初中力学培优题

5．（14分）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速

度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，

拖杆与竖直方向的夹角为θ。

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。

【答案】（1）（2）λ

【解析】

试题分析：（1）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有①②

式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有③

联立①②③式得④

（2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有⑤

这时①式仍满足。联立①⑤式得⑥

现考察使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有⑦

使上式成立的θ角满足，这里θ0是题中所定义的临界角，即当时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为⑧

1．在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为a、

质量为M的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置一

半径为R、质量为m的光滑球，正方体和球均保持静止，

如图所示。球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为，

正方体的边长a>R，正方体与水平地面的动摩擦因数为

。（g已知，并取最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

求：

（1）正方体和墙壁对球的支持力N1、N2分别是多大?

（2）若=45°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，则球质量的最大值为多少?（tan45°=1）。

（3）改变正方体到墙壁之间的距离，球和正方体都处于静止状态，且球没有掉落地面。若不让正方体出现滑动，讨论以下情况：

a. 若球的质量m=M，则正方体的右侧面AB到墙壁的最大距离是多少?

b. 当正方体的右侧面AB到墙壁的距离小于某个值时，则无论球的质量是多少，正方体都不会滑动，则这个距离的值是多少?

【答案】（1）N1=mg/cos，N2=mgtan；（2）m<；（3）a. R；b. R。

【解析】

【详解】

（1）以球为研究对象，受力如图：

小球受力平衡：N1cosθ=mg，N1=N2=mgtanθ；

（2）以正方体和球整体为研究对象，竖直方向受重力（m+M）g和地面的支持力F N，水平方向受墙壁的弹力N2和地面的摩擦力F f，则：F N=（m+M）gN2= mgtan45°

F f=μF N联立解得：m<；

（3）a、若球的质量m=M，对整体F N=（m+M）gN2= mgtanθ

F f=μF N联立解得：θ<60°

正方体的右侧面AB到墙壁的最大距离：L=R+Rsin60°=R；

b、根据F N=（m+M）g N2= mgtanθ

F f=μF N得：mgtanθμ（m+M）g

tanθ

tanθ，θ30°

故L R+Rsin30°=R

2．由六对合金杆悬吊着的一吊桥，六对合金杆在桥面上分列成对称的两排，其上端挂在两根轻钢缆上，图为其一截面图．已知图中相邻两杆间距离均为12米，靠近桥面中心的合金杆长度为4米（即AA′=DD′=4米），BB′=EE'，CC′=PP'，又已知两端钢缆与水平成45°角．若合金杆自重不计，为使每根合金杆承受负荷相同，试求每根合金杆的长度应各为多少？

【答案】BB'=EE'=8m CC'=PP'=16m

对整体受力分析，受重力和两个拉力F，根据平衡条

件，有：

4Fcos45°=mg

解得：F=mg

对C点受力分析，受CC′杆的拉力、拉力F、BC钢缆的拉力，根据平衡条件，有：

水平方向：Fcos45°=F BC cosθ1（θ1为F BC与水平方向的夹角）

竖直方向：Fsin45°=+F BC sinθ1

解得：F BC=mg，tanθ1=

对B点受力分析，受BB′杆的拉力、BC钢索的拉力、AB钢索的拉力，根据平衡条件，有：水平方向：F BC cosθ1=F BA cosθ2（θ2为F BA与水平方向的夹角）

竖直方向：F BC sinθ1= +F BA sinθ2

解得：F BA＝mg，tanθ2=

故BB′=EE′=AA′+A′B′tanθ2=4+12×=8m

CC′=PP′=BB′+B′C′tanθ1=8+12×=16m

3．如图所示，三根不可伸长的相同的轻绳，一端系在半径为R0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为R0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2R0的圆环2上．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心的距离．（三

个环都是用同种金属线制作的，摩擦不计）

4．如图所示，在水平地面xOy上有一沿x轴正方向做匀速运动的传送带，

运动速度为3v0，传送带上有一质量为m的正方形物体随传送带一起运动，

当物体运动到yOz平面时遇到一阻挡板C，阻止其继续向x轴正方向运动。

设物体与传送带间的动摩擦因数为μ1，与挡板之间的动摩擦因数为μ2。此时若要使物体沿y轴正方向以4v0匀速运动，重力加速度为g，则沿y轴方向所加外力为多少？

【答案】

物体受到挡板的摩擦力为f2，受到挡板的弹力为N2，设所加外力为F，则物体受力分析如图乙所示。根据已知条件，由受力平衡可得

f1＝μ1mg

N2＝f1sinθ

f2＝μ2N2＝μ2μ1mg sinθ

则所加外力为F＝f2＋f1cosθ＝