理论力学 第六版部分习题答案 第七章

∠(va , y) = ϕ , va = rω
从图 b 得
ve
= va
sin(30° − ϕ ) sin 60°
所以
v BC
=
ve
=
sin(30° − ϕ) rω sin 60°
ϕ = 0° 时， vBC =
3 rω （←）； 3
ϕ = 30° 时， vBC = 0
ϕ = 60° 时， vBC
=−
3 rω （→） 3
（2）速度分析，如图 8-10b 所示
va = ve + vr
方向 ⊥ OC ↑ ←
大小 eω
?
?
vAB = ve = va cosϕ = eω
7-11 绕轴 O 转动的圆盘及直杆 OA 上均有 1 导槽，两导槽间有 1 活动销子 M 如图
Байду номын сангаас
8-11a 所示， b = 0.1 m 。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为 ω1 = 9 rad/s 和
即
tanθ = ve − va sin 60°
va cos 60°
把 ve = 6.283 m/s 及 va = 15 m/s 代入,解得 θ = 41°48'
由后 1 等式得
vr
=
sin 30° cosθ va
= 10.1 m/s
7-4 如图 8-4a 所示，瓦特离心调速器以角速度ω 绕铅直轴转动。由于机器负荷的变
=
0.1 × 3 = 3
0.346 m/s
（2） （3）
2
⎪⎧va = ve22 + vr22 = 0.529 m/s
所以
⎨ ⎪tanθ
=
ve2
=
0.346 ,θ
= 40.9°
⎩
vr2 0.4
7-12 图 8-12a 为叶片泵的示意图。当转子转动时，叶片端点 B 将沿固定的定子曲线
运动，同时叶片 AB 将在转子上的槽 CD 内滑动。已知转子转动的角速度为ω ，槽 CD 不
图 8-2
由题得点 M 的坐标变换关系式
x = x'cosϕ − y'sinϕ
y = x'sinϕ + y'cosϕ
将ϕ = t 和相对运动方程代入，消去 t 得点 M 的绝对轨迹方程
(x + 40)2 + y 2 = 1600
7-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度 va = 15 m/s ，并与直径成 β = 60° 角， 如图 8-3a 所示，工作轮的半径 R = 2 m ，转速 n = 30 r/min 。为避免水流与工作轮叶片相
ϕ = t rad ，式中角ϕ 为动系的 x' 轴与定系的 x 轴间的交角。求点 M 的相对轨迹和绝对轨
迹。
解 由点 M 的相对运动方程可改写为
⎜⎜⎝⎛
x' 40
−
1⎟⎟⎠⎞
=
−
cos
t
y ' = sin t 40
上 2 式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程
(x'−40)2 + y'2 = 1600
化 ， 调 速 器 重 球 以 角 速 度 ω1 向 外 张 开 。 如 ω = 10 rad/s ， ω1 = 1.2 rad/s ， 球 柄 长 l = 500 mm ，悬挂球柄的支点到铅直轴的距离为 e = 50 mm ，球柄与铅直轴间所成的交
角 β = 30° 。求此时重球的绝对速度。
z′
vr
消去 t 得点 M 在记录纸上的轨迹方程
y'= a cos( k x'+β ) ve
7-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面 Ox' y' 中运动，
运动方程为
图 8-1
x' = 40(1 − cos t) ， y' = 40sin t
式中 t 以 s 计， x' 和 y' 以 mm 计。平面 Ox' y' 又绕垂直于该平面的轴 O 转动，转动方程为
ve
=
d 2
⋅
nπ 30
=
62.83 mm/s
所以
vr = va2 + ve2 = 102 + 62.832 = 63.6 mm/s
ϕ = tan −1 ( ve ) = tan −1 (6.283) = 80°57' va
7-7 在 图 8-7a 和 图 8-7b 所 示 的 2 种 机 构 中 ， 已 知 O1O2 = a = 200 mm ， ω1 = 3 rad/s 。求图示位置时杆 O2 A 的角速度。
7-9 如图 8-9a 所示，摇杆机构的滑杆 AB 以等速 v 向上运动，初瞬时摇杆 OC 水平。
摇杆长 OC = a ，距离 OD = l 。求当ϕ = π 时点 C 的速度的大小。 4
y
va
ve
C
vr
A
ϕ O
D
x
l
v
(a)
(b)
图 8-9
解 套筒 A 为动点，动系固结于杆 OC；绝对运动为上下直线，相对运动沿 OC 直线，
（1）
② 活动销子 M 为动点，动系固结于杆 OA；牵连运动为绕 O 定轴转动，相对运动为
沿 OA 直线，绝对运动为平面曲线。
91
va = ve2 + vr2
速度分析如图 8-11b 所示，由式（1）、（2）得
v e1
+ v r1 = ve2 + v r2
方向 ⊥ OM
√
⊥ OM √
大小 OM ⋅ω1 ？ OM ⋅ω 2 ？
M
y′
O′
va ve x′
(a)
(b)
图 8-4
解 重球为动点，动系固结于铅垂轴；牵连运动为定轴转动，相对运动为绕悬点之圆
弧摆动，且 ve ⊥ vr ，绝对运动为空间曲线，如图 8-4b 所示。由于 ve = (e + l sin β )ω = 3 m/s ， vr = lω1 = 0.6 m/s
所以
偏心距 OC = e ，凸轮绕轴 O 转动的角速度为ω ，OC 与水平线夹角ϕ 。求当ϕ = 0° 时，
顶杆的速度。
A
B
va ve
O
vr e
C
R ϕ
ω
(a)
(b)
图 8-10
解 （1）运动分析
轮心 C 为动点，动系固结于 AB；牵连运动为上下直线平移，相对运动为与平底平行
直线，绝对运动为绕 O 圆周运动。
（b）套筒 A 为动点，动系固结于杆 O1 A ；绝对运动为绕 O2 圆周运动，相对运动为沿
杆直线运动，牵连运动为绕 O1 定轴转动。速度分析如图 8-7b1 所示。
va = O2 A ⋅ω1 = 2aω cos 30° ， ve = O1 Aω1 = aω1
由图 b1： va
=
ve cos30°
=
va =
ve2
+
v
2 r
= 3.06 m/s
va 在 ve ， vr 决定的平面内，且
tan ∠(va , ve ) =
vr ve
= 0.2
7-5 杆 OA 长 l ，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如图 8-5a 所示。假定推杆的
速度为 v ，其弯头高为 a 。求杆端 A 的速度的大小（表示为推杆至点 O 的速度 x 的函数）。
cosϕ
l
l
ω = vla v2t 2 + l 2
因
（4） （5）
90
vC
=ω
⋅a
=
vla v2t 2 + l 2
当 ϕ = π 时， v ⋅ t = l ，故 4
vC
=
va 2l
7-10 平底顶杆凸轮机构如图 8-10a 所示，顶杆 AB 可沿导轨上下移动，偏心圆盘绕
轴 O 转动，轴 O 位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为 R，
式（3）向 ve2 方向投影，得
ve1 − vr1 cos 30° = ve2
v r1
=
ve1 − ve2 cos30°
=
b cos30°
ω1
−
b cos30°
ω2
cos30°
=
4b 3
(ω1
−
ω
2
)
式（3）向 vr2 方向投影，得
v r2
=
1 2 vr1
=
2b 3
(ω1
−ω2)
=
0.4 m/s
v e2
va = ve + vr
因为 ΔO1O2 A 为等腰三角形，故 O1 A = O1O2 = a ， O2 A = 2a cos 30° ， va = aω1 ， ve = ω ⋅ O2 A = 2aω cos 30°
由图 8-7a1：
va
=
va cos 30°
=
2aω
得
aω1 = 2aω
ω = ω1 = 1.5 rad/s （逆） 2
87
vA
ve
A
va vr
ϕB
ω v
x
(a)
(b)
图 8-5
解 直角推杆上与杆 AO 接触点 B 为动点，动系固结于 AO；牵连运动为定轴转动，
绝对运动为水平直线运动，相对运动为沿杆 OA 直线运动。点 B 速度分析如图 8-5b,设 OA
角速度为ω ,则
va = v ， ve = ω ⋅ OB = va sin ϕ ，ω ⋅ OB = v sin ϕ
以 sin ϕ = a = a 代入上式得 OB x 2 + a 2
ω = va x2 + a2
最终得
va
= ωl
=
lav x2 + a2
方向如图。
7-6 车床主轴的转速 n = 30 r/min ，工件的直径 d = 40 mm ，如图 8-6a 所示。如车 刀横向走刀速度为 v = 10 mm/s ，求车刀对工件的相对速度。
ω 2 = 3 rad/s 。求此瞬时销子 M 的速度。
ve1
ω v 30° e2
2
θ
va
M 30°
O vr2
ω
vr1
1
(a)
(b)
图 8-11
解 （1）运动分析
① 活动销子 M 为动点，动系固结于轮 O；牵连运动为绕 O 定轴转动，相对运动为沿 轮上导槽直线，绝对运动为平面曲线。
va = ve1 + vr1
aω1 cos30°
得
2aω cos 30° = aω1
cos 30°
ω
=
2 3
ω1
=
2
rad/s （逆）
7-8 图 8-8a 所示曲柄滑道机构中，曲柄长 OA = r ，并以等角速度ω 绕轴 O 转动。
装在水平杆上的滑槽 DE 与水平线成 60° 角。求当曲柄与水平线的交角分别为 ϕ = 0° ，
vr
va
ϕ
ve
(a)
(b)
图 8-6
解 车刀头为动点，动系固结于工件；牵连运动为定轴转动，绝对运动为水平直线，
相对运动为螺旋曲线。点 M 的牵连速度 ve 垂直向下，绝对速度 va = v ，相对速度 vr 在 va
与 ve 所决定的平面内，且设与 va 成ϕ 角，如图 8-6b 所示。
va = v = 10 mm/s ，
通过轮心点 O，此时 AB 和 OB 间的夹角为 β ，OB 和定子曲线的法线间成θ 角，OB = ρ 。
求叶片在转子槽内的滑动速度。
ϕ
vr β
B θ
Oω
va
ve
(a)
(b)
图 8-12
解 （1）运动分析
冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处 水流对工作轮的相对速度的大小方向。
M
ve
y′
60° θ
vr
va
x′
(a)
(b)
图 8-3
解 水轮机工作轮入口处的 1 滴水为动点 M，动系固结于工作轮，定系固结于机架/
地面（一般定系可不别说明，默认为固结于机架，下同）；牵连运动为定轴转动，相对运动
牵连运动为绕 O 定轴转动。速度分析如图 8-9b 所示，设杆 OC 角速度为ω ，其转向逆时
针。由题意及几何关系可得
va = v ve = ω ⋅ OA
（1） （2）
va
=
ve cosϕ
（3）
OA = l 2 + v 2t 2
cosϕ = l OA
式（1），（2），（4），（5）代入式（3），得
v = ω ⋅ OA = = ωOA2 = ω (v 2t 2 + l 2 )
与叶片曲面相切，速度分析如图 8-3b 所示，设θ 为 vr 与 x' 轴的夹角。点 M 的牵连速度
86
ve
=
Rω
=
2 × nπ 30
=
6.283 m/s
方向与 y' 轴平行。由图 8-3b,
ve
=
va
= vr
sin(60° + θ ) sin(90° −θ ) sin30°
由前 1 等式得
ve cosθ = va sin(60° + θ )
第7章 点的合成运动
7-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动方程为
x = 0 ， y = a cos(kt + β )
如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速 ve 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。 解 动系 O' x' y' 固结在纸上，点 M 的相对运动
方程
x' = vet ， y' = a cos(kt + β )
30° ， 60° 时，杆 BC 的速度。
va vr y
vr
va
(a) (a)
va vr
ϕ ve A 60°
ω
A
x
30°
(b)
(c)
(b) 图 8-8
60° A 60° ve
60°
O
O
(d)
89
解 曲柄端点 A 为动点，动系固结于杆 BC；绝对运动为绕 O 圆周运动，相对运动为 沿滑道 DB 直线运动，牵连运动为水平直线平移。速度分析如图 8-8b 所示
88
va ve 30°
ω 1 30°
O1
ω 30°
vr A
O1
ve va
vr
A
30°
ω1
ω 30°
O2
O2
(a)
(b)
(a1)
(b1)
图 8-7
解 （a）套筒 A 为动点，动系固结于杆 O2 A ；绝对运动为 O1 绕的圆周运动，相对运 动为沿 O2 A 直线，牵连运动为绕 O2 定轴转动。速度分析如图 8-7a1 所示,由速度合成定理