第一讲__培优__圆的基本性质
六年级数学课件圆的基本性质
建筑结构：桥梁、高架路等建筑结构中，也常常采用圆形作为受力结构，因为圆形的受力分布均匀，能够承受更大的重量。
数学中的圆的应用
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圆在几何学中的应用：圆是几何学中一个基本图形，可以用来研究图形的性质和特点，例如圆周长、圆面积、圆心角等。
圆的定义可以用来描述圆的特征和性质
圆的形成
圆的概念：圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合
圆的形成：通过绕一个固定点旋转直线来形成圆
圆的基本性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的应用：圆在生活和生产中有着广泛的应用，如车轮、钟表等
圆的基本属性
圆的概念：平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合
周长的定义：图形边界的总长度
圆的面积公式推导
圆的面积公式：S=πr²
注意事项：在推导过程中，需要注意扇形的数量和大小，以确保推导结果的准确性。
拓展知识：除了圆的面积公式外，还可以推导出其他与圆相关的公式，如圆的周长公式、圆的半径公式等。
推导过程：通过将圆分割成若干个扇形，再将这些扇形重新组合成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。
圆的性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的基本元素：圆心、半径、直径
圆的面积和周长计算公式
03
圆的基本性质
圆心与半径
圆心的定义：圆心是圆的中心点，通过圆心的任意直线都可以将圆等分。
半径的定义：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，是圆的特征之一。
半径的长度：半径的长度等于圆的直径的一半，可以通过测量或计算得出。
圆与对称轴的关系
2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节 圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这 样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节 圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节 圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节 圆的基本性质
【作法提示】 分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在
九年级数学上册 24.1 圆的概念与基本性质课件 (新版)新人教版
推 过圆心、平分弦、垂直于弦、平分弦所对的劣弧、平分 论 弦所对的优弧，若一条直线具备这五项中的任意两项， 3 则必具备另外三项.
• 1、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并 用方程的思想来解决问题.
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2） 线段： AE=BE
A
弧 ：AD=BD,AC=BC
C
·O
E B
D
C
已知：直径CDAB于E,
结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC
·O
即：直径CD平分弦AB， 并且平分AB及ACD
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
2、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆 半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意 两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r ⑵ r2 d2 (a)2
2
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
活动三
练习
例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心 O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
（2）圆的内部可以看作是由到定点的距离小于定长的所有的点 组成的图形． （3）圆的外部可以看作是由到定点的距离大于定长的所有的点 组成的图形．
2、圆的有关概念 1）弦：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的
弦叫做直径，直径是特殊的弦．（弦是线段，只有长度）
2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧．小于半圆的弧叫 劣弧，大于半圆的弧叫优弧.（弧既有弧度又有长度。）
圆的基本性质.PPT
探究二
圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中， 圆心角、 弧、 弦之间的关系．
︵ 例 2 如图， 已知 AB 是⊙O 的直径， BC ︵ ︵ ＝ CD ＝ DE . ∠ BOC ＝ 40 °，那么∠AOE ＝ ( B ) A．40° B．60° C．80° D．120°
考点聚焦
归类探究
如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三 直角 三角形 角形是________
考点聚焦
归类探究
考点5
圆内接多边形
圆内接多边形 圆内接四边形 的性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上， 这个多边形叫 做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆
互补 圆内接四边形的对角_________
圆的基本性质
考 点 聚 焦
考点1 圆的有关概念及性质
定义 1：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的端 点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 定义 2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
考点聚焦
归类探究
弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
相等 ， 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________ 圆周角定理 一半 都等于该弧所对的圆心角的________
推论 1 推论 2 推论 3
相等 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______ 直角 ；90°的圆周角所 半圆(或直径)所对的圆周角是______ 直径 对的弦是______
考点聚焦
归类探究
归 类 探 究
探究一 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
第一讲 圆的基本性质及四点共圆重要邮件
第一讲 圆 (1) 圆的性质与四点共圆一. 圆的基本性质:1. 定义: 同一平面上到定点距离等于定长的点的集合.不共线三点确定一个圆;圆是轴对称图形, 任何一条直径都是对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形. 2. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 使用推理: ∵直径PQ ⊥弦AB 于点C∴AC=BC , 弧AP=弧BP, 弧AQ=弧BQ. 推论1. ○1平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;○2弦的垂直平分线经过圆心, [并且平分弦所对的两条弧; ]○3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 推论2. 圆的两条平行弦所夹的弧相等.3. 一条弦所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.在同圆或等圆中, 等圆心角⇔等弧⇔等弦⇔等弦心距.例1. 已知: AB 是⊙O 的直径, 半径OC ⊥AB, 求证: ∠CBE=2∠ABE 证明: 连接OE 、CE∵ EF 垂直平分CO∴ OE=CE=CO∴ ⊿CEO 中, ∠COE=60︒∵ ∠COA=90︒∴ ∠EOA=∠COA-∠COE=30︒∴∠CBE=2∠ABE.练习1. 已知: ⊙O 中, 弦AC ⊥BD , 又OE ⊥CD 求证: 2OE=AB .练习2. 已知: ⊙O 中, 半径OC ⊥AB.弦CD 、CE 分别交AB 于F 、G .求证: CF •CD=CG •CE .二. 四点共圆(圆内接四边形)1. 性质: ○1 圆内接四边形的对角互补, 并且任何一个外角都等于它的内对角. ○2证明: 在线段BD 上取点E, 使得∠ECD=∠BCA , 则∠ECB=∠DCA 又∠BAC=∠EDC ∴ ⊿BAC ∽⊿EDC∴DE AB =DCAC∴AB •DC=AC •DE 同理: ∵∠EBC=∠DAC , ∠ECB=∠DCA ∴ ⊿EBC ∽⊿DAC∴AD BE =ACBC∴BE •AC=AD •BC∴ 当2. 判定: ○1如果四边形的对角互补或其一个外角等于它的内对角, 则四边形四个顶点共圆. ○2有公共底边且顶点在公共边的同侧的两个三角形的顶角相等,则它们四个顶点共圆.例2: 已知: 点P 是等边⊿ABC 外接圆的劣弧BC 上任意一点, AP 交BC 于点D. 求证: PA 2=AC 2+PB •PC 证明: ∵ AB=BC=AC∴ 弧AB=弧AC=弧BC∴ ∠APB=∠ABC ,又∠DAB=∠BAP∴ ⊿DAB ∽⊿BAP ∴AB DA =APBA∴ BA 2=AD •AP 同法: ∠DPB=∠CPA , ∠CBP=21弧PC=∠ ∴⊿CPA ∽⊿DPB∴ AP CP =BPDP∴CP •BP=AP •DP∴PC •PB+AC 2=AP •DP+BA 2=AP •DP+AP •练习3. 已知:圆内接四边形ABCE 中, AE=CE,AB=AC, AE 、BC 的延长线交于点D. 求证: CD 2=AE •AD .例4. 已知: ⊿ABC 中.∠A:∠B:∠C=1:2:4.求证:BCAC AB 111=+ 证明: (法一)易知∠A=7π, ∠B=72π,∠C=74π原式⇔AC •BC+AB •BC=AB •AC (联想到托勒密定理)作⊿ABC 的外接圆⊙O , 在其上取点C 1, 满足AC=CC 1 , 连接AC 1、BC 1 .∵ A 、C 、B 、C 1四点共圆∴∠CAC 1=∠AC 1C=∠ABC=72π∴∠C 1AB=∠CAC 1-∠A=7π=∠A∴BC=BC 1而∠ABC 1=∠ACC 1=π-2∠CAC 1=73π∴∠AC 1B=π-∠BAC 1-∠ABC 1=73π=∠ABC 1 ∴ AB=AC 1由托勒密定理: AC •BC 1+BC •AC 1=AB •CC 1∴ AC •BC+BC •AB=AB •AC ∴BCAC AB 111=+(法二) 由正弦定理: 原式⇔AC B sin 1sin 1sin 1=+⇔7sin174sin 172sin 1πππ=+⇔ sin 7πsin 74π+sin 7πsin 72π= sin 74πsin 72π⇔ 2sin 7πsin 73π+2sin 7πsin 72π= 2sin 73πsin72π而 左边=(cos 72π-cos 74π)+(cos 7π-cos 73π)= cos 72π+ cos 7π右边=cos 7π-cos 75π= cos 7π+cos 72π=右边 ∴原式成立.练习4: 已知: ⊿ABC 与⊿A ¹B ¹C ¹三边分别为a 、b 、c ，与a ¹、b ¹、c ¹,且∠B=∠B ¹,∠A+∠A ¹=180º.求证：aa ¹=bb ¹+cc ¹.例5. (如图) 梯形ABCD 中AB//DC, 且AB>CD ，M 、N 分别为腰BC 、AD 上的点, ∠DAM=∠求证： ∠CNB = ∠DMA证明：连接MN∵∠DAM =∠CBN∴ M 、N 、A 、B 四点共圆∴∠CMN = ∠NAB , ∠ANB = ∠AMB 又 ∠NDC = 180°-∠NAB ∴ ∠NDC + ∠CMN = 180°∴ M 、N 、D 、C 四点共圆 ∴ ∠DNC = ∠CMD∴ ∠CNB = 180°-∠ANB -∠DNC = 180°-∠AMB -∠DMC= ∠DMA练习5.已知：在凸五边形ABCDE 中，∠ABC=∠ADE, ∠AEC=∠ADB 求证： ∠BAC = ∠DAE练习6. 已知：点M 为 ABCD 外一点，且∠CDM=∠CBM求证：∠BMC=∠DMA三 . 圆的切、割线 .1. 圆的切线判定定理: 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 圆的切线性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径.2. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这点的连线平分两条切线的夹角3. 弦切角: 顶点在圆上,一边和圆相交, 另一边和圆相切的角叫弦切角.(1) 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.(2) 如果两个弦切角所夹的弧相等, 那么这两个弦切角相等.4. 圆的外切四边形的两组对边相等.5. 相交弦定理:如果圆内两条弦AB 、CD 相交于点P ,那么 PA •PB=PC •PD .6. 割线定理: 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和PCD,那么PA •PB=PC •PD7. 切割线定理: 如果从圆外一点P 向圆引割线PAB 和切线PC, 那么 PA •PB=PC 2定理5,6,7合称圆幂定理.例6. 已知: 圆O 的弦CF 、DE 交于点求证: PA=PB .证明: ∵PA 为⊙O 切线, PDC 为⊙O 割线∴ PA 2=PD •PC ∵ PB//EF ∴∠PBD=∠FED而 ⊙O 中, ∠FED 与∠FCD 对同弧 ∴ ∠FED=∠FCD 又 ∠BPD=∠ ∴ ⊿BPD ∽⊿CPB∴PD PB =PBPC∴ PB 2=PD •PC ∴ PB 2= PA 2 ∴ PA=PB练习7: 已知: 从半圆O 上的一点C 向直径AB引垂线, 设垂足为D,作⊙O 1切CD 、DB 、弧BC 分别于点E 、G 求证: AC=AG .练习8. 已知: AB 是⊙O 的直径, 点C 在⊙O 上, ⊙C 切AB 于D, 与⊙O 相交于 E 、F 两点, EF 交CD 于点G .求证: CG=DG .例7. 圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P, 另一组对边AD 、BC 的 延长线交于点Q, 自P 、Q 分别作圆的切线PE 、QF, 其中E 、F 是切点, 连接PQ. 求证: 以线段PE 、QF 、PQ 为边构成的三角形是直角三角形. [2007北京市高一赛题]练习9. 已知: ⊙O 1 与⊙O 2相交, 公共弦为MN,两圆的公切线为AB 与CD, 直线MN 交AB 于P, 交CD 于Q,求证: PQ 2=AB 2+MN 2练习10. 已知: ⊙O 1 与⊙O 2的公共弦为AB, 点C 为AB 上任意一点, 过C 作直线交⊙O 1 于D 、F ，交⊙O 2于E 、G .求证: DE:EC=GF:FC .。
初中数学圆的基本性质
初中数学圆的基本性质在初中数学的学习中，圆是一个非常重要的图形，它具有许多独特而有趣的基本性质。
这些性质不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际生活中的各种应用也随处可见。
首先，让我们来了解一下圆的定义。
圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点称为圆心，定长称为半径。
形象地说，就好像我们用一根绳子的一端固定在一个点上，另一端绑着一支笔，然后让笔绕着这个固定点旋转一周，所形成的轨迹就是一个圆。
圆的半径是决定圆大小的重要因素。
半径越大，圆就越大；半径越小，圆就越小。
而且，在同一个圆中，所有的半径长度都相等。
这是圆的一个基本特征。
接下来，我们看看圆的直径。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径是圆中最长的线段，它的长度等于半径的两倍。
圆的周长是圆的另一个重要性质。
圆的周长是指绕圆一周的长度。
我们用字母 C 表示周长，用字母 r 表示半径，那么圆的周长公式就是C ＝2πr。
其中，π是一个数学常数，约等于 314159。
这个公式告诉我们，只要知道了圆的半径，就能很容易地计算出圆的周长。
圆的面积也是一个关键的概念。
圆的面积是指圆所占据的平面大小。
我们用字母 S 表示面积，那么圆的面积公式是 S ＝πr²。
这个公式可以帮助我们计算出给定半径的圆的面积。
在圆中，还有弧和扇形的概念。
弧是圆上任意两点之间的部分，扇形则是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
圆心角的度数决定了扇形的大小。
圆具有很好的对称性。
圆既是轴对称图形，对称轴是任意一条通过圆心的直线；圆也是中心对称图形，其对称中心就是圆心。
这种对称性使得圆在很多几何问题中具有独特的优势。
再来说说圆与直线的位置关系。
当直线与圆没有公共点时，称为直线与圆相离；当直线与圆有且仅有一个公共点时，称为直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，称为直线与圆相交。
我们可以通过圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
中考数学专题复习全攻略：第一节 圆的基本性质
第一节 圆的基本性质知识点一：圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”（2） 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB ）（3）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD ）直径等于半径的2倍。
（4）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）（6）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（7）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（8）弦心距：圆心到弦的距离. （9）圆的对称性1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
点或）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆2)圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
变式练习1：如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC.若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3,第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( C )A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°变式练习3： 如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB ︵上一点，则∠ACB ＝__119__°.,第3题图)知识点二 ：垂径定理及其推论1.垂径定理及其推论1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2)推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
32【提高】圆的基本概念和性质(培优课程讲义例题练习含答案)
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。
2021年优质数学教学课件考点：圆的基本性质
的；
推论1：同弧或等弧所对的圆周角
；
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，
90°的圆周角所对的弦是
；
推论3：圆内接四边形的对角
。
拓展题
如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB 的平 分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.
1. 圆心角、弦、弧之间的关系：
定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的
弧
，所对的弦
。
推论1：在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的
圆心角
，所对的弦
；
推论2：在同圆或等圆中，相等的两条弦所对的
圆心角 ，所对的狐
。
考点：圆的基本性质 考点三：圆周角与圆心角
2、圆周角
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
考点：圆的基本性质
考点一：圆的有关概念 1.圆：圆是在同一平面内到定点的距离 定
长的所有点组成的图形
2.弦、弧、（优弧、劣弧、）
考点二：垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径
弦，并且 弦
所对的两条狐
2.推论：平分弦（不是直径）的直径 于弦
，并且 弦所对的两条狐。
考点：圆的基本性质 考点三：圆周角与圆心角
著名机构初中数学培优讲义圆的概念.第01讲(A级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．揭示圆有关的基本属性； 2．能够利用垂径定理解决相关问题．从前，有一个圆，她每天不停地滚动。
有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。
中考要求重难点课前预习圆的基本概念当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。
当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。
尽管现在，她又完美了，可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。
由此，我想到维纳斯。
她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。
由此，我想到贝多芬。
对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。
但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。
我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。
她对于这个打击，自然是悲痛欲绝，穷其全部精力寻找。
她边找边努力让现在的自己具有那一小片的色泽。
她实现了。
尽管由于缺了一小片滚动的不快，却滚出了比原先更绚丽的色彩。
这个故事是我编的。
我给它起了个名字：挫折洗礼后的完美。
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第一讲 圆的基本性质
一、知识点
圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有：
1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 • 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2.
2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论.
此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下 列条件中的2条，就具备其他3条。
（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。
3. 圆周角定理及其推论。
其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆 周角相等。
二、基础训练
1. 下列结论正确的是（）
A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径
2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
其 中正确的命题有（）
3、下列命题中，真命题是（）
B.2
C.3
D.4
AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两
CD 的距离之和为（）
A. 12cm
B. 10cm
C.8cm
D.6cm
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4、 A .相等的圆心角所对的弧相等
C.度数相等的弧是等弧
下列命题中，真命题的个数为
①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角；
⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（
A.1 &如图, 点到直线
7、 如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm,
则AC 的长为()
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
8、 如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形 ABOC, DEOF,HMNO 匀为矩形，BC=a,EF=bNH=C, 则下列各式中正确的是()
9、 如图，CD 为。
O 的直
径， 10、 已知，A, B, C 是。
O 上的三点，/ AOC=10(0,则/ABC = ________ . 11、 已知：O O 的半径为25cm ，弦AB=40cm,弦CD=48cm, AB// CD.则这两条平行弦 AB,
CD 之间的距离= _______ .
12、 在Rt ABC 中， ACB 90°, CD AB ，若AC=4, BC=3,以点C 为圆心，r 为半径画圆， 使得A 、
B 、D 三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，贝U
r 的取值范围是 13、已知：如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C, D 两点.
(1) 求证：/ AOC=Z BOD;
(2) 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论. 题图 贝卩
AB= __ cm.
9
AB 丄 CD 于 E , DE=8cm , CE=2cm ,
D
14、如图，AB 是O O 的直径，C 为O O 上一点，BD 平分/ ABC 已知BC=6, AC=8,求CD 的 长。
三、培优例题求解
【例1】.在半径为2的圆中，长度等于2罷的弦所对的圆心角是 __________ ,
圆周角是 _____________ .
【例2】 在半径为1的O 0中，弦AB AC 的长分别为3和.2 ,则/ BAC 度数为
【例3】 已知：如图，AB 是O O 的直径，CD 为弦，且AB 丄CD 于E, F 为DC 延长线上一
点, 连结AF 交O O 于M . /
A
\A
□ 7
求证：/ AMD=Z FMC.
9,则此圆的半径=
【例4】 已知：在厶ABC 中，AD 为/ BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ,交AD 于点F ,交AE 于点M 且/ B=/ CAE EF : FD= 4: 3.
(1)求证：AF = DF;
⑵求/ AED 的余弦值；
⑶ 如果BD= 10,求厶ABC 的面积.
思路点拨 ⑴ 证明/ ADE=Z DAE ⑵作 AN1 BE 于 N, cos / AED=
,设 FE=4x FD = 3x ,
AE 利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的 值.
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1、 D 是半径为5cm 的内一点，且0D= 3cm 则过点D 的所有弦中，最小弦 AB=—.
2、 已知O O 的半径为13cm ,弦AB// CD 弦AB 和CD 之间的距离为7,若弦AB=24cm,则弦 CD= ___
3、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 平分/ ACB 若 BD=10cm ,贝U AB= __ , / BCD= ____
点A 到圆的最大距离是
3 题图 5 题图 6 题图
5、一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5,弦A 吐8,则弓形的高CD 为（）
A. 2 B . 2.5 C . 3 D . 16/3
&如图，CD 是O O 的直径，AB 丄CD 于E,若AB=10cm,CE ： ED=1 : 5,则O O 的半径是（
）.
A . 5、2cm
B . 4 .3cm
C . 3.5cm D. 2.6cm
7、 .如图，四边形 ABCD 内接与O O , AC 是/ BAD 的平分线，OM L BC 于M, ON L CD 于 N, 下列选项中正确的是（ ）
A. OM>ON
B.ON=OM
C.OMvON
D. 不能确定
8、 如图，四边形 ABCD 内接与O O ,Z BOC=I 00°，则/ BDC 的度数是（
）
7题图 8 题图 9 题图
9、如图，已知O O 的半径为R, C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧 AC 的度数为96 弧BD 的度数为36°,动点P 在AB 上,则CP+PD 勺最小值为 _______________ .
10、在半径为5cm 的圆内有长为5 =的弦，则此弦所对的圆周角为（
）
A . 60°或 120° B.30°或 120o C. 60° D. 120° A . 100o
B . 50o C. 80o
D . 130o
C
11、已知：如图，O O的直径AE=10cm,Z B=Z EAC 求AC的长.
12、如图，直径为13的。
O，经过原点0,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段0A 0B(0A>0B)长分别是方程x2kx 60 0的两根.
⑴求线段0A 0B的长；
⑵已知点C在劣弧0A上，连结BC交0A于D,当0C=CD< CB时，求C点坐标；
(3) 在。
0,上是否存在点P,使S A P0FS AB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.。