数学建模 数学实验 插值及案例
数学建模数学实验插值及案例
数学建模数学实验插值及案例在科学研究和工程实践中，数学建模扮演着至关重要的角色。
通过建立数学模型，我们可以对现实世界的现象进行模拟和预测。
其中，插值方法是一种重要的数学建模工具，用于估计在给定数据点之间的未知值。
本文将探讨插值方法的基础理论以及一个具体的数学实验案例。
插值方法是一种数学技术，通过在给定的数据点之间估计未知的值。
最常用的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
线性插值是最简单的插值方法，它将数据点之间的变化视为线性的，即变化率保持恒定。
多项式插值方法则通过构建一个多项式函数来逼近数据点的变化趋势。
样条插值则通过将数据点连接成平滑的曲线来进行插值。
本案例将利用多项式插值方法对房价进行预测。
我们收集了一组房屋价格数据，包括房屋的面积、房龄、位置等信息。
然后，我们使用多项式插值方法构建一个函数来描述房价与这些因素之间的关系。
通过调整多项式的阶数，我们可以控制模型的复杂性。
我们使用该模型来预测新的房价。
在本案例中，我们使用了200个样本数据进行训练，并使用另外100个数据点进行测试。
我们发现，通过增加多项式的阶数，模型的预测精度可以得到提高。
然而，当阶数增加到一定程度后，模型的性能改善不再明显。
我们还发现模型的预测结果对训练数据的分布非常敏感，对于分布偏离较大的新数据点，预测结果可能会出现较大误差。
通过本次数学实验，我们深入了解了插值方法在数学建模中的应用。
在实际问题中，插值方法可以帮助我们更好地理解数据的变化趋势和预测未知的值。
然而，插值方法也存在一定的局限性，如本实验中模型对训练数据分布的敏感性。
未来工作中，我们可以尝试采用其他更加复杂的模型，如神经网络、支持向量机等来提高预测精度。
我们还应充分考虑数据的分布特性，以提高模型的泛化能力。
插值方法是数学建模中的重要工具之一，它可以让我们更好地理解和预测数据的趋势。
通过本次数学实验，我们深入了解了多项式插值方法的工作原理和实现过程，并成功地将其应用于房价预测问题中。
数学建模实验报告(3)插值
数学模型实验报告——插值专业：姓名：李学号：姓名：刘学号：姓名：汪学号：数学模型实验报告（插值）一、 实验目的：1、了解插值的基本内容。
2、掌握用数学软件包求解插值问题。
二、实验内容：（一）一维插值一、插值的定义 已知n+1个节点,,1,0(),(n j y x j j =其中 j x 互不相同，不妨设),10b x x x a n =<<<= 求任一插值点 )(*j x x ≠处的插值.*y构造一个(相对简单的)函数),(x f y =通过全部节点, 即 ),1,0()(n j y x f j j ==再用)(x f 计算插值，即).(**x f y =二、插值的方法拉格朗日(Lagrange)插值已知函数f (x )在n +1个点x 0,x 1,…,xn 处的函数值为 y 0,y 1,…,yn 。
求一n 次多项式函数Pn (x )，使其满足：Pn (xi )=yi ,i =0,1,…,n .解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下∑=⋅=ni i i n y x L x P 0)()(其中Li (x ) 为n 次多项式：)())(())(()())(())(()(11101110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L ----------=+-+-称为拉格朗日插值基函数。
特别地:两点一次(线性)插值多项式:()101001011y x x x x y x x x x x L --+--=三点二次(抛物)插值多项式:()()()()()()()()()()()()()2120210121012002010212y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x L -⋅--⋅-+-⋅--⋅-+-⋅--⋅-=().,满足插值条件直接验证可知x L n例55,11)(2≤≤-+=x xx g 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n +1，其中n 为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge 现象 解：编写M 文件程序如下： m=101;x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2);z=0*x;plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x^2)'),pause n=3; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x); hold on ,plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'),pause,hold off n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x); hold on ,plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'),pause,hold offn=7;x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2);y3=lagr1(x0,y0,x);hold on , plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'), pause,hold off n=9; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on ,plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'),pause,hold off n=11; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y5=lagr1(x0,y0,x);hold on , plot(x,y5,'m'),gtext('n=10')分段线性插值计算量与n 无关; n 越大，误差越小.n n n x x x x g x L ≤≤=∞→0),()(lim例66,11)(2≤≤-+=x xx g 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1. 在[-6,6]中平均选取5个点作插值 2. 在[-6,6]中平均选取11个点作插值 3. 在[-6,6]中平均选取21个点作插值 4. 在[-6,6]中平均选取41个点作插值 解：编写M 文件程序如下：x=linspace(-6,6,100); y=1./(x.^2+1);x1=linspace(-6,6,5);%第三个参数表示插值点的个数，可分别改为11，21，41 y1=1./(x1.^2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidth',1.5), gtext('n=4'),运行结果如下图：结果分析：插值点越多越接近原函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤--==+++---=∑其它,0,,)()()(111111j j j j j jj j jj j nj j j n x x x x x x x x x x x x x x x l x l y x L三次样条插值比分段线性插值更光滑。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
实验二 插值法
实验二 插值法实验2.1（多项式插值的振荡现象）问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时，)(x L n 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数22511)(xx f +=实验内容：考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为 n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为 201()()125nn ii iL x l x x ==+∑其中的n i x l i ,,2,1,0),( =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：（1） 选择不断增大的分点数目n=2,3….，画出原函数f(x)及插值多项式函数)(x L n 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g x xx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
（3）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 1,,2,1,)1(2)12(cos 22+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=n k n k a b a b x k π 以121,,+n x x x 为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析原因。
实验2.2（样条插值的收敛性）问题提出：多项式插值是不收敛的，即插值的节点多，效果不一定就好。
对样条函数插值又如何呢？理论上证明样条插值的收敛性是比较困难的，但通过本实验可以验证这一理论结果。
实验内容：请按一定的规则分别选择等距或者非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。
考虑实验2.1中的函数或选择其他你有兴趣的函数。
实验要求：（1）随节点个数增加，比较被逼近函数和样条插值函数误差的变化情况。
分析所得结果并与拉格朗日多项式插值比较(可以用MATLAB 的函数“spline”作此函数的三次样条插值，取n=10、20，分别画出插值函数及原函数的图形)。
数学建模插值与拟合实验题
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2007年大学生数学建模竞赛A题：“中国人口增长预测”附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形
（1）对1994-2005年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此预测2006-2022年间的性别比。
（2）生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合；
（3）按时间分布对城、镇、乡生育率进行分析，以时间为自变量，生育率为因变量，对城、镇、乡的生育率进行拟合，并预测2006-2022年间的生育率。
（4）将某年的城镇化水平PU(t)定义为当年的城镇人口数与总人口数之
比,Karmehu(1992年)研究发现20世纪50年代以来发达国家随着经济发展水平的提高，城镇人口的增长相对农村要快一些，但是随着城镇化水平的提高，并趋向100%时，速度会减缓，城镇化水平的增长曲线大致表现为一条拉伸的“S”型Logitic曲线[4]，对附录2中所给出2001年—2005年中国人口1%调查数据进行曲线拟合，求得该曲线，并绘制2001-2050年的城镇化水平的曲线图。
2.处理2022年大学生数学建模竞赛A题：“城市表层土壤重金属污染分析”附件中的数据，完成下列问题
（1）以城区取样点位置为节点进行插值，绘制城区的地形图和等高线图；（2）绘制城区的8种重金属浓度的空间分布图。
并指出浓度最高和最低的点所在的位置。
插值的方法可用三次插值、kriging插值、Shepard插值等。
工具可用Matlab，也可用urfer软件实现。
插值法补全数据建模实例
插值法补全数据建模实例插值法是一种数据建模方法，可以用于补全数据。
下面是一个利用插值法补全数据建模的实例：题目：利用插值算法将偶数周的数据补全，并画出图线。
使用的函数和方法：- 直接从Excel 赋值创建矩阵。
- 使用`size()`函数获取矩阵的大小（1 为获取行数，2 为获取列数）。
- 创建字符串数组。
- 创建0 矩阵`zeros()`。
- 三次样条插值`spline`，三次埃尔米特插值`pchip()`。
- 画图`plot()`：颜色、点型、线型、线宽（`linewidth`）。
- 画子图`subplot(m,n,p)`。
- 设置`xy`坐标名称：`xlabel`，`ylabel`。
- 设置图的标题：`title()`。
代码：```clc;week =(1,3,5,7,9,11,13,15);name = ("轮虫(10^6/L)","溶氧(mg/l)","COD(mg/l)","水温(℃)","PH 值","盐度","透明度(cm)","总碱度","氯离子","透明度","生物量");%y 矩阵直接用从 Excel 复制创建result_spline = zeros(size(sample,1),15);%用于接收使用样条插值之后的全部结果result_pchip = zeros(size(sample,1),15);new_week =1 : 15;%遍历全部指标，利用三次样条插值进行计算for row =1 : size(sample , 1)row_sample = sample(row , :);```在这个例子中，我们使用了三次样条插值和三次埃尔米特插值来补全偶数周的数据，并将结果存储在`result_spline`和`result_pchip`矩阵中。
数学建模插值法
x1 x2 … xn y1 y2 … yn
怎样计算其它点的函数值？
2021/8/14
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二、问题的解决
两种方法： （1）函数插值； （2）曲线拟合．
2021/8/14
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三、插值法
定义：当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一系 列节点 x0 … xn 处测得函数值
y0 = f(x0), … ，yn = f(xn)， 由此构造一个简单易算的近似函数 p(x) f(x)，满足条件
p(xi) = f(xi) (i = 0, … n)------ 插值条件 这里的 p(x) 称为f(x) 的插值函数；
构造插值函数的方法为插值法。
当 p(x)为多项式时，我们称p(x)为插值多项式；构 造插值多项式的方法称为多项式插值法.
2021/8/14
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多项式插值法包含：
拉格朗日插值 牛顿插值 三次埃尔米特插值法 分段线性插值 分段三次埃尔米特插值法 三次样条插值
2021/8/14
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四、插值法的matlab实现
命令：interp1(x0,y0,x，’method’) 其中：x0：插值节点；
y0：插值节点处的函数值； x：要计算函数值的点；
method：
l i n e a r ：分段线性插值； c u b i c ：分段三次埃尔米特插值； s p l i n e ：三次样条插值。
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
X 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 Y 1200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 3600 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980
数学建模实验报告2 插值与拟合
淮阴工学学院数理学院数学建模与实验课程实验报告实验名称二、插值与拟合实验地点26#114 日期2014-10-14姓名班级学号成绩通过实例学习如何用插值和拟合方法解决实际问题，从而提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
【实验内容】A组题1、有1个不规则的钢管经过测量经过如下坐标点，该钢管的线密度为7.85g/cm。
求该钢管质量。
X(cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Y(cm) 1 -1.97 -8.79 -18.08 -27.56 -32.27 -29.41 -16.86+m 4+m 45+m其中m为你的学号后两位乘以0.1.2、下表给出我国人口从1995年到2004年的人口总数（单位：万人），我们考虑用Logistic 模型预测我国人口2030年总量。
表1 1995年到2004年的我国人口总数（单位：万人）请拟合出Malthus人口模型和Logistic人口模型中的参量，并且分别用这两个型预测2005年到2010年我国人口总量，并且与真实值比较，填写下表2：相对误差 = | 预测值 - 真实值 |/真实值（即绝对误差所占真实值的百分比）B组血管的三维重建假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。
运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
数学建模案例与方法教学课件第5章插值法与拟合方法
5.1 城市供水量的预测问题
图5-3 三种插值函数曲线
5.1 城市供水量的预测问题
3. 用2000—2006年每年1月份城市的总用水量预测
由表5-2可得到7个 插值节点（x i，y i）， 其中，xi=i，i=1,2,…,7， 其散点图如图5-4所示。 用三次样条插值法求得 的f(8)=4 378.139 0×104 t即为所求的 2007年1月份总用水量 的估计值，表5-3
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.2 用插值法预测2007年1月份城市的总用水量
预测2007年1月份城市的用水量有三种 办法：一是用2006年的日用水量进行预测， 二是用2000—2006年每年1月份的日用水量 进行预测，三是用2000—2006年每年1月份
5.1 城市供水量的预测问题
1. 用2006年的日用水量进行预测
图5-4 2000—2006年每年1月份 城市的总用水量散点图
5.1 城市供水量的预测问题
5.1 城市供水量的预测问题
5.1.3 用数据拟合方法预测2007年1月份城市的总用水量 1. 用2006年每天的日用水量进行预测
由图5-1可知，这些点并不是简单地成线性或二次关系， 而是具有很强的聚集性。我们试图用几个多项式进行拟合。 用 MATLAB工具箱得到的拟合结果见表5-4。
5.2.1 曲线拟合
【实例】 气象部门观测到一天中某些时刻t的温度T变化数据见 表5-6。试描绘出温度变化曲线。
5.2 MATLAB与拟合、插值
曲线拟合就是计算出两组数据之间的一 种函数关系，由此可描绘其变化曲线及估计
曲线拟合有多种方式，下面是一元函数 采用最小二乘法对给定数据进行多项式曲线
5.2 MATLAB与拟合、插值
数学建模插值及拟合详解
插值和拟合实验目的：了解数值分析建模的方法，掌握用Matlab进行曲线拟合的方法，理解用插值法建模的思想，运用Matlab一些命令及编程实现插值建模。
实验要求：理解曲线拟合和插值方法的思想，熟悉Matlab相关的命令，完成相应的练习，并将操作过程、程序及结果记录下来。
实验内容：一、插值1．插值的基本思想·已知有n +1个节点（xj,yj），j = 0,1,…, n，其中xj互不相同，节点(xj, yj)可看成由某个函数y= f （x）产生；·构造一个相对简单的函数y=P(x)；·使P通过全部节点，即P (xk) = yk，k=0,1,…, n ；·用P (x)作为函数f ( x )的近似。
2．用MA TLAB作一维插值计算yi=interp1(x，y，xi，'method')注：yi—xi处的插值结果；x，y—插值节点；xi—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：线性插值；‘spline’：三次样条插值；‘cubic’：立方插值；缺省时：线性插值）。
注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。
练习1：机床加工问题每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步。
表3-1给出了下轮廓线上的部分数据但工艺要求铣床沿x方向每次只能移动0.1单位.这时需求出当x坐标每改变0.1单位时的y坐标。
试完成加工所需的数据，画出曲线.步骤1：用x0，y0两向量表示插值节点；步骤2：被插值点x=0:0.1:15; y=y=interp1(x0,y0,x,'spline');步骤3：plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on答：x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ];y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ];x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x0,y0,'k+',x,y,'r')grid on3．用MA TLAB作网格节点数据的插值(二维) z=inte rp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)注：z—被插点值的函数值；x0，y0，z0—插值节点；x，y—被插值点；method—插值方法（‘nearest’：最邻近插值；‘linear’：双线性插值；‘cubic’：双三次插值；缺省时：双线性插值）。
数学建模实验报告 第十八章 插值与拟合
实验名称：第十八章插值与拟合一、实验内容与要求学会用Matlab语言编写程序进行差值和拟合的各种常规运算。
二、实验软件MATLAB6.5三、实验内容1、用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。
v(t)=V-(V-V0)e−tτ试由下面一组t,v数据确定V0和τ。
程序：Function y=dianya(x,t)y=10-(10-x(1))*exp(-t/x(2))t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];v=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];x0=[0.2,0.05];x=lsqcurvefit('dianya',x0,t,v)y=dianya(x,t)实验结果：x=5.5577 3.50022、弹簧在力F的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定律：F与x成正比，即F=kx。
现在得到下面一组F、x的数据，并在（x，F）的坐标下作图，可以看到当F大到一定的数据后，就不服从这个定律了。
试由数据确定k，并给出不服从胡克定律时的近似公式。
分析：这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值先用线性拟合来观察所有的数据程序：x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1 ];a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k +',x,z,'r')可以看到当弹簧伸长10单位长度后，拟合的情况和不好故先取值前五个数据进行线性拟合x=[0 1 2 4 7 9 ];f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 ];a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,'k +',x,z,'r')实验结果：a =1.7085 0.0008图形如下：可以看到拟合良好，故可以用F=1.7085X来表示力和弹簧伸长的关系。
数学建模讲稿插值拟合方程求根
根据直线的点斜式方程变形得到 q(x)在第 i 段 ?xi?1, xi ?上的表达式
为
q(x) ?
x ? xi xi?1 ? xi
yi ?1
?
x ? xi?1 xi ? xi?1
yi , xi?1
?
x?
xi ,i
? 1,2,?
,n
可以证明，分段线性插值具有良好的收敛性，即 lim q(x) ? f (x), 其 n? ?
[xi,yi]=meshgrid(1:0.1:12,5:85);
zi=interp2(x, y, z, xi, yi,); mesh(xi, yi, zi) xlabel(‘月份' ) ylabel(‘纬度' ) zlabel(‘气旋' )
axis([0 12 0 90 0 50])
title(‘南半球气旋可视化图形' )
j?0
可知
m
mn
? ? ? ?
2 2
? (S ( xi ) ? yi )2? ( a j? j ( xi ) ? yi )2
i? 0
i?0 j?0
为拟合系数 a j ( j ? 0,1, L , n )的函数
因此可假设
mn
? ? ? (a0 , a1 ,L , an ) ? ( a j? j ( xi ) ? yi )2
y=
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85
实验2插值法应用实训 - 插值算法在数字地形模型中的应用
3.双 三 次 插 值
双三次插值又称立方卷积插值。三次卷积插值是一种更加复杂的插值方式。该算法利用 待采样点周围 16 个点的值作三次插值，不仅考虑到 4 个直接相邻点的值影响，而且考虑到
Delaunay 三角剖分：如果点集 V 的一个三角剖分 T 只包含 Delaunay 边，那么该
三角剖分称为 Delaunay 三角剖分。
在 MATLAB 下对数据进行 Delaunay 三角剖分的代码为： tri = delaunay(x,y); triplot(tri，x,y); 得到数据的剖分图如下图所示：
图 4 数据二维分布图 然后对数据进行 Delaunay 三角剖分； Delaunay 三角剖分必须具有如下性质：
Delaunay 边：假设 E 中的一条边 e（两个端点为 a,b），e 若满足下列条件，则
称之为 Delaunay 边：存在一个圆经过 a,b 两点，圆内(注意是圆内，圆上最多三
点共圆)不含点集 V 中任何其他的点，这一特性又称空圆特性。
f (i u, j v) f (i, j)
其中，f (i，j) 表示已知点在坐标系下的坐标值；u 、v 均为[0,1) 区间的浮点数，分别表 示待插值点与最邻近点在水平和竖直方向的距离。
2.双 线 性 插 值
双线性插值又称一阶插值，其原理是待插值点在所有已知点中与其相邻的 4 个点在 2 个方向上的线性内插，即根据待采样点与周围 4 个邻点的距离确定相应的权值，计算出待 采样点的值。与最邻近插值相比，运算量仅有少量提高，但放大效果有了明显改善，应用很 广泛。其插值公式如下：
插值法实验案例范文
插值法实验案例范文插值法是一种数值分析方法，用于通过已知数据点推测未知数据点的近似值。
该方法通过在已知数据点之间进行插值计算，并利用插值多项式来描述数据点之间的曲线。
插值法在很多领域都有广泛的应用，比如图像处理、信号处理以及科学计算等领域。
下面我将为大家介绍一个插值法的实验案例。
实验目的：通过插值法来估计未知数据点的近似值。
实验材料：1.已知数据点的数据表格2.插值法计算工具实验步骤：1.收集已知数据点的数据表格，并整理该数据表格，找到未知数据点的位置。
2.将数据表格中的已知数据点用插值法进行计算，并将计算结果填入未知数据点的位置。
3.使用插值法计算工具来计算每个未知数据点的近似值。
4.对每个未知数据点进行计算，并记录计算结果。
5.用插值法计算结果与实际值进行比较，评估插值法的准确性。
实验案例：假设我们有一个关于温度变化的数据表格。
已知温度数据点如下：时间（小时）温度（摄氏度）0202254286?8?1030我们需要用插值法来计算问号处的温度值。
首先，我们可以使用拉格朗日插值法来进行计算。
拉格朗日插值法使用一个多项式来逼近所有已知数据点。
具体计算步骤如下：1.将已知数据点用拉格朗日插值多项式表示：L(x)=L0(x)*y0+L1(x)*y1+L2(x)*y2其中，L(x)为插值多项式，Li(x)为基函数，yi为已知数据点的温度值。
2.计算每个基函数Li(x)：L0(x)=(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)L1(x)=(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)L2(x)=(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)3.将插值多项式带入未知数据点的x值，并解出对应的温度值：L(6)=L0(6)*20+L1(6)*25+L2(6)*28L(8)=L0(8)*20+L1(8)*25+L2(8)*28计算结果如下：L(6)=(6-2)(6-4)/(0-2)(0-4)*20+(6-0)(6-4)/(2-0)(2-4)*25+(6-0)(6-2)/(4-0)(4-2)*28=(3*2)/(-8)*20+(-6*2)/(-4)*25+(6*4)/(8)*28=6/4*20+3*5*25+3*14*28=30+375+1176=1581L(8)=(8-2)(8-4)/(0-2)(0-4)*20+(8-0)(8-4)/(2-0)(2-4)*25+(8-0)(8-2)/(4-0)(4-2)*28=(6*4)/(-8)*20+(8*4)/(-4)*25+(8*6)/(8)*28=12/2*20+8*(-5)*25+8*3*28=120+(-1000)+672=-208通过插值法计算，我们得出未知数据点的温度值为1581摄氏度和-208摄氏度。
数学建模 数学实验---插值及案例
四、插值方法及MATLAB求解
插值方法 选用不同类型的插值函数，逼近的效 果就不同，一般有： 拉格朗日插值（lagrange插值） 分段线性插值 Hermite 三次样条插值。
MATLAB实现插值 MATLAB自身提供了如下内部的功能函数:
一维插值函数：interp1()
例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表 给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200） ×（-50，150）里的哪些地方船要避免进入．
x y z x y z 129 140 103.5 88 185.5 195 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 4 8 6 8 6 8 157.5 -6.5 9 107.5 -81 9 77 3 8 105 85.5 8
被插值点 的函数值
插值节点 被插值点
插值方法
注：要求x0,y0单调；x， ‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； y可取为矩阵，或x取行向 双三次插值； 量，y取为列向量，x,y的 ‘cubic’ 缺省时 双线性插值. 值分别不能超出x0,y0的范 围．
例 用以上4种方法对 z xe 式插值效果进行比较。 t=-2:0.5:2
%作图
练习 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y 值．
X Y
0 0
3 1.2
5 1.7
7 2.0
9 2.1
11 2.0
12 1.8ห้องสมุดไป่ตู้
13 1.2
14 1.0
15 1.6
y
机翼下 轮廓线
x
用MATLAB作二维插值计算
数学建模试验报告-插值
数学建模试验报告（七）姓名 学号 班级 问题：.（插值）在某海域测得一些点(x,y)处的水深z 由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。
.问题的分析和假设：分析:本题利用插值法求出水深小于5英尺的区域，利用题中所给的数据，可以求出通过空间各点的三维曲面。
随后，求出水深小于5英尺的范围。
基本假设：矩形区域外的海域不对矩形海域造成影响。
符号规定：x ―――表示海域的横向位置y ―――表示海域的纵向位置z ―――表示海域的深度建模： 1.输入插值基点数据。
2．在矩形区域（75,200）×（－50,150）作二维插值，运用三次插值法。
3．作海底曲面图。
4．作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。
xyz129 140 103.5 88 185.5 195 105 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 4 8 6 8 6 8 8 xyz 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5 9 9 8 8 9 4 9求解的Matlab程序代码：x=[129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5];z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];cx=75:0.5:200;cy=-50:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,[-5 -5]);gridhold onplot(x,y,'*')xlabel('X'),ylabel('Y')计算结果与问题分析讨论：运行结果：Figure1:海底曲面图：Figure 2 ：水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.问题分析讨论：用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各科学领域，但在实际问题中，往往是通过实验、获得函数在一些点上的函数值，而难以得到函数的解析表达式。
数学建模第四讲(上)：插值模型
对于某个实验，得到了6次实验结果，由于不小心遗失了某些数据。现在已 知5次实验相关的数据之后，估算出遗失的数据。
实验数据 实验1 实验2 自变量 200 220
应变量 4
4.5
实验3 240 ？
实验4 250 4.7
实验5 270 4.8
实验6 280 5.2
如何根据已知5次实验的数据资料较准确估计第3次实验的数据呢？
5.2 拉格朗日插值公式
5.2.1 线性拉格朗日插值
Y
给定f(x)的2点函数表，求一个f(x) 的近似函数经过这两个已知点。
x
x0
x1
y
y0
y1
y0
在最简单的情况下，过这两个已知
点可以作一个什么图形近似f(x)？
0
x0
y=L1(x) y=f(x)
y1
x1
X
5.2 拉格朗日插值公式
直线y=L1(x)的两点式方程为：
i
0
1
2
3
xi
-2
-1
1
2
f(xi) 5
3 17 21
解：差商表如下
xi ƒ(xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
-2
5
-1
3
已知f (x) x3 2x 3，求f [0,1], f [0,1, 2].
f [0,1]
f
(1) 1
f 0
(0)
0
(3) 1
3
f [1, 2]
f
(2) 2
f 1
(1)
9
1
0
9
f [0,1, 2]
f
[1,
2] 2
f 0
[0,1]
数学建模-插值拟合的案例讲解
估计水塔的流量
内容
问题
解题思路
算法设计 与编程
表 1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动）
y=0:400:4800;
z=[370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;
510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;
650 760 880 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
162 117.5]; y=[7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -
33.5]; z=[-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9];
cx=75:0.5:200; cy=-70:0.5:150; cz=griddata(x,y,z,cx,cy','cubic');
数学模型之拟合插值
1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; R=[(x.^2)' x' ones(11,1)]；
MATLAB(zxec1)
A=R\y'
2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317
8
10
12
14
16
18
25
ÒÑÖªÊý¾Ýµã 20
15 spline
10 Èý´Î¶àÏîʽ²åÖµ 5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
8
曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) 其中 a1,a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）： （1）
min F (a, b, k ) [a be
j 1 10 0.02 kt j
c j ]2
22
解法1. 用命令lsqcurvefit
F(x，tdata)= (a be0.02kt1 ,, a be0.02kt10 )T ，x=(a，b，k) 1）编写M-文件 curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k; 2）输入命令 tdata=100:100:1000 cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39, 6.50,6.59]; x0=[0.2,0.05,0.05]; x=lsqcurvefit ('curvefun1',x0,tdata,cdata) f= curvefun1(x,tdata)
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例 从1点12点的11小时内，每隔1小时测量一次温度， 测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29， 31，30，22，25，27，24．试估计每隔1/10小时的 温度值．
解： hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') xlabel('Hour'),ylabel('Degrees’)
figure(2) subplot(221),mesh(xi,yi,zi1),title(‘最近点插值') subplot(222),mesh(xi,yi,zi2),title(‘线性插值') subplot(223),mesh(xi,yi,zi3),title(‘样条插值') subplot(224),mesh(xi,yi,zi4),title(‘立方插值')
[xi,yi]=meshgrid(-2:.125:2); zi1=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest'); zi2=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear'); zi3=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline'); zi4=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');
插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又 十分重要的应用，例如，信息技术中的图像重建、图 像放大中为避免图像的扭曲失真的插值补点、建筑工 程的外观设计。化学工程实验数据与模型的分析、天 文观测数据、地理信息数据的处理如(天气预报）以 及社会经济现象的统计分析等等。
插值方法在数学建模竞赛中也发挥着重要的作用， 历年很多赛题中如与图形处理有关的问题很多与插值 有关系，例如98年美国赛A题，生物组织切片的三维 插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值 计算， 2005年的雨量预报的评价的插值计算等。
插值方法
注：要求cx 取行向量，cy
取为列向量．
‘nearest’最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 'v4'- MATLAB提供的插
值方法 缺省时, 双线性插值
例 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表 给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200） ×（-50，150）里的哪些地方船要避免进入．
试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。
X Y
1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600
1200
1130 1320 1390 1500 1500 1500 1480
1600
1250 1450 1500 1200 1200 1550 1500
2000
1280 1420 1500 1100 1100 1600 1550
‘cubic’or‘pchip’：分段三次Hermite插值，确 定三次Hermite函数，根据该函数确定插值点的函数 值。
缺省时 表示分段线性插值。
例 用以上4种方法对y=cosx在[0,6]上的一维插值效果进行比较。 x=0:6; y=cos(x); xi=0:.25:6; yi1=interp1(x,y,xi,'nearest'); yi2=interp1(x,y,xi,'linear'); yi3=interp1(x,y,xi,'spline'); yi4=interp1(x,y,xi,‘pchip‘or’cubic’); plot(x,y,'ro',xi,yi1,'--',xi,yi2,'-',xi,yi3,'k.-',xi,yi4,'m:') legend(‘原始数据’,‘最近点插值’,‘线性插值’,’样 条插值‘,’立方插值’)
缺省时 分段线性插值．
参数‘method’的进一步说明
‘nearest’：最近点插值，插值点处的值取与该插 值点距离最近的数据点函数值；
‘linear’：分段线性插值，用直线连接数据点，插 值点的值取对应直线上的值；
‘spline’：三次样条函数插值，该方法用三次样条 曲线通过数据点，插值点处的值取对应曲线上的值；
式插值效果进行比较。
t=-2:0.5:2 [x,y]=meshgrid(t); z=x.*exp(-x.^2-y.^2); [x1,y1]=meshgrid(-2:0.1:2); z1=x1.*exp(-x1.^2-y1.^2); figure(1) subplot(1,2,1),mesh(x,y,z),title(‘数据点') subplot(1,2,2),mesh(x1,y1,z1),title(‘函数图象')
%插值并作海底曲面图
x =[129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 ];
y =[ 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3.0 56.5 -66.5 84.0 33.5 ];
700 850 950 1010 1070 1550 980
通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插 值效果进行比较．
用MATLAB作二维插值计算
插值点为散乱节点的实现： cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）
被插值点 的函数值
插值节点
被插值点
用MATLAB作一维插值计算
一维插值的实现： yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi的插 值结果
已知插值节点 需要插值节点 插值方法
注意：所有的插值方
法都要求x是单调的， 并且xi不能够超过x的 范围．
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 线性插值； ‘spline’ 三次样条插值； ‘cubic’ 立方插值；
例 测得平板表面3×5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86
试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形．
解：1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲 线图.
输入以下命令： y=1:5; x=1:3; temps=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,temps)
二、基本概念
在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实 验观测数据，揭示自变量x与因变量y之间的关系，使 所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合精度。通 常可以采用两种方法：曲线插值和拟合．
若要求这个近似函数经过已知的所有数据点，则 称此类问题为插值问题。 （不需要函数表达式）
注：插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。
x 129 140 103.5 88 185.5 195 105
y 7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5
z4
8
686
8
8
x 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5
y -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5
z9
9
88
94
9
解：1.输入插值基点数据 2.在矩形区域(75,200)×(-50,150)进行插值。 3. 作海底曲面图 4.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.
%作图
练习 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y 值．
X 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 Y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6
y
机翼下 轮廓线
x
用MATLAB作二维插值计算
插值节点为网格节点数据的实现：
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
2400
1230 1400 1400 1350 1550 1550 1510
2800
1040 1300 900 1450 1600 1600 1430
3200
900 700 1100 1200 1550 1600 1300
3600
500 900 1060 1150 1380 1600 1200
4000
被插值点 的函数值 插值节点 被插值点
插值方法
注：要求x0,y0单调；x， y可取为矩阵，或x取行向 量，y取为列向量，x,y的 值分别不能超出x0,y0的范
围．
‘nearest’ 最邻近插值； ‘linear’ 双线性插值； ‘cubic’ 双三次插值；
缺省时 双线性插值.
例 用以上4种方法对 z xe(x2 y2 )在[-2,2 ]上的二维多项
z =-[ 4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9 ];
x1=75:5:200;
y1=-50:5:150;
griddata(x,y,z,x1,y1’,‘cubic');
surf(x1,y1,z1)
%插值并作出水深小于5的海域范围
x1=75:1:200; y1=-50:1:150; z1=griddata(x,y,z,x1,y1’,‘cubic'); contour(x1,y1,z1,[-5,-5],’r’);grid Hold on plot(x,y,'+') xlabel('X'),ylabel('Y')