采样数据的处理
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DIP
数字图像处理
12.4 混叠
12.4.1 混叠的不可避免性
Digital Image Processing
根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要 选择合适的采样间距就可完全避免混叠。 但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长 度T，这个过程即模型化为将函数与宽度为T的矩形脉 冲相乘，等价于将其频谱与无限持续的sinc(x)函数在 频域卷积。 两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄， 因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。 截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任 何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差。 带宽有限
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DIP
12.3.3 频谱计算
sm 1 1 , s 2t T
数字图像处理
Digital Image Processing
T
1 s
由上可见，一个域中的采样间隔决定了另一个域中 的截取窗口宽度。要计算频谱中的高频成分（sm ）， 必须在时域中细密地采样（ t ）。而要频谱中的高分 辨率（ s ），必须在时域中采用大的截取窗口（T ）。
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DIP
1、过采样： t ( )
1 1 4 f0 fN
数字图像处理
Digital Image Processing
1 2 f0 2t
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DIP
2、临界采样：
1 1 t ( ) 2 f0
数字图像处理
Digital Image Processing
1 1 t ( ) 4 f0 1 1 t ( ) 2 f0 2 1 t ( ) 3 f0 f0 fN 1 2 f0 2t
f N f0 fN 3 f0 4
见 后 面 图 示
1 严重欠采样： t
1 f N f0 2
对正弦信号的临界采样： f (t ) 2sin(2 f0t )
DIP
第12章
12.1 引言
数字图像处理
Digital Image Processing
采样数据的处理
本章主要介绍： 1)采样在何种程度上造成信息丢失，其本质为何？ 2)对连续函数采样后，能否被完全恢复，怎样做？ 3)为保存图像信息，需如何细微地对函数采样？ 4)采样对函数的频谱有何影响？ 5)采样后的函数如何假设、近似为连续函数？
f(x) x F(s)
-s0
s0
s
x g ( x) III ( ) f ( x)
G( s) III ( s) F ( s)
-s0 s0 -1/ 1/
4
x
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s
DIP
12.2.3 采样及其频谱
数字图像处理
Digital Image Processing
时域相乘对应频域卷积，即 III(x/ )乘f(x) 对应 F(s)卷 III(s ) 。
频域采样间隔与时域中 的截取窗口宽度成反比
最高频率与时域 采样间隔成反比
对离散的f(t)样值计算F(s)，N个时域采样点将对应 N个频谱上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布。
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DIP
12.3.2 频域上的截取
数字图像处理
Digital Image Processing
离散f(t)的频谱是周期的，周期2sm=1/t ，只需计算 覆盖F(s)的一个周期即可。
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DIP
数字图像处理
采样和截取参数小结 Digital Image Processing 参数 域 关系 采样点数 采样间隔 时频 时
T 2 sm t s T 1 t N 2sm N 2 sm 1 N T T N t s sm 1 1 N s 2t 2
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数字图像处理
Digital Image Processing
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DIP
数字图像处理
12.3
12.3.1
频谱计算
时域中的截取
Digital Image Processing
假定一个信号f(t)用间距为t的N个采样点来代表， 则总的采样区间宽度T＝Nt。（T为截取窗口的宽度，T外部的 信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置0了）
常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于 原点的F(s)的一个周期上，即 1 s 1
2 t 2 t
当在F(s)的一个周期上取N个等间隔的采样点，则 Ns ＝ 1/t 。其中s ＝ 1/Nt＝1/T是频域中的采样间 隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按s ＝ 1/T等间隔取 ，即从-sm到sm 。 Sm= 1/2t
s 0 1/
III(x)的傅立叶变换为其自身： F III ( x) III (s)
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DIP
数字图像处理
12.2.1.1 相似性 1 s 根据相似定理： f (ax) F ( )
a a 时（空）域乘对应频域除
Digital Image Processing 1 且 (ax) ( x) a III(s)
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时域截取
带宽无限
DIP
12.4.2 混叠误差的上界
数字图像处理
Digital Image Processing
H ( s)
G( s) F ( s)
因为t有限，不能无限小，因此F(s)被无限展 宽。 F(s)在形式为1/s的包络线内，保证了函数的峰 值随着频率升高而下降并趋于0。
采样间隔
截断窗口宽度 最大可计算频率
频
时 频
当f(t)是复数，有N个实部和N个虚部，变换后产生频谱 中的N个实值和N个虚值。 当f(t)是实数，有N个实部和N个0（虚部），变换后在 频谱的右半部产生N/2个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数 的F(s)是Hermite型的，频谱的左半部是右半部的镜像。
fN 1 f0 2
变成直流了
零频！
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DIP
5、另一种情况： f (t ) 2sin(2 f0t )
数字图像处理
Digital Image Processing
相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠 并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正 弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是0。
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数字图像处理
Digital Image Processing
如果忽略函数的正弦波动，仅考虑F(s)的包络线， 并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现，则可 以认为这是混叠的最坏情况。 定义混叠误差＝ F(sm)/F(0)，由于F(0)＝1， F(s)的 包络为1/2as，因而混叠上界为
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sin x x
DIP
上述推导的两个限制：
数字图像处理
Digital Image Processing
1)
f(x)的谱＜s0。
2) s0 s1
1
s0
1 奈奎斯特采样定理： 2s0
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数字图像处理 12.2.5 内插
Digital Image Processing
由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制 品。因此，频域卷积在s轴上每隔1/ 复制了一个 F(s)，也就是说，G(s)是一个以F(s)重复的周期函数。
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DIP
12.2.4 采样定理
数字图像处理
Digital Image PΒιβλιοθήκη Baiduocessing
由上可见，只要从G(s)中得到F(s)，即可从g(x)中 获得f(x)。 方法：保留中心处于原点的F(s) ，消除其复制品，即 用矩形(s/2s1)去乘G(s) 。其中 s0 s1 1 s0 s G ( s ) F (s) 2 s1 s sin 2 s1 x 1 1 f ( x) F F ( s) F G ( s) g ( x ) 2 s 1 2 s 2 s1 x 1 可见，用采样后的函数与一个形式为 sinc( x) 的内插函数做卷积，即可从g(x)重构f(x)。
g(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一 个窄的sinc(x)函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可 准确地恢复出原函数。
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12.2.6
数字图像处理
Digital Image Processing
欠采样与混叠（Aliasing）
1
制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原 s 函数了。因为此时 G ( s) ( ) F ( s)
s
0 1/ 因此III(x)的频谱为沿s轴间隔为1/的冲激序列。
III ( ) III ( s)
x
中国传媒大学信息工程学院 n
n 1 n III (ax) (ax n) a( x ) ( x ) a a n a n n x 令a=1/ ： III ( ) ( x n ) n x n F III ( ) III ( s) ( s n) ( s ) n n 1 n n (s ) (s )
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DIP
12.2.2 使用Shah函数采样
数字图像处理
Digital Image Processing
设f(x)带宽为s0（当频率s超过s0时， f(x)便为0）， 即F(s)=0，当|s| s0时。 以等间隔 对f(x)采样，则仅在x=n 处取得f(x)的 样本值，在其他地方， f(x)被破坏了，这个过程相当于 用III(x/ )乘以f(x) ，得到g(x) 。
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12.2.7.1 图像数字化中的混叠
数字图像处理
Digital Image Processing
聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相 当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变 得模糊些，但不再混叠了。
等效于
像素宽度小 于像素间距 像素宽度等 于像素间距
结论：空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但 只能当粗点用，否则会出现高频混叠。
1 2t t A 2 asm 2 a a
混叠误差的上界与t成正比，与T无关。因此，当 t <<2a脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。
G ( s)
2s1
当采样间隔不够密，即 2s0 时，F(s)的复
0
1/2 1/
s
频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上， 称为混叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为混叠误差。 当f(x)是偶函数时， F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频 谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际 更趋向于偶函数。
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1
DIP
12.2
12.2.1
数字图像处理
Digital Image Processing
采样和插值
Shah函数（无限冲激序列）
III ( x)
n
定义III(x)：
( x n)
III(s)
为沿x轴相隔单位间距出现的单位冲激序列。
III(x/) x 0
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数字图像处理 12.2.7 采样举例
Digital Image Processing
函数： f (t ) 2cos(2 f0t ) 频谱： F (s) (s f0 ) (s f0 ) 以等间隔t对f(t)采样。 f(t)的周期是1/f0。 过采样： 临界采样： 欠采样：
f N f0
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DIP
3、欠采样： t ( )
2 1 3 f0 fN
数字图像处理
Digital Image Processing
3 f0 4
变成低频了
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4、严重欠采样：
t 1 f0
数字图像处理
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12.4 混叠
12.4.1 混叠的不可避免性
Digital Image Processing
根据采样定理，对带宽有限的函数采样时，只要 选择合适的采样间距就可完全避免混叠。 但是，如果带宽有限的函数被截取了一段有限长 度T，这个过程即模型化为将函数与宽度为T的矩形脉 冲相乘，等价于将其频谱与无限持续的sinc(x)函数在 频域卷积。 两个函数的卷积结果不可能比其中任意一个窄， 因此，经截取的函数的谱在频域内无限延伸。 截取破坏了带宽的有限性，注定了数字处理在任 何情况下都造成混叠。因而我们只能限定其误差。 带宽有限
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12.3.3 频谱计算
sm 1 1 , s 2t T
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Digital Image Processing
T
1 s
由上可见，一个域中的采样间隔决定了另一个域中 的截取窗口宽度。要计算频谱中的高频成分（sm ）， 必须在时域中细密地采样（ t ）。而要频谱中的高分 辨率（ s ），必须在时域中采用大的截取窗口（T ）。
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1、过采样： t ( )
1 1 4 f0 fN
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1 2 f0 2t
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2、临界采样：
1 1 t ( ) 2 f0
数字图像处理
Digital Image Processing
1 1 t ( ) 4 f0 1 1 t ( ) 2 f0 2 1 t ( ) 3 f0 f0 fN 1 2 f0 2t
f N f0 fN 3 f0 4
见 后 面 图 示
1 严重欠采样： t
1 f N f0 2
对正弦信号的临界采样： f (t ) 2sin(2 f0t )
DIP
第12章
12.1 引言
数字图像处理
Digital Image Processing
采样数据的处理
本章主要介绍： 1)采样在何种程度上造成信息丢失，其本质为何？ 2)对连续函数采样后，能否被完全恢复，怎样做？ 3)为保存图像信息，需如何细微地对函数采样？ 4)采样对函数的频谱有何影响？ 5)采样后的函数如何假设、近似为连续函数？
f(x) x F(s)
-s0
s0
s
x g ( x) III ( ) f ( x)
G( s) III ( s) F ( s)
-s0 s0 -1/ 1/
4
x
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s
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12.2.3 采样及其频谱
数字图像处理
Digital Image Processing
时域相乘对应频域卷积，即 III(x/ )乘f(x) 对应 F(s)卷 III(s ) 。
频域采样间隔与时域中 的截取窗口宽度成反比
最高频率与时域 采样间隔成反比
对离散的f(t)样值计算F(s)，N个时域采样点将对应 N个频谱上的点。通常频域上的点在s轴上等距分布。
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12.3.2 频域上的截取
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离散f(t)的频谱是周期的，周期2sm=1/t ，只需计算 覆盖F(s)的一个周期即可。
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采样和截取参数小结 Digital Image Processing 参数 域 关系 采样点数 采样间隔 时频 时
T 2 sm t s T 1 t N 2sm N 2 sm 1 N T T N t s sm 1 1 N s 2t 2
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12.3
12.3.1
频谱计算
时域中的截取
Digital Image Processing
假定一个信号f(t)用间距为t的N个采样点来代表， 则总的采样区间宽度T＝Nt。（T为截取窗口的宽度，T外部的 信号的采样被忽略了，相当于将截取窗口外的信号置0了）
常用的方法是将N个采样点均匀地散布在中心位于 原点的F(s)的一个周期上，即 1 s 1
2 t 2 t
当在F(s)的一个周期上取N个等间隔的采样点，则 Ns ＝ 1/t 。其中s ＝ 1/Nt＝1/T是频域中的采样间 隔。因此计算f(t)频谱的最好做法是按s ＝ 1/T等间隔取 ，即从-sm到sm 。 Sm= 1/2t
s 0 1/
III(x)的傅立叶变换为其自身： F III ( x) III (s)
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12.2.1.1 相似性 1 s 根据相似定理： f (ax) F ( )
a a 时（空）域乘对应频域除
Digital Image Processing 1 且 (ax) ( x) a III(s)
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时域截取
带宽无限
DIP
12.4.2 混叠误差的上界
数字图像处理
Digital Image Processing
H ( s)
G( s) F ( s)
因为t有限，不能无限小，因此F(s)被无限展 宽。 F(s)在形式为1/s的包络线内，保证了函数的峰 值随着频率升高而下降并趋于0。
采样间隔
截断窗口宽度 最大可计算频率
频
时 频
当f(t)是复数，有N个实部和N个虚部，变换后产生频谱 中的N个实值和N个虚值。 当f(t)是实数，有N个实部和N个0（虚部），变换后在 频谱的右半部产生N/2个偶实值和N/2个奇虚值。由于实函数 的F(s)是Hermite型的，频谱的左半部是右半部的镜像。
fN 1 f0 2
变成直流了
零频！
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5、另一种情况： f (t ) 2sin(2 f0t )
数字图像处理
Digital Image Processing
相邻频域复制区间重叠的奇冲激对在s=fN处重叠 并抵消。结果内插后的函数为0。它其实相当于在正 弦函数的过零点进行了采样，每次采到的都是0。
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23
DIP
数字图像处理
Digital Image Processing
如果忽略函数的正弦波动，仅考虑F(s)的包络线， 并注意可能混叠的最大频谱强度在频率sm处出现，则可 以认为这是混叠的最坏情况。 定义混叠误差＝ F(sm)/F(0)，由于F(0)＝1， F(s)的 包络为1/2as，因而混叠上界为
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sin x x
DIP
上述推导的两个限制：
数字图像处理
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1)
f(x)的谱＜s0。
2) s0 s1
1
s0
1 奈奎斯特采样定理： 2s0
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数字图像处理 12.2.5 内插
Digital Image Processing
由于与冲激函数的卷积产生了函数本身的复制 品。因此，频域卷积在s轴上每隔1/ 复制了一个 F(s)，也就是说，G(s)是一个以F(s)重复的周期函数。
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12.2.4 采样定理
数字图像处理
Digital Image PΒιβλιοθήκη Baiduocessing
由上可见，只要从G(s)中得到F(s)，即可从g(x)中 获得f(x)。 方法：保留中心处于原点的F(s) ，消除其复制品，即 用矩形(s/2s1)去乘G(s) 。其中 s0 s1 1 s0 s G ( s ) F (s) 2 s1 s sin 2 s1 x 1 1 f ( x) F F ( s) F G ( s) g ( x ) 2 s 1 2 s 2 s1 x 1 可见，用采样后的函数与一个形式为 sinc( x) 的内插函数做卷积，即可从g(x)重构f(x)。
g(x)与内插函数卷积，等于在每个采样点上复制一 个窄的sinc(x)函数，而互相重叠的sinc(x)函数的总和可 准确地恢复出原函数。
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12.2.6
数字图像处理
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欠采样与混叠（Aliasing）
1
制品就会部分地重叠，此时就不能准确地恢复出原 s 函数了。因为此时 G ( s) ( ) F ( s)
s
0 1/ 因此III(x)的频谱为沿s轴间隔为1/的冲激序列。
III ( ) III ( s)
x
中国传媒大学信息工程学院 n
n 1 n III (ax) (ax n) a( x ) ( x ) a a n a n n x 令a=1/ ： III ( ) ( x n ) n x n F III ( ) III ( s) ( s n) ( s ) n n 1 n n (s ) (s )
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DIP
12.2.2 使用Shah函数采样
数字图像处理
Digital Image Processing
设f(x)带宽为s0（当频率s超过s0时， f(x)便为0）， 即F(s)=0，当|s| s0时。 以等间隔 对f(x)采样，则仅在x=n 处取得f(x)的 样本值，在其他地方， f(x)被破坏了，这个过程相当于 用III(x/ )乘以f(x) ，得到g(x) 。
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12.2.7.1 图像数字化中的混叠
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聚焦可有效保留信号的高频成分，而散焦则相 当于信号的高频成分减少，带宽变窄，因而图像变 得模糊些，但不再混叠了。
等效于
像素宽度小 于像素间距 像素宽度等 于像素间距
结论：空间采样点太稀疏，虽然像素很细小，但 只能当粗点用，否则会出现高频混叠。
1 2t t A 2 asm 2 a a
混叠误差的上界与t成正比，与T无关。因此，当 t <<2a脉冲宽度时，混叠误差即可小到所需的程度。
G ( s)
2s1
当采样间隔不够密，即 2s0 时，F(s)的复
0
1/2 1/
s
频率s1以上的能量被折叠返回到s1以下，并被加到频谱上， 称为混叠。f(x)和内插所得的函数的差别称为混叠误差。 当f(x)是偶函数时， F(s)也是偶函数，混叠的效果是提高了频 谱中的能量；奇函数与之相反；非奇非偶函数及谱则因此比实际 更趋向于偶函数。
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12.2.1
数字图像处理
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采样和插值
Shah函数（无限冲激序列）
III ( x)
n
定义III(x)：
( x n)
III(s)
为沿x轴相隔单位间距出现的单位冲激序列。
III(x/) x 0
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函数： f (t ) 2cos(2 f0t ) 频谱： F (s) (s f0 ) (s f0 ) 以等间隔t对f(t)采样。 f(t)的周期是1/f0。 过采样： 临界采样： 欠采样：
f N f0
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3、欠采样： t ( )
2 1 3 f0 fN
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3 f0 4
变成低频了
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4、严重欠采样：
t 1 f0
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