直线与圆的最值问题归纳(缺答案)

直线与圆的最值专题

一、动点的最值问题

1.若动点P 在直线l 1：2x －y －2＝0上，动点Q 在直线圆(x －2)2＋(y －1)2

＝1上，线段PQ 的最小值是________．

2.若动点P 在直线l 1：x －y －2＝0上，动点Q 在直线l 2：x －y －6＝0上，设线段PQ 的中点为M(x 0，y 0)，且(x 0－2)2＋(y 0＋2)2≤8，则x 20＋y 20的取值范围是________．

3.已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为________．

4.在平面直角坐标系xOy 中,设点P 为圆C :22(1)4x y -+=上的任意一点,点Q (2a ,3a -)(a ∈R ),则线段PQ 长度的最小值为______.

5.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．

6.直线l 过点(0，－4)，从直线l 上的一点P 作圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的切线PA ，PB (A ，B 为切点)，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率k 为________．

7.C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________

二、定直线与定圆的最值问题

8.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________．

9.已知点P (x ，y )是圆(x ＋2)2＋y 2＝1上任意一点．

(1)求点P 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值和最小值；

(2)求y －2x －1

的最大值和最小值． 10.若曲线x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0上的任意一点关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R ＋)的对称

点仍在该曲线上，则1a ＋1b

的最小值是________． 三、动直线与的动圆的最值问题

11.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2

相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．

12.过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为________．

13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．

14.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________

15.若对于给定的正实数k ,函数()k f x x

=的图像上总存在点C ,使得以C 为圆心,1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2,则k 的取值范围是_________.

四、弦长的最值问题

16.已知圆:C 22

(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a .

（Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程；

（Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程.

17.1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？

18.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).

(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；

(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程. 五、切线的最值问题

19.与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆C 的方程是

20.由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？

21.点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，PA ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形PAOB 面积的最小值为________．

六、面积的最值问题

22.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y)|x 2＋y 2

≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为

23.已知圆M 过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上．

(1)求圆M 的方程；

(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．

24.设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2

－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________． 七、与向量有关的最值问题

25.已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________．

26.已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA

→＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．

27.圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈

R)．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值

是________．

28.已知⊙C 过点P(1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．

(1)求⊙C 的方程；

(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；

(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．

29.在平面直角坐标系xOy 中,圆C :224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ,N 两点,点P 为圆C 上任意一点,则PM PN ⋅的最大值为______.

30.圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈

R)．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值

是________．

31已知圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点O 为圆心的圆O 与圆M 相切．

(1)求圆O 的方程；

(2)圆O 与x 轴交于E ，F 两点，圆O 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DE →·DF →的取值范围．