直线与圆的最值问题归纳(缺答案)
高中数学 直线与圆相关的最值问题

直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一,常常与向量、直线相结合考查,有一定的难度,题型从填空题到解答题不固定。
【母题】(2018年苏州市第一中学高二上期中考试)平面直角坐标系xOy 中,若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、,满足AB PA =,则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有:(1)圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -,最远为AO r +;(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦;(3)直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +,最近为d r -; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. (5)直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离;(6)两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为:)0()2()3(222>=-+-r r y x ,若直线33=+y x 上存在一点P ,在圆C 上总存在不同的两点N M ,,使得点M 是线段PN 的中点,则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】(2015届淮安高三三模第14题)在平面直角坐标系中,圆,圆.若圆上存在一点,使得过点可作一条射线与圆依次交于点,,满足,则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C :()()223425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 .【变式3】(2015江苏高考第10题)在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。
(完整版)圆最值问题题型归纳

x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点,Q 为圆C :22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 .变题1:已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点,则QAB S 的最小值为 .变题2:由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线,则切线长的最小值为变题3:已知P 为直线y=x +1上一动点,过P 作圆C :22(3)1x y -+=的切线PA ,PB,A 、B 为切点,则当PC= 时,APB ∠最大.变题4:已知P 为直线y=x +1上一动点,过P 作圆C :22(3)1x y -+=的切线PA ,PB,A 、B 为切点,则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C :222430x y x y ++-+=,从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标.类型二 利用圆的参数方程求最值(或几何意义)例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=,求x-2y 的最大值.如在上例中,改为求12y x --,22(2)(1)x y -+-,1x y --的取值范围,该怎么求解?类型三:转化成函数或不等式求最值例4已知圆O :221x y +=,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为两切点,则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C :22+24x y +=(), 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、,1l 交圆C 与E 、F 两点,2l 交圆C 与G 、H 两点,(1)EF +GH 的最大值.(2) 求四边形EGFH 面积的最大值.6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值;(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图,在矩形ABCD 中,3,1AB BC ==,以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E (圆弧DE 为圆在矩形内的部分)(Ⅰ)在圆弧DE 上确定P 点的位置,使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积;(Ⅱ)若动圆M 与满足题(Ⅰ)的切线l 及边DC 都相切,试确定M 的位置,使圆M 为矩形内部面积最大的圆.l P E C M。
与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】

与圆有关的最值范围问题一.基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理,加半径为最大值,减半径为最小值 已知圆及圆外一定点,设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为,最大值为 即连结并延长,为与圆的交点,为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线,则圆上点到直线距离的最小值为,距离的最大值为(过圆心作的垂线,垂足为,与圆交于,其反向延长线交圆于3、切线长度最值问题1、代数法:直接利用勾股定理求出切线长,把切线长中的变量统一成一个,转化成函数求最值;2、几何法:把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.已知圆和圆外的一条直线,则过直线上的点作圆的切线,切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点,则过点的所有弦中最长的为直径,最短的为与该直径垂直的弦.C PC r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C lC l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM lCPMC P P MN5、利用代数法的几何意义求最值(1)形如ax by --=μ的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如by ax t +=的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.(3)形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题,可转化为曲线上的点到点(a ,b )的距离平方的最值问题二.题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型三.常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四.例题解析1.圆上动点到定点例1.若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上,O 为坐标原点,则OM 的取值范围是______.曲线2264120x y x y +--+=,即()()22321x y -+-=,表示圆心()3,2C ,半径1r =的圆,则223213OC =+因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上,所以OC r OM OC r -≤≤+,131131OM ≤≤,即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦; 故答案为:13131⎡⎤⎣⎦例2.在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______.()()22025382-+-+=>,∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点,在圆心与点(0,5)-连线上,且与点(0,5)-分别在圆心两侧, 令直线解析式:y kx b =+,由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-,可得直线解析式:5y x =-, 与圆的方程联立,可得()()22222x x -+-=,3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-,其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.2.圆上两动点例1.已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ,点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点,则||AB 的最大值为( )A .32B .52C .522+D .322+【答案】C【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩,消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=),所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点,此圆圆心为(2,3)D --222(12))(13)5CD =+++=,∴AB 的最大值为22522CD =+ C.例2.设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=,点A ,B 分别是1C ,2C 上的动点,M 为直线y x =上的动点,则||||MA MB +的最小值为( ) A .3157- B .3137- C .524- D .534- 【答案】B【解析】根据题意,圆221:104250C x y x y +-++=,即22(5)(2)4x y -++=,其圆1C 的圆心(5,2)-,2r =,圆222:142250C x y x y +-++=,即22(7)(1)25x y -++=, 其圆2C 的圆心(7,1)-,5R =,如图所示:对于直线y x =上的任一点M ,有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-, 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值,即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7, 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -, 与M 、2C 共线时,12||||MC MC +的最小值,其最小值为2||313CC =, 故||||MA MB +的最小值为3137-;故选:B .3.圆上动点到直线距离最值例1.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点,点P 到直线3yx的最短距离为( )A 2B .1C 2D .2【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0),半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -++-所以直线与圆相离, 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径.所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=C . 例2.直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP△面积的取值范围为( )A .[]2,6B .[]4,8C .[]28,D .[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎣,又可求得22AB = 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选:A.4.切线长最值例1.直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为( )A .22B .1C 7D .3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0,半径为1,圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=,故选:B例2.已知圆O :223x y +=,l 为过2M 的圆的切线,A 为l 上任一点,过A 作圆N :()2224x y ++=的切线,则切线长的最小值是__________.39【解析】由题,直线OM 2l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x -,即230x y -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+,251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O :2210x y +=,已知直线l :()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O 的交点分别M ,N ,当直线l 被圆O 截得的弦长最小时,MN =( ) A 35B 55C .25D .35 【答案】C【解析】直线l :()2,ax by a b a b +=-∈R ,即()()210a x b y -++=,所以直线过定点()2,1A -,()22||215OA =+-=O 半径10r =点A 在圆O 内,所以当直线与OA 垂直的时候,||MN 最短, 此时22||2||25MN r OA =-=C .例2.当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时,m =( )A .34B .43C .34-D .43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =,又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时,圆心到直线的距离最大, 此时有1AC l k k =-,即4()13m ,解得34m =-.故选:C.6. 面积最值例1.点P 是直线2100++=x y 上的动点,P A ,PB 与圆224+=x y 分别相切于A ,B 两点,则四边形P AOB 面积的最小值为________. 【答案】8【解析】如图所示,因为S 四边形P AOB =2S △POA .又OA ⊥AP , 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小,当且仅当|OP |达到最小,即为点O 到直线2100++=x y 的距离:min 22521==+OP 故所求最小值为()222548-=.7. 代数式几何化最值—截距型例1.(2022·全国·高三专题练习)已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点,则x y +的最大值为( ) A .52B .52C .6D .5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=,令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩,则52)4x y πθ+=+,所以当sin()14πθ+=时,x y +的最大值为52.故选:A例2.(2022·全国·高三开学考试(文))已知点(),P x y 是圆C :()()2230x a y a -+=>上的一动点,若圆C 经过点(2A ,则y x -的最大值与最小值之和为( ) A .4 B .26C .4- D .26-【答案】C【解析】因为圆C :()()2230x a y a -+=>经过点(2A , 2(1)23a -+=.又0a >,所以2a =,y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距.如图所示,当直线y x b =+与圆相切时,纵截距b 2032b-+=26b =-±所以y x -的最大值为26-26-y x -的最大值与最小值之和为4-. 故选:C .8.代数式几何化最值—斜率型例1.(多选题)(2022·山东泰安·三模)已知实数x ,y 满足方程224240x y x y +--+=,则下列说法正确的是( ) A .yx 的最大值为43B .yx的最小值为0 C .22x y +51 D .x y +的最大值为32【答案】ABD【解析】由实数x ,y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上,作其图象如下,因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率, 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =22111k k -=+,解得:0k =或43k =,40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,A ,B 正确; 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方,圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC , 所以22x y +最大值为()21OC +,又2221OC + 所以22xy +的最大值为625+C 错,因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=, 故可设2cos x θ=+,1sin y θ=+,所以2cos 1sin 324x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭+,所以当=4πθ时,即2221x y ==x y +取最大值,最大值为32,D 对, 故选:ABD .9.代数式几何化最值—距离型例1.设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点,则22(5)(4)x y -++的最大值为()A .6B .25C .26D .36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方,圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ,半径为1, 圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=,22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=.故选:D .例2.若平面内两定点A ,B 间的距离为2,动点P 满足||||PA PB 312(|P A |2+|PB |2)的最大值为( ) A .33B .7+3C .8+3D .16+3【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点,AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.不妨令A(-1,0),则B(1,0),设P(x,y).由||||PAPB32222(1)3(1)x yx y++=-+(x-2)2+y2=3为P的轨迹方程.∴22222222||||(1)(1)1 22PA PB x y x yx y ++++-+==++,其中x2+y2可以看作圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)到点(0,0)的距离的平方,∴x2+y2的最大值为(232=7+3∴x2+y2+1的最大值为8+322||||2PA PB+的最大值为8+3。
直线与圆的最值问题

直线与圆的最值问题1 最值模型(1)三点共线模型(三角形三边的关系)(i)点A、B在直线l同侧,点P在直线l上,则(AP+BP)min=AB′(当点A、P、B′共线时取到),点B′是点B关于直线l的对称点.(ii)点A、B在直线l同侧,点P在直线l上,则|AP−BP|max=AB(当点A、P、B共线时取到).(iii)点A、B在直线l异侧,点P在直线l上,则|AP−BP|max=AB′(当点A、P、B共线时取到),点B′是点B关于直线l的对称点.(2)某点M到圆⊙O上点N的距离(i)若点M在圆内,则MN min=MN1=r−OM,MN max=MN2=r+OM;(ii)若点M在圆外,则MN min=MN1=OM−r,MN max=MN2=r+OM;(3)圆上一点到圆外一定直线的距离最值若直线l与圆⊙O相离,圆上一点P到直线l的距离为PE,d为圆心O到直线l的距离,r为圆半径,则PE min=P1F=d−r,PE max=P2F=d+r.2 圆的参数方程圆的标准方程(x −a )2+(y −b )2=r 2,圆心为(a ,b),半径为r ,它对应的圆的参数方程:{x =rcosθ+a y =rsinθ+b(θ是参数). 理解:如图,易得rcosθ=有向线段HM =x −a ⇒x =rcosθ+a ,rsinθ=有向线段HP =y −b ⇒y =rsinθ+b .Eg 圆(x +1)2+(y −2)2=9的参数方程为{x =3cosθ−1y =3sinθ+2.【题型一】几何法处理最值问题情况1 三点共线模型【例题1】P 是直线L :3x −y −1=0上一点,求(1)P 到A(4 ,1)和B(0 ,4)的距离之差的最大值;(2)P 到A(4 ,1)和C(3 ,5)的距离之和的最小值.情况2 斜率型最值【例题1】如果实数x ,y 满足条件:(x −2)2+y 2=3,那么y x 的最大值是 .情况3 两点距离型最值【例题1】已知点M(a ,b)在直线l :3x +4y =25上,则a 2+b 2的最小值为 .【例题2】已知点P, Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y−1=0上,且PQ⊥l1,点A(−3 ,−3),B(32 ,12),则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为.情况4 圆外一定点到圆上点距离最值【例题1】已知x、y满足(x−1)2+y2=1,则S=x2+y2+2x−2y+2的最小值是.【例题2】已知点P(7 ,3),圆M:x2+y2−2x−10y+25=0,点Q为在圆M上一点,点S 在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为.情况5 圆上一点到圆外一定直线的距离最值【例题1】已知两点A(−1,0)、B(0,2),若点P是圆(x−1)2+y2=1上的动点,则△ABP面积的最大值和最小值之和为.课堂练习1 已知x2+y2=1,则y−1的取值范围是.x+22 已知点P(x ,y)在圆x2+y2=1上,则√(x−1)2+(y−1)2的最大值为.3 已知圆x2+(y−2)2=1上一动点A,定点B(6 ,1);x轴上一点W,则|AW|+|BW|的最小值等于.4 已知两个同心圆的半径分别为3和4,圆心为O.点P、Q分别是大圆、小圆上的任意一点,线段PQ的中垂线为l.若光线从点O射出,经直线l(入射光线与直线l的公共点为A)反射后经过点Q,则|OA|−|AQ|的取值范围是.5 已知点A(−2 ,0) ,B(0 ,2),若点P在圆(x−3)2+(y+1)2=2上运动,则△ABP面积的最小值为.6 过动点P作圆:(x−3)2+(y−4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.7 已知直线l:x−y+4=0与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为C,D两点,记M是CD的中点,则|AM|的最小值为.8 已知圆(x−a)2+(y−b)2=1经过原点,则圆上的点到直线y=x+2距离的最大值为.9如图,设圆C1:(x−5)2+(y+2)2=4,圆C2:(x−7)2+(y+1)2=25,点A、B分别是圆C1,C2上的动点,P为直线y=x上的动点,则|PA|+|PB|的最小值为.【题型二】代数法处理最值问题【例题1】 已知圆C 的圆心在直线x −2y =0上,且经过点M(0 ,−1),N(1 ,6).(1)求圆C 的方程;(2)已知点A(1 ,1),B(7 ,4),若P 为圆C 上的一动点,求|PA |2+|PB |2的取值范围.【例题2】 已知直线l :y =x ,圆C :x 2+y 2−4x +3=0,在l 上任意取一点A ,向圆C 作切线,切点分别为M ,N ,则原点O 到直线MN 的距离d 的最大值为 .【例题3】 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2−4x +1=0.(1)求y −x 的最大值和最小值;(2)求x 2+y 2的最大值和最小值;(3)求y x+1的取值范围.【例题4】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,正方形OABC 的边长为4,E(0 ,1),点F 是正方形边OC 上的一个动点,点O 关于直线EF 的对称点为G 点,当|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值时,直线GF 的方程为 .课堂练习1 若实数x ,y 满足x 2+y 2+4x -2y -4=0,则√x 2+y 2的最大值是( )A .√5+3B .6√5+14C .−√5+3D .-6√5+14 2 [多选题]若实数x ,y 满足条件x 2+y 2=1,则下列判断正确的是( )A .x +y 的范围是[0 ,√2]B .x 2-4x +y 2的范围是[-3 ,5]C .xy 的最大值为1D .y−2x+1的范围是(−∞ ,−34] 3 [多选题]已知点P(2 ,4),若过点Q(4 ,0)的直线l 交圆C :(x −6)2+y 2=9于A ,B 两点,R 是圆C 上动点,则( )A .|AB|的最小值为2√5B .P 到l 的距离的最大值为2√5C .PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PR⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为12-2√5 D .|PR|的最大值为4√2+3 4 已知点A(1 ,1) ,B(2 ,2),点P 在直线y =12x 上,求|PA |2+|PB |2取得最小值时P 点的坐标.5 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x −2)2+y 2=1,M 为圆C 的圆心,过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 两点均不在x 轴上).求△ABM 面积的最大值.6 已知直线l 过定点P(−2 ,1),且交x 轴负半轴于点A 、交y 轴正半轴于点B ,点O 为坐标原点.(1)若△AOB 的面积为4,求直线l 的方程;(2)求|OA|+|OB|的最小值,并求此时直线l 的方程;(3)求|PA|⋅|PB|的最小值,并求此时直线l的方程.7 在平面直角坐标系xOy中.已知圆C经过A(0 ,2), O(0 ,0) , D(t ,0)(t>0)三点,M是线段AD上的动点,l1 ,l2是过点B(1 ,0)且互相垂直的两条直线,其中l1交y轴于点E,l2交圆C于P ,Q两点.(1)若t=PQ=6,求直线l2的方程;(2)若t是使AM≤2BM恒成立的最小正整数,求△EPQ的面积的最小值.。
1、与直线和圆有关的最值问题 理(解析版)

圆锥曲线专题突破一:与直线和圆有关的最值问题题型一 有关定直线、定圆的最值问题例1 已知x ,y 满足x +2y -5=0,则(x -1)2+(y -1)2的最小值为________.破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决,另外还可以将x +2y -5=0改写成x =5-2y ,利用二次函数法来解决.解析 方法一 (x -1)2+(y -1)2表示点P (x ,y )到点Q (1,1)的距离的平方.由已知可知点P 在直线l :x +2y -5=0上,所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离,即d =|1+2×1-5|1+22=255,所以(x -1)2+(y -1)2的最小值为d 2=45. 方法二 由x +2y -5=0,得x =5-2y ,代入(x -1)2+(y -1)2并整理可得(5-2y -1)2+(y -1)2=4(y -2)2+(y -1)2=5y 2-18y +17=5(y -95)2+45,所以可得最小值为45.题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题例2 直线l 过点P (1,4),分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点.当OA +OB 最小时,O 为坐标原点,求l 的方程.破题切入点 设出直线方程,将OA +OB 表示出来,利用基本不等式求最值.解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负,设直线l 的斜率为k ,则y -4=k (x -1)(k <0).令y =0,可得A (1-4k,0);令x =0,可得B (0,4-k ).OA +OB =(1-4k )+(4-k )=5-(k +4k )=5+(-k +4-k)≥5+4=9.所以,当且仅当-k =4-k 且k <0,即k =-2时,OA +OB 取最小值.这时l 的方程为2x +y -6=0.题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题例3 由直线y =x +2上的点P 向圆C :(x -4)2+(y +2)2=1引切线PT (T 为切点),当PT 的长最小时,点P 的坐标是________.破题切入点 将PT 的长表示出来,结合圆的几何性质进行转化.解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系,可知PT =PC 2-1,故PT 最小时,即PC 最小,此时PC垂直于直线y =x +2,则直线PC 的方程为y +2=-(x -4),即y =-x +2,联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y =x +2,y =-x +2,解得点P 的坐标为(0,2).(2)与其他知识相结合的范围问题例4 已知直线x +y -k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,且有|OA →+OB →|≥33|AB →|,那么k 的取值范围是________.破题切入点 结合图形分类讨论.解析 当|OA →+OB →|=33|AB →|时,O ,A ,B 三点为等腰三角形的三个顶点,其中OA =OB ,∠AOB =120°,从而圆心O 到直线x +y -k =0(k >0)的距离为1,此时k =2;当k >2时,|OA →+OB →|>33|AB →|,又直线与圆x 2+y 2=4存在两交点,故k <22,综上,k 的取值范围是[2,22). 【总结提高】 (1)主要类型:①圆外一点与圆上任一点间距离的最值. ②直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值. ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.④直线与圆相离,过直线上一点作圆的切线,切线段长的最小值问题. ⑤两圆相离,两圆上点的距离的最值.⑥已知圆上的动点Q (x ,y ),求与点Q 的坐标有关的式子的最值,如求ax +by ,ax +bycx +dy等的最值,转化为直线与圆的位置关系. (2)解题思路:①数形结合法:一般结合待求距离或式子的几何意义,数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解. ②函数法:引入变量构建函数,转化为函数的最值求解. (3)注意事项:①准确理解待求量的几何意义,准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系;②涉及切线段长的最值时,要注意切线,圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形.1.若动点A ,B 分别在直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________. 解析 依题意知,AB 的中点M 的集合是与直线l 1:x +y -7=0和l 2:x +y -5=0距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M 所在直线的方程为l :x +y +m =0,根据平行线间的距离公式得|m +7|2=|m +5|2⇒|m +7|=|m +5|⇒m =-6,即l :x +y -6=0,根据点到直线的距离公式, 得M 到原点的距离的最小值为|-6|2=3 2.2.已知点M 是直线3x +4y -2=0上的动点,点N 为圆(x +1)2+(y +1)2=1上的动点,则MN 的最小值是________.解析 圆心(-1,-1)到点M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线的距离d =|-3-4-2|5=95,故点N 到点M 的距离的最小值为d -1=45.3.已知P 是直线l :3x -4y +11=0上的动点,PA ,PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是________.答案3解析 如图所示,圆的标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1,圆心为C (1,1),半径为r =1.根据对称性可知四边形PACB 面积等于2S △APC =2×12PA ·r =PA ,故PA 最小时,四边形PACB 的面积最小,由于PA =PC 2-1,故PC 最小时,PA 最小,此时,直线CP 垂直于直线l :3x -4y +11=0,故PC 的最小值为圆心C 到直线l :3x -4y +11=0的距离d =|3-4+11|32+42=105=2,所以PA =PC 2-1=22-1= 3.故四边形PACB 面积的最小值为 3. 4.(2013·江西改编)过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率为________.答案 -33解析 ∵S △AOB =12OA ·OB ·sin∠AOB =12sin∠AOB ≤12.当∠AOB =π2时,S △AOB 面积最大.此时O 到AB 的距离d =22.设AB 方程为y =k (x -2)(k <0),即kx -y -2k =0.由d =|2k |k 2+1=22,得k =-33.5.过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为________.答案 x +y -2=0解析 由题意知,当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时,符合条件.圆心O 与P 点连线的斜率k =1, 所以直线OP 垂直于x +y -2=0.6.已知Ω=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y ≥0,y ≤4-x 2,直线y =mx +2m 和曲线y =4-x 2有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M ,向区域Ω上随机投一点A ,点A 落在区域M 内的概率为P (M ),若P (M )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-22π,1,则实数m 的取值范围是________.答案 [0,1]解析 画出图形,不难发现直线恒过定点(-2,0),圆是上半圆, 直线过(-2,0),(0,2)时,向区域Ω上随机投一点A , 点A 落在区域M 内的概率为P (M ),此时P (M )=π-22π,当直线与x 轴重合时,P (M )=1, 故直线的斜率范围是[0,1].7.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y=kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________.答案 43解析 可转化为圆C 的圆心到直线y =kx -2的距离不大于2. 圆C 的标准方程为(x -4)2+y 2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx -y -2=0的距离应不大于2, 即|4k -2|k 2+1≤2. 整理,得3k 2-4k ≤0,解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.8.直线l 过点(0,-4),从直线l 上的一点P 作圆C :x 2+y 2-2y =0的切线PA ,PB (A ,B 为切点),若四边形PACB 面积的最小值为2,则直线l 的斜率k 为________. 答案 ±2解析 易知圆的半径为1,因为四边形PACB 的最小面积是2,此时切线段长为2,圆心(0,1)到直线y =kx -4的距离为5,即51+k 2=5,解得k =±2. 9.若直线ax +by =1过点A (b ,a ),则以坐标原点O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的最小值是________. 答案 π解析 ∵直线ax +by =1过点A (b ,a ),∴ab +ab =1.∴ab =12.又OA =a 2+b 2,∴以O 为圆心,OA 为半径的圆的面积为S =π·OA 2=(a 2+b 2)π≥2ab ·π=π,∴面积的最小值为π.10.与直线x -y -4=0和圆A :x 2+y 2+2x -2y =0都相切的半径最小的圆C 的方程是________________________________________________________________________. 答案 (x -1)2+(y +1)2=2解析 易知所求圆C 的圆心在直线y =-x 上,故设其坐标为C (c ,-c ),又其直径为圆A 的圆心A (-1,1)到直线x -y -4=0的距离减去圆A 的半径,即2r =62-2=22⇒r =2,即圆心C 到直线x -y -4=0的距离等于2,故有|2c -4|2=2⇒c =3或c =1,结合图形当c =3时圆C 在直线x -y -4=0下方,不符合题意,故所求圆的方程为(x -1)2+(y +1)2=2. 11.已知点P (x ,y )是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.(1)求点P 到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值;(2)求y -2x -1的最大值和最小值.解 (1)圆心C (-2,0)到直线3x +4y +12=0的距离为d =|3×(-2)+4×0+12|32+42=65. 所以点P 到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为d +r =65+1=115,最小值为d -r =65-1=15.(2)设k =y -2x -1,则直线kx -y -k +2=0与圆(x +2)2+y 2=1有公共点, ∴|-3k +2|k 2+1≤1,∴3-34≤k ≤3+34,∴k max =3+34,k min =3-34.即y -2x -1的最大值为3+34,最小值为3-34. 12.(2014·苏州模拟)已知圆M 的方程为x 2+y 2-2x -2y -6=0,以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切. (1)求圆O 的方程;(2)圆O 与x 轴交于E ,F 两点,圆O 内的动点D 使得DE ,DO ,DF 成等比数列,求DE →·DF →的取值范围. 解 (1)圆M 的方程可整理为(x -1)2+(y -1)2=8,故圆心M (1,1),半径R =2 2.圆O 的圆心为O (0,0),因为MO =2<22,所以点O 在圆M 内,故圆O 只能内切于圆M .设圆O 的半径为r ,因为圆O 内切于圆M , 所以MO =R -r ,即2=22-r ,解得r = 2. 所以圆O 的方程为x 2+y 2=2. (2)不妨设E (m,0),F (n,0),且m <n . 故E (-2,0),F (2,0).设D (x ,y ),由DE ,DO ,DF 成等比数列, 得DE ×DF =DO 2,即(x +2)2+y 2×(x -2)2+y 2=x 2+y 2, 整理得x 2-y 2=1.而DE →=(-2-x ,-y ),DF →=(2-x ,-y ), 所以DE →·DF →=(-2-x )(2-x )+(-y )(-y ) =x 2+y 2-2=2y 2-1.由于点D 在圆O 内,故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2<2,x 2-y 2=1,得y 2<12,所以-1≤2y 2-1<0,即DE →·DF →∈[-1,0).。
直线与圆的最值问题

直线与圆的常见最值问题剖析
例1、 在直线l :3x-y-1=0上求一点P ,使得:
(1) P 到A(4,1)和B(3,3)的距离之差最大;
(2) P 到A(4,1)和C(0,4)的距离之差最大;
(3) P 到A(4,1)和D(0,4)的距离之和最小;
(4) P 到A(4,1)和E(3,3)的距离之和最小.
例2、 求函数2222)10()6()30()2()(++-+-++=
x x x f 的最小值。
【变式训练1】求函数3712134)(22+-+++=
x x x x x f 的最小值。
【变式训练2】求函数10432)(22+--+-=
x x x x x f 的最大值。
例3、 若x,y 满足x+y+1=0.求2222
2+--+y x y x 的最小值。
例4、 在抛物线24x y =上求一点P ,使点P 到直线y=4x-5的距离最小。
例5:若直线y=x+b 与曲线243x x y --=有公共点,求b 的取值范围。
【变式训练】讨论直线y=x+b 与曲线24x y -=
的交点个数。
例6:若圆422=+y x 上有4个点到直线y=x+b 的距离都为1,求b 的取值范围。
【变式训练】若圆422=+y x 上有2个点到直线y=x+b 的距离都为1,求b 取值范围。
重难点突破:直线与圆中最值问题全梳理

3
例题 4: 点 M x, y 在曲线 C : x2 4x y2 21 0 上运动,t x2 +y2 12x 12 y 150 a ,且 t 的最
大值为
b
,若
a,
b
R
,则
a
1
1
1 b
的最小值为(
)
当 ,即 P 1, 0 时等号成立.故选: D .
【小结】本题考查了向量的计算,建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.
1
例题 2: 已知在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点, A0, 2 , OB 2 OA 2 20 ,若平面内点 P 满
足 PB
3PA ,则
PO
的最大值为(
【解析】 x2 y2 4x 2 y 1 0 ,即 x 22 y 12 4 ,圆心为 2, 1 ,半径为 2 .弦长为 4 ,则
直线过圆心,即 2a 2b 4 0 ,即 a b 2 . a2 b2 a b2 2ab a b2 a b2 2 ,当
2 a b 1 时等号成立.故选: B .
5
题型五 直线与圆与三角函数结合的最值问题
例题 6: 已知 A xA, yA 是圆心为坐标原点 O ,半径为 1 的圆上的任意一点,将射线 OA 绕点 O 逆时针旋转
2 到 OB 交圆于点 B
3
xB, yB
,则 2 yA yB 的最大值为(
)
A.3
B.2
C. 3
D. 5
【分析】设射线
OA
BM AB BF AB AF 1,从而可得结果.
【解析】因为 C : x 12 y2 4 的圆心 1, 0 ,所以,可得以 1, 0 为焦点的抛物线方程为 y2 4x ,
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题

圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题在高中数学中,圆是我们研究最多的一种曲线。
在研究与圆相关的问题时,最值问题是一个重点和热点。
下面总结了常见的与圆相关的最值问题,希望对读者有所启发。
类型一:圆上一点到直线距离的最值问题分析:求圆上一点到直线距离的最值问题,总是可以转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。
1.求圆C:(x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线l:x-y+2=0的最大、最小距离。
解析:作CH⊥l交于H,与圆C交于A,反向延长与圆交于点B。
则dmax=dBH=2+√2,dmin=dAH=2-√2,因此dCH=2.2.求圆C:(x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线l:x-y+4=0距离的最大值和最小值。
解析:方法同第一题,dmax=dBH=4√2,dmin=dAH=2√2.3.圆x²+y²=2上的点到直线l:3x+4y+25=0的距离的最小值为______。
解析:方法同第一题,dmin=5-2=3.类型二:圆上一点到定点距离的最值问题分析:本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离,总是可以转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P(x,y)是圆C:x²+y²-2x-4y+4=0上一点,求P 到原点的最大最小距离。
解析:连接OC与圆交于A,延长OC交于B。
则dmax=dOC+r=5+1=6,dmin=dOC-r=5-1=4.2.已知圆C:x²+y²-4x-14y+45=0及点Q(-2,3),若M是圆C上任一点,求MQ最大值和最小值。
解析:方法同第一题,dmax=dCQ+r=6√2,dmin=dCQ-r=2√2.3.已知x,y满足条件x²+y²-2x-4y+4=0,求x²+y²范围。
解析:方程看作是圆C,表达式几何意义是圆C上点(x,y)与(0,0)距离范围,求dmax,___即可,与第一题答案相同。
直线与圆的最值问题

直线与圆的最值问题一:有关长度的最小值二:有关面积的最值直线与圆中的最值问题主要包含两个方面 1.参量的取值范围 由直线和圆的位置关系或几何特征,引起的参量如k ,b ,r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数. 2.长度和面积的最值 由于直线或圆的运动,引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于参数如k 或b ,r 的函数,运用函数或基本不等式求最值.例1 (1)如图24-1,已知圆x 2+y 2=1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,则线段AB 长度的最小值为(2)直线2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A ,B (其中a ,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 则点P (a ,b )与点(0,1)之间距离的最大值为________. 图24-1 (1)2 (2)2+1 【解析】 (1)设切点为D ,∠OAD =α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2,则连结OD 知OD ⊥AB ,从而得到AD =1tan α=cos αsin α,BD =1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin αcos α,所以线段AB =cos αsin α+sin αcos α,故线段AB 长度的最小值为2. (2)由题意知,圆心(0,0)到直线2ax +by =1的距离为12a 2+b 2=12,解得2a 2+b 2=2,所以点P (a ,b )与点(0,1)之间距离为a 2+(b -1)2=b 22-2b +2=12(b -2)2,因为-2≤b ≤2,所以当b =-2时,点P (a ,b )与点(0,1)之间距离取得最大值为3+22=2+1.例2 已知圆C 通过不同的三点P (m,0)、Q (2,0)、R (0,1),且CP 的斜率为-1. (1)试求⊙C 的方程;(2)过原点O 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,l 1交⊙C 于E ,F 两点,l 2交⊙C 于G ,H 两点,求四边形EGFH 面积的最大值.三:某些参量的取值问题【解答】 (1)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-D 2,-E 2,且PC 的斜率为-1, 因为圆C 通过不同的三点P (m,0),Q (2,0),R (0,1), 所以有⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧ 1+E +F =0,4+2D +F =0,-D 2=2+m 2,-E 2-0-D 2-m =-1,解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ D =1,E =5,F =-6,m =-3. 所以圆C 的方程为x 2+y 2+x +5y -6=0.⎣⎢⎡⎦⎥⎤或写成⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +522=252. (2)圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-52,设圆心C 到l 1,l 2的距离分别为d 1,d 2, 则d 21+d 22=OC 2=132, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22+d 21=R 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22+d 22=R 2, 两式相加,得EF 2+GH 2=74≥2EF ·GH , ∴S =12EF ·GH ≤372,即(S 四边形EFGH )max =372. 例3已知圆x 2+y 2+2ax -2ay +2a 2-4a =0(0<a ≤4)的圆心为C ,直线l :y =x +m . (1)若m =4,求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值; (2)若直线l 是圆心下方的切线,当a 在(0,4]变化时,求m 的取值范围. 【解答】 (1)∵x 2+y 2+2ax -2ay +2a 2-4a =0, ∴(x +a )2+(y -a )2=4a . ∴圆心为C (-a ,a ),半径为r =2a . 设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ,圆心C 到直线l 的距离为d . m =4时,直线l :x -y +4=0, 圆心C 到直线l 的距离d =|-a -a +4|2=2|a -2|, t 2=(2a )2-2(a -2)2=-2a 2+12a -8=-2(a -3)2+10. ∴当a =3时,直线l 被圆C 所截得弦长的最大值为210. (2)圆心C 到直线l 的距离d =|-a -a +m |2=|m -2a |2, ∵直线l 是圆C 的切线,∴d =r ,即|m -2a |2=2a . ∴m =2a ±22a .∵直线l 在圆C 的下方,∴m =2a -22a =(2a -1)2-1.∵a ∈(0,4],∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,8-42.练习若曲线x 2+y 2+2x -4y +1=0上的任意一点关于直线2ax -by +2=0(a ,b ∈R +)的对称点仍在该曲线上,则1a +1b 的最小值是________. 4 【解析】 由题意知,已知圆的圆心(-1,2)在直线2ax -by +2=0(a ,b ∈R +)上,所以解得a +b =1,所以1a +1b =a +b a +a +b b =2+b a +a b≥4.(教材必修2 P115习题15改编) 例 直线l 过点M (-1,2)且与线段A (-2,-3),B (4,0)相交,则斜率的取值范围为________. 【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤-∞,-25∪[5,+∞) 【解析】 k AM =-3-2-2+1=5,k BM =2-1-4=-25,结合图象可得 k ∈⎛⎦⎥⎤-∞,-25∪[5,+∞). 已知集合A ={(x ,y )||x |+|y |≤1},B ={(x ,y )|x 2+y 2≤r 2,r >0},若点(x ,y )∈A 是点(x ,y )∈B 的必要条件,则r 的最大值是________.22 【解析】 集合A 是由四点(1,0)、(-1,0)、(0,1)、(0,-1)围成的正方形区域,集合B 表示的是以(0,0)为圆心,r 为半径的圆面,由于点(x ,y )∈A 是点(x ,y )∈B 的必要条件,所以r 的最大值是点(0,0)到直线x +y -1=0的距离d =|0+0-1|2=22.例 [2008·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,设二次函数f (x )=x 2+2x +b (x ∈R)的图象与两坐标轴有三个交点.经过三点的圆记为C . (1)求实数b 的取值范围; (2)求圆C 的方程; (3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)?请证明你的结论.xOy 中,已知圆C 1:(x +3)2+(y -1)2=4和圆C 2:(x -4)2+(y -5)2=4.(1)若直线l 过点A (4,0),且被圆C 1截得的弦长为23,求直线l 的方程;(2)设P 为平面上的点,满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2,它们分别与圆C 1和圆C 2相交,且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P 的坐标.图23-3。
高考复习直线与圆的最值问题

专题:直线与圆的最值问题(★★★★) 教学目标. 掌握直线与圆的最值问题的基本题型和一般的解题策略。
知识梳理 3min.直线与圆中的最值问题主要包含两个方面1.参量的取值范围由直线和圆的位置关系或几何特征,引起的参量如k ,b ,r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.2.长度和面积的最值由于直线或圆的运动,引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于参数如k 或b ,r 的函数,运用函数或基本不等式求最值.要点热点探究典例精讲 .34min. 探究点一 有关长度的最小值直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦长、切线长等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.例1.(★★★★) (2012·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (0,2),直线l :x +y -4=0.点B (x ,y )是圆C :x 2+y 2-2x -1=0的动点,AD ⊥l ,BE ⊥l ,垂足分别为D ,E ,则线段DE 的最大值是________.解析:线段DE 的最大值等于圆心(1,0)到直线AD :x -y +2=0的距离加半径即为522. 答案:522变式训练:(★★★★)若实数a ,b ,c 成等差数列,点P (-1,0)在动直线ax +by +c =0上的射影为M ,点N (3,3),则线段MN 长度的最大值是________.解析:由题可知动直线ax +by +c =0过定点A (1,-2).设点M (x ,y ),由MP ⊥MA 可求得点M 的轨迹方程为以AP 为直径的圆,圆心Q (0,-1)半径r = 2.故线段MN 长度的最大值为QN +r =5+ 2.答案:5+2探究点二 有关面积的最值问题直线与圆中的面积问题主要指的是由直线与坐标轴形成的三角形、直线与圆形成的多边形及动圆的面积.例2.(★★★★) (2012·徐州四市)平面直角坐标系中,已知点A (1,-2),B (4,0),P (a,1),N (a +1,1),当四边形P ABN 的周长最小时,过三点A ,P ,N 的圆的圆心坐标是________.解析:∵AB ,PN 的长为定值,∴只要求P A +BN 的最小值.P A +BN =(a -1)2+9+(a -3)2+1,其几何意义为动点(a,0)到两定点(1,3)和(3,-1)距离之和,当三点共线,即a =52时,其和取得最小值.线段PN 的中垂线方程为x =3,线段P A 的中垂线方程为y +12=-12⎝⎛⎭⎫x -74,交点⎝⎛⎭⎫3,-98即为所求的圆心坐标. 答案:⎝⎛⎭⎫3,-98变式训练:(★★★★)已知A (-2,0),B (0,2),M ,N 是圆x 2+y 2+kx =0(k 是常数)上的两个不同的点,P 是圆上的动点,如果M ,N 两点关于直线x -y -1=0对称,则△P AB 面积的最大值是________.解析:因为M ,N 关于直线x -y -1=0对称,故圆心⎝⎛⎭⎫-k 2,0在直线x -y -1=0上,则-k 2-1=0,解得k =-2,则圆的方程为(x -1)2+y 2=1.又直线AB 的方程为x -y +2=0,则圆心(1,0)到直线AB 的距离为d =|1+2|2=322.所以圆上的点到直线AB 的最大距离为1+322,所以△P AB 面积的最大值为S =12×|AB |×⎝⎛⎭⎫1+322=12×22×⎝⎛⎭⎫1+322=3+ 2. 答案:3+2探究点三 某些参量的取值范围问题动直线和动圆中都会带有参量,此时由于直线和圆的运用,会带来参量取值变化,利用几何特征建立关于参量的不等式或函数来求解.例3.(★★★★)(2012年高考(江苏))在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是____.【答案】43. 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离 【解析】∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点;∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤.∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-,2≤,解得403k ≤≤. ∴k 的最大值是43. 变式训练:(★★★★))若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A .[,124ππ] B .[5,1212ππ] C .[,]63ππ D .[0,]2π 解析:圆0104422=---+y x y x整理为222(2)(2)x y -+-=,∴圆心坐标为(2,2),半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则圆心到直线的距离应小于等于2, ∴∴ 2()4()1a a b b ++≤0,∴2()2a b --≤()a k b =-,∴22l 的倾斜角的取值范围是]12512[ππ,,选B . 变式训练:(★★★★)设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x m y x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是____.答案:122m ≤≤. 解析:当0m ≤时,集合A 是以(2,0)为圆心,以m 为半径的圆,集合B 是在两条平行线之间,(2,0)在直线的上方(1022m m +=+> d r >,又因为,A B φ⋂≠此时无解; 当0m >时,集合A 是以(2,0m 为半径的圆环,集合B 是在两条平行线之间,必有当1212,2m m +≤≤时,只要1122m m ≤⇒-≤≤. 当22,1m m ≥≥时, 只要,12m m ≤⇒≤≤+当122,21212m m m ≤+≥⇒≤≤时,一定符合,A B φ⋂≠ 又因为A φ≠,2m 1,222m m ≤∴≤≤. 本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式,及其综合能力.回顾总结 3 min.1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较,或者利用方程有解的问题;2、圆上一点到直线距离的最值问题总是转化成求圆心到定直线的距离;3、有些最值问题要注意向函数问题转化;。
直线与圆的最值问题

直线与圆的最值问题1、 点A 为1)3()2(22=-+-y x 上的任意一点,则A 到直线01=++y x 的最短距离为______________最大距离为___________2、点P 在圆01148:221=+--+y x y x C 上,点Q 在圆0124:222=++++y x y x C 则|PQ|的最小值为 ( )A 5B 1C 553-D 553+3、从直线03=+-y x 是上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线,则切线长的最小值为( )A 223B 214C 423D 1223- 4、过点)3,3(-M 的直线L 被021-422=++y y x 所截得弦长最短时的直线L 的方程5、一束光线从点)1,1(-A 出发经X 轴反射到圆1)3()2(22=-+-y x 的最短路径为_____________例题:已知实数x 和y 满足3)2(22=+-y x ,完成下列问题:(1)求x y 的最大为 _________此时x = _________y=_________最小值为__________ (2) 22)2()2(+++y x 的最小值为______________最大值为_____________作业:1、 过原点O 作圆4)6(22=+-y x 的切线,切线长为________________2、 在圆422=+y x 上,与直线L: 01234=-+y x 的距离最小点坐标( ) A )56,58( B )56,58(- C )56,58(- D )56,58(--3、已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ,直线L :047)1()12(=--+++m y m x m(1).求证:直线L 恒过定点(2)判断直线L 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短?并求出长度4、若直线1=+by ax 与圆122=+y x 有两个交点,则点),(b a p 与圆关系 ( ) A 在圆上 B 在圆外 C 圆内 D 全有可能。
高二数学直线与圆中的范围,最值问题

在高二数学中,直线与圆中的范围和最值问题通常涉及到距离、长度、面积等概念,以及与这些概念相关的数学公式和定理。
下面是一些常见的解题方法和技巧:1. 利用直线与圆的位置关系:-判断直线与圆的位置关系(相离、相切、相交),可以通过计算圆心到直线的距离与圆的半径进行比较得出。
-当直线与圆相交时,可以通过解方程组求出交点,进而求出相关的范围和最值。
2. 利用点到直线的距离公式:-对于给定的点和直线,可以使用点到直线的距离公式求出点到直线的距离。
-通过调整点的位置或直线的方程,可以求出与距离相关的范围和最值。
3. 利用圆的性质:-圆的性质包括圆心、半径、直径等,可以通过这些性质求出与圆相关的范围和最值。
-例如,当一条直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,可以通过这个性质求出直线的方程。
4. 利用基本不等式和函数的单调性:-在求范围和最值问题时,常常需要利用基本不等式(如均值不等式、柯西不等式等)进行推导。
-同时,通过分析函数的单调性,可以确定函数在特定区间的取值范围,从而求出最值。
5. 利用平面几何知识:-在处理直线与圆的问题时,可以运用平面几何知识,如相似三角形、等腰三角形等性质,来简化计算过程。
6. 构造辅助线或辅助圆:-有时为了简化问题,可以构造辅助线或辅助圆。
通过构造辅助图形,可以将复杂的问题转化为简单的问题。
7. 利用数形结合思想:-数形结合是数学中常用的一种思想方法。
通过画出图形,可以更直观地理解问题,从而更容易找到解题的突破口。
在解决这类问题时,需要注意以下几点:-准确理解题目要求,明确需要求的是范围还是最值。
-灵活运用所学的数学公式和定理,进行推导和计算。
-注意细节和特殊情况的处理,避免漏解或错解。
-多做练习,提高解题速度和准确性。
通过不断练习和总结,可以逐渐掌握直线与圆中的范围和最值问题的解题方法和技巧。
高中数学 直线与圆相关的最值问题

直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一,常常与向量、直线相结合考查,有一定的难度,题型从填空题到解答题不固定。
【母题】(2018年苏州市第一中学高二上期中考试)平面直角坐标系xOy 中,若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、,满足AB PA =,则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有:(1)圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -,最远为AO r +;(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦;(3)直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +,最近为d r -; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. (5)直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离;(6)两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为:)0()2()3(222>=-+-r r y x ,若直线33=+y x 上存在一点P ,在圆C 上总存在不同的两点N M ,,使得点M 是线段PN 的中点,则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】(2015届淮安高三三模第14题)在平面直角坐标系中,圆,圆.若圆上存在一点,使得过点可作一条射线与圆依次交于点,,满足,则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C :()()223425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程是 .【变式3】(2015江苏高考第10题)在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 。
直线与圆中最值问题全梳理

直线与圆中最值问题全梳理教师专用模块一、题型梳理题型一 直线与圆与平面向量相结合的最值问题例题1: 已知等边△ABC 内接于圆τ:x 2+ y 2=1,且P 是圆τ上一点,则()PA PB PC ⋅+的最大值是( )AB .1CD .2【分析】如图所示建立直角坐标系,设()cos ,sin P θθ,则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-,计算得到答案.【解析】如图所示建立直角坐标系,则1,0A ,12⎛- ⎝⎭B ,1,2C ⎛- ⎝⎭,设()cos ,sin P θθ,则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-,即()1,0P -时等号成立.故选:D .【小结】本题考查了向量的计算,建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键.例题2: 已知在平面直角坐标系xOy 中,O 为坐标原点,()0,2A ,2220OB OA +=,若平面内点P 满足3PB PA =,则PO 的最大值为( ) A .7B .6C .5D .4【分析】设(),P x y ,(),B m n ,根据3PB PA =可得262m x n y=-⎧⎨=-⎩,再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹,它一个圆,从而可求PO 的最大值.【解析】设(),P x y ,(),B m n ,故(),PB m x n y =--,(),2PA x y =--.由3PB PA =可得363m x xn y y-=-⎧⎨-=-⎩,故262m x n y=-⎧⎨=-⎩,因为2220OB OA +=,故()22443420x y +-+=,整理得到()2234x y +-=,故点P 的轨迹为圆,其圆心为()0,3,半径为2,故PO 的最大值为325+=,故选:C.【小结】本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题,一般地,求轨迹方程,可以动点转移法,也可以用几何法,而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题,常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差,本题属于中档题.题型二 直线与圆与基本不等式相结合的最值问题例题3: 直线240ax by ++=与圆224210x y x y ++++=截得的弦长为4,则22a b +的最小值是( )A .3B .2CD .1【分析】根据题意知直线过圆心得到2a b +=,再利用均值不等式计算得到答案.【解析】224210x y x y ++++=,即()()22214x y +++=,圆心为()2,1--,半径为2.弦长为4,则直线过圆心,即2240a b --+=,即2a b +=.()()()22222222a b a b ab a a b b +=+-≥+-=+,当1a b ==时等号成立.故选:B .例题4: 点(),M x y 在曲线C :224210x x y -+-=上运动,22+1212150t x y x y a =+---,且t 的最大值为b ,若,a b R +∈,则111a b++的最小值为( ) A .2B .12C .3D .1【分析】首先可确定曲线C 表示圆心为2,0,半径为5的圆;令d =2222t d a =--;d 的最大值为半径与圆心到点()6,6-的距离之和,利用两点间距离公式求得max d ,代入t 中利用最大值为b 可求得14a b ++=,将所求的式子变为()111111141a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭,利用基本不等式求得结果.【解析】曲线C 可整理为:()22225x y -+=,则曲线C 表示圆心为2,0,半径为5的圆()()2222+121215066222t x y x y a x y a =+---=++---,设d =d 表示圆上的点到()6,6-的距离,则max 515d ==,2max 15222t a b ∴=--=,整理得:14a b ++=,()111111*********b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫∴+=+++=⨯+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭又121b a a b ++≥=+(当且仅当11b a a b +=+,即1a =,2b =时取等号) 1114114a b ∴+≥⨯=+,即111a b++的最小值为1,本题正确结果:1 题型三 直线与圆与抛物线相结合的最值问题例题5: 已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点,B 点是抛物线:2:C 28x y =上任意一点,BM 与直线2y =-垂直,垂足为M ,则BM AB -的最大值为( )A .1B .2C .1-D .8【解析】因为()22:14C x y -+=的圆心()1,0,所以,可得以()1,0为焦点的抛物线方程为24y x =,由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得()1,2A ,抛物线22:8C x y =的焦点为()0,2F ,准线方程为2y =-, 即有1BM AB BF AB AF -=-≤=,当且仅当,,(A B F A 在,B F 之间)三点共线,可得最大值1。
直线与圆的最值问题

题型一:过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值.例1:.圆x 2+y 2-4x +6y -12=0过点(-1,0)的最大弦长为m ,最小弦长为n ,则m -n 等于 解析 圆的方程x 2+y 2-4x +6y -12=0化为标准方程为(x -2)2+(y +3)2=25.所以圆心为(2,-3),半径长为5.因为(-1-2)2+(0+3)2=18<25,所以点(-1,0)在已知圆的内部,则最大弦长即为圆的直径,即m =10.当(-1,0)为弦的中点时,此时弦长最小.弦心距d =(2+1)2+(-3-0)2=32,所以最小弦长为2r 2-d 2=225-18=27,所以m -n =10-27.变式训练1:1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点,则AB 的最小值是多少? 解:直线1y kx =+过定点()1,0M ,当MC AB ⊥时,AB取最小值,由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,可知,222d R l -=,2==MC d ,故22222=-=d R l变式训练2:已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x +y -4)+m (2x +y -7)=0(m ∈R ),所以⎩⎨⎧ 2x +y -7=0,x +y -4=0,解得⎩⎨⎧x =3,y =1,即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2),|AC |=5<5(半径),所以点A 在圆C 内,从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时,l ⊥AC .因为k AC =-12,所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1),所以l 的方程为2x -y -5=0. 方法总结:过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径,最小值为垂直于直径的弦.题型二:圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最值.例2:求点A )(0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值?解:==AC d 2,故距离的最大值为3=+r d ,最小值为1=-r d变式训练1:圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值?解:圆心到直线的距离为222==d , 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结:圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +,最小值为r d -直线与圆相离,圆上的点到直线的距离的最大值为r d +,最小值为r d -题型三:切线问题例3 由直线y =x +2上的点P 向圆C :(x -4)2+(y +2)2=1引切线PT (T 为切点),当PT 最小的时候P 的坐标?解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系,可知PT =PC 2-1,故PT 最小时,即PC 最小,此时PC 垂直于直线y =x +2,则直线PC 的方程为y +2=-(x -4),即y =-x +2,联立方程⎩⎨⎧y =x +2,y =-x +2,解得点P 的坐标为(0,2). 变式训练1:点P 是直线2x +y +10=0上的动点,P A ,PB 与圆x 2+y 2=4分别相切于A ,B 两点,则四边形P AOB 面积的最小值为________.解析:如图所示,因为S 四边形P AOB =2S △POA .又OA △AP ,所以S 四边形P AOB =2×12|OA |·|P A | =2|OP |2-|OA |2=2|OP |2-4.为使四边形P AOB 面积最小,当且仅当|OP |达到最小,即为点O 到直线2x +y +10=0的距离:|OP |min =1022+12=2 5.故所求最小值为2252-4=8.题型五:两圆相离,两圆上点的距离的最值。
高三直线与圆的最值问题-.doc

辅导讲义=cos αsin α,BD =1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-α=sin αcos α,所以线段AB =cos αsin α+sin αcos α,故线段AB 长度的最小值为2. (2)由题意知,圆心(0,0)到直线2ax +by =1的距离为12a 2+b2=12,解得2a 2+b 2=2,所以点P (a ,b )与点(0,1)之间距离为a2b -12=b 22-2b +2=12b -22,因为-2≤b ≤2,所以当b =-2时,点P (a ,b )与点(0,1)之间距离取得最大值为3+22=2+1.例2:(2012·扬州中学质检(三))已知⊙C :x 2+(y -1)2=1和直线l :y =-1,由⊙C 外一点P(a ,b)向⊙C 引切线PQ ,切点为Q ,且满足PQ 等于P 到直线l 的距离.(1)求实数a ,b 满足的关系式;(2)设M 为⊙C 上一点,求线段PM 长的最小值;(3)当P 在x 轴上时,在l 上求一点R ,使得|CR -PR|最大. 解 (1)过P 作PH ⊥l 于H ,则由题意可得PQ =PC 2-1,PH =|b +1|. 因为PQ =PH ,所以a2b -12-1=|b +1|,即a 2+(b -1)2-1=(b +1)2,整理,得a ,b 满足的关系式是a 2=4b +1.(2)由平面几何可知,当PC 最小时线段PC 与⊙C 交于M ,此时PM 的值最小. 因为PC =a2b -12=4b +1b -12=b 2+2b +2=b +12+1,且b =14a 2-14≥-14,所以当b =-14时,PC min =54,此时PM min =PC min -1=14.(3)因为a 2=4b +1,令b =0,得a =±1.由题意知P 1(1,0),P 2(-1,0).由平面几何可知,当R 为直线CP 与直线l 的交点时,|CR -PR |取最大值. 因为直线CP 1方程为y =-x +1,直线CP 2方程为y =x +1.所以由⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +1,y =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-1.由⎩⎪⎨⎪⎧y =x +1,y =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-1.故当点P 的坐标为(1,0)时,点R 的坐标为(2,-1);当点P 的坐标为(-1,0)时,点R 的坐标为(-2,-1). 例3:(2012·南通、泰州、扬州三市调研(二))若动点P 在直线l 1:x -y -2=0上,动点Q 在直线l 2:x -y -6=0上,设线段PQ 的中点为M(x 0,y 0),且(x 0-2)2+(y 0+2)2≤8,则x 20+y 20的取值范围是________.解析(2)圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-52,设圆心C 到l 1,l 2的距离分别为d 1,d 2,则d 21+d 22=OC 2=132,又⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22+d 21=R 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22+d 22=R 2, 两式相加,得EF 2+GH 2=74≥2EF ·GH ,∴S =12EF ·GH ≤372,即(S 四边形EFGH )max =372.例2:(2012·北京师大附中检测)已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的切线,A 、B 是切点,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是________.解析 如图所示,由题意,圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的圆心是C (1,1),半径为1,由PA =PB 易知四边形PACB 的面积=12(PA +PB )=PA ,故PA 最小时,四边形PACB 的面积最小.由于PA =PC 2-1,故PC 最小时PA 最小,此时CP 垂直于直线3x +4y +8=0,P 为垂足,PC =|3+4+8|5=3,PA =PC 2-1=22,所以四边形PACB 面积的最小值是2 2. 答案 2 2例3:(苏州市2011届高三调研测试)在平面直角坐标系xOy 中,点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点,点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ▲ . 【解析】设切点为()3,1x x-+,则切线的斜率203k x =-,切线方程为2300321y x x x =-++,()33002021,0,0,213x A B x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,所以()3300202112123AOB x S x x ∆+=⋅+⋅ 222332030000211111113223.6622624x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4:在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为________.解析:圆的方程化为标准形式为(x -1)2+(y -3)2=10,由圆的性质可知最长弦AC =210,最短弦BD 恰以E(0,1)为中点,设点F 为其圆心,坐标为(1,3).故EF =5,∴BD =21052=25,答案 14-213检测题3: 直线2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A ,B 两点(其中a ,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a ,b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________. 解析 △AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax +by =1的距离等于22,由点到直线的距离公式,得12a 2+b2=22,即2a 2+b 2=2,即a 2=1-b 22且b ∈[-2,2].点P (a ,b )与点(0,1)之间的距离为d =a 2b -12=12b 2-2b +2,因此当b =-2时,d 取最大值,此时d max =3+22=2+1. 答案 2+1检测题4:(2013·南京29中模拟)过圆x 2+y 2=1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点,则AB的最小值为________.解析 设圆上的点为(x 0,y 0),其中x 0>0,y 0>0,切线方程为x 0x +y 0y =1,分别令x =0,y =0,得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0,0、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,1y 0,所以AB =1x 20+1y 20=x 20+y 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20+1y 20≥2. 答案 2检测题5:(江苏省2013届高三第三次调研测试数学试卷)在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :22(1)4x y -+=上的任意一点,点Q (2a ,3a -)(a ∈R ),则线段PQ 长度的最小值为______.答案:52-三、学法提炼1、专题特点:考查学生的问题转化能力,重点利用函数的封闭性和参数的取值范围,数形结合的方法确定有关的最值问题。
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直线与圆的最值专题
一、动点的最值问题
1.若动点P 在直线l 1:2x -y -2=0上,动点Q 在直线圆(x -2)2+(y -1)2
=1上,线段PQ 的最小值是________.
2.若动点P 在直线l 1:x -y -2=0上,动点Q 在直线l 2:x -y -6=0上,设线段PQ 的中点为M(x 0,y 0),且(x 0-2)2+(y 0+2)2≤8,则x 20+y 20的取值范围是________.
3.已知圆C 1:(x -2)2+(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM +PN 的最小值为________.
4.在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :22(1)4x y -+=上的任意一点,点Q (2a ,3a -)(a ∈R ),则线段PQ 长度的最小值为______.
5.直线2ax +by =1与圆x 2+y 2=1相交于A ,B 两点(其中a ,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a ,b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________.
6.直线l 过点(0,-4),从直线l 上的一点P 作圆C :x 2+y 2-2y =0的切线PA ,PB (A ,B 为切点),若四边形PACB 面积的最小值为2,则直线l 的斜率k 为________.
7.C :(x -a )2+(y -1)2=1在不等式x +y +1≥0所表示的平面区域内,则a 的最小值为________
二、定直线与定圆的最值问题
8.已知x ,y 满足x +2y -5=0,则(x -1)2+(y -1)2的最小值为________.
9.已知点P (x ,y )是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.
(1)求点P 到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值;
(2)求y -2x -1
的最大值和最小值. 10.若曲线x 2+y 2+2x -4y +1=0上的任意一点关于直线2ax -by +2=0(a ,b ∈R +)的对称
点仍在该曲线上,则1a +1b
的最小值是________. 三、动直线与的动圆的最值问题
11.过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2
相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率为________.
12.过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率为________.
13.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________.
14.若圆x 2+y 2=r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x -y -2=0的距离为1,则实数r 的取值范围是________
15.若对于给定的正实数k ,函数()k f x x
=的图像上总存在点C ,使得以C 为圆心,1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2,则k 的取值范围是_________.
四、弦长的最值问题
16.已知圆:C 22
(2)4x y ++=,相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .
(Ⅰ)当2a =时,若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切,求圆M 的方程;
(Ⅱ)当1a =-时,求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值,并求此时直线1l 的方程.
17.1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点,则AB 的最小值是多少?
18.已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R).
(1)求证不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程. 五、切线的最值问题
19.与直线x -y -4=0和圆A :x 2+y 2+2x -2y =0都相切的半径最小的圆C 的方程是
20.由直线y =x +2上的点P 向圆C :(x -4)2+(y +2)2=1引切线PT (T 为切点),当PT 最小的时候P 的坐标?
21.点P 是直线2x +y +10=0上的动点,PA ,PB 与圆x 2+y 2=4分别相切于A ,B 两点,则四边形PAOB 面积的最小值为________.
六、面积的最值问题
22.过点P(1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y)|x 2+y 2
≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为
23.已知圆M 过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M 在x +y -2=0上.
(1)求圆M 的方程;
(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点,PA 、PB 是圆M 的两条切线,A ,B 为切点,求四边形PAMB 面积的最小值.
24.设P 为直线3x +4y +3=0上的动点,过点P 作圆C :x 2+y 2
-2x -2y +1=0的两条切线,切点分别为A ,B ,则四边形PACB 的面积的最小值为________. 七、与向量有关的最值问题
25.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点,PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的切线,A 、B 是切点,C 是圆心,那么四边形PACB 面积的最小值是________.
26.已知直线x +y -k =0(k >0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,且有|OA
→+OB →|≥33|AB →|,那么k 的取值范围是________.
27.圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,圆M 的方程为(x -2-5cos θ)2+(y -5sin θ)2=1(θ∈
R).过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ,PF ,切点分别为E ,F ,则PE →·PF →的最小值
是________.
28.已知⊙C 过点P(1,1),且与⊙M :(x +2)2+(y +2)2=r 2(r >0)关于直线x +y +2=0对称.
(1)求⊙C 的方程;
(2)设Q 为⊙C 上的一个动点,求PQ →·MQ →的最小值;
(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.
29.在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅的最大值为______.
30.圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,圆M 的方程为(x -2-5cos θ)2+(y -5sin θ)2=1(θ∈
R).过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ,PF ,切点分别为E ,F ,则PE →·PF →的最小值
是________.
31已知圆M 的方程为x 2+y 2-2x -2y -6=0,以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切.
(1)求圆O 的方程;
(2)圆O 与x 轴交于E ,F 两点,圆O 内的动点D 使得DE ,DO ,DF 成等比数列,求DE →·DF →的取值范围.。