可以通过特征值来理解。
特征值是特征向量所对应的标量，它表示了特征向量在线性变换中的“重要性”或者“影响力”。
特征值越大，表示特征向量在变换中的影响越大；特征值越小，表示特征向量在变换中的影响越小。
特征值为0的特征向量则表示变换过程中不发生任何变化，即线性变换是退化的或者可以看作是单位变换。
特征值和特征向量之间的对应关系可以帮助我们理解线性变换对空间内向量的影响程度，从而在实际问题中进行分析、预测和优化等应用。
综上所述，特征向量的几何意义可以从多个角度来理解。
特征向量描述了在线性变换中方向保持不变的向量，也是空间映射中的基准向量，在分析变换性质和预测影响力方面具有重要作用。
特征向量的几何含义
特征向量的几何含义特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
特征向量的几何含义涉及到向量空间的基础性概念，下面我们将从几何的角度来解释特征向量的含义。
我们需要了解特征向量的定义。
在线性代数中，给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，那么v称为A的特征向量，λ称为对应的特征值。
特征向量和特征值通常以矩阵的形式表示。
特征向量的几何含义可以通过以下几个方面来解释。
1. 方向：特征向量表示了矩阵A对应特定方向上的拉伸或压缩。
特征向量的方向指示了矩阵变换后向量的方向，即变换前后向量的方向保持一致。
2. 拉伸比例：特征值表示了矩阵A对应特定方向上的拉伸或压缩比例。
特征值的绝对值越大，表示在对应的特征向量方向上，变换的拉伸或压缩效果越明显。
3. 不变性：特征向量是经过矩阵A变换后仍保持方向不变的向量。
即使经过矩阵A的线性变换，特征向量在方向上仍然保持不变。
4. 线性无关性：特征向量之间线性无关，意味着它们在空间中张成了一个线性无关的子空间。
特征向量的线性组合可以表示空间中的任意向量。
特征向量的几何含义在很多实际应用中都有着重要的作用。
在计算机图形学中，特征向量可以用于图像处理、图像压缩和模式识别等领域。
在物理学中，特征向量可以用于描述量子力学中的态矢量和角动量等物理量。
在工程学中，特征向量可以用于特征提取、信号处理和控制系统等领域。
特征向量的几何含义涉及到向量空间的方向、拉伸比例、不变性和线性无关性等概念。
特征向量在数学和应用领域中都有广泛的应用，它们是描述矩阵变换的重要工具。
通过理解特征向量的几何含义，我们可以更好地理解和应用线性代数中的概念和方法。
矩阵的特征向量与特征值的几何意义
矩阵的特征向量与特征值的几何意义我们都知道说到矩阵的特征向量和特征值的时候，都会提到Ax=λx这个式子，也就是众所周知的特征值方程。
下面就从这里展开，来解释一下特征向量和特征值的几何意义。
首先允许我介绍一下特征值方程（Ap=λp为了后面表述的更好理解一些，暂且使用p吧）中的各项：A是一个矩阵，也可以说是一个变换阵；p是一个向量（暂且说成是一个吧），比如说是二维空间的一个向量p，其坐标为（x，y）；λ是一个标量，暂且理解为一个实数好了。
接下来，分析他们之间的关系：Ap=λp的几何意义就是p这个向量通过A这个变换阵将其变为了λp（p向量乘了一个λ标量，依然是一个向量）这个向量；并且由于λ是标量，故作此变换之后并没有改变原来p向量的方向，只是在p向量原来的方向上对其拉伸了λ倍。
注意，此时我们的关注的焦点是p向量。
若我们转移我们所关注的焦点到A身上，从而也可以理解为p这个向量是对于A矩阵的一个很特别的向量（因为它可以限制A只能对它作拉伸变换，而不能对它作旋转变换，这个特性是相当有价值的），这里先称其为A的特征向量，至于为什么可以称为特征向量，后面慢慢的说明。
我们知道在Ap=λp中，存在的特征值不一定只有一个，并且用特征值和特征向量就可以唯一的表达出对应的矩阵，比如此例中若是存在两个特征值λ1和λ2，那么，A=λ1*p1+λ2* p2，其中p1、p2是对应的特征向量；前面说过矩阵可以称为变换阵，也就是说它可以将一个向量做拉伸或者旋转变换或者两种变换同时完成。
下面用几个图来说明一下：矩阵A对向量n变换之后。
求特征值和特征向量
求特征值和特征向量求特征值和特征向量是线性代数中的重要概念和操作。
在很多数学和工程问题中，需要通过求解特征值和特征向量来解决一系列相关的问题。
本文将详细介绍特征值和特征向量的定义、性质以及求解方法。
首先，我们来定义特征值和特征向量。
设A是一个n阶方阵。
如果存在一个非零向量x，使得Ax等于x的常数倍，即Ax=λx，其中λ是一个常数，那么我们称λ为矩阵A的一个特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特别地，如果λ是A的特征值，那么满足(A-λI)x=0的非零向量x称为属于特征值λ的零空间。
特征值和特征向量是矩阵A的一个固有性质，对于不同的特征值，对应的特征向量也是不同的。
接下来，我们来讨论特征值和特征向量的性质。
首先，特征值和特征向量一般是成对出现的，即对于矩阵A的一个特征值λ，一定存在对应的特征向量x。
特征向量的长度不影响其特征性质，即如果x 是特征向量，那么kx也是特征向量，其中k是一个非零常数。
特征值和特征向量具有重要的几何意义，特征向量决定了矩阵A的变换方向，特征值表示特定方向上的伸缩比例。
然后，我们来介绍求解特征值和特征向量的方法。
求解特征值和特征向量的常用方法有直接解特征方程和迭代法。
对于一个n阶矩阵A，要求解其特征值和特征向量，可以通过解特征方程det(A-λI)=0来得到特征值λ的值，其中I是n阶单位矩阵。
通过特征值，我们可以求出对应的特征向量。
特征向量的求解可以通过向量空间的方法，即解方程组(A-λI)x=0。
在实际计算中，我们可以利用数值计算软件来求解特征值和特征向量。
另外，对于特征值和特征向量的求解也可以通过迭代法来实现。
迭代法是一种基于数值计算的方法，通过迭代计算逼近矩阵的特征值和特征向量。
常见的迭代法有幂法、反幂法和QR方法。
幂法是一种基于逼近特征值和特征向量的迭代过程，通过不断迭代计算可以得到特征值和特征向量的逼近值。
反幂法和幂法类似，只是在每次迭代中求解矩阵的逆。
QR方法是一种通过矩阵的QR分解来求解特征值和特征向量的方法。
三维向量空间中线性变换的特征向量的几何意义
（ 湖 州 师 范 学 院 理 学 院 ，浙 江 湖 州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ）
摘
要： 利 用 代 数 方 法 给 出 了 三 维 向 量 空 间 中线 性 变 换 的特 征 向 量 的 几 何 意 义 ， 即研 究 了三 阶 实 矩 阵 或 三 阶 实 对
称 矩 阵 对 应 的 线 性 变 换 的特 征 向量 的几 何 意 义 ． 结果得 到 ： 非 对 称 矩 阵 的不 同 特 征 根 对 应 的特 征 向 量 是 线 性 无 关 的； 二 重 根 对 应 的线 性 无关 的 特 征 向 量 或 只 有 一 个 或 有 无 穷 多 个 ， 它与单 根对应 的特征 向量线性 无关 ； 三 重 根 对 应 的 线 性 无 关 的特 征 向量 只有 一 个 ． 对 称 矩 阵 的不 同 特 征 根 对 应 的特 征 向量 互 相 垂 直 ； 二 重 根 对 应 的 特 征 向 量 构 成 一个 平 面 ， 这 个 平 面 的 法 矢 量 就 是 单 根 对 应 的特 征 向 量 ； 三重根 对应 的特征 向量有无 穷多个 ， 即从 原 点 出发 的 任 意矢 量 都 是 三 重 根 对 应 的 特 征 向量 ． 关键词 ： 特 征 向量 ；矩 阵 ； 线性变换 ； 三 维 向量 空 间
Ｉ ｉ ］ ＝ ｃ ， ｚ Leabharlann ｓ ［ 三 ］ ． ｃ ９
即 。一
， 而点 Ｍ 的坐标 是 （ 。 ， ， 。 ） ， 属 于特征 根 的所 有 特征 向量 ｎ 。都 在 由点 （ ０ ， ０ ， ０ ） 和点（ ，
第 ｌ Ｏ期
纪永强 ： 三 维 向量 空 间 中 线性 变 换 的 特 征 向量 的 几 何 意 义
。
一
矩阵特征值的几何意义与方程特性的分析
矩阵特征值的几何意义与方程特性的分析矩阵是线性代数中广泛使用的基本工具。
其中，矩阵的特征值和特征向量是非常重要的概念，在多个领域有着广泛的应用。
特征值和特征向量是矩阵特有的性质，它们具有深刻的几何意义，并在许多实际问题的求解中起到了关键作用。
本文将介绍矩阵特征值和特征向量的定义、计算方法以及它们的几何意义和方程特性的分析。
1. 矩阵特征值和特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量是矩阵的一种本征性质，也是矩阵理论中最具代表性的概念之一。
设有一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得下面的式子成立：AX=λX其中，λ称为矩阵A的特征值，X称为矩阵A的特征向量。
换句话说，如果向量X被A矩阵作用后，只变化了一个常数λ的倍数，那么λ就是A的特征值，X就是A的特征向量。
需要注意的是，特征向量存在不唯一性，即如果一个向量X是A的特征向量，则kX(k为非零常数)也是A的特征向量，λ值不变。
2. 矩阵特征值和特征向量的计算方法计算矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的一个重要的课题，有多种方法可以用来计算。
其中，求解矩阵的特征值和特征向量，可以用代数补全、特征多项式和迭代法等多种方法。
代数补全法是一种古老的计算特征值和特征向量的方法，其基本思想是根据矩阵的性质构造代数方程式W(x)=0，其中W(x)是一个n阶多项式，方程的0根就是矩阵A的特征值，然后通过矩阵运算求出每个特征值对应的特征向量。
特征多项式法是一种简化代数补全法的计算方法，通过求矩阵W(A)的特征值，就可以求出矩阵A的特征值。
迭代法是求解特征值的一种数值方法。
它是一种逐步逼近的方法，通过不断迭代求解，寻找矩阵的特征值和对应的特征向量。
3. 矩阵特征值和特征向量的几何意义矩阵的特征值和特征向量具有深刻的几何意义，在计算机图形学、机器学习和信号处理等领域广泛应用。
几何意义一：特征向量表示变换方向。
矩阵的特征向量代表着变换方向。
当我们通过A作用于向量X 时，X会被变换到其特征向量的方向上，并且变换的大小是特征值λ。
特征值与特征向量的几何意义
特征值与特征向量的几何意义特征值（eigenvalue）是一个线性变换对应的方程的根。
在二维平面内，我们可以将线性变换看作是对向量的旋转和缩放。
特征值代表了旋转和缩放的程度，而特征向量表示了在这个变换下不变的方向。
假设有一个线性变换A，对应方程A*v=λ*v，其中A是一个n×n的矩阵，v是一个n维的非零向量，λ是一个标量。
v是A的特征向量，λ是v在变换A下的特征值。
这个方程可以进一步写作(A-λI)*v=0，其中I是单位矩阵。
这意味着矩阵(A-λI)对向量v的作用是将其压缩到零向量。
特征向量是在这个变换下保持不变的向量。
特征向量的几何意义是，线性变换A对应的特征向量沿着自己的方向不发生变化，只发生了长度的缩放。
特征值表示了特征向量的缩放比例。
当λ为正数时，特征向量的长度被放大；当λ为负数时，特征向量的长度被缩小；当λ为零时，特征向量的长度不变。
特征向量与特征值之间的关系可以通过线性代数的性质进行证明。
在几何意义上，特征值和特征向量可以帮助我们理解几何变换的变化情况。
例如，在二维平面上，一个线性变换可以将一个平行于特征向量的直线映射为平行于其对应特征向量的直线，并根据对应特征值的大小调整线段的长度。
如果特征值为正数，线段长度增加；如果特征值为负数，线段长度减小；如果特征值为零，则线段长度不变。
这是线性变换作用于特征向量的几何意义。
特征值和特征向量的重要性在于它们提供了一种将复杂的线性变换简化为对角形式（在特定坐标系下）的方法。
对角化是一种将矩阵的形式变为对角矩阵的过程，对角矩阵包含了特征值作为对角元素。
这种变换可以将线性变换的复杂度降低，使得计算和理解更加简单。
特征向量提供了一个由线性变换所定义的特定的坐标系，而特征值则提供了在这个坐标系下压缩或扩大每个坐标轴的尺度。
总结来说，特征值和特征向量的几何意义是用来描述线性变换对向量的旋转和缩放程度的。
特征向量是在这个变换下保持方向不变的向量，特征值则表示了特征向量的缩放比例。
特征值与特征向量及其应用
特征值与特征向量及其应⽤⼤学学习线性代数的时候，特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）⼀直不甚理解，尽管课本上说特征值和特征向量在⼯程技术领域有着⼴泛的应⽤，但是除了知道怎么求解特征值和特征向量之外，对其包含的现实意义知之甚少。
研究⽣之后学习统计学，在进⾏主成分分析过程中，需要求解变量的协⽅差矩阵的特征值和特征向量，并根据特征值的⼤⼩确定主成分，似乎知道了特征值和特征向量的⼀点点现实意义，但是本着考试为主的态度，没有深⼊进去理解特征值和特征向量。
最近看机器学习的⼀些⽅法，如特征降维⽅法如SVD和PCA，线性判别法（Linear Discriminant Analysis，LDA）等⽅法的时候都涉及到特征值和特征向量，发现如果不深⼊理解特征值和特征向量，对这些⽅法的学习只能浮于表⾯，难以透彻理解。
痛定思痛，决定由表及⾥好好的学习⼀下特征值和特征向量，本⽂的关于特征值和特征向量的理解和表述⼤量参考了⽹上的资料，仅作为本⼈学习笔记，谢绝转载。
⼀、特征值和特征向量的概念和计算先看⼀下教科书上的定义：设A是n阶⽅阵，如果存在常数及⾮零n向量x，使得，则称是矩阵A的特征值，x是A属于特征值的特征向量。
给定n阶矩阵A，⾏列式的结果是关于的⼀个多项式，成为矩阵A的特征多项式，该特征多项式构成的⽅程称为矩阵A的特征⽅程。
定理：n阶矩阵A的n个特征值就是其特征⽅程的n个跟；⽽A的属于特征值的特征向量就是其次线性⽅程的⾮零解。
例：求的特征根和特征向量 解：，解⼀元⼆次⽅程可得，； 对应的特征向量为x满⾜，求得 对应的特征向量为x满⾜，求得⼆、特征值和特征向量的⼏何意义1、矩阵、向量、向量的矩阵变换 在进⾏特征和特征向量的⼏何意义解释之前，我们先回顾⼀下向量、矩阵、向量矩阵变换的等相关知识。
向量有⾏向量和列向量，向量在⼏何上被解释成⼀系列与轴平⾏的位移，⼀般说来，任意向量v都能写成"扩展"形式： 以3维向量为例，定义p、q、r为指向+x，+y和+z⽅向的单位向量，则有v=xp+yq+zr。
三维向量空间中线性变换的特征向量的几何意义
三维向量空间中线性变换的特征向量的几何意义纪永强【期刊名称】《湖州师范学院学报》【年(卷),期】2014(000)010【摘要】利用代数方法给出了三维向量空间中线性变换的特征向量的几何意义，即研究了三阶实矩阵或三阶实对称矩阵对应的线性变换的特征向量的几何意义。
结果得到：非对称矩阵的不同特征根对应的特征向量是线性无关的；二重根对应的线性无关的特征向量或只有一个或有无穷多个，它与单根对应的特征向量线性无关；三重根对应的线性无关的特征向量只有一个。
对称矩阵的不同特征根对应的特征向量互相垂直；二重根对应的特征向量构成一个平面，这个平面的法矢量就是单根对应的特征向量；三重根对应的特征向量有无穷多个，即从原点出发的任意矢量都是三重根对应的特征向量。
%By using the algebraic method,we give the geometric meaning of feature vector of linear transformation in the three-dimensional vector space.We find that non symmetric matrix correspond-ing to different eigenvalues is linearly independent eigenvector;double root corresponding eigenvector or only one or multiple;the three characteristic root corresponding eigenvector only one.Distinct eigenval-ues of symmetric matrices corresponding eigenvectors are perpendicular to each other;double root fea-ture vectors corresponding to form a plane,a corresponding feature vector is the plane normal vector;the three characteristic root corresponding eigenvector is infinite,that is,any vector from the origin up is a corresponding feature vector of three roots.【总页数】7页(P1-7)【作者】纪永强【作者单位】湖州师范学院理学院，浙江湖州 313000【正文语种】中文【中图分类】O186.11【相关文献】1.矩阵与线性变换几何意义的教学探索 [J], 吴明月;李万东;汪波;曹富军2.三维内积空间中正交变换的特征向量的几何意义 [J], 纪永强3.平面上线性变换的特征向量的几何意义 [J], 纪永强4.启发式教学法在高等代数课堂教学中的应用r——以"线性变换特征值与特征向量"为例 [J], 化小会;王春5.线性变换的几何意义 [J], 雍龙泉;李翠霞;吴世良因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
特征值与特征向量的几何意义
特征值与特征向量的几何意义矩阵的特征值与特征向量的几何意义1.线性变换与矩阵的特征向量、特征值[1]线性变换是指一个n维列向量被左乘一个n阶矩阵后得到另一个n维列向量，它是同维向量空间中的把一个向量线性映射成了另一个向量。
即：Y=AX (Y, X∈R n A=(a ij)n×n)一个向量被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。
如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。
即，如果对于数λ，存在一个n维非零列向量X（即X ∈Rn 且X≠0），使得AX=λX则称数λ为矩阵A的一个特征值，X称为矩阵A对应于λ的特征向量。
在线性代数中，研究线性变换就是研究相应的矩阵A，矩阵A的特征向量和特征值是线性变换研究的重要内容。
2.矩阵的特征值与特征向量的几何意义[2]我们知道，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都不同的新向量。
在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。
如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
这里可以将特征值为负，特征向量旋转180度，也可看成方向不变，伸缩比为负值。
所以特征向量也叫线性不变量。
特征向量的不变性是它们变成了与其自身共线的向量，在它们所在的直线上在线性变换下保持不变；特征向量和它的变换后的向量们在同一条直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）。
实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。
物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。
特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。
对对称矩阵而言，可以求得的特征向量是正交的，就是把矩阵A 所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。
特征向量几何意义
特征向量几何意义
特征向量是线性代数中一种非常重要的概念，在很多数学领域都有广泛的应用。
在机
器学习和数据分析等数据科学领域中，特征向量在许多算法中都是必不可缺的一部分。
通
过对特征向量的分析和理解，可以帮助我们更深入地理解线性代数和数学建模的相关概念。
在此，我们将详细介绍特征向量的几何意义。
特征向量是指矩阵乘以向量后，结果依然是这个向量的线性无关向量。
具体来说，如
果对于一个矩阵A和非零向量v来说，存在一个常数λ，使得计算(A-λI)v后得到的向量与v平行，则v被称为A的特征向量，λ被称为特征值。
其中，I是单位矩阵，λI是相应的数量矩阵。
在几何学中，矩阵相当于对空间的拉伸、旋转和扭曲等变换。
特征向量就是这些变换
中不被改变方向的向量。
特征值与特征向量的组合可以表示出矩阵的各种变换方式和效
果。
特别地，对于对称矩阵来说，特征向量是正交的。
这意味着特征向量组成的向量空间
的基是正交的。
此外，一个对称矩阵可以被对角化，也就是说，它可以化成一个对角矩阵，对角线上的值即为特征值，而对应的特征向量组成的矩阵就是对称矩阵的特征向量矩阵。
这个变化称为特征分解（eigen-decomposition）。
在机器学习中，特征向量也是非常重要的概念。
在数据挖掘中，我们通常需要将大量
的数据进行降维，以便更好地进行可视化和分析。
通过对数据集进行矩阵分解，可以得到
一组特征向量和特征值，这些特征向量和特征值可以作为新的坐标系，把原始数据映射到
新的低维空间中。
三维内积空间中正交变换的特征向量的几何意义
Ｆ（ ａ ｘ Ｊ ｒ ｂ ｘ） 一ａ Ｆ（ ） ＋ ｂ Ｆ（ ｚ），
（ ２）
其 中： ， ｚ Ｅ Ｒ。 ； ａ， ｂ Ｅ Ｒ． 设 一（ ， ｚ ， ｚ。 ）， ｚ一（ ， ｚ ， ｚ 。 ） 是 向量 空间 Ｒ。 中 的向量 （ 矢量 ） ， 与 的 内积ｇ（ ｚ， ｚ） 定义为：
定 义 １ 线性 变 换 Ｆ： Ｒ。 一 Ｒ。 称 为 内积空 间 Ｒ。 上 的正交 变换 ， 若
ｇ（ Ｆ（ ｚ）， Ｆ（ ｚ）） 一 ｇ（ ｚ， ｚ）， （ ４ ）
其中： 一（ ｚ ， ， ｚ 。 ） Ｅ Ｒ。 ， ｇ是 Ｒ 。 上的通常内积 ， 它由（ ３ ） 式给出． 向量 ｚ的长度 ｌ ｚ Ｉ 一￣ ／ ｇ （ ｚ， ｚ ）， 由 （ ４ ） 式可知 ， ｌ Ｆ（ ｚ ）Ｉ —Ｉ １ ， 即保长的线性变换是正交变换． 由文献［ １ － １ 中的定理 １ ． ２ ． ７ 得如下定理成立．
ｆ Ｆ （ Ｐ １ ） 一（ １ ， 一 Ｐ １ ＋ ２ ＋
ｌ Ｆ （ ｅ ３ ） 一 （ 口 。 ， 口 ２ 。 ， ａ 。 。 ） 一 口 。 Ｐ ＋ 口 。 Ｐ ＋ ｎ 。 。 ｅ 。 ，
定理 Ａ 设 Ｆ： Ｒ。 一 Ｒ。 为 Ｆ（ （ ｚ ， ｚ ， ｚ 。 ） ） 一 （ ， Ｙ ｚ ， Ｙ 。 ）， 则 Ｆ是空 间Ｒ。 中的正交变换 的充要条件是 ：
Ｆ（ （ １ ， ２ ， ３ ）） 一 （ 口ｌ ｌ １ ＋ 口ｌ ２ ｘ ２ － Ｉ － ａｌ ３ ｚ ３ ， 口２ １ ｚ１－ Ｉ － ａ ２ ２ ｘ ２－ Ｉ －ａ ２ ３ ３ ， ｎ ３ １ ｘ１ － Ｉ －ａ ３ ２ ２ － Ｉ － ｎ ３ ３ ｚ ３ ）， （ ５ ） 即
特征向量的几何意义
特征向量的几何意义特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵(既然讨论特征向量的问题，当然是方阵，这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量)乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了吗？cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)，而且x是特征向量的话，ax也是特征向量(a是标量且不为零)，所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族，另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值不是那么重要，虽然我们求这两个量时先求出特征值，但特征向量才是更本质的东西！里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。
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特征向量的几何意义长时间以来一直不了解矩阵的特征值和特征向量到底有何意义（估计很多兄弟有同样感受）。
知道它的数学公式，但却找不出它的几何含义，教科书里没有真正地把这一概念从各种角度实例化地进行讲解，只是一天到晚地列公式玩理论——有个屁用啊。
根据特征向量数学公式定义，矩阵乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量，因此，矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系，比如可以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度，这时我们可以问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？可以想一下，除了零向量，没有其他向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵(或者说这个变换自身)没有特征向量(注意：特征向量不能是零向量)，所以一个特定的变换特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已(再想想特征向量的原始定义Ax=cx, cx是方阵A对向量x进行变换后的结果，但显然cx和x的方向相同)。
这里给出一个特征向量的简单例子，比如平面上的一个变换，把一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1]（分号表示换行），显然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]'（上标'表示取转置），这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么?想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变(记住这个变换是镜像对称变换，那镜子表面上(横轴上)的向量当然不会变化)，所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量。
综上，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值似乎不是那么重要；但是，当我们引用了Spectral theorem（谱定律）的时候，情况就不一样了。
Spectral theorem的核心内容如下：一个线性变换（用矩阵乘法表示）可表示为它的所有的特征向量的一个线性组合，其中的线性系数就是每一个向量对应的特征值，写成公式就是：从这里我们可以看出，一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率——说的通俗一点就是能量（power），至此，特征值翻身做主人，彻底掌握了对特征向量的主动：你所能够代表这个矩阵的能量高低掌握在我手中，你还吊什么吊？我们知道，一个变换可由一个矩阵乘法表示，那么一个空间坐标系也可视作一个矩阵，而这个坐标系就可由这个矩阵的所有特征向量表示，用图来表示的话，可以想象就是一个空间张开的各个坐标角度，这一组向量可以完全表示一个矩阵表示的空间的“特征”，而他们的特征值就表示了各个角度上的能量（可以想象成从各个角度上伸出的长短，越长的轴就越可以代表这个空间，它的“特征”就越强，或者说显性，而短轴自然就成了隐性特征），因此，通过特征向量/值可以完全描述某一几何空间这一特点，使得特征向量与特征值在几何（特别是空间几何）及其应用中得以发挥。
关于特征向量（特别是特征值）的应用实在是太多太多，近的比如俺曾经提到过的PCA方法，选取特征值最高的k个特征向量来表示一个矩阵，从而达到降维分析+特征显示的方法；近的比如Google公司的成名作PageRank，也是通过计算一个用矩阵表示的图（这个图代表了整个Web 各个网页“节点”之间的关联）的特征向量来对每一个节点打“特征值”分；再比如很多人脸识别，数据流模式挖掘分析等方面，都有应用，有兴趣的兄弟可以参考IBM的Spiros在VLDB‘ 05，SIGMOD ’06上的几篇文章。
特征向量不仅在数学上，在物理，材料，力学等方面（应力、应变张量）都能一展拳脚，有老美曾在一本线代书里这样说过“有振动的地方就有特征值和特征向量”，确实令人肃然起敬+毛骨悚然......转特征值物理含义：1. 特征的数学意义]我们先考察一种线性变化，例如x,y坐标系的椭圆方程可以写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。
这里的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有没有什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有没有这样的矢量b，使得矩阵A*b这样的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 如果有，那么b就是A的一个特征向量，m就是对应的一个特征值。
一个矩阵的特征向量可以有很多个。
特征值可以用特征方程求出，特征向量可以有特征值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T 是A的属于0的特征向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特征向量。
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量式正交的，所以a^2-a-a=0,a≠2,所以a=0。
还是太抽象了，具体的说，求特征向量的关系，就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合可以表示为每个向量a在各个特征向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特征向量就是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每个特征向量E上面有投影，其特征值v就是权重。
那么每个行向量现在就可以写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
如果矩阵的秩更小，矩阵的存储还可以压缩。
再: 由于这些投影的大小代表了A在特征空间各个分量的投影，那么我们可以使用最小2乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵需要存储的维度，简称PCA方法。
举个例子，对于x,y平面上的一个点(x,y)，我对它作线性变换，(x,y)*[1,0;0,-1]，分号代表矩阵的换行，那么得到的结果就是(x,-y)，这个线性变换相当于关于横轴x做镜像。
我们可以求出矩阵[1,0;0,-1]的特征向量有两个，[1,0]和[0,1]，也就是x轴和y轴。
什么意思呢? 在x轴上的投影，经过这个线性变换，没有改变。
在y轴上的投影，乘以了幅度系数-1，并没有发生旋转。
两个特征向量说明了这个线性变换矩阵对于x轴和y轴这两个正交基是线性不变的。
对于其他的线性变换矩阵，我们也可以找到类似的，N个对称轴，变换后的结果，关于这N个对称轴线性不变。
这N个对称轴就是线性变换A的N个特征向量。
这就是特征向量的物理含义所在。
所以，矩阵A等价于线性变换A。
对于实际应用的矩阵算法中，经常需要求矩阵的逆：当矩阵不是方阵的时候，无解，这是需要用到奇异值分解的办法，也就是A=PSQ，P 和Q是互逆的矩阵，而S是一个方阵，然后就可以求出伪逆的值。
同时，A=PSQ可以用来降低A的存储维度，只要P是一个是瘦长形矩阵，Q是宽扁型矩阵。
对于A非常大的情况可以降低存储量好几个数量级。
[2. 物理意义]特征向量有什么具体的物理意义? 例如一个驻波通过一条绳子，绳子上面的每个点组成一个无穷维的向量，这个向量的特征向量就是特征函数sin(t)，因为是时变的，就成了特征函数。
每个点特征值就是每个点在特定时刻的sin(x+t)取值。
再如，从太空中某个角度看地球自转，虽然每个景物的坐标在不断的变换，但是这种变换关于地球的自传轴有对称性，也就是关于此轴的平移和拉伸的坐标变换不敏感。
所以地球自转轴，是地球自转这种空间变换的一个特征向量。
Google的PageRank，就是对www链接关系的修正邻接矩阵的，主要特征向量的投影分量，给出了页面平分。
有什么特性呢? AB和BA有相同的特征向量----设AB的特征向量为x，对应的特征值为b，则有(AB)x = bx，将上式两边左乘矩阵B，得B(AB)x = (BA)(Bx) = b(Bx)，故b为BA的特征值，对应的特征向量为Bx。
反之亦然。
什么是特征矩阵和特征值？我们用整体论来考虑，假设P(A)=(1,2,3)是A的3个特征向量。
那么P(A^2)就是(1^2,2^2,3^2)，P 可以看作是一种算子。
当然，算子的特性是需要用部分/细节详细证明的。
一旦证明，就可以作为整体的特征。
特征值有什么特性？说明矩阵可以分解成N维特征向量的投影上面，这N个特征值就是各个投影方向上的长度。
由于n*n矩阵A可以投影在一个正交向量空间里面，那么任何N维特征向量组成的矩阵都可以是线性投影变换矩阵，那么I就是一个同用的线性变换投影矩阵。
所以对于特征值m，一定有是够成了一个没有线性无关向量的矩阵Aa=ma两边同乘以I得到 Aa=maI，所以(A-mI)a=0有非0解，那么|A-mI|=0(可以用反正法，如果这个行列式不是0，那么N个向量线性无关，在N维空间中只能相交于原点，不可能有非0解)。
所以可以推出一些很有用的性质，例如A=[1/2,1,1;0,1/3,1;0,0,1/5]，那么只要满足|A- mI|=0的值就是特征值，显然特征值数组立即可以得到(1/2,1/3,1/5)。
一个n*n的矩阵A，秩=1，那么最大线性无关组=1组，特征向量=1个，任意n维非零向量都是A的特征向量。
特征向量本身不是定死的，这就好比坐标系可以旋转一样。
一旦特征向量的各个方向确定了，那么特征值向量也就确定了。
求特征值的过程就是用特征方程：|A-mE|=0,P(1/A)=1/P(A)，可以证明。
有什么物理含义呢？一个N维线性无关的向量，去掉其中的一维，那么就有至少两个向量是线性相关的了，所以行列式=0。
特征矩阵有什么作用？把矩阵变化为正定矩阵，也就是A=P^-1BP，这样的变换，A是对角阵。
线性代数的研究，是把向量和矩阵作为一个整体，从部分的性质出发，推到出整体的性质，再由整体的性质得到各种应用和物理上的概念。
当矩阵A是一个符号的时候，它的性质会和实数a有很多相似的地方。
科学的定理看起来总是递归着的。