第一讲__培优__圆的基本性质

第一讲 圆的基本性质
一、知识点
圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有：
1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 • 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2.
2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论.
此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下 列条件中的2条，就具备其他3条。

（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。

3. 圆周角定理及其推论。

其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆 周角相等。

二、基础训练
1. 下列结论正确的是（）
A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径
2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。

其 中正确的命题有（）
3、下列命题中，真命题是（）
B.2
C.3
D.4
AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两
CD 的距离之和为（）
A. 12cm
B. 10cm
C.8cm
D.6cm
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4、 A .相等的圆心角所对的弧相等
C.度数相等的弧是等弧
下列命题中，真命题的个数为
①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等
②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角；
⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（
A.1 &如图, 点到直线
7、 如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm,
则AC 的长为()
A. 0. 5cm
B. 1cm
C. 1.5cm
D. 2cm
8、 如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形 ABOC, DEOF,HMNO 匀为矩形，BC=a,EF=bNH=C, 则下列各式中正确的是()
9、 如图，CD 为。

O 的直
径， 10、 已知，A, B, C 是。

O 上的三点，/ AOC=10(0,则/ABC = ________ . 11、 已知：O O 的半径为25cm ，弦AB=40cm,弦CD=48cm, AB// CD.则这两条平行弦 AB,
CD 之间的距离= _______ .
12、 在Rt ABC 中， ACB 90°, CD AB ，若AC=4, BC=3,以点C 为圆心，r 为半径画圆， 使得A 、
B 、D 三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，贝U
r 的取值范围是 13、已知：如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C, D 两点.
(1) 求证：/ AOC=Z BOD;
(2) 试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论. 题图 贝卩
AB= __ cm.
9
AB 丄 CD 于 E , DE=8cm , CE=2cm ,
D
14、如图，AB 是O O 的直径，C 为O O 上一点，BD 平分/ ABC 已知BC=6, AC=8,求CD 的 长。

三、培优例题求解
【例1】.在半径为2的圆中，长度等于2罷的弦所对的圆心角是 __________ ,
圆周角是 _____________ .
【例2】 在半径为1的O 0中，弦AB AC 的长分别为3和.2 ,则/ BAC 度数为
【例3】 已知：如图，AB 是O O 的直径，CD 为弦，且AB 丄CD 于E, F 为DC 延长线上一
点, 连结AF 交O O 于M . /
A
\A
□ 7
求证：/ AMD=Z FMC.
9,则此圆的半径=
【例4】 已知：在厶ABC 中，AD 为/ BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ,交AD 于点F ,交AE 于点M 且/ B=/ CAE EF : FD= 4: 3.
(1)求证：AF = DF;
⑵求/ AED 的余弦值；
⑶ 如果BD= 10,求厶ABC 的面积.
思路点拨 ⑴ 证明/ ADE=Z DAE ⑵作 AN1 BE 于 N, cos / AED=
,设 FE=4x FD = 3x ,
AE 利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的 值.
培优检测
1、 D 是半径为5cm 的内一点，且0D= 3cm 则过点D 的所有弦中，最小弦 AB=—.
2、 已知O O 的半径为13cm ,弦AB// CD 弦AB 和CD 之间的距离为7,若弦AB=24cm,则弦 CD= ___
3、如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 平分/ ACB 若 BD=10cm ,贝U AB= __ , / BCD= ____
点A 到圆的最大距离是
3 题图 5 题图 6 题图
5、一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5,弦A 吐8,则弓形的高CD 为（）
A. 2 B . 2.5 C . 3 D . 16/3
&如图，CD 是O O 的直径，AB 丄CD 于E,若AB=10cm,CE ： ED=1 : 5,则O O 的半径是（
）.
A . 5、2cm
B . 4 .3cm
C . 3.5cm D. 2.6cm
7、 .如图，四边形 ABCD 内接与O O , AC 是/ BAD 的平分线，OM L BC 于M, ON L CD 于 N, 下列选项中正确的是（ ）
A. OM>ON
B.ON=OM
C.OMvON
D. 不能确定
8、 如图，四边形 ABCD 内接与O O ,Z BOC=I 00°，则/ BDC 的度数是（
）
7题图 8 题图 9 题图
9、如图，已知O O 的半径为R, C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，弧 AC 的度数为96 弧BD 的度数为36°,动点P 在AB 上,则CP+PD 勺最小值为 _______________ .
10、在半径为5cm 的圆内有长为5 =的弦，则此弦所对的圆周角为（
）
A . 60°或 120° B.30°或 120o C. 60° D. 120° A . 100o
B . 50o C. 80o
D . 130o
C
11、已知：如图，O O的直径AE=10cm,Z B=Z EAC 求AC的长.
12、如图，直径为13的。

O，经过原点0,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段0A 0B(0A>0B)长分别是方程x2kx 60 0的两根.
⑴求线段0A 0B的长；
⑵已知点C在劣弧0A上，连结BC交0A于D,当0C=CD< CB时，求C点坐标；
(3) 在。

0,上是否存在点P,使S A P0FS AB?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.。