算法设计与分析-贪婪算法

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按本例所给数值，取j=0时，因就是前述普通贪婪算法， 已经得到100的结果；取j=1时，共有8种方案，当用29 或23先装入时，可得到54+29+23+1=107的更好结果； 取j=2时，共有28种方案，其中有能将背包完全装满的 结果（43+23+29+14+1=110）。故知此问题当取k≥2时 就可得到最优解。
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例2. 背包问题
设有n=8个体积分别为54，45，43，29，23，21， 14，1的物体和一个容积为C=110的背包，问选择哪几个 物体装入背包可以使其装的最满。
如直接用贪婪算法，将物体由大到小顺次装入背包， 到装不下时再逐个试装更小的一些，直至试到最小的一 个或装满为止。按此处所给数据，先装入54和45两个， 容积尚余11，最后只能再装入体积为1的一个，总体积 达到100，并不算太满。此方法的好处是节省时间，主 要的运算时间是用来对n个元素进行排序，故其复杂性 是O（nlogn）。
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所 给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处 理完成。
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这个问题是一个NP完全问题，到目前为止还没有一个 有效的解法。对于这一类问题，用贪婪选择策略有时可 以设计出较好的近似算法。采用最长处理时间作业优先 的贪婪选择策略可以设计出解多机调度问题的较好的近 似算法。按此策略，当n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti] 时间区间分配给作业i即可。
得到一条回路：
v1→v3→v4→v2→v5→v1
同由分枝限解方法得到的路径相同，因此是最佳 的回路。
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例4 设有六个城市，其坐标分别为a(0,0), b:(4,3), c:(1,7), d:(15,7), e(15,4), f:(18,0)。如下图所示：
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6座城市间的距离矩阵为：
5 7.07 16.55 15.52 18
此问题解的过程如下：
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d24(1)； d24(1)+d13(2)； d24(1)+d13(2)+d15(2)； d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)； d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)+[d45(6)]； （下标中5出现了3次,顶点5有三条边相连,d45(6)放弃） d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)+[d35(9)]； （下标中5出现了3次,顶点5有三条边相连,d35(9)放弃） d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)+d34(9)。
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如果问题改成：砝码的种类分别为11克、5克和1 克，待称的物体是15克。用贪婪算法应先选一个11克的， 然后选四个1克的，共用五个砝码。这不是最优结果， 只要用三个5克的砝码就够了。
贪婪算法虽不能保证得到最优结果，但对于一些除 了“穷举”方法外没有有效算法的问题，用贪婪算法往 往能很快地得出较好的结果，如果此较好结果与最优结 果相差不是很多的话，此方法还是很实用的。
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顾名思义，贪婪算法总是作出在当前看来是最 好的选择。也就是说贪婪算法并不从整体最优上加 以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部 最优选择。当然，我们希望贪婪算法得到的最终结 果也是整体最优的。上面所说的找硬币算法得到的 结果就是一个整体最优解。虽然贪婪算法不是对所 有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许 多问题它能产生整体最优解。如图的单源最短路径 问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪 婪算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最 优解的很好的近似解。
大家好
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算法设计与分析
——贪婪算法
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贪婪算法（greedy algorithms,也叫登山法）
我们来看一个找硬币的例子。假设有四种硬币， 它们的面值分别为二角五分、一角、五分和一分。现 在要找给某顾客六角三分钱。这时，我们会不假思索 地拿出2个二角五分的硬币，1个一角的硬币和3个一 分的硬币交给顾客。这种找硬币方法与其他的找法相 比，所拿出的硬币个数是最少的。这里，我们下意识 地使用了这样的找硬币算法：首先选出一个面值不超 过六角三分的最大硬币，即二角五分；然后从六角三 分中减去二角五分，剩下三角八分；再选出一个面值 不超过三角八分的最大硬币，即又一个二角五分，如 此一直做下去。这个找硬币的方法实际上就是贪婪算 法。
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5 11.7 11.01 14.32
7.07 5 D16.55 11.7 14
14 14.32 18.38
3 7.62
15.52 11.01 14.32 3 5
18 14.32 18.38 7.62 5
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用贪婪算法，先将任两城市间的连线距离按从小到 大的次序排列，然后从中逐个选择。但有两种情况的 连线应舍弃：
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Prim最小生成树算法
Prim在1957年提出另一种算法，这种算法特别适 用于边数相对较多，即比较接近于完全图的图。此算 法是按逐个将顶点连通的步骤进行的，它只需采用一 个顶点集合。这个集合开始时是空集，以后将已连通 的顶点陆续加入到集合中去，到全部顶点都加入到集 合中了，就得到所需的生成树。
设 G=(V,E) 是 一 个 连 通 带 权 图 ， V={1,2,…,n}。 构 造G的一棵最小生成树的Prim算法的过程是：首先从 图的任一顶点起进行，将它加入集合S中置，S={1}， 然后作如下的贪婪选择，从与之相关联的边中选出权 值c[i][ j]最小的一条作为生成树的一条边，此时满足 条件iS，jV-S，并将该j加入集合中，表示连两个 顶点已被所选出的边连通了。
Dde+Dab+Dbc+Def+[Ddf]；(形成小回路，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+[Dbe]；(b顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+[Dbd]；(b顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd； Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dbf]；(b顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dce]；(c、e顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dae]；(e顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dae]；(e顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dad]；(d顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+Daf；得到1条回路
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最后得到的回路如图（a）的结果，总长度为50。
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不过，这不是此问题的最优解，此问题的最优解为下图 所示的路径(可以用分枝限界等方法求得)，总长度为 48.39。用贪婪方法得到的结果同最优解相比只多了 3.3%。
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例5: 多机调度问题
设有n个独立的作业{1,2,…,n}，由m台相同的 机器进行加工处理。作业i所需的处理时间为ti。现 约定，任何作业可以在任何一台机器上加工处理， 但未完工前不允许中断处理。任何作业不能拆分成 更小的子作业。
(1)使任一城市的度数（连线数）超过2的连线必须 舍弃；
(2)在得到经过所有点的回路前就形成小回路的连 线必须舍弃。
距离按从小到大的次序排列:
Dde(3),
Def(5), Dbe(11.01), Dbf(14.32), Dad(16.55),
Dab(5),
Dbc(5),
Dac(7.07), Ddf(7.62),
Dbd(11.7), Dcd(14),
Dce(14.32), Dae(15.52),
Daf(18), Def(18.38)
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按贪婪算法原则，其选择过程如下：
Dde； Dde+Dab； Dde+Dab+Dbc； Dde+Dab+Dbc+Def；
Dde+Dab+Dbc+Def+[Dac]；(形成小回路，舍弃)
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例如，对于下图中的带权图
各边按权值排序为：
d13=1 d34=5
d46=2 d23=5
d25=3 d12=6
d36=4 d35=6
d14 = 5 d56=6
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按Kruskal算法选取边的过程如下图所示。
d13=1 d46=2 d25=3 d36=4 d14=5 d34=5 d23=5 d12=6 d35=6 d56=6
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当n不太大时，适当的取k值，此改进方法常常可以得 到最优解，但不能因此就说一般背包问题有多项式算法。 当n增大时，k不能随着n不断的加大，如k随n增大而同 时加大，其复杂性就是指数型而不是多项式型的了，而 如k取值较小，又不能保证得出最优解。
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例3．巡回推销员问题
设有5座城市，城市间的距离矩阵为：
当n＞m时，我们首先将n个作业依其所需的处理时间 从大到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理 机。
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例如，设7个独立作业{1,2,3,4,5,6,7}由3台机器 M1,M2,和M3来加工处理。各作业所需的处理时间分别 为{2,14,4,16,6,5,3}。按贪婪算法产生的作业调度如图 4-13所示，所需的加工时间为17。
14 2 16 2
14
25
1
3
D 2 25 9 9
16 1
9
6
2 3 9 6
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将城市间的距离从小到大排列有： d24(1),d13(2),d15(2),d25(3),d45(6),d35(9),d34(9), d12(14),d14(16),d23(25)。
由于是5个城市，环绕一圈为5条边，贪婪方法 求解此问题的过程是从最小边开始，依此从小到大 取边加入到回路边集中，但在将1条边加入时不能使 1顶点的度数超过3，也不能形成小回路。
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例1．选取砝码
设天平有一些25克的砝码，一些10克的砝码，一些5克 的砝码和一些1克的砝码。现要称63克的物体，问至少 需要用几个砝码。
用贪婪算法，为了砝码数最少，在不超过63克的 前提 下，每次都尽量选择大的砝码，即头两次选25克 的，然后选一个10克的，最后选三个1克的。总共用六 个砝码，事实说明这是最好的结果。
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C
如果对上述算法作一些改进，可得到更好的结果。先从 n个物体中试着取j个总体积不超过C的装入背包，剩下 的(n-j)个物体则利用贪婪算法尽量往里装。此j值从零 开始逐渐增加，反复进行试探，直至j达到某预先给定 的常数k(0<k<n)，最后从这些结果中取其最好的一个。 如果在试探中能得到一个完全装满的方案，则此过程就 可提前结束。因为从n个物体中取出j个共有 C n种j 方案， 此值随着j的增加而增加较快，但可以证明此改进算法 的复杂性为O（knk+1）,因k是常数，故仍为多项式界的 算法。
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以后每次从一个端点在集合中而另一个端点在集 合外的各条边中选取权值最小的一条作为生成树的一 条边，并把其在集合外的那个顶点加入到集合S中，表 示该点也已被连通。如此进行下去，直到全部顶点都 加入到集合S中。在这个过程中选取到的所有边恰好构 成G的一棵最小生成树。
由于Prim算法中每次选取的边两端总是一个已连 通顶点和一个未连通顶点，故这个边选取后一定能将 该未连通点连通而又保证不会形成回路。
当n＞m时，因此算法所需的计算时间复杂度为O(nlogn)。
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例6: 最小生成树
一般情况下，用贪婪算法得到的是近似解，而不能保 证得到最优解。但用贪婪方法计算最小生成树，却可以设 计出保证得到最优解的算法。
设G=(V,E)是一个无向连通带权图，即一个网络。E中 每条边(v,w)的权为c[v][w]。如果G的一个子图G’是一棵 包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各 边权的总和称为该生成树的费用。在G的所有生成树中，费 用最小的生成树称为G的最小生成树。
网络的最小生成树在实际中有广泛应用。例如，在设计 通信网络时，用图的顶点表示城市，用边(v,w)的权c[v][w] 表示建立城市v和城市w之间的通信线路所需的费用，则最 小生成树就给出了建立通信网络的最经济的方案。
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Kruskal最小生成树算法
Kruskal 在1956年提出了1个最小生成树算 法，它的思路很容易理解。设G=(V,E)是一个连通 带权图，V={1,2,…,n}。将图中的边按其权值由小 到大排序，然后作如下的贪婪选择，由小到大顺序 选取各条边，若选某边后不形成回路，则将其保留 作为树的一条边；若选某边后形成回路，则将其舍 弃，以后也不再考虑。如此依次进行，到选够（n1）条边即得到最小生成树。