二次根式的概念与性质培优讲义
二次根式ppt
在实际生活中的应用
勾股定理的应用
在实际生活中，勾股定理的应用非常广泛，如测量、建筑、 工程等方面。而二次根式是勾股定理的基础，因此在实际生 活中也经常用到。
数据处理和分析
在数据处理和分析中，二次根式也经常被用到。例如，在计 算一组数据的标准差、方差等统计量时，需要用到二次根式 的运算法则。
THANKS
VS
在数学上，二次根式可以用来解决 一些代数方程的求解问题，而平方 根则可以用来进行一些代数式的化 简问题。
02
二次根式的运算
二次根式的加减法
概念
二次根式的加减法是指根据二次根式的性质，对 二次根式进行合并同类项的过程。
规则
合并同类项时，要将同类项的系数相加，根指数 不变。
注意事项
合并同类项时，不要漏掉系数为1的项。
二次根式
xx年xx月xx日
contents
目录
• 二次根式的定义和性质 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用
01
二次根式的定义和性质
二次根式的定义
非负性
由于二次根式对实数a的取值没有要求，因此其定义域为全体 实数，即对于任意实数a，都有a≥0。
唯一性
一个正数的二次根式有两个，它们是互为相反数，而0的二次 根式是0本身。
二次根式的性质
变换性质
当一个二次根式的系数是负数时，可以将该二次根式转化为与其相反数的二 次根式。
简化性质
当一个二次根式的被开方数相同或互为相反数时，可以将该二次根式进行合 并或抵消。
二次根式和平方根的区别
二次根式是指一个数的所有二次方 根的集合，其中包含了正负两个方 向的平方根，而平方根则仅指一个 数的正的平方根。
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二次根式的ppt课件
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
(完整版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有 意义的条件：____ ____ ____ 1/ x 1(1 八 x 1 \1 x ; (2)、 -- 2；2V x(3) <1—T J—2； (4) —-; (5) V3—r(x竺x 1Vx 2(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------⑥ 计算：J (4研&妬5)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)②化简求值:1其中a= 5③已知,3,化简2m4m 2 m 1 .m 2 6m 912am J 2m m2 1,求m的取值范围①若②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。
.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x应满足( ).J2x 11 11 1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 32 2 2 2例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C. —2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
第一节 二次根式的相关概念-学而思培优
第一节二次根式的相关概念-学而思培优第一节二次根式的相关概念二、核心纲要1.二次根式是形如a（a≥0）的式子，称为二次根式或二次根号。
注：（1）在二次根式中，被开方数a可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式。
2）a≥0为二次根式a的前提条件。
3）形如mn（m，n≥0）的式子也是二次根式，它表示m 与n的乘积。
2.二次根式的性质1）a（a≥0）具有双重非负性。
2）（a）²=a（a≥0）。
3）a²=|a|，即a²的值为a的绝对值，当a≥0时，a²=a；当a<0时，a²=|a|= -a。
注：（1）化简a²时，一般先将它化成|a|，再根据绝对值的意义进行化简。
2）*a²和（a）²的区别和联系。
区别：a²中的a可以取任意实数，而（a）²中的a必须是非负数，当a<0时，（a）²无意义。
联系：当a≥0时，（a）²=a²=a。
3.非负数的三种常见形式1）绝对值：|a|≥0.2）偶次幂：a²n（n为正整数）。
3）二次根式：a（a≥0）。
若|a|+b²+c=0，则a=b=c=0.4.积、商的算术平方根的性质1）积的算术平方根的性质：√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）。
2）商的算术平方根的性质：√(a/b)=√a/√b（a≥0，b>0）。
5.确定二次根式所含字母的取值范围若二次根式有意义，只要被开方数大于或等于零即可。
即当a≥0时，a有意义。
6.最简二次根式1）被开方数中不含分母。
即根号内无分母，分母内无根号。
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
即开方开得尽。
我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式。
7.同类二次根式如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注：（1）前提条件：二次根式是最简二次根式。
二次根式辅导讲义
二次根式一、知识梳理1、二次根式的概念和性质二次根式的定义：形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式.注意点：（1）被开方数是正数或0；（2）二次根式a （0a ≥）表示非负数a 的算术平方根.二次根式的性质：（1）二次根式的非负性：0a ≥；（2）2()(0)a a a =≥；（3）2(0)(0)(0)a a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（4）当0a ≥时，22()a a =.2、最简二次根式最简二次根式最简二次根式的定义：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开 得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．最简二次根式的满足条件：（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含二次根式．说明：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式的加减同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式．合并同类二次根式：()a x b x a b x +=+，同类二次根式才可加减合并．分母有理化分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．a b+与a b-互为有理化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0．4、二次根式综合运算二次根式的综合运算法则：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的，最终结果二次根式部分要化为最简二次根式．注意：在二次根式的计算题中，如果题目中没有明确说明字母的取值范围，按照字母使二次根式有意义计算．5、二次根式化简求值二次根式的化简求值：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，化为较为简单的一个式子（或直接得出结果），最后代入未知数的值求解，有时候也会存在整体代入的情况．注意：对于二次根式的化简求值如果字母没有明确说明取值范围，必须要进行分类讨论．6、根式的大小比较比较大小的方法1．作差法:比较a、b的大小，0,0,0,a b a b a ba b>>⎧⎪-==⎨⎪<<⎩2．作商法：比较a、b的大小，当0,0a b>>时，可以采用作商法，1,1,1,a b aa b ba b>>⎧⎪==⎨⎪<<⎩二次根式比较大小的方法（1）0a b a b>>⇔>（2）二次根式比较大小：能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较．（3）估算法（4）分子有理化（5）倒数法7、二次根式的乘除二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：a b ab⋅=（0a≥，0b≥）．二次根式的除法法则：a abb=（0a≥，0b>）．说明：利用乘除法则时注意a、b的取值范围，对于ab a b=⋅，a、b都非负，否则不成立．二、典型例题题型一、二次根式的概念和性质例1： 函数1x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x <且0x ≠C ．1x >D ．1x ≥且0x ≠【答案】C【解析】该题考查的是函数的定义域．根式下的式子在非负条件下有意义，分数在分母不为0的条件下有意义，综上所述，10x -≥，且10x -≠，∴1x >，故本题答案为C ．例2： 若320-+-=x y ，则xy 的值为____.A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【解析】该题考查的是的非负性．根据题意得：3020x y -=⎧⎨-=⎩解得：32x y =⎧⎨=⎩∴32x y =，故选A ．变式： 已知：()322512012x x y x -+-=+--，求x y 的值. 【答案】25【解析】该题考查的是二次根式的性质．∵()322512012x xy x -+-=+--有意义∴()32020120120x x x ⎧-≥⎪⎪-≥⎨⎪--≠⎪⎩所以2x =，055y =+=∴2525x y ==题型二、最简二次根式例1、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A ．22xB ．0.5C ．22x y +D ．1x 【答案】C【解析】该题考查最简二次根式．A 、x x 222=被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； B 、120.522==，被开方数含分母，不是最简二次根式；故本选项错误； C 、22x y +满足最简二次根式的定义，是最简二次根式；D 、1x x x=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 故选C ．例2、若最简二次根式2342a +与22613a -是同类二次根式，则a =_________【答案】1±【解析】该题考查的是二次根式．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 根据题意可列：22461a a +=-解得：1a =±变式、若2，m ，4为三角形三边，化简：()()2226m m -+-＝____________．【答案】4【解析】该题考查的是根式的化简求值．∵2，m ，4为三角形三边，可知包括如下关系：①24m +>，即6m <②24m +>，即2m >∴原式264m m =-+-=题型三、二次根式的加减例1、计算124183-⨯=__________．【答案】6【解析】该题考查的是二次根式的计算．原式346923=⨯-⨯⨯326323=-⨯ 2666=-=例2、111115533131317+++=++++____.【答案】1714-【解析】该题考查根式的分母有理化．11115135133171317144444155********-----+++=+++=++++ 故答案为1714-． 变式、已知32x =+，32y =-，则33_________x y xy +=.【答案】10【解析】因为32x =+，32y =-，所以()()32321xy =+-=，()()323223x y +=++-=，所以()()()22332221232110x y xy xy x y xy x y xy ⎡⎤⎡⎤+=+=+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦⎣⎦题型四、二次根式综合运算例1、化简：2244112a a a a -+--+（112a ≤≤）【答案】32a -【解析】()()222244112211211a a a a a a a a -+--+---=---，因为112a ≤≤，所以原式21121132a a a a a =---=-+-=-例2、若352x y +=-，325x y -=-，求xy ．【答案】52-【解析】2()352x y +=-；2()325x y -=-∴22()()352(325)5244x y x y xy +-----===-变式、化简22691025a a a a +++-+【答案】当3a <-时，原式=22a -+；当35a -≤<时，原式=8；当5a ≥时，原式=22a -；【解析】()()22226910253535a a a a a a a a +++-+=++-=++-，当3a <-时，原式353522a a a a a =++-=---+=-+；当35a -≤<时，原式35358a a a a =++-=+-+=；当5a ≥时，原式353522a a a a a =++-=++-=-题型五、二次根式化简求值例1、化简：()221269x x x -+-+=____【答案】43x -【解析】该题考查根式的化简．()()2221269123x x x x x -+-+=-+-∵由题得120x -≥，12x ≤∴()2333x x x -=-=-．∴原式12343x x x =-+-=-．故答案为43x -．例2、化简：108322++．【答案】42+【解析】22108322108(12)108(12)1882(42)42++=++=++=+=+=+变式、化简：（1）412-（2）415+【答案】（1）31-（2）1062+【解析】（1）()24124233131-=-=-=- （2）221064158215(53)222++=+=+=题型六、根式的大小比较例1、比较大小：512-_______12．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】>【解析】该题考查的是二次根式比大小．5115115254022222------===>，即511022-->， 即51122->． 例2、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A ____B ．【答案】A B >【解析】222008200620082006A ==+-，22220072007B ==；2008200622007+< ∴22A B< ∴A B >变式、已知21a =-，226b =-，62c =-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c b a <<【答案】B【解析】()()221,223,2322a b c ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2222(231)2(13)(2223)0222b a -=--+=-+=+->，b a > 2222(132)2(13)(2223)0222a c -=--+=-+=+->,a c >b ac >>题型七、二次根式的乘除例1、下列计算正确的是（ ）A ．235⋅=B ．236⋅=C ．84=D ．2(3)3-=-【答案】B【解析】根据二次根式的乘法运算法则，可得236⋅=，故答案为B 选项．例2、下列计算结果正确的是（ ）A ．257+=B ．2510⨯=C ．3223-=D ．25105=【答案】B【解析】该题考查的是二次根式计算．A 选项2与5不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 选项252510⨯=⨯=，故本选项正确；C 选项32222-=，故本选项错误；D 选项21055=，故本选项错误． 故答案是B ．变式、已知：4322232b a a =-+-+，求11a b +的平方根．【答案】2±【解析】该题考查的是二次根式．4322232b a a =-+-+，根据被开方数的非负性我们知道320230a a -≥⎧⎨-≥⎩，所以23a =， 代入得43222322b a a =-+-+=，所以1131222a b +=+=，平方根为2±三、课堂巩固1、函数11y x =-中自变量的取值范围是（ B ）A ．1x ≠B ．1x >C ．1x ≥D ．1x ≥-2、对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ C ）A ．()2a b a b +=+B ．22a b a b +=+C ．()22222a b a b +=+ D ．()2a b a b +=+ 3、函数12y x =+中，自变量x 的取值范围是2->x 4、实数P 在数轴上的位置如图所示，化简()()2223p p -+-=15、计算：=⨯121726，=--)84)(213(24， =⨯-03.027.02-0.18，=÷-327348-5.6、化简：()221269x x x -+-+=x 34-.7、设120082006,2007A B =-=，比较大小：A >B ． 8、已知: 21x =-，求223x x +-的值．()()()()2222231322-=-+=+-=-+x x x x 9、已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 1=x 3<y 原式=()1-4343=---=---y y y y1 2 3 4 p课后作业1、函数2x y x-=中，自变量x 的取值范围是（ A ） A ．2x ≤且0x ≠B ．2x ≤C ．2x <且0x ≠D ．0x ≠2、若()424A a =+，则A =（ A ） A ．24a +B ．22a +C ．()222a + D ．()224a + 3、若2(2)10m n ++-= 则m n -= -3 ．4、在下列二次根式22211025312232322a a a a b m x a b x a b +-++，，，，，，，，，，中，最简二次根式有6个．5、若最简二次根式35a -与3a +是同类二次根式，则a =___4___.6、若231604b a a +-+=-，则3223a b a b +=-___-18___.7、比较大小：512-___>___12．（填“>”、“<”或“=”）． 8、计算：01186(121)221+---- 原式=01232212=--++9、化简：（1）412-原式=()13132-=- （2）415+221064158215(53)222++=+=+=。
二次根式讲义
二次根式辅导讲义同步知识梳理一:二次根式得概念二次根式得定义形如得式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当就是一个非负数时,才有意义.二:二次根式得性质1、非负性:a a()≥0就是一个非负数.注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.2、()() a aa20=≥.注意:此性质既可正用,也可反用,反用得意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方得形式:a a a=≥()()203、a aa aa a20 ==≥-<⎧⎨⎩||()()注意:(1)字母不一定就是正数.(2)能开得尽方得因式移到根号外时,必须用它得算术平方根代替.(3)可移到根号内得因式,必须就是非负因式,如果因式得值就是负得,应把负号留在根号外.4、公式a aa aa a2==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa20=≥得区别与联系(1)a2表示求一个数得平方得算术根,a得范围就是一切实数.(2)()a2表示一个数得算术平方根得平方,a得范围就是非负数.(3)a2与()a 2得运算结果都就是非负得.三:最简二次根式与同类二次根式2a B、1-－3＜0,则化简(1)148 (2)4337- (3)11212 (4)13550-【例14】把下列各式分母有理化(1)328x x y(2)38xx【例15】把下列各式分母有理化:（1）221- (2)5353+- (3)333223- 举一反三:1、已知2323x -=+,2323y +=-,求下列各式得值:(1)x y x y +-(2)223x xy y -+专题五:二次根式计算——二次根式得乘除【例16】化简(1)916⨯ (2)1525⋅ (3)229x y (0,0≥≥y x ) (4)12×632⨯ 【例17】计算(1)(2) (3) (4)(5) (6) (7) (8)【例18】化简:(1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (2)2964xy )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x【例19】计算:(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷(4)648【例20】能使等式22xxx x =--成立得得x 得取值范围就是( )A 、2x >B 、0x ≥C 、02x ≤≤D 、无解专题六:二次根式计算——二次根式得加减【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12543102024553457⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 【例21】(1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a ba b a b--+-+ 专题七:二次根式计算——二次根式得混合计算与求值1、ab b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +418－348 ) 3、132x y ·(-42y x)÷162x y 4、673)32272(-⋅++5、62332)(62332(+--+)6、1110)562()562(+-【例21】 1.已知:,求得值.2．已知,求得值。
《二次根式课件》公开课课件
二次根式的历史与文化背景
01
二次根式的起源
二次根式最初起源于古希腊数学家毕达哥拉斯学派，他们研究了直角三
角形的边长关系，发现了直角三角形的勾股定理。
02 03
二次根式的发展历程
随着数学的发展，二次根式在各个历史时期都得到了广泛的应用和研究 。特别是在文艺复兴时期，数学家们开始系统地研究二次根式的性质和 运算方法。
二次根式的性质
总结词
二次根式具有非负性、算术平方根的单调性、算术平方根的取值范围等性质。
详细描述
二次根式的被开方数是非负数，因此二次根式本身也是非负数。此外，算术平 方根具有单调性，即随着被开方数的增大，其平方根也单调增大。最后，算术 平方根的取值范围是非负实数。
二次根式的化简
总结词
化简二次根式的方法包括因式分解、配方法、直接开平方法 和分母有理化等。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词
简化表达式
详细描述
二次根式在代数式变形中有着重要的应用，它可以简化复杂的代数表达式。通过利用二 次根式的性质和运算法则，可以将复杂的代数表达式化简为更简单的形式，方便后续的
运算和分析。
二次根式在代数式变形中的应用
总结词：因式分解
详细描述：在代数式变形中，二次根式还可以用于因式分解 。通过提取公因式和利用二次根式的性质，可以将多项式进 行因式分解，从而更好地理解和分析代数式的结构。
详细描述
化简二次根式是数学中常见的代数运算之一。通过因式分解 或配方法，将二次根式化为最简形式。如果被开方数是多项 式，则可以使用直接开平方法或分母有理化进行化简。化简 后的二次根式更易于计算和运用。02 二次 Nhomakorabea式的运算
二次根式的加减法
二次根式的讲义
专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。
二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
例1 下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 练习1使代数式有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 若230a b -+-=，则 2a b -= 。
例5 在实数的范围内分解因式：X 4- 4X 2+ 4= ________ 例6 若a 、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（ ）： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、（a 2+b 2）2 =a 2+b 2； C 、（ a + b ）2= a 2+b 2； D 、（a —b ）2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}＼）（＼（a\geq 0\））的式子叫做二次根式。
其中，＼（a\）叫做被开方数。
需要注意的是，二次根式具有双重非负性，即被开方数\（a\geq 0\），二次根式的值\（＼sqrt{a}＼geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{4}＼），＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼）等都是二次根式，而\（＼sqrt{－4}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－4\lt 0\）。
二、二次根式有意义的条件要使二次根式\（＼sqrt{a}＼）有意义，被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，对于二次根式\（＼sqrt{x 2}＼），要使其有意义，则\（x2\geq 0\），解得\（x\geq 2\）。
三、二次根式的性质1、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））这一性质表明，一个非负的二次根式的平方等于被开方数。
例如，＼（（＼sqrt{5}）＾2 ＝ 5\），＼（（＼sqrt{10}）＾2 ＝10\）。
2、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a\lt 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））这一性质是二次根式乘法运算的基础。
例如，＼（＼sqrt{2}＼times\sqrt{8} ＝＼sqrt{2\times 8} ＝＼sqrt{16} ＝ 4\）。
4、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\gt 0\））这是二次根式除法运算的依据。
二次根式的概念及性质 课件
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0，a 1. (2) 2a 3 0，a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0，a 0.
(4) 5 a＞0，a＜5.
巩固新知 深化理解
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
它的长、宽各应是多少？
A
D
解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4 所以a-b+c=2-3+4=3;
（2）由题意知，1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2016, 所以x+2y=1+2×2016=4033.
归纳总结 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中 阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
填一填：
a
a2
a2
-4
（-4）2=16
4
0
02=0
0
1 平方运算
12=1
1
算术平方根
-1
（-1）2=1
1
1 2
1
4 16
观察： 两者有什么关系？
合作探究 获取新知
活动2 ：根据前面得出的结论填一填
22 =
2
；
0.12 =
0.1
；
2 3
2
=
2 3
； 02 =
0
.
如何用字母表示你 所得的公式呢？
巩固新知 深化理解
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
a C D
2.式子 2 有意义的条件是
3x 6
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2
二次根式的性质课件
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
《二次根式》培优专题一
二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1. 二次根式：形如,a （其中a _______ ）的式子叫做二次根式。
2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的_______________ ；⑵被开方数中不含______ ；⑶分母中不含_____ 。
3. 同类二次根式：二次根式化成_____________ 后，若____________ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：（1）（,a）2= ______ （其中a ____ ）（2）a2〉（其中 a ____ ）5. 二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
届= _______________ （其中a^_ b _______ ）；J a= _____________ （其中a^_ b ______ ）.V b（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3 ,.8的有理化因式可以是也可以是2 , b 的有理化因式就是弋a -乜b.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式.6. 双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设x 0, y 0, a 0, y 0,且x y 二a, xy 二b，贝Ua 2、b =（x y） 2xy = （ . x）2（. y）2 2、x y =（ x . y）2如：要化简.5 —2一6，: 2 • 3 =5, 2 3=6 /• .5 —鸟一6 =.（一2 —一3）2= J3 —, 2 但要注意最后的结果是正数，所以不能是■ 2—、3二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（）A. . 45 B • 、、3-7 C•、、14 D 2、二次根式孕1有意义时的X的取值范围是x-43、已知：y = •. x • 2 x「2 • 1,贝U （x y）2001 = ___ 。
二次根式讲义
教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标1、了解二次根式和最简二次根式的概念2、理解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算3、会确定二次根式有意义的条件教学重点二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算教学难点二次根式的混合运算教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、二次根式的概念（例1）一般地，我们把形如)0(≥aa的式子叫做二次根式.在二次根式中，a可以是一个数，也可以是一个代数式，但不管是什么形式，作为被开方数的a必须满足0≥a，当0<a时，二次根式无意义.也就是说，当被开方数0≥a时，二次根式才有意义.注意：二次根式的两个基本特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数.比如)1(1,0,2≥-aa等均是二次根式，而像1,32---a等均不是二次根式. 2、二次根式的性质（例2）（1）二次根式的非负性，即)0(0≥≥aa，这一性质也是非负数的算术平方根. （2）一个非负数的算术平方根的平方是它本身，即)0()(2≥=aaa.把公式)0()(2≥=aaa反过来就得到了式子)0()(2≥=aaa，也就是说，逆用这一性质，可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式.（3）任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值，即aa=2.3、积的算术平方根的性质（例3）积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即baba∙=∙).,0(≥≥ba注意：（1）在这个性质中，ba,可以是实数，也可以是代数式，但不管是实数，还是代数式，都必须使二次根式有意义，即0,0≥≥b a .要防止出现94)9()4(-⨯-=-⨯-这样的错误.（2）另外该性质并非局限于被开方数为两个因数，它可以推广到更多个，如)0,0,0(≥≥≥∙∙=c b a c b a abc .(3)如果一个二次根式的被开方数比较大，可以运用该性质将其分解为若干个，再分别运用a a =2化简二次根式.4、商的算术平方根的性质（例4）商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或可以简单地说：商的算术平方根等于算术平方根的商.注意：（1）在运用商的算术平方根的性质解决有关计算时，一定要准确把握性质成立的条件，即被开方数的分子为非负数，而分母大于0.(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如412必须先化成49，注意412412⨯≠；如果被开方数是小数，应先化成分数，如5.0必须先化成21 5、最简二次根式（例5）定义：一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如229,465,54,63都是最简二次根式.要注意分母中不能含有根号，如21不是最简二次根式.把二次根式化为最简二次根式时，当被开方数为小数或分数时，可运用商的算术平方根的性质变形，使被开方数化为整数；当被开方数为整数时，可以把它分解因数，再运用积的算术平方根的性质变形，化为最简二次根式.6、二次根式的乘法和除法（例6）（1）把积的算术平方根的性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab 反过来写为)0,0(≥≥∙=∙b a b a b a ，则为二次根式的乘法法则，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式进行相乘的运算，如)0,0,0(≥≥≥=∙∙c b a abc c b a .二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为被开方数.（2)把商的算术平方根的性质).0,0)((>≥÷=÷=b a b a b a ba b a 或反过来写为)00)((>≥÷=÷=b a b a b a b a ba ，或，则为二次根式的除法法则，即二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.注意：二次根式的乘、除法法则和积的算术平方根、商的算术平方根的性质互为逆运算，在计算和化简二次根式时可结合题目灵活运用，但始终要注意法则与性质成立的条件.7、分母有理化(例7）定义：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化.例如36963232=== 注意：（1）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式.(2）分母有理化的依据：分式的基本性质.(3）分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的二次根式.(4）分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜，如)0(>a a 的有理化因式是a .8、二次根式的合并（例8）合并被开方数相同的二次根式，把系数相加减，根指数和被开方数不变.方法与整式加减运算中的合并同类项类似，例如3233)2123(3213233=+-=+-.二次根式的系数是带分数的要化成假分数的形式.9、二次根式的加减法（例9)二次根式的加减法法则：二次根式的加减运算，就是将被开方数相同的项进行合并。
《二次根式的概念》课件
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《二次根式的概念》 ppt课件
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目 录
• 二次根式的定义 • 二次根式的简化 • 二次根式的运算 • 二次根式的应用 • 总结与回顾
PART 01
二次根式的定义
平方根的定义
总结词
理解平方根是二次根式的基础
详细描述
平方根的定义是，对于非负实数a，若某数的平方等于a，则这个数称为a的平方 根。例如，4的平方根是±2，因为2^2=4和(-2)^2=4。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否 可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果 无法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用 配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号 。接下来观察各项是否为同类项，如果是，则合并同类 项。最后化简各项的系数和根指数，使二次根式达到最 简形式。通过综合运用这些方法，可以逐步化简二次根 式，使其达到最简形式。
PART 04
二次根式的应用
二次根式在几何学中的应用
二次根式在勾股定理中的 应用
勾股定理是几何学中的重要定理，而二次根 式是解决勾股定理问题的重要工具。通过使 用二次根式，我们可以计算直角三角形的斜 边长度。
二次根式在面积和周长计 算中的应用
在几何学中，许多形状（如矩形、圆形、椭 圆形等）的面积和周长可以通过使用二次根
PART 02
二次根式的简化
根号的简化
总结词
根号的简化主要是通过因式分解、配方法等手段，将根号内的表达式化简为最简二次根式。
详细描述
在进行二次根式简化时，首先观察根号内的表达式是否可以提取平方因子或进行因式分解，以消去根号。如果无 法直接提取平方因子或进行因式分解，可以尝试使用配方法，将表达式转化为完全平方形式，从而消去根号。
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第3讲 二次根式的概念与性质
(一) 二次根式
一、复习
1、什么叫平方根？开平方？
2、平方根如何表示？
3、求下列各数的平方根：
4、求下列各数的正平方根： （1）4； （2）0.16； （3）925. （1）225; （2）0.0001； （3）1681
.
二、二次根式的意义
1. 二次根式的意义
代数式______________叫做二次根式，读作______________,其中__________是被开方数. 通常把形如_________________的式子也叫做二次根式. 2．二次根式何时有意义
二次根式有意义的条件是___________________________. 3. 例题
例题1 下列各式是二次根式吗？
2、
3
2
、2-、 12+a 、)0(<b b
例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
（1）12-x ； （2）x -2； （3）
x
1
； （4）21x +.
4．练习（一）
设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？
（1 （2 （3
三、二次根式的性质
性质1：______________________; 性质2：________________________________;
性质3：______________________; 性质4：________________________________.
例题3 求下列二次根式的值：
（1）2)3(π-； （2）122+-x x ，其中3-=x .
例题4 化简二次根式
（1 （2； （3)0x ≥；
（4 （5 （60)b >
例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-
练习（二）：1、化简下列二次根式
（1 （20)x ≥； （30)n ≥；
（4 （5 （6）
2、选择题
（1）、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---2
2
)1()1(a b （ ） A 、b-a B 、2-a-b C 、a-b D 、2+a-b
· · ·
· a
b 0 1
（2）、化简2
)21(-的结果是（ ）
A 、21-
B 、12-
C 、)12(-±
D 、)21(-
±
（3）、如果
2
1
2
1--=
--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞2
(二) 最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式符合的两个条件：
（1）_________________________________________________; （2）_________________________________________________. 例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：
（1；（2（3（41)a ≥-
例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：
（1)0y >；
（2)0a b ≥≥；（3)0m n >>
2、练习（三）
（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：
（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：
))
00a y >>
（3）将下列各二次根式化成最简二次根式：
)))000b x y p q >>>>>
3、同类二次根式
几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
))
0,0a a >>
例题9 合并下列各式中的同类二次根式：
（1）323
132122++-
； （2）xy b xy a xy +-3
4、练习（四）
（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：
B. )0;x ≥
))00a y >>
（2）合并下列各式中的同类二次根式：
A.2-
B.
达标训练
二次根式的概念及性质
一、选择题
1.计算2)3(-的结果是（ ）
(A)9 (B)±3 (C)3 (D)-3
2．下列各式中不是二次根式的是 （ ）
（A ）12
+x （B ）4- （C ）0 （D ）
()2b a -
3．x （ ）
（A ）x ＞
45 （B ）x ＜54 （C ）x ≥54- （D ） x ≤5
4- 4．使代数式8a a -+
有意义的a 的范围是（ ）
（A ）0>a （B ）0<a （C ）0=a （ D ）不存在
5．下列代数式中，x 能取一切实数的是（ ） (A)
x
1 (B)42
+x (C)x 3 (D)1—x
6．若01=++-y x x ，则20052006y x +的值为： （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ） -1 （D ） 2 二、填空题
7．计算64=__________. 2
)32(=_________ 210-=___________
8．如2m =4，则m=__________
9．在x 31-中字母x 的取值范围为_______若22)2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。
10二次根式
2
1
2--x x 意有义时的x 的范围是_____
11.实数在数轴上的位置如图示，化简|a-1|+=-2)2(a 。
三、解答题
12.已知n m ,是实数，且155+-+-=n n m ，求n m 32-的值。
最简二次根式和同类二次根式
1．下列是最简二次根式的为（ ）
A 、
32； B 、x
1； C 、y x +； D 、3
x ； 2．下列各式中，与18是同类二次根式的是（ ）
A 、27；
B 、72；
C 、982；
D 、150
1
； 3．下列各式哪一组是同类二次根式（ ）
A 、2018和
B 、2332和
C 、x y y x 22和
D 、5018和 4．下列各式的计算正确的是（ ）
A 、24x =4·2x =2x （x ≤0）
B 、28b a =a 4
b （a ＜0,b ＜0）
C 、b a 54=2a
2
ab D 、98a =4a 3
5.下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A ．9
B ．a 3
C ．23a
D ．3
a 二、填空题
6．当x 满足_________________条件时，
x
3
-在实数范围内有意义。
7.如果最简二次根式22+a 和a -3是同类二次根式，那么a=___________。
8．若ab ＜0，则化简b a 2
的结果是_____________。
9.比较大小： 3 。
10.设a,b,c 为三角形ABC 的三边长||__a b c --= 三、化简 11．若
22
1
<<x ，化简()1222
-+-x x。