算法设计与分析-贪婪算法
贪婪算法是一种什么方法
贪婪算法是一种什么方法贪婪算法（Greedy Algorithm）是一种简单而经典的算法设计方法，通常用于解决优化问题。
贪婪算法每一步都采取当前情况下最优的选择，希望最终得到全局最优解。
本文将介绍贪婪算法的基本原理、应用场景以及一些经典的贪婪算法实例。
基本原理贪婪算法的基本原理是通过局部最优解来推导得到全局最优解。
在每一步中，贪婪算法选择当前看起来最好的选择，而不考虑之后的结果能否达到最优。
这种直观的选择策略有时可以给出全局最优解，但并非在所有问题中都成立。
贪婪算法的设计过程通常包含以下几个步骤：1. 定义问题的解空间和解集合，将问题转化成对这些解的选择和判定。
2. 根据问题的特点，设计选择策略，确定选择的标准。
3. 使用选择策略，逐步构建解，直到满足问题要求或无法继续选择。
需要注意的是，贪婪算法只能提供近似解，不能保证一定能得到最优解。
因此，在应用贪婪算法时需要仔细分析问题的性质，确定贪婪选择的合理性。
应用场景贪婪算法通常应用于具有贪婪选择性质的问题，即每一步都可以做出局部最优选择的问题。
这种性质常见于以下场景：最小生成树在图论中，最小生成树问题是指在一个连通无向图中找到一棵包含所有顶点且边权重之和最小的树。
典型的贪婪算法解决该问题的方法是普利姆算法（Prim's Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's Algorithm）。
普利姆算法从一个起始顶点出发，每次选择与当前生成树连接的最短边对应的顶点，直到生成树包含所有顶点。
而克鲁斯卡尔算法则是从边集合中每次选择最小的边，同时保证不形成环，直到生成树包含所有顶点。
背包问题背包问题是在给定背包容量和一系列物品的重量和价值的情况下，如何选择物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大。
贪婪算法在背包问题的解决中有时也能给出较好的近似解。
一种典型的贪婪算法解决背包问题的方法是基于每个物品的单位价值（即单位重量所能获得的价值）来进行选择。
10算法策略之贪婪法
10算法策略之贪婪法贪婪算法贪婪法⼜叫登⼭法, 它的根本思想是逐步到达⼭顶,即逐步获得最优解。
贪婪算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择。
⼀定要注意，选择的贪婪策略要具有⽆后向性。
某状态以后的过程和不会影响以前的状态,只与当前状态或以前的状态有关,称这种特性为⽆后效性。
可绝对贪婪问题【例1】键盘输⼊⼀个⾼精度的正整数N，去掉其中任意S个数字后剩下的数字按原左右次序将组成⼀个新的正整数。
编程对给定的N和S，寻找⼀种⽅案使得剩下的数字组成的新数最⼩。
输⼊数据均不需判错。
输出应包括所去掉的数字的位置和组成的新的正整数（N不超过240位）。
数据结构设计：对⾼精度正整数的运算在上⼀节我们刚刚接触过，和那⾥⼀样，将输⼊的⾼精度数存储为字符串格式。
根据输出要求设置数组，在删除数字时记录其位置。
我们采⽤⽅法1）。
⼀种简单的控制相邻数字⽐较的⽅法是每次从头开始，最多删除s次，也就从头⽐较s次。
按题⽬要求设置数组data记录删除的数字所在位置。
较s次。
按题⽬要求设置数组data记录删除的数字所在位置delete(char n[],int b,int k){int i;for(i=b;i<= length(n)-k;i=i+1) n[i]=n[i+k];}main（）{char n[100]; int s,i,j,j1,c,data[100],len;input(n); input(s); len=length(n);if(s>len){print(“data error”); return;}j1=0;for (i=1;i<=s ;i=i+1){for (j=1;j<length(n);j=j+1)if (n[j]>n[j+1]) //贪婪选择{delete(n,j,1);if (j>j1) data[i]=j+i; //记录删除数字位置else //实例2向前删除的情况实例data[i]=data[i-1]-1;j1=j; break; }if( j>length(n)) break;}for (i=i;i<=s;i=i+1){ j=len-i+1;delete(n,j,1); data[i]=j;}while (n[1]='0' and length(n) >1)delete(n,1,1); //将字符串⾸的若⼲个“0”去掉 print(n);for (i=1;i<=s;i=i+1)print(data[i],' ');}算法说明1：注意记录删除位置不⼀定是要删除数字d的下标，因为有可能d的前或后有可能已经有字符被删除，d的前⾯已经有元素删除容易想到，但⼀定不要忽略了其后也有可能已删除了字符，实例2中删除1时，其后的2已被删除。
算法设计与分析_王红梅_第7章 贪心法
（ 3 ）解决函数 solution ：检查解集合 S 是否构成问 题的完整解。例如，在付款问题中，解决函数是已 付出的货币金额恰好等于应付款。 （ 4 ）选择函数 select ：即贪心策略，这是贪心法 的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的 解，选择函数通常和目标函数有关。例如，在付款 问题中，贪心策略就是在候选集合中选择面值最大 的货币。
C=
∞ 3 3 ∞ 3 7 2 3 6 2
3 7 ∞ 2 5 1
2 3 2 ∞ 3
6 2 5 3 ∞
1
1 2 5 2 2 2
5
4
2
3
(a) 5城市的代价矩阵 2 2
(b) 城市1→城市4 1 2 5
3 4 (c) 城市5→城市2 1 2 3 2 2
5
2 3
5
2
2
5 4
5 3 3 2 (f) 城市2回到出发城市1
例：用贪心法求解付款问题。 假设有面值为5元、2元、1元、5角、2角、1角的货币，需 要找给顾客4元6角现金，为使付出的货币的数量最少，首 先选出1张面值不超过4元6角的最大面值的货币，即2元， 再选出1张面值不超过2元6角的最大面值的货币，即2元， 再选出1张面值不超过6角的最大面值的货币，即5角，再选 出1张面值不超过1角的最大面值的货币，即1角，总共付出 4张货币。
7.2.2 图着色问题
给定无向连通图 G=(V, E) ，求图 G的最小色数 k ， 使得用k种颜色对G中的顶点着色，可使任意两个相 邻顶点着色不同。
例如，图7.3(a)所示的图可以只用两种颜色着色，将 顶点1、3和4着成一种颜色，将顶点2和顶点5着成另 外一种颜色。为简单起见，下面假定k个颜色的集合 为{颜色1, 颜色2, …, 颜色k}。 3
数据结构与算法 贪婪法PPT课件
4
5
6
453
2
2
6
把5子树的根与6子树的根用一条有向边相连成为一棵树，即完成两个 集合的合并，理解为原无向边 {1,3} 加入5子树。
西华大学数学与计算机学院 黄襄念
Union 操作规则： 考虑Find操作，如果树高越大，则Find操作的键比较次数就会增加。 上例Union操作没考虑这点，明显的缺点是Union后树高可能会变得 很大（想想：为什么？），最坏情况下树变成线性表（链表），Find 操作成为线性效率Ω(n)而非对数级。例如：集合{1}, {2}, {3}, {4}, {5} 的一种合并过程如图，最后得到一条线性链。需避免此种情况出现。
西华大学数学与计算机学院 黄襄念
3. 算法停止：全部顶点都包含于树中。 每次只扩展一个顶点，扩展次数 = |V|-1 = n-1
PrimMST (G) // 输入图 G = <V, E>，生成树 T = <VT, ET>
VT {v0 }
// 任选顶点v0 作为初始生成树
贪婪算法思想及其应用[5篇模版]
![贪婪算法思想及其应用[5篇模版]](https://img.taocdn.com/s3/m/e84e86f581eb6294dd88d0d233d4b14e85243ed2.png)
贪婪算法思想及其应用[5篇模版]第一篇：贪婪算法思想及其应用贪婪算法思想及其应用摘要：贪婪算法也称作贪心算法，它没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择，并且所选的贪婪策略要具有无后向性。
关键词：贪婪策略，无后向性，最优正文：一．贪婪算法的定义：贪婪算法又叫登山法，它的根本思想是逐步到达山顶，即逐步获得最优解，是解决最优化问题时的一种简单但适用范围有限的策略。
二．贪婪算法思想：贪婪算法采用逐步构造最优解的方法，即在每个阶段，都选择一个看上去最优的策略（在一定的标准下）。
策略一旦选择就不可再更改，贪婪决策的依据称为贪婪准则，也就是从问题的某一个初始解出发并逐步逼近给定的目标，以尽可能快的要求得到更好的解。
而且它在设计时没有固定的框架，关键在于贪婪策略的选择。
但要注意的是选择的贪婪策略要具有无后向性，即某阶段状态一旦确定下来后，不受这个状态以后的决策的影响，也就是说某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
三．贪婪算法的优缺点：贪婪算法的优点在于在求解问题的每一步它都是选择最优解，这样算法就容易实现也易于理解，同时也提高了效率并节省了时间。
然而贪婪算法的缺点也是不容忽视的，由于它采取逐步获得最优解的方法而不从整体最优上加以考虑，它所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
因此贪婪算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题它都能得出整体最优解或者是整体最优解的近似解。
四.实例参考：下面就列举用贪婪算法成功得出问题最优解的例子：例：一个小孩拿着一美元去商店买糖果，花了33美分，售货员需要找回67美分给小孩，而美分的面值有25,10,5,1这几种。
问题是售货员找个小孩的钱币的个数应是最少的，但同时要满足67美分这个条件。
分析：选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次都选择面值最大的货币来凑足要找的零钱总数，但前提是不能超出要找的67美分。
解：我们用贪婪算法来处理这个问题，首先我们肯定会选择面值为25的货币，这样的货币我们需要两枚，然后我们依据贪婪准则选择面值为10的货币，这样的货币我们需要一枚，接着继续选择面值为5的货币一枚和面值为1的货币两枚。
贪心算法模板
贪心算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。
贪心算法并不总是得到问题的最优解，但对许多问题它能产生整体最优解或整体最优解的近似解。
下面是一个简单的贪心算法模板，用于解决一些优化问题：pythondef greedy_algorithm(input_data):# 初始化结果变量result = []# 根据输入数据的特性进行排序或预处理sorted_data = sort_or_preprocess(input_data)# 遍历排序后的数据for item in sorted_data:# 检查是否满足某个条件，例如是否可以选择该元素if can_choose(item, result):# 如果满足条件，则选择该元素并更新结果result.append(item)# 可能还需要执行一些额外的操作，例如更新状态或计数器update_state(result, item)return result# 根据具体问题的需要，实现排序或预处理函数def sort_or_preprocess(input_data):# 对输入数据进行排序或预处理pass# 根据具体问题的需要，实现选择条件函数def can_choose(item, result):# 检查是否可以选择该元素pass# 根据具体问题的需要，实现状态更新函数def update_state(result, item):# 更新状态或计数器pass请注意，这只是一个通用的贪心算法模板，具体实现会根据问题的不同而有所变化。
在实际应用中，你需要根据问题的特点来设计合适的排序、选择和状态更新策略。
同时，也需要验证贪心策略是否能够得到全局最优解，或者是否能够得到满意的近似解。
1。
算法设计与分析第04章 贪心算法PPT课件
4.1 活动安排问题
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j 的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集 合A中。
贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对 于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求 得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的 规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。
•}
6
4.1 活动安排问题
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所 以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成 时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法 选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也 就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排 时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。
算法greedySelector的效率极高。当输入的活 动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间 安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。 如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn) 的时间重排。
7
4.1 活动安排问题
例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结 束时间的非减序排列如下：
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4.2 贪心算法的基本要素
3.贪心算法与动态规划算法的差异
贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构 性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最 优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法 求解?是否能用动态规划算法求解的问题也能用贪心算 法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说 明贪心算法与动态规划算法的主要差别。
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4.2 贪心算法的基本要素
1.贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通 过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是 贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动 态规划算法的主要区别。
第三章 贪心算法
2021/2/22
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如果问题改成：砝码的种类分别为11克、5克和1克， 待称的物体是15克。用贪婪算法应先选一个11克的，然 后选四个1克的，共用五个砝码。这不是最优结果，只 要用三个5克的砝码就够了。
贪婪算法虽不能保证得到最优结果，但对于一些除
了“穷举”方法外没有有效算法的问题，用贪婪算法往
往能很快地得出较好的结果，如果此较好结果与最优结 果相差不是很多的话，此方法还是很实用的。
2021/2/22
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当n不太大时，适当的取k值，此改进方法常常可以得到 最优解，但不能因此就说一般背包问题有多项式算法。 当n增大时，k不能随着n不断的加大，如k随n增大而同 时加大，其复杂性就是指数型而不是多项式型的了，而 如k取值较小，又不能保证得出最优解。
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何寻找最优解的学科，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
在运筹学中，优化算法是重要的工具之一，用于解决各种复杂的最优化问题。
本文将介绍一些常见的优化算法以及它们的算法设计原理。
一、贪婪算法贪婪算法是一种简单而直观的优化算法。
它每一步都选择局部最优的解，然后将问题缩小，直至得到全局最优解。
贪婪算法的优点是实现简单、计算效率高，但它不能保证一定能得到全局最优解。
二、动态规划算法动态规划算法通过将原问题分解为一系列子问题来求解最优解。
它通常采用自底向上的方式，先求解子问题，再通过递推求解原问题。
动态规划算法的特点是具有无后效性和最优子结构性质。
它可以用于解决一些具有重叠子问题的优化问题，例如背包问题和旅行商问题。
三、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过递归的方式遍历所有可能的解空间。
它的基本思想是逐步构建解，如果当前构建的解不满足条件，则回退到上一步，继续搜索其他解。
回溯算法通常适用于解空间较小且复杂度较高的问题，例如八皇后问题和组合优化问题。
四、遗传算法遗传算法是一种借鉴生物进化过程中的遗传和适应度思想的优化算法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，生成新的解，并通过适应度函数评估解的质量。
遗传算法具有全局搜索能力和并行搜索能力，适用于解决复杂的多参数优化问题。
五、模拟退火算法模拟退火算法是一种模拟金属退火过程的优化算法。
它通过接受劣解的概率来避免陷入局部最优解，从而有一定概率跳出局部最优解寻找全局最优解。
模拟退火算法的核心是温度控制策略，逐渐降低温度以减小接受劣解的概率。
它适用于求解连续变量的全局优化问题。
六、禁忌搜索算法禁忌搜索算法是一种基于局部搜索的优化算法。
它通过维护一个禁忌表来避免回到之前搜索过的解，以克服局部最优解的限制。
禁忌搜索算法引入了记忆机制，能够在搜索过程中有一定的随机性，避免陷入局部最优解。
它适用于求解离散变量的组合优化问题。
综上所述，运筹学中的优化算法涵盖了贪婪算法、动态规划算法、回溯算法、遗传算法、模拟退火算法和禁忌搜索算法等多种方法。
基本贪婪插入启发式算法
基本贪婪插入启发式算法
基本贪婪插入启发式算法是一种常用的解决组合优化问题的启发式算法，主要应用于图着色问题、工作调度问题等。
该算法的基本思想是按照某种贪婪准则，尽可能地选择当前最优的选择，从而希望这样的局部最优解能够最终导致全局最优解。
在基本贪婪插入启发式算法中，通常需要定义一个优先级规则，用于确定在多个可选的元素中，哪一个应该被优先选择。
这个优先级规则通常基于元素的价值和其“代价”的某种组合。
算法步骤如下：
初始化：创建一个空列表或集合来存储结果。
循环：重复以下步骤直到满足终止条件：
a. 在未处理的元素中选择一个具有最高优先级的元素。
b. 将该元素插入到结果中。
c. 更新该元素的状态（例如，从任务列表中删除它）。
返回结果。
需要注意的是，虽然贪婪算法在许多情况下可以找到近似最优解，但它并不能保证找到全局最优解，特别是在问题具有复杂约束或目标
函数非凸的情况下。
因此，在使用贪婪算法时，需要仔细考虑其适用性和局限性。
(算法分析与设计)2.贪心算法
n
wixi
vixi
28.2
31
31.5
...
i1
[算法思路]1).将各物体按单位价值由高到低排序.
2).取价值最高者放入背包.
3).计算背包剩余空间.
4).在剩余物体中取价值最高者放入背包.
若背包剩余容量=0或物体全部装入背包为止
算法设计与分析 > 贪心算法
背包问题的贪心算法
print tour, cost }
*该算法不能求得最优解. 算法的最坏时间复杂性为O(n2)
该问题为NP难问题.
算法设计与分析 > 贪心算法
4.7 多机调度问题
问题:设有n个独立的作业{1, 2, …, n}, 由m台相同的机器进行加工 处理. 作业i所需时间为t i. 约定:任何作业可以在任何一台机器上 加工处理, 但未完工前不允许中断处理,任何作业不能拆分成更小 的子作业。要求给出一种作业调度方案，使所给的n 个作业在尽 可能短的时间内 由m台机器加工处理完成。 该问题为NP完全问题.
A complete tree is filled from the left: • all the leaves are on • the same level or • two adjacent ones and • all nodes at the lowest level are as far to the left as possible.
最大相容活动子集(1, 4, 8, 11), 也可表示为等长n元数组:(1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1)
算法设计与分析 > 贪心算法
活动安排问题贪心算法
template< class Type > void GreedySelector(int n, Type s[ ], Type f[ ], bool A[] ) { A[ 1 ] = true;
贪婪算法(例题及相关解答)
第 1 章贪婪算法虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。
一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。
但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。
本章首先引入最优化的概念，然后介绍一种直观的问题求解方法：贪婪算法。
最后，应用该算法给出货箱装船问题、背包问题、拓扑排序问题、二分覆盖问题、最短路径问题、最小代价生成树等问题的求解方案。
1.1 最优化问题本章及后续章节中的许多例子都是最优化问题（ optimization problem），每个最优化问题都包含一组限制条件（ c o n s t r a i n t）和一个优化函数（ optimization function），符合限制条件的问题求解方案称为可行解（feasible solution），使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解（optimal solution）。
例1-1 [ 渴婴问题] 有一个非常渴的、聪明的小婴儿，她可能得到的东西包括一杯水、一桶牛奶、多罐不同种类的果汁、许多不同的装在瓶子或罐子中的苏打水，即婴儿可得到n 种不同的饮料。
根据以前关于这n 种饮料的不同体验，此婴儿知道这其中某些饮料更合自己的胃口，因此，婴儿采取如下方法为每一种饮料赋予一个满意度值：饮用1盎司第i 种饮料，对它作出相对评价，将一个数值s i 作为满意度赋予第i 种饮料。
通常，这个婴儿都会尽量饮用具有最大满意度值的饮料来最大限度地满足她解渴的需要，但是不幸的是：具有最大满意度值的饮料有时并没有足够的量来满足此婴儿解渴的需要。
设a i是第i 种饮料的总量（以盎司为单位），而此婴儿需要t 盎司的饮料来解渴，那么，需要饮用n种不同的饮料各多少量才能满足婴儿解渴的需求呢？设各种饮料的满意度已知。
算法总结---最常用的五大算法（算法题思路）
算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）算法总结---最常⽤的五⼤算法（算法题思路）⼀、总结⼀句话总结：> 【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】> 【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】1、贪⼼算法是什么？> 当前看来最好的选择> 局部最优解> 可能得到整体最优解或是最优解的近似解贪⼼算法（⼜称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
贪⼼算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当⼴泛的许多问题他能产⽣整体最优解或者是整体最优解的近似解。
2、贪⼼算法实例？> 求最⼩⽣成树的Prim算法：【边集中依次选取那些权值最⼩的边】> 求最⼩⽣成树的Kruskal算法：【和求最短路径有点相似：不过这⾥是求两个集合之间的距离】：【⼀维中间数组记录到当前已经选择顶点的最短距离】：【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】> 计算强连通⼦图的Dijkstra算法：【和最⼩⽣成树Kruskal类似】【⼆维表记录每个点到每个点的最短距离】【明确所求：dijkstra是求点到点的距离，辅助数组就是源点到⽬标点的数组】【每次从辅助数组中选择最⼩的，⽤选出的点来更新辅助数组】【最简实例分析：⽐如思考dijkstra：假设先只有三个点】> 构造huffman树的算法：【每次都选取权值⼩的两个点合成⼆叉树】Kruskal算法简述在带权连通图中，不断地在边集合中找到最⼩的边，如果该边满⾜得到最⼩⽣成树的条件，就将其构造，直到最后得到⼀颗最⼩⽣成树。
假设 WN=(V,{E}) 是⼀个含有 n 个顶点的连通⽹，则按照克鲁斯卡尔算法构造的过程为：先构造⼀个只含 n 个顶点，⽽边集为空的⼦图，若将该⼦图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是⼀个含有 n 棵树的⼀个森林。
贪心算法总结
贪⼼算法总结简介贪⼼算法（英⽂：greedy algorithm），是⽤计算机来模拟⼀个“贪⼼”的⼈做出决策的过程。
这个⼈⼗分贪婪，每⼀步⾏动总是按某种指标选取最优的操作。
⽽且他⽬光短浅，总是只看眼前，并不考虑以后可能造成的影响。
可想⽽知，并不是所有的时候贪⼼法都能获得最优解，所以⼀般使⽤贪⼼法的时候，都要确保⾃⼰能证明其正确性。
本⽂主要介绍，在解决诸多贪⼼算法的问题之后的⼼得。
常⽤场景最常见的贪⼼算法分为两种。
「我们将 XXX 按照某某顺序排序，然后按某种顺序（例如从⼩到⼤）选择。
」。
「我们每次都取 XXX 中最⼤/⼩的东西，并更新 XXX。
」（有时「XXX 中最⼤/⼩的东西」可以优化，⽐如⽤优先队列维护）第⼀种是离线的，先处理后选择，第⼆种是在线的，边处理边选择。
常见的出题背景为:确定某种最优组合（硬币问题）区间问题（合理安排区间）字典序问题最值问题A最优组合硬币问题是贪⼼算法⾮常经典的题⽬，关于最优组合问题，我认为主要分为两种类型:简单 -- 直接排序之后按照某种策略选取即可复杂 -- 除了按照贪⼼策略外，还需要进⾏某些处理或者模拟硬币问题硬币问题有1元、5元、10元、50元、100元、500元的硬币各C1、C5、C10、C50、C100、C500枚。
现在要⽤这些硬币来⽀付A元，最少需要多少枚硬币？假设本题⾄少存在⼀种⽀付⽅法。
0≤C1、C5、C10、C50、C100、C500≤1090≤A≤109本题是上述说的简单类型的题⽬，简⽽⾔之要使得硬币最少，则优先使⽤⼤⾯额的硬币。
因此本题的解法便⾮常清晰了，只需要从后往前遍历⼀遍即可（默认为硬币已经按⾯额⼤⼩进⾏排序）const int V[6] = {1, 5, 10, 50, 100, 500};int A, C[6]; // inputvoid solve(){int ans(0);for (int i = 5; i >= 0; -- i){int t = min(A / V[i], C[i]);A -= t * V[i];ans += t;}cout << ans << '\n';}零花钱问题POJ3040 AllowanceDescriptionAs a reward for record milk production, Farmer John has decided to start paying Bessie the cow a small weekly allowance. FJ has a set of coins in N (1 <= N <= 20) different denominations, where each denomination of coin evenly divides the next-larger denomination (e.g., 1 cent coins, 5 cent coins, 10 cent coins, and 50 cent coins).Using the given set of coins, he would like topay Bessie at least some given amount of money C (1 <= C <= 100,000,000) every week.Please help him ompute the maximum number of weeks he can pay Bessie.Input* Line 1: Two space-separated integers: N and C* Lines 2..N+1: Each line corresponds to a denomination of coin and contains two integers: the value V (1 <= V <= 100,000,000) of the denomination, and the number of coins B (1 <= B <= 1,000,000) of this denomation in Farmer John's possession.Output* Line 1: A single integer that is the number of weeks Farmer John can pay Bessie at least C allowanceSample Input3 610 11 1005 120Sample Output111这题的题⽬⼤意是:农场主每天都要给贝西⾄少为C的津贴。
算法贪婪法实验报告
一、实验背景与目的随着计算机科学的不断发展，算法在解决实际问题中的应用日益广泛。
贪婪法作为一种重要的算法设计方法，在许多领域都得到了广泛应用。
本实验旨在通过实际案例，让学生了解和掌握贪婪法的基本原理、设计方法以及应用场景。
二、实验内容与步骤1. 实验内容本实验选取两个经典问题作为案例，分别是“最小生成树”和“硬币找零问题”，分别使用贪婪法进行求解。
2. 实验步骤（1）最小生成树问题① 确定问题背景：给定一个无向连通图，要求找到一棵包含图中所有顶点的最小生成树。
② 设计贪心算法：以图中的任意一个顶点为根，选择与根顶点距离最短的顶点作为下一个顶点，并添加到最小生成树中。
重复此步骤，直到所有顶点都被包含在最小生成树中。
③ 实现代码：使用C++语言实现贪心算法，计算最小生成树的总权值。
（2）硬币找零问题① 确定问题背景：给定一系列不同面值的硬币和找零金额，要求找出最少硬币数来凑齐该金额。
② 设计贪心算法：从面值最大的硬币开始，尽可能地使用硬币凑齐金额。
若当前硬币面值大于剩余金额，则尝试使用面值较小的硬币，重复此步骤，直到金额为0。
③ 实现代码：使用C++语言实现贪心算法，计算最少硬币数。
三、实验结果与分析1. 最小生成树问题实验结果表明，使用贪心法求解最小生成树问题时，能够得到一棵包含图中所有顶点的最小生成树。
在实验过程中，我们发现贪心法在求解最小生成树问题时，存在一定的局限性。
例如，当图中存在多个顶点距离相同的情况下，贪心法可能会得到次优解。
2. 硬币找零问题实验结果表明，使用贪心法求解硬币找零问题时，能够得到最少硬币数来凑齐给定金额。
在实验过程中，我们发现贪心法在求解硬币找零问题时，具有较好的性能。
四、实验总结与讨论1. 贪婪法的基本原理贪婪法是一种在每一步都选择当前最优解的算法。
它通过在每一步选择局部最优解，期望得到全局最优解。
然而，贪婪法并不保证能够得到全局最优解，因为它的决策过程是基于局部最优解的。
贪心算法
6.贪心方法模型
a.工程计划模型 b.部分背包与每步最优 c.构造贪心算法
a.工程计划模型
我们常常碰到这样的问题：完成一个工程需
要若干个步骤，每个步骤都有若干种方法， 图示—— 步骤a 步骤b 步骤c ... 步骤n 方法b1 方法c1 方法a1 方法b2 方法c2 方法n1 方法a2 方法b3 方法c3 方法c4
种树问题：一条街道分为n个区域（按1-n编号）， 每个都可种一棵树。有m户居民，每户会要求在区 域i-j区间内种至少一棵树。现求一个能满足所有要 求且种树最少的方案。 算法构造： 1.对于要求，以区间右端（升序）为首要关键字， 左端（升序）为次要关键字排序。 2.按排好的序依次考察这些要求，若未满足，则在 其最右端的区域种树，这时可能会满足多个要求。 证明思路：解法并不唯一，关键是证明没有比该解 法更好的解法。按步骤1排序之后，会发现对于每 个要求，在最右边的区域内种树所得的结果总不会 差于在其他区域种树。至于为什么这样排序，留给 你——读者们思考吧。
每个方法有一个权值（如效率、质量），其大小往 往和其他步骤中选取的方法有关。有些时候权值无 意义，表示方法不可选择。要求给出一个方法组合， 是权值和最大。 在这里，暂且把它称作“工程计划”。很多实际问 题都可以归纳为这个模型。 对于不同形式的工程计划，我们有不同的解法。 若权值与整个过程或前后步骤的方法选择都有关， 我们使用搜索算法——时间复杂度高得吓人。 若每个权值只与上（或下）一步或少数几步的方法 选择都有关，我们使用动态规划——有比较高的效 率，在下一章会讲到。 若每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系，我 们使用贪心方法。
算法分析：设a[i]为第I堆纸牌的张数（0<=I<=n）， v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移动次数。 我们用贪心算法，按照从左到右的顺序移动纸牌。 如第I堆的纸牌数不等于平均值，则移动一次（即s 加1），分两种情况移动： 1．若a[i]>v，则将a[i]-v张从第I堆移动到第I+1堆； 2．若a[i]<v，则将v-a[i]张从第I+1堆移动到第I堆。 为了设计的方便，我们把这两种情况统一看作是将 a[i]-v从第I堆移动到第I+1堆，移动后有a[i]=v; a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v. 在从第I+1堆取出纸牌补充第I堆的过程中可能回出 现第I+1堆的纸牌小于零的情况。
贪心算法实现背包问题算法设计与分析实验报告
算法设计与分析实验报告实验名称 贪心算法实现背包问题 评分 实验日期 年 月 日 指导教师 姓名 专业班级 学号一.实验要求1. 优化问题有n个输入，而它的解就由这n个输入满足某些事先给定的约束条件的某个子集组 成，而把满足约束条件的子集称为该问题的可行解。
可行解一般来说是不唯一的。
那些使目标函数取极值(极大或极小)的可行解，称为最优解。
2.贪心法求优化问题算法思想：在贪心算法中采用逐步构造最优解的方法。
在每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定的标准下）。
决策一旦作出，就不可再更改。
作出贪心决策的依据称为贪心准则（greedy criterion）。
3.一般方法1）根据题意，选取一种量度标准。
2）按这种量度标准对这n个输入排序3）依次选择输入量加入部分解中。
如果当前这个输入量的加入，不满足约束条件，则不把此输入加到这部分解中。
procedure GREEDY(A，n) /*贪心法一般控制流程*///A(1：n)包含n个输入//solutions←φ //将解向量solution初始化为空／for i←1 to n dox←SELECT(A)if FEASIBLE(solution，x)then solutions←UNION(solution，x)endifrepeatreturn(solution)end GREEDY4. 实现典型的贪心算法的编程与上机实验，验证算法的时间复杂性函数。
二.实验内容1. 编程实现背包问题贪心算法。
通过具体算法理解如何通过局部最优实现全局最优，并验证算法的时间复杂性。
2.输入5个的图的邻接矩阵，程序加入统计prim算法访问图的节点数和边数的语句。
3.将统计数与复杂性函数所计算比较次数比较，用表格列出比较结果，给出文字分析。
三.程序算法1. 背包问题的贪心算法procedure KNAPSACK(P，W，M，X，n)//P(1：n)和W(1；n)分别含有按P(i)/W(i)≥P(i+1)/W(i+1)排序的n件物品的效益值和重量。
贪婪法
2
1 贪婪算法的思想
贪婪算法(贪心算法 的根本思想 贪婪算法 贪心算法)的根本思想： 贪心算法 的根本思想： 求方法使生产某产品所花费的时间最少； 例：求方法使生产某产品所花费的时间最少； 最直接的方法：枚举； 最直接的方法：枚举； 高效一点的方法： 高效一点的方法：在生产该产品的每一道工序上都选择 最省时的方法； 最省时的方法； 以逐步的局部最优，达到最终的全局最优。 以逐步的局部最优，达到最终的全局最优。 贪婪算法通过一系列的局部选择来得到一个问题的解。所 贪婪算法通过一系列的局部选择来得到一个问题的解。 作的每一个选择都是当前状态下“最优”的选择。 作的每一个选择都是当前状态下“最优”的选择。 如何判断“当前最优” 如何判断“当前最优”？ 要依照某种策略。策略“只顾眼前，不管将来”，称之 要依照某种策略。策略“只顾眼前，不管将来” 贪婪策略” 为“贪婪策略”。 贪婪算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策 贪婪算法没有固定的算法框架， 略的选择。 略的选择。 贪婪算法能否得到最优解？ 贪婪算法能否得到最优解？
6
问题的形式描述
目标函数： 目标函数：
1≤ i ≤ n
∑px
i
i
约束条件： 约束条件：
1≤i ≤ n
∑w xBiblioteka i i≤M0 ≤ xi ≤ 1, pi > 0, wi > 0,1 ≤ i ≤ n
满足上述约束条件的任一集合 任一集合(x 可 行 解：满足上述约束条件的任一集合 1,x2,…,xn) 都是问题 的一个可行解——可行解可能为多个。 可行解可能为多个。 的一个可行解 可行解可能为多个 称为问题的一个解向量 (x1,x2,…,xn)称为问题的一个解向量 称为问题的一个 最 优 解：能够使目标函数取最大值的可行解是问题的 能够使目标函数取最大值的可行解是问题的 最大值 最优解——最优解也可能为多个。 最优解也可能为多个。 最优解 最优解也可能为多个
算法设计与分析论文(贪心算法)
贪心选择是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪 心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划 算法的主要区别。
贪心选择是采用从顶向下、以迭代的方法做出相继选择，每做一次贪心选择 就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否 具有贪心选择的性质，我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最 优解。通常可以首先证明问题的一个整体最优解，是从贪心选择开始的，而且作 了贪心选择后，原问题简化为一个规模更小的类似子问题。然后，用数学归纳法 证明，通过每一步贪心选择，最终可得到问题的一个整体最优解。
物品超出背包容量为止。伪代码如下：
public static void DepWePr(double[][] a, double c, int[] ans) { // depend on
// the // weight // and price double[] w = new double[a[0].length]; // the weight of goods System.arraycopy(a[0], 0, w, 0, w.length); // copy the array
贪心算法
——不在贪心中爆发，就在贪心中灭亡 徐晓龙 武汉理工大学计算机科学与技术学院软件 ZY1101 班
摘要
本文介绍贪心算法的基本意义以及算法的使用范围，并通过具体的案例来分 析贪心算法的具体应用，从而指出其特点和存在问题。 关键字：贪心算法，贪心策略，TSP、0/1 背包
引言
我们用了 13 周的时间学完了《算法设计与分析》这本书。这本书中涵盖了 大量的常见算法，包括蛮力法、分治法、动态规划法、贪心算法等等。我最有印 象的就是贪心算法。贪心算法是一种有合理的数据组织和清晰高效的算法，它简 单有效。下面我们来详细解读一下这个算法。
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按本例所给数值，取j=0时，因就是前述普通贪婪算法， 已经得到100的结果；取j=1时，共有8种方案，当用29 或23先装入时，可得到54+29+23+1=107的更好结果； 取j=2时，共有28种方案，其中有能将背包完全装满的 结果（43+23+29+14+1=110）。故知此问题当取k≥2时 就可得到最优解。
大家好
1
算法设计与分析
——贪婪算法
2
贪婪算法（greedy algorithms,也叫登山法）
我们来看一个找硬币的例子。假设有四种硬币， 它们的面值分别为二角五分、一角、五分和一分。现 在要找给某顾客六角三分钱。这时，我们会不假思索 地拿出2个二角五分的硬币，1个一角的硬币和3个一 分的硬币交给顾客。这种找硬币方法与其他的找法相 比，所拿出的硬币个数是最少的。这里，我们下意识 地使用了这样的找硬币算法：首先选出一个面值不超 过六角三分的最大硬币，即二角五分；然后从六角三 分中减去二角五分，剩下三角八分；再选出一个面值 不超过三角八分的最大硬币，即又一个二角五分，如 此一直做下去。这个找硬币的方法实际上就是贪婪算 法。
设 G=(V,E) 是 一 个 连 通 带 权 图 ， V={1,2,…,n}。 构 造G的一棵最小生成树的Prim算法的过程是：首先从 图的任一顶点起进行，将它加入集合S中置，S={1}， 然后作如下的贪婪选择，从与之相关联的边中选出权 值c[i][ j]最小的一条作为生成树的一条边，此时满足 条件iS，jV-S，并将该j加入集合中，表示连两个 顶点已被所选出的边连通了。
此问题解的过程如下：
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d24(1)； d24(1)+d13(2)； d24(1)+d13(2)+d15(2)； d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)； d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)+[d45(6)]； （下标中5出现了3次,顶点5有三条边相连,d45(6)放弃） d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)+[d35(9)]； （下标中5出现了3次,顶点5有三条边相连,d35(9)放弃） d24(1)+d13(2)+d15(2)+d25(3)+d34(9)。
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当n不太大时，适当的取k值，此改进方法常常可以得 到最优解，但不能因此就说一般背包问题有多项式算法。 当n增大时，k不能随着n不断的加大，如k随n增大而同 时加大，其复杂性就是指数型而不是多项式型的了，而 如k取值较小，又不能保证得出最优解。
10
例3．巡回推销员问题
设有5座城市，城市间的距离矩阵为：
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所 给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处 理完成。
20
这个问题是一个NP完全问题，到目前为止还没有一个 有效的解法。对于这一类问题，用贪婪选择策略有时可 以设计出较好的近似算法。采用最长处理时间作业优先 的贪婪选择策略可以设计出解多机调度问题的较好的近 似算法。按此策略，当n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti] 时间区间分配给作业i即可。
7
C
如果对上述算法作一些改进，可得到更好的结果。先从 n个物体中试着取j个总体积不超过C的装入背包，剩下 的(n-j)个物体则利用贪婪算法尽量往里装。此j值从零 开始逐渐增加，反复进行试探，直至j达到某预先给定 的常数k(0<k<n)，最后从这些结果中取其最好的一个。 如果在试探中能得到一个完全装满的方案，则此过程就 可提前结束。因为从n个物体中取出j个共有 C n种j 方案， 此值随着j的增加而增加较快，但可以证明此改进算法 的复杂性为O（knk+1）,因k是常数，故仍为多项式界的 算法。
17
最后得到的回路如图（a）的结果，总长度为50。
18
不过，这不是此问题的最优解，此问题的最优解为下图 所示的路径(可以用分枝限界等方法求得)，总长度为 48.39。用贪婪方法得到的结果同最优解相比只多了 3.3%。
19
例5: 多机调度问题
设有n个独立的作业{1,2,…,n}，由m台相同的 机器进行加工处理。作业i所需的处理时间为ti。现 约定，任何作业可以在任何一台机器上加工处理， 但未完工前不允许中断处理。任何作业不能拆分成 更小的子作业。
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例1．选取砝码
设天平有一些25克的砝码，一些10克的砝码，一些5克 的砝码和一些1克的砝码。现要称63克的物体，问至少 需要用几个砝码。
用贪婪算法，为了砝码数最少，在不超过63克的 前提 下，每次都尽量选择大的砝码，即头两次选25克 的，然后选一个10克的，最后选三个1克的。总共用六 个砝码，事实说明这是最好的结果。
3
顾名思义，贪婪算法总是作出在当前看来是最 好的选择。也就是说贪婪算法并不从整体最优上加 以考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部 最优选择。当然，我们希望贪婪算法得到的最终结 果也是整体最优的。上面所说的找硬币算法得到的 结果就是一个整体最优解。虽然贪婪算法不是对所 有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许 多问题它能产生整体最优解。如图的单源最短路径 问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪 婪算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最 优解的很好的近似解。
(1)使任一城市的度数（连线数）超过2的连线必须 舍弃；
(2)在得到经过所有点的回路前就形成小回路的连 线必须舍弃。
距离按从小到大的次序排列:
Dde(3),
Def(5), Dbe(11.01), Dbf(14.32), Dad(16.55),
Dab(5),
Dbc(5),
Dac(7.07), Ddf(7.62),
6
例2. 背包问题
设有n=8个体积分别为54，45，43，29，23，21， 14，1的物体和一个容积为C=110的背包，问选择哪几个 物体装入背包可以使其装的最满。
如直接用贪婪算法，将物体由大到小顺次装入背包， 到装不下时再逐个试装更小的一些，直至试到最小的一 个或装满为止。按此处所给数据，先装入54和45两个， 容积尚余11，最后只能再装入体积为1的一个，总体积 达到100，并不算太满。此方法的好处是节省时间，主 要的运算时间是用来对n个元素进行排序，故其复杂性 是O（nlogn）。
Dde+Dab+Dbc+Def+[Ddf]；(形成小回路，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+[Dbe]；(b顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+[Dbd]；(b顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd； Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dbf]；(b顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dce]；(c、e顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dae]；(e顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dae]；(e顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+[Dad]；(d顶点度数超过2，舍弃) Dde+Dab+Dbc+Def+Dcd+Daf；得到1条回路
当n＞m时，我们首先将n个作业依其所需的处理时间 从大到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理 机。
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例如，设7个独立作业{1,2,3,4,5,6,7}由3台机器 M1,M2,和M3来加工处理。各作业所需的处理时间分别 为{2,14,4,16,6,5,3}。按贪婪算法产生的作业调度如图 4-13所示，所需的加工时间为17。
26
Prim最小生成树算法
Prim在1957年提出另一种算法，这种算法特别适 用于边数相对较多，即比较接近于完全图的图。此算 法是按逐个将顶点连通的步骤进行的，它只需采用一 个顶点集合。这个集合开始时是空集，以后将已连通 的顶点陆续加入到集合中去，到全部顶点都加入到集 合中了，就得到所需的生成树。
得到一条回路：
v1→v3→v4→v2→v5→v1
同由分枝限解方法得到的路径相同，因此是最佳 的回路。
13
例4 设有六个城市，其坐标分别为a(0,0), b:(4,3), c:(1,7), d:(15,7), e(15,4), f:(18,0)。如下图所示：
14
6座城市间的距离矩阵为：
5 7.07 16.55 15.52 18
Dbd(11.7), Dcd(14),
Dce(14.32), Dae(15.52),
Daf(18), Def(18.38)
16
按贪婪算法原则，其选择过程如下：
Dde； Dde+Dab； Dde+Dab+Dbc； Dde+Dab+Dbc+Def；
Dde+Dab+Dbc+Def+[Dac]；(形成小回路，舍弃)
24
例如，对于下图中的带权图
各边按权值排序为：
d13=1 d34=5
d46=2 d23=5
d25=3 d12=6
d36=4 d35=6
d14 = 5 d56=6
25
按Kruskal算法选取边的过程如下图所示。
d13=1 d46=2 d25=3 d36=4 d14=5 d34=5 d23=5 d12=6 d35=6 d56=6
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以后每次从一个端点在集合中而另一个端点在集 合外的各条边中选取权值最小的一条作为生成树的一 条边，并把其在集合外的那个顶点加入到集合S中，表 示该点也已被连通。如此进行下去，直到全部顶点都 加入到集合S中。在这个过程中选取到的所有边恰好构 成G的一棵最小生成树。