最佳平方逼近

就是f(x) 的一种近似公式，用它求x0附近的函数值f(x)，
误差较小，当 |x-x0| 较大时，误差就很大。例如
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f(x)=ex 在[-1,1]上用：p4(x)1x1 2x21 6x32 1x 4 4
近似ex，其误差： R4(x)exp4(x)112x50 e
于是
R4 (x)
1 x5 120
e
函数类 B 通常是代数多项式，有理多项式，三角多 项式，分段多项式等容易计算的函数。
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➢最常用的度量标准有两种：
1、一致逼近（均匀逼近） 以 mafx(x)源自文库(x) axb
作为度量误差f(x)- P(x) 的“大小” 标准。
2、平方逼近（均方逼近）
以
bf
2
(x)p(x) dx
a
作为度量误差f(x)- P(x)的“大小” 标准。
P(x) 称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差。 ➢函数逼近问题可叙述为：对函数类 A 中给定的函数
f(x) ，需要在另一类较简单的便于计算的函数类 B （B∈A）中，找一个函数P(x) ，使P(x) 与 f(x) 之差 在某种度量意义下达到最小。
➢函数类 A通常是区间 [a,b] 上的连续函数，记作C[a,b] ；
(f,g)b(x)f(x)g(x)dx. a
二、最佳平方逼近的概念
定义 对于给定的 f (x)C[a, b],若有 p*(x)Hn ,使得 ( f p*, f p*) min{( f p, f p) | p Hn}.
则称 p*(x) 是(在子空间Hn中)对 f (x) 的最佳平方逼近函数.
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定理5.7 设 f (x)C[a, b]，p*(x)Hn , 在 Hn 中, p*(x) 是对 f
1.函 数 逼 近
在数值计算中经常遇到求函数值的问题，手算时常 常通过函数表求得，用计算机计算时若把函数表存入内 存进行查表，则占用单元太多，不如直接用公式计算方 便。因此，我们希望求出便于计算且计算量省的公式近 似已知函数 f(x)，例如，泰勒展开式的部分和
p n (x ) f(x 0 ) f'1 ( ! x 0 )(x x 0 ) f(n n )( ! x 0 )(x x 0 )n
积的性质, 可得
(f q ,f q ) (f p * ,f p * ) (2 k ,k k )(f p * ,k ) ( k 2 ( k ,k ,k ) k 2 )
(fp * ,fp * )( k,k 2k)(fp * ,fp * )
k
这说明, p*(x) 不是对 f (x) 最佳平方逼近的函数, 矛盾.
平方逼近的函数 对任意的 p(x)Hn ,均有 ( f p*, p )=0.
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定理5.8 设 f (x)C[a, b], 在子空间 Hn 中, 对 f (x) 最佳平方
逼近的函数是唯一的. 证明 假定, 在Hn 中, p(x) 和 q(x) 都是对 f (x) 最佳平方逼近
的函数, 由定理5.7的系,知
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5.6 函数的最佳平方逼近
5.6.1 最佳平方逼近的概念与解法
一、最佳逼近的意义
设{0x,1x, , nx} C[a, b], 它们线性无关. 又给定 f (x)C[a, b], 求 p*(x) Hn Span{0x,1x, , nx}, 使
得 f (x) p*(x) 在某种意义下最小.
下面用到的内积为
(f q ,q p ) (f p ,q p ) 0 , 故 ( p q ,p q ) ( p f f q ,p q )
( p f,p q ) ( f q ,p q ) 0
这说明, p(x) q(x) 于 [a, b].
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三、最佳平方逼近函数的求解
利用 ( f p*, j )=0, 可求出最佳平方逼近函数 p*. 设
n
p*(x) ck*k(x)
故
k0
n
0 f p*, j f,j ck* k,j
k0
n
ck* k,j f,j
(5.82)
k0
这是一个以 c*0,c*1, , c*n 为未知数的线性方程组. 称(5.82) 为法方程 或 正规方程. 法方程的矩阵形式是
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(0,0) (1,0)
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() 若 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n 成立, 对任意的 p(x)Hn ,有
( f p , f p ) ( f p * p * p , f p * p * p )
( f p * , f p * ) 2 ( f p * , p * p ) ( p * p , p * p )
m1xax1 R4(x)
e 120
0.0226
误差分布如图：
y
-1
1x
2
它在整个区间上误差较大，若在计算机上 用这种方法计算ex ，如精度要求较高，则需取 很多项，这样即费时又多占存储单元。因此， 我们要求在给定精度下计算次数最少的近似公 式，这就是函数逼近要解决的问题。
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➢定义 近似代替又称为逼近，函数 f(x) 称为被逼近函数；
n
由于 fp*p,*p c jcj fp*,j 0及
j0
(p*p,p*p)0, 故 (f p ,f p ) (f p * ,f p * ) .
p*在 Hn 中是对 f 的最佳平方逼近函数. 证毕.
即 设 f (x)C[a, b], p*(x)Hn ,在 Hn 中, p*(x) 是对 f (x) 最佳
( f p*, p*) = 0, 可有
(0,1) (1,1)
((10,,nn))cc10**((ff,,10))
(n,0) (n,1) (n,n)cn* (f,n)
由于 0x,1x, , nx 线性无关, 可以推得上系数阵是
非奇异的. 故 (5. 82) 有唯一解 { c*j }.
四、最佳平方逼近的误差
记 ( f p*, f p*), 称其为最佳平方逼近误差, 利用
(x) 最佳平方逼近的函数 ( f p*, j )=0, j=0,1,…,n. 其中, {0x,1x, , nx}为子空间 Hn 的一组基.
证: () 反证法, 设有函数 kx, 使得 ( f p*, k) k 0 , 令 q(x) p*(x) kx k /(k, k), 显然, q(x)Hn . 利用内