中考数学中的几何最值问题

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中考数学中的几何最值问题王盛裕宁波市惠贞书院

几何最值问题屡屡受到命题者关在近几年各地中考中，注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力本节课以近几年的全国各地的要求及数学思想方法的运用。的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。，两顶点的正三角形．（2009年潍坊市）已知边长为1a ABC点轴的正半轴上滑动，分别在平面直角坐标系的轴、x BA、y是大值的则OC的长最连C在第一象限，结OC，____________ ．y

C

B

x

O

A

1，且，则OD=OD的中点D，连结、CD、OCAB解：取a23，OC=OD+CDD，O三点共线时，，CD⊥AB，，∴CD=，当C a213+，∴OC＜OD+CDOC长的最大值是否则。a a22本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确点评

定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第三s

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边，寻找突破口从而求解。

，2008年兰州）如图，在中，2．（6BC?10，AC?8△ABC，AB?，且与边相切的动圆与分别相交于点经过点ABF，CB，CCAE）则线段长度的最小值是（EF4.8

．DC．5 ．A． B 244.75是圆的

直径，设切EF易知⊿ABC是直角三角形，所以解：⊥CH≥CD，作点是D，因为直径是圆中最长的弦，所以E F长度的最小值≥CH，即CD≥CH，所以有E FAB于点H，则EF长度的最CH=4.8。所以线段是CH，利用面积方法易得EF D。小值是4.8，故选B B H D D E E A A C C F F

通过转化后利用垂线段最本题求一条线段的最小值，点评短求解。中，2㎝的正方形ABCD．（32009年四川达州）在边长为上一动点，连接为BC边的中点，点ACP为对角线Q点㎝（结果PBQPQPB、，则△周长的最小值为____________ 不取近似值）。上运动。⊿在直线Q、解：BACP同侧，动点只能在AC s

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周长长度不变，要使⊿PBQQ中，B、为定点，故BQ PBQ PB+PQ最小。到两定点B、Q之和最小，应使动点P的对称点关于对角线ACAC是正方形的对称轴，点Q直线′共线时、 Q上，如图所示，当B、PQ′一定落在边CD周长的最小取最小值，则△=BQ′PBQ=PB+PQ=PB+PQ′5+1。值为

5DA

P

Q'

PBQ△本题有一定的难度，BCQ周长的最小值问题转为求

点评通过作对称点一个动点到两个定点的距离和的最小值

问题，周长的最小。的方法，当三点共线时，两条线段和△PBQ

，(2B两点的坐标分别为、4．（2010年苏州）如图，已知AD1．若，－10)，半径为，0)、(02)，⊙C的圆心坐标为(面，则△ABEy 轴交于点E上的一个动点，线段是⊙CDA与）积的最小值是（

2 D2 B．1 C．． A．2?2?2

2最BE最长，的切线，切点为CD时，OE为⊙当解：AD，所以∽⊿AOABE短，此时⊿面积最小，易证⊿E ADC s s

AOOE22面积的ABE，于是，，可求得BE=2-OE=从而△?

ADCD22??212。选D。最小值是????2??2?2??222??点评本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即

处于极可，根据圆的性质，易知AD端位置（切线）时，所求三角形的面积最小。

的顶年天津市）在平面直角坐标系中，矩形5．（2010OACB轴的正半轴上，轴、、B分别在点O在坐标原点，顶点A yx.OB 的中点，，D为边4OA?3?OB的周长最小时，求为边上的一个动点，当△1（）若CDEOAE点的坐标；E，当四边形上的两个动点，且、2）若为边（CDEFOA2EF?EF.、的坐标的周长最小时，求点EF C 连接轴的对称点D′，x 温馨提示如图可以作点D关于的周长是最小的。这样，你只需E，△xD′与轴交于点CDE E的坐标了。的长，就可以确定点要求出OE

s

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y y

C

C

B B D

D

AxEx

AOO

D

解：（1）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴??xxCDD交于点E，连接.

DE若在边上任取点（与点E不重合），连接、、???CEOADEE.??DE 由，???????CE?DE??CE?D?DEE??CECE?CDDE可知△的周长最小.

CDE∵在矩形中，，，为的中点，D OBOB3?OACB4OA?∴，，.

??6BD?2D?O?BC?3DO y

C

B ，OE∥BC∵?ODOED

.

∴Rt△，有Rt△∽??BCDDOE??BDBC?O?BC2?D3.∴?x

1?OE??A E EO

?6DB∴点的坐标为（1，0）.? DE（2）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取?DD CB x，连接与轴交于点，在上截取.?EEA GDCG?2x2?EF∵GC∥EF，，EF?GC∴四边形为平行四边形，有.CFGEFCGE?s

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又、的长为定值，DCEF∴此时得到的点、使四边形的周长

最小. CDEFEFy

，OE∥BC G

C

B

?OOED.

△, 有∴Rt△∽Rt??BGOEDD??BBGDD

??11)2??(BC?DO?BGDCGO∴.??OE??

??63DDBBx A F O E

71.

∴?2?OF?OE?EF?33? D17，点的坐标为（0，0），点的坐标为（）∴EF33）要使四边形1）有一个温馨提示，而问题（2点评本题（DE+CF的长为定值，故只需注意到CDEF的周长最小，DC、EF集中到一条直线、CF最小，用轴对称及平移方法设法将DE上解决问题。，已知正比例函数和反比例函120096．（年郴州市）如图）为双2P（－1，－，－数的图像都经过点M（－21），且轴，为坐标平面上一动点，PA垂直于x曲线上的一点，Q B．QB垂直于y轴，垂足分别是A、1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（上是否存在这MO）当点2Q在直线MO上运动时，直线（面积相等？如果存在，请，使得△OBQ与△OAPQ样的点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；求出点在第一象限中的双曲线上运动时，作Q3（）如图2，当点、OPCQ，为邻边的平行四边形以OPOQOPCQ求平行四边形周长的最小值．s

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