北京大学统计物理与热力学1999真题
热力学统计物理练习试题和答案
WORD 格式 整理 热力学·统计物理练习题一、填空题 . 本大题 70 个小题，把答案写在横线上。
1. 当热力学系统与外界无相互作用时 , 经过足够长时间 , 其宏观性质时 间改变，其所处的 为热力学平衡态。
2． 系统，经过足够长时间，其不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。
3．均匀物质系统的热力学平衡态可由力学参量、电磁参量、几何参量、化 学参量等四类参量描述，但有 是独立的。
4．对于非孤立系统， 当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此时 的系统所处的状态是 。
5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部分具有 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可视 为。
6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。
7．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有个。
8．定压膨胀系数的意义是在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。
9．定容压力系数的意义是在 不变条件下系统的压强随的相 对变化。
10．等温压缩系数的意义是在 不变条件下系统的体积随的 相对变化。
11．循环关系的表达式为。
12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的功 W Y i dy i ，其中 y i 是， Y i 是与 y i 相应的。
13． U B U A Q W ，其中 是作的功。
W14． dUQW0 ，-W 是作的功，且 -W 等于。
22（ 、 均为热力学平衡态1、L2 为15．Q W QW ,L 1L 1 1 2 1L 2准静态过程）。
16．第一类永动机是指的永动机。
17．内能是 函数，内能的改变决定于和。
18．焓是函数，在等压过程中，焓的变化等于的热量。
19．理想气体内能温度有关，而与体积。
学习参考资料分享WORD 格式整理20．理想气体的焓温度的函数与无关。
21．热力学第二定律指明了一切与热现象有关的实际过程进行的。
(完整word版)热力学与统计物理期末复习题
热力学统计物理1、请给出熵、焓、自由能和吉布斯函数的定义和物理意义解：熵的定义：S B−S A=∫dQT ⟹B A dS=dQT沿可逆过程的热温比的积分，只取决于始、末状态，而与过程无关，与保守力作功类似。
因而可认为存在一个态函数，定义为熵。
焓的定义：H=U+pV焓的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。
自由能的定义：F=U−TS自由能的减小是在等温过程中从系统所获得的最大功。
吉布斯函数的定义：G =F+pV= U – TS + pV在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。
也就是说，在等温等压条件下，系统中发生的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的方向进行的。
2、请给出热力学第零、第一、第二、第三定律的完整表述解：热力学第零定律：如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。
热力学第一定律：自然界一切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从一种形式转化为另一种形式，从一个物体传递给另一个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。
热力学第二定律：克氏表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化；开氏表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成有用的功而不引起其他变化。
热力学第三定律：能氏定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热力学温度趋于零，即limT→0(∆S)T=0绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使一个物体冷却到热力学温度的零度。
通常认为，能氏定理和绝对零度不能达到原理是热力学第三定律的两种表述。
3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR解：定容热容： C V=(ðUðT )V表示在体积不变的条件下内能随温度的变化率；定压热容：C p=(ðUðT )p−p(ðVðT)P=(ðHðT)P表示在压强不变的情况下的熵增；对于理想气体，定容热容C V的偏导数可以写为导数，即C V=dUdT（1）定压热容C p的偏导数可以写为导数，即C P=dHdT（2）理想气体的熵为 H=U+pV=U+nRT（3）由（1）（2）（3）式可得理想气体的定压热容与定容热容关系式：C p−C V=nR4、分别给出体涨系数α，压强系数β和等温压缩系数κT的定义，并证明三者之间的关系：α=κTβp解：体涨系数：α=1V (ðVðT)P，α 给出在压强不变的条件下，温度升高1 K所引起的物体的体积的相对变化；压强系数：β=1p (ðp ðT )v ，β 给出在体积不变的条件下，温度升高1 K 所引起的物体的体积的相对变化；等温压缩系数：κT =−1V (ðV ðp )T ，κT 给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体的体积的相对变化；由于p 、V 、T 三个变量之间存在函数关系f （p ，T ，V ）=0，其偏导数存在以下关系：(ðV ðp )T (ðp ðT )v (ðT ðV )P =−1 因此α， β， κT 满足α=κT βp5、分别给出内能，焓，自由能，吉布斯函数四个热力学基本方程及其对应的麦克斯韦关系式解：内能的热力学基本方程：dU =TdS −pdV对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðV )S =−(ðp ðS )V 焓的热力学基本方程：dH =TdS +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðT ðp )s =(ðV ðS )p 自由能的热力学基本方程：dF =−SdT +Vdp对应的麦克斯韦关系式：(ðS ðV )T =(ðp ðT )V 吉布斯函数的热力学基本方程：dG =−SdT −pdV对应的麦克斯韦关系式： (ðS ðp )T =−(ðV ðT )p 6、选择T ，V 为独立变量，证明：C V =T (ðS ðT )V ，(ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p 证明：选择T ，V 为独立变量，内能U 的全微分为dU =(ðU ðT )V dT +(ðU ðV )T dV （1） 又已知内能的热力学基本方程 dU =TdS −pdV （2）以T ，V 为自变量时，熵S 的全微分为dS =(ðS ðT )V dT +(ðS ðV )T dV （3） 将（3）式代入（2）式可得dU =T (ðS ðT )V dT +[T (ðS ðV )T −P]dV （4） 将（4）式与（1）式比较可得C V =(ðU ðT )V =T (ðS ðT )V （5） (ðU ðV )T = T (ðp ðT )V −p （6） 7、简述节流过程制冷，气体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点解：节流过程制冷：原理：让被压缩的气体通过一绝热管，管子的中间放置一多孔塞或颈缩管。
(完整版)热力学与统计复习题
复习提纲一、填空题：1.特性函数是指在________选择自变量的情况下，能够表达系统_________的函数。
2.能量均分定理说：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量函数中的每一个________的平均值等于___________。
3.自然界的一切实际宏观过程都是_________过程，无摩擦的准静态过程是______ _过程。
4.熵增加原理是说，对于绝热过程，系统的熵_____________。
5.卡诺定理指出：工作于相同的高温热源和相同的低温热源之间的一切可逆机，其效率都____________, 与______________无关。
6.绝对零度时电子的最大能量称为___________________。
7.孤立系统经过足够长时间，其 不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。
8.内能是 函数。
9.一般工作于两个一定温度热源之间的热机效率不大于 。
10.TH V P ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 。
11.三维自由粒子的μ空间是 维空间。
12.体积V 内，能量在d εεε-+范围内自由粒子的可能状态数为 。
13.多元单相系的化学反应平衡条件是 。
14.克拉伯龙方程的表达式为 。
15.玻色系统中粒子的最概然分布为 。
二、选择题：1． 假设全同近独立子系统只有2个粒子，3个个体量子态。
那么下面说法错误的是：( )A. 如果该系统是玻尔兹曼系统，那么该系统共有9个系统微观状态。
B. 如果该系统是费米系统，那么该系统共有6个系统微观状态。
C. 如果该系统是费米系统，那么该系统共有3个系统微观状态。
D. 如果该系统是玻色系统，那么该系统共有6个系统微观状态。
2．关于热力学和统计物理平衡态说法错误的是： （ ）A. 一个宏观的平衡状态包含了大量的系统的微观状态。
B. 它是一个动态的平衡，宏观量存在涨落，但是热力学理论不能够考虑涨落。
C. 宏观量都有对应的微观量。
D. 虽然系统的宏观量不随时间发生变化，但是它不一定就是一个平衡态。
热力学统计物理习题及答案第八章玻色统计和费米统计
159第八章 玻色统计和费米统计8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln .S k Ω=解: 对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!l ll l l Ωa a ωω=-∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()ln ln ln ln .l l l l l l l l lΩa a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑ （2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN Uαβαβαβ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭=++ ()ln ,l l l k Ξa αβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑ （3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()ln ln 1.l l lΞe αβεω--=+∑ （4）由费米分布e 1l ll a αβεω+=+易得1e l l l la αβεωω--+=- （5）和l n.l ll la a ωαβε-+= （6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为ln ln.l l ll lΞa ωωω=-∑ （7）将式（6）和式（7）代入式（3），有160 ln ln l l ll l l l l l aS k a a a ωωωω⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑ ()()ln ln ln .l l l l l l l l lk a a a a ωωωω=----⎡⎤⎣⎦∑ （8）比较式（8）和式（2），知ln .S k Ω= （9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1,ln 1ln 1,s s s s ss s s s sS k f f f f S k f f f f =-++⎡⎤⎣⎦=-+--⎡⎤⎣⎦∑∑其中s f 为量子态s 上的平均粒子数. s∑表示对粒子的所有量子态求和. 同时证明，当1s f <<时，有()B.E. F.D.M.B.ln .s s s sS S S k f f f ≈≈=--∑解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l ll l l l l l l l l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=----⎡⎤⎣⎦⎡⎤-=--+⎢⎥⎣⎦∑∑1ln 1ln ,lll l l l lll l aa a a k ωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ （1） 式中l∑表示对粒子各能级求和. 以ls la f ω=表示在能量为l ε的量子态s 上的平均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到~,l lsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =-+--⎡⎤⎣⎦∑ （2）161由于1s f ≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的. 对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln 1ln 1.s s s s sS k f f f f =--++⎡⎤⎣⎦∑ （3）对于玻色系统0s f ≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的. 由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值. 在1s f <<的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln 11s s s s s f f f f f ±≈±≈-所以，在1s f <<的情形下，有()B.E. F.D.ln .s s s sS S k f f f ≈≈--∑ （4）注意到s sf N =∑，上式也可表示为B.E. F.D.ln .s s sS S k f f Nk ≈≈-+∑ （5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3 求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵. 解: 式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2N h U NkT g V mkT ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（1） （式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）. 利用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3Up V=（2） 可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2h p nkT n g mkT ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=± ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（3） 式中Nn V=是粒子数密度. 由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为162 32272311,22π2V VU C T h Nk n mkT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.VC S dT S V T=+⎰（5） 将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln .22π2hS Nk T Nk n S V g mkT ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭ （6） 式中的函数()0S V 可通过下述条件确定：在322312πN hn V mkT λ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体. 将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g ），可确定()0S V ，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln .22π2mkT h S Nk ng h g mkT ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎢⎥=+±⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7） 弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数ln Ξ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵. 在求巨配分函数的对数时可利用弱简并条件作相应的近似. 关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件163()0d e 1c kT D n εεε+∞=-⎰（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e 1c kT L m n hεε+∞=-⎰ （2） 二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定. 令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=-⎰ （3） 在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x----==+++-- 则d 111e 123xx +∞=+++-⎰11.n n∞==∑ （4） 式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212x y x V m x y z ωωω=++中运动. 如果原子是玻色子，试证明：在c T T ≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y z εωωω=++164 的基态，在3,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：31.202,c kT N ω⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭其中()13.x y z ωωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为31.c N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222y x z x y z p p p m x m y m z m m m εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 这是三维谐振子的能量（哈密顿量）. 根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xyzn n n x x y y z z n n n εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,0,1,2,x y z n n n = （2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T 时处在量子态,,x y z n n n 上的粒子数为,,11112221.e1x y z x x y y z z n n n n n n kT a ωωωμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=- （3） 处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即()0.2x y z μεωωω<≡++（4） 化学势μ由()01,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωωεμ⎡⎤+++-⎣⎦=-∑（5）确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值c T 时，μ将趋于0.ε临界温度c T 由下式确定：165()1,,1,e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωω⎡⎤++⎣⎦=-∑（6） 或,,1,e1x y zx y zn n n n n n N ++=-∑（7） 其中(),,.ii i cn n i x y z kT ω==在1ickT ω<< 的情形下，可以将i n 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 注意到在d d d x y z n n n 范围内，粒子可能的量子态数为3d d d ,c x y z kT n n n ω⎛⎫ ⎪⎝⎭即有3d d d ,1x zy x y zc n n n kT n n n N eω++⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎰ （8）式中()13.x y z ωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()011e 1e 1ee e .x y z x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n l n n n l ++-++++∞-++-++==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=∑积分等于00003d d de d e d e d e 111.202.y xz x y z x y z l n l n l n x y zn n n l l n n n n n n l ∞+∞+∞+∞---++=∞==-==∑⎰⎰⎰⎰∑ 所以式（8）给出166 13.1.202C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（9）式（9）意味着， 在,0N ω→∞→而3N ω保持有限的极限情形下，C kT 取有限值. 上述极限称为该系统的热力学极限.在c T T <<时，凝聚在基态的粒子数0N 由下式确定：30 1.202,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭上式可改写为31.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（10） 式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果. 实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异. 互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同. 关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovo et al. Rev. Mod. Phys. 1999, 71（465）.8.6 承前8.5题，如果,z x y ωωω>>，则在z kT ω<< 的情形下，原子在z 方 向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 试证明C T T <时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02x y εωω=+的基态，在2,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：21.645,C kT N ω⎛⎫= ⎪⎝⎭其中()12.x y ωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为21.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 在,z x y ωωω>>的情形下，原子z 方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体. 与8.5题相似，在c T T <时将有宏观量级的原子 凝聚在能量为()02x y εωω=+的基态. 临界温度c T 由下式确定： 2d de 1x yx yC n n kT n n N ω+∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰16721.645,C kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）其中()12,x y ωωω=201d d 11.645.e 1x y x y n n l n n l∞+∞+===-∑⎰（2）在,0N ω→∞→而2N ω保持有限的热力学极限下c kT 为有限值，有12.1.645C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（3） C T T ≤时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比由下式确定：20 1.645,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭或21.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4） 低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovo et al及其所引文献. 低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirz et al.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7 计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a ）温度为1000K 的平衡辐射.（b ）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为()223d d .πV D c ωωωω=（1） 温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e1kTD N T ωωωωω=- （2） 因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为168 ()223d .πe1kTVN T cωωω+∞=-⎰（3） 引入变量x kTω=，上式可表示为 ()3223033233d πe 12.404.πx V kT x xN T c kVT c +∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭=⎰或()332332.404.πk n T T c =（3）在1000K 下，有163210.n m -≈⨯在3K 下，有835.510.n m -≈⨯8.8 试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd ,d ,e1hc kThcu T λλλλλ=-并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m λ满足方程m hc x kT λ⎛⎫=⎪⎝⎭5 5.x e x -+=这个方程的数值解为 4.9651.x = 因此,4.9651m hcT kλ=m λ随温度增加向短波方向移动.解: 式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,d d .πe 1kTu T c ωωωωω==- （1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有16922πd d .cωλλ=（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd ,d .e1hc kThcu T λλλλλ=-- （3）令hcx kTλ=，使(),u T λ取极大的波长m λ由下式确定： 5d 0.d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4） 由式（4）易得55e .x x --= （5）这方程可以用数值方法或图解方法求解. 图解方法如下：以x 为横坐标，y 为纵坐标，画出两条曲线1e ,,5x y xy -=-= 如图所示. 两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96. 精确的数值解给出 4.9651.x = 所以使(),u T λ为极大的m λ满足4.9651m hcT kλ=32.89810m K.-=⨯⋅ （6）右方是常量，说明m λ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),u T λ为极大的m λ与式（8.4.11）给出的使(),u T ω为极大的m ω并不相同. 原因是(),u T λ是单位波长间隔的内能密度，170 (),u T ω是单位频率间隔的内能密度. m λ与m ω分别由5d 0d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4） 和3d 0d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（7） 确定，其中.hcx kT kTωλ== 由这两个方程解得m x 显然不同.8.9 按波长分布太阳辐射能的极大值在480nm λ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度. 解: 由上题式（6）知32.89810m K.m T λ-=⨯⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K 6000K.48010T --⨯==⨯8.10 试根据热力学公式d VC S T T=⎰及光子气体的热容量求光子气体的熵.解: 式（8.4.10）给出光子气体的内能为24433π.15k U VT c =（1） 由此易得其定容热容量为243334π15V V U k C VT T c ∂⎛⎫== ⎪∂⎝⎭（2） 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d ,V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ （3）171积分沿任意一条积分路线进行. 如果取积分路线为由（0，V ）到（T ，V ）的直线，即有242423333304π4πd ,1545Tk k V S T T T c c ==⎰ （4）其中已取积分常量0S 为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T ，V ）的直线，结果如何？8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值. 解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e 1cpp p h βθθϕ- （1） 其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元. 以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数. 它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数. 因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e 1cp p p c cp h βθθϕθ⋅⋅- （2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J 为π232π2300023302d sin cos d d e 12πd .e 1u cp cp c p p J h c p p h ββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅-=-⎰⎰⎰⎰ 令x cp β=，上式可表示为172 4233042432π1d e 12ππ6,90u x c x x J h c c kT h c β+∞⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰或24423π.60u k J T c =（3） 在6000K ，有727.1410J m ;u J -=⨯⋅在1000K ，有520.5510J m .u J -=⨯⋅8.12 室温下某金属中自由电子气体的数密度283610m ,n -=⨯某半导体中导电电子的数密度为28310m n -=，试验证这两种电子气体是否为简并气体. 解: 根据§8.5，在e 1α>>，即31n λ<<的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e 1α<<，即31n λ>>的情形下，气体形成强简并的费米气体.3223,2πh n n mkT λ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1） 将283300,610m T K n -==⨯代入，得33101,n λ≈>> （2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体. 将203300K,10m T n -==代入，得35101,n λ-≈<<所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论. 金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13 银的导电电子数密度为28 3.5.910m -⨯试求0 K 时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.173解: 根据式（8.5.6）和（8.5.8），0 K 下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n . 式（8.5.6）给出()()222303π.2n mμ= （1） 将31342839.110kg, 1.0510J s, 5.910m m n ---=⨯=⨯⋅=⨯ 代入，即得()1800.87610J 5.6eV.μ-=⨯= （2）费米速率F υ等于61F 1.410m s .υ-==⨯⋅ （3）式（8.5.8）给出0 K 下电子气体的压强为()()10200 2.110Pa.5p n μ=≈⨯ （4）8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p => （1）其中F p 是费米动量，即0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为FF34F30F 23F38π1d 34.8π14d 3p p Vp pp h p p V p p p h ===⎰⎰（2） 因此电子的平均速率为F F 33.44p p υυm m === （3）8.15 试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4n υΓ=174 其中Nn V=是电子的数密度，υ是平均速率. 解: 绝对零度下电子速率分布为F F 1,,0,,f υυf υυ=≤=> （1）式中F υ是0 K 时电子的最大速率，即费米速率. 单位体积中速率在d υd d θϕ间隔的电子数为()32F 32sin d d d .m υυυυh θθϕ≤ （2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z 轴的单位面积器壁上的碰撞数为3232cos sin d d d .m d υυυhΓθθθϕ=⋅ （3）将上式积分，υ从0到F ,υθ从0到π,2ϕ从0到2π，得0 K 时电子气体的碰壁数为F π32π32300034F 32d sin cos d d 211242υm υυh m υh Γθθθϕπ==⋅⋅⋅⎰⎰⎰ 34F 3π.2m υh = （4） 但由式（2）知单位体积内的电子数n 为F 3π2π2300033F 32d sin d d 2122π3υm υυh m υh Γθθϕ==⋅⋅⋅⎰⎰⎰ 33F 38.3m υh π= （5） 所以F 31.444n υn υΓ=⋅=最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速a= 1.8.8）），试证明在0 K理想费米气体中a=解: 式（1.8.8）已给出声速a为a=（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数. 根据能氏定理，0 K下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0 K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0 K下理想费米气体的压强为()()()2252322523π52p nnmμ==()()22523353213π.52mmρ=（2）故()2222F32213π,323Sppnm m mρ⎛⎫∂==⎪∂⎝⎭即a==（3）8.17 等温压缩系数Tκ和绝热压缩系数Sκ的定义分别为1TTpVκρ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭和1.SSpVκρ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭175176 试证明，对于0 K 的理想费米气体，有()()()3100.20T S n κκμ==解: 根据式（8.5.6）和（8.5.4），0 K 下理想费米气体的压强为()()5223232203π.552N p n mV μ⎛⎫== ⎪⎝⎭（1） 在温度保持为0 K 的条件下，p 对V 的偏导数等于()2223223π.32T p N V m V ∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭由式（A.5）知()()222232313.23π2T TV V p p N N V m V -⎛⎫∂== ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） 所以0 K 下()()5223231331.2203π2T T V VV p n N mV κμ⎛⎫∂=-==⎪∂⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭（3） 根据能氏定理，T =0 的等温线与S =0 的等熵线是重合的，因此0 K 下.T SV V p p ⎛⎫⎛⎫∂∂= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 由此可知()131.20S S V V p n κμ⎛⎫∂=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 式（4）也可以从另一角度理解. 式（2.2.14）和（2.2.12）给出s VT pC C κκ= （5） 和2.p V TVT C C ακ-=（6）由式（6）知，0 K 下,p V C C =177所以式（5）给出0 K 下.S T κκ8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0 K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch μεεμ==⋅⎰ 故()1330.8n ch μπ⎛⎫=⎪⎝⎭（3） 0 K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch V ch μμεεεεεμ===⋅⎰⎰()30.4N μ=（4） 根据习题7.2式（4），电子气体的压强为178 ()110.34U p n V μ== （5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m hπεεε=（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0 K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()02204π4πd 0,A AN m m h hμεμ==⎰ 即()220.4π4πh N h m A mμ== （3）0 K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m NU m h h μεεμμ===⎰ （4） 仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5） 因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n μ= （6）8.20 已知0 K 时铜中自由电子气体的化学势()07.04eV,μ=试求300 K 时的一级修正值.179解: 根据式（8.5.17），温度为T 时金属中自由电子气体的化学势为()()()22π01,120kT T μμμ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦300 K 下化学势()T μ对()0μ的一级修正为()()()22350 1.121001207.8810eV.kT πμμμ-⎡⎤-=-⨯⎢⎥⎣⎦=-⨯ 这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小. 这一点可以从下图直接看出. 图中画出了在不同温度下电子分布函数()f ε随ε的变化. 0 K 时电子占据了能量ε从零到()0μ的每一个量子态，而()0εμ>的状态则全部未被占据，如图中的0T 线所示. 温度升高时热激发使一些电子从能量低于μ的状态跃迁到能量高于μ的状态. 温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的1T 线和2T 线所示()12.T T < 费米分布1e 1hT f εμ-=+要求在任何温度下εμ=的状态12f =，即占据概率为1.2从图8-2可以看出，化学势μ必然随温度升高而减少，即()210.μμμ<<8.21 试根据热力学公式VC S dT T=⎰，求低温下金属中自由电子气体的熵.解: 式（8.5.19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为()2π.20V kTC Nk μ= （1）180 根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0d d .V V C p S T V S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰ （2）取积分路线为（0，V ）至（T ，V ）的直线，即有()()2220ππd ,2020T Nk kTS T Nk μμ==⎰ （3）其中已取积分常量0S 为零.8.22 由N 个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为r ω，轴向频率为r λω的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为()()222222221.22x y z r m p p p x y z m εωλ=+++++ 试求0 K 时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量. 假设5-1210,3800s ,8r N ωλ===，求出数值结果.解: 由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为(),,,xyzn n n r x y z n n n εωλ=++,,0,1,2,x y z n n n = （1）式中已将能量零点取为1.2r λω⎛⎫+ ⎪⎝⎭理想费米气体的化学势(),T N μ由下式确定：(),,1.e1r x y z x y zn n n n n n N βωλμ⎡⎤++-⎣⎦=+∑（2） 如果N 足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于r ω ，或者温度足够高使r kT ω>> ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分. 令,,,d ,d ,d ,x x r y y r z z r x r y r z r n n n εωεωελωεωεωελω======式（2）可表达为()()3d d d 1.e 1x y z x y zr N βεεεμεεελω+++=+⎰ （3）引入新的积分变量x y z εεεε=++，可进一步将式（2）改写为181()()31d d d ,e 1xyrN βεμεεελω-=+⎰⎰⎰ （4）式中被积函数只是变量ε的函数，与x ε和y ε无关. 对一定的ε，d x ε和d y ε的积分等于以x ε轴、y ε轴和x y εεε+=三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于21.2ε 所以式（4）可表达为()()d ,1D N eβεμεε-=+⎰（5）其中()()231d d .2r D εεεελω=（6）它是能量在ε到d εε+范围内粒子的状态数.0 K 时系统尽可能处在能量最低的状态. 由于泡利原理的限制，粒子将从能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为()0μ的状态止.()0μ由下式确定：()()()()30233011d .322rr N μμεελωλω==⎰由此可得()()1306.r N μωλ= （7）0 K 时费米气体的能量为182 ()()()()()()0003343d 1d 20142r r E D μμεεεεελωμλω===⎰⎰()30.4N μ=（8） 粒子的平均能量为()30.4εμ= （9）对于题给的数据，可得30nK,r ω=()0 3.5μK,F T kμ==2.7μK.Ek=8.23 承上题，试求低温极限F T T <<和高温极限F T T >>下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解: 首先讨论低温极限F T T <<的情形. 根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分()d ,e 1kT I εμηεε+∞-=+⎰（1）在低温极限下可展开为()()()220πd 6I kT μηεεημ'=++⎰ （2） 对于磁光陷阱中的理想费米气体，有20d ,e 1kT c N εμεε+∞-=+⎰（3）其中()31.2r c λω=上式确定费米气体的化学势. 利用式（1），（2）可得1832321π,3c kT N μμ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因此11233231πN kT c μμ-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22π01.30kT μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（4） 气体的内能为30d ,1kTc U e εμεε+∞-=+⎰利用式（1），（2）可得()()()()()()24242224242224212π4π0112π430034π0112π4300C kT U C kT kT kT kT N μμμμμμμμ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈-⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈-⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()223201π.430kT N μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（5） 热容量为()2d π.d 0U kTC Nk T μ== （6） 在高温极限F T T >>的情形下，有Fe ee1.T kTTμα--=≈≈ （7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布. 按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数184 ()()1023e d 1ed 2rZ D βεβεεεεελω+∞-+∞-==⎰⎰()3312.2r βλω=（8）内能为1ln 3.U NZ NkT β∂=-=∂ （9） 上式与能量均分定理的结果相符. 根据式（7.6.7），气体的化学势为()31Z ln ln 6.0kT kT kT N μμ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=-=-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强. 见B. DeMarco, D. S. Jin. Science. 1999,285(1703). A. G . Truscott et al. Science. 2001,191(2570).8.24 关于原子核半径R 的经验公式给出()151/31.310m ,R A -=⨯⋅式中A 是原子核所含核子数. 假设质子数和中子数相等，均为A /2，试计算二者在核内的密度.n 如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的()0μ以及核子在核内的平均能量.核子质量271.6710kg.n m -=⨯ 解: 根据核半径的经验公式()11531.310m ,R A -=⨯⋅假设核内质子数和中子数相等，均为2A，则二者的密度均为 ()45-31520.0510m .4π1.310m 3A n A -=≈⨯⨯⋅如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量()0μ185为()()22231103π20.4310J 27MeV.n mμ-==⨯≈由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为()113050.2610J 16MeV.εμ-==⨯≈ 核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型. 它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功. 核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子. 从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心. 将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为150.410m -⨯，核内核子之间的平均距离约为152.410m -⨯，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为30.412.4100⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分. 其 次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态. 作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.25 3He 是费米子，其自旋为1/2在液3He 中原子有很强的相互作用. 根据朗道的正常费米液体理论，可以将液3He 看作是由与原子数目相同的3He 准粒子构成的费米液体. 已知液3He 的密度为-381kg m ⋅，在0.1 K 以下的定容热容量为 2.89.V C NkT = 试估算3He 准粒子的有效质量*.m解: 我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0 K 理想费米气体处在基态时，粒子占满了动量空间中半径为费米动量F p 的费米球：()123F 3π,p n = （1）F p p >的状态则完全未被占据. 气体处在低激发态时，有少量粒子跃造到186 F p p >的状态，而在费米球中留下空穴. F p 的大小取决于气体的数密度.n朗道假设，如果在理想费米气体中逐渐加入粒子间的相互作用，理想费米气体将过渡为费米液体，气体的粒子过渡为液体的准粒子. 液体中的准粒子数与原来气体或液体中的实际粒子数相同. 对于均匀系统，准粒子的状态仍可由动量p 和自旋S 描述. 在0 K 费米液体处在基态时，准粒子占满了动量空间中半径为F p 的费米球，F p 仍由式（1）确定，但n 是液体的粒子数密度. 费米液体处在低激发态时，有少量准粒子跃迁到F p p >的状态，而在费米球中留下空穴.以()d f p ω表示单位体积中动量在p 到d p p +的准粒子数. 在自旋量子数为1/2的情形下，有32d d .ph ω=()f p 满足归一化条件()d .f p n ω=⎰ （2）由于费米液体的准粒子之间存在相互作用，单个粒子的能量()p ε与其他准粒子所处的状态有关，即与准粒子的分布有关. 因此，与理想费米气体不同，费米液体的能量不能表达为单个准粒子的能量之和，即()()d ,Ep f p Vεω≠⎰ （3） 而是分布函数()f p 的泛函. 准粒子能量()p ε由下式定义：()()δδd ,Ep f p Vεω=⎰ （4） 或()()δ.δE V p f p ε⎛⎫∂ ⎪⎝⎭=∂⎡⎤⎣⎦（5） 上式的意义是，准粒子能量()p ε等于增加一个动量为p 的粒子所引起的系统能量的增加. ()p ε既与液体中准粒子的分布有关，也是分布函数()f p 的泛函. 习题8.2曾得到处在平衡状态的理想费米气体的熵的表达式()()()(){}ln 1ln 1d ,S kV f p f p f p f p ω=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ （6）式中的两项可以分别理解为由于粒子具有分布()f p 和空穴具有分布()1f p -所导致的熵. 式（6）不仅适用于平衡态，也适用于非平衡态. 如果()f p 是某187非平衡态下粒子的分布，相应的熵也由式（6）表达. 在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布（费米分布）使式（6）的熵取最大值. 根据前述朗道的假设，费米液体的准粒子与理想费米气体的粒子存在一一对应的关系. 将式（6）中的()f p 理解为费米液体中准粒子的分布，费米液体的熵亦可由式（6）表达. 在总粒子数、总能量和体积给定的情形下，平衡态的分布使式（6）的熵取最大值. 可以证明，平衡态的分布具有下述形式：()()1.e1p kTf p εμ-=+ （7） 这是平衡态下费米液体中准粒子的分布函数，1kT 和kTμ是拉氏乘子. 显然，T 和μ分别是费米液体的温度和化学势. 需要强调，虽然式（7）形式上与费米分布相似，但由于()p ε是分布函数()f p 的泛函，式（7）实际上是分布函数()f p 的一个复杂的隐函数表达式.以()()()()00,f p p ε和()0μ分别表示0 K 时的分布函数、准粒子能量和化学势. 由式（7）可知，()()0f p 是一个阶跃函数：()()()()()()()()0001,0;0,0.p f p p εμεμ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ （8）上式给出0 K 时费米液体准粒子的动量分布，与前述的图像一致.在接近0 K 的低温下，分布函数应与阶跃分布()()0f p 接近. 作为一级近似，可以用()()0f p 近似地确定准粒子的能量().p ε 这意味着()p ε简单地成为p 的确定的函数()()0.p ε 对于F p p ≈的动量值，可以将函数()()0p ε按F p p -作泰勒展开，即()()()()0F F 0,p υp p εμ-=- （9）其中()()F0F p p υp ε⎡⎤∂=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦ （10）是准粒子在费米面的速度. 对于理想费米气体，有()2F F ,.2p p p υm mε==可以类似地引入准粒子有效质量*m 的概念，定义188 *FF,p m υ=（11） 并将()0μ和F ~p p 处的()()0p ε简单地记为()2F*0,2p mμ= （12）()()()20F *.2p p p p mε=≈ （13）如§8.5所述，仅费米面附近的电子对理想费米气体的低温热容量有贡献，其表达式为（式（8.5.19）和（8.5.6））()()222223ππ.203πV C kT mkTNk n μ== （14）根据费米液体与理想费米气体的相似性，可以直接写出低温下费米液体的热容量为()()22*2223ππ,203πV C kT m kTNk n μ== （15） 其中*m 是费米液体准粒子的有效质量. 将题中所给液3He 的实测数据代入，注意3He 的质量密度nm ρ=（m 是3He 原子的质量），可得3He 准粒子的有效质量约为*3.m m ≈ （16）关于朗道费米液体理论，可参看《量子统计物理学》（北京大学编写组）§5.5和Lifshitz, Pitaevskii. Statistical Physics Ⅱ. §1, §2.189补充题1 写出二维空间中平衡辐射的普朗克公式，并据此求平均总光子数、内能和辐射通量密度.解: 根据（6.2.14），二维空间中在面积A 内，在x p 到d ,x x y p p p +到d y yp p +的动量范围内，光子可能的量子态数为22d d .x yA p p h（1）换到平面极坐标，并对辐角积分，可得在面积A 内，动量大小在p 到d p p +范围内，光子的量子态数为24πd .Ap p h（2） 再利用光子的能量动量关系cp ε=和能量频率关系εω= ，可得二维空间中在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子的量子态数为()2d d .AD cωωωωπ=（3） 根据玻色分布和式（3），可得温度为T 时二维平衡辐射在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内的光子数为()2,d d .πe 1A N T c βωωωωω=- （4）对频率积分，得温度为T 时二维平衡辐射击的总光子数为()()02220,d d πe 11d πe 1x N T N T A cA x x c βωωωωωβ+∞+∞+∞==-⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰2222π.6A k T c =（5） 温度为T 时在面积A 内，在ω到d ωω+的频率范围内，二维平衡辐射的能量为()22,d d .πe 1A u T c βωωωωω=- （6）这是二维平衡辐射的普朗克公式. 对频率积分，得温度为T 时二维辐射场的内能为190 ()223220d πe 11d πe 1x Au T cA x x c βωωωβ+∞+∞=-⎛⎫=⎪-⎝⎭⎰⎰33222.404.πA k T c =（7） 参照式（2.6.7）或8.11题，可得二维辐射场的辐射通量密度u J 与内能密度的关系为33221.202.2πu c J u k T c π==（8） 应当说明，随着人工微结构材料研究的进展，目前已有可能研制出低维的光学微腔. （参阅E. Yablonovitch. Jour. Mod·Opt. 1994,41（173）. 章蓓. 光学微腔. 见：介观物理. 北京：北京大学出版社，1995.276）. 不过光学微腔中辐射场的模式分布与（3）所表达的自由空间中的模式分布是不同的.补充题 2 金属中的自由电子在外磁场下显示微弱的顺磁性. 这是泡利（Pauli ）根据费米分布首先从理论上预言的，称为泡利顺磁性. 试根据费米分布导出0K 金属中自由电子的磁化率.解: §7.8和习题7.27讨论的顺磁性固体，其顺磁性来自磁性离子的磁矩在外磁场作用下的取向. 离子磁矩是其不满壳层的束缚电子的轨道磁矩与自旋磁矩之和，磁性离子是定域的，遵从玻耳兹曼分布。
热力学与统计物理答案详解第二章的
第二章 均匀物质的热力学性质2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加.解：根据题设，气体的压强可表为(),p f V T = （1）式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =--得麦氏关系.T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将式（1）代入，有().T VS p p f V V T T ∂∂⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ∂⎛⎫>⎪∂⎝⎭. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加.2.2 设一物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T =试证明其内能与体积无关.解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式：(),p f V T = （1）故有().Vp f V T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （2） 但根据式（2.2.7），有,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以()0.TU Tf V p V ∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭ （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.2.3 求证： ()0;HS a p ⎛⎫∂< ⎪∂⎝⎭ ()0.U S b V ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭解：焓的全微分为.dH TdS Vdp =+ （1）令0dH =，得0.HS Vp T ⎛⎫∂=-< ⎪∂⎝⎭ （2） 内能的全微分为.dU TdS pdV =- （3）令0dU =，得0.U S p V T∂⎛⎫=> ⎪∂⎝⎭ （4）2.4 已知0T UV ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭，求证0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 解：对复合函数(,)(,(,))U T P U T V T p = （1）求偏导数，有.T T TU U V p V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫= ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 如果0TU V ∂⎛⎫=⎪∂⎝⎭，即有0.TU p ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)T U U T p p T U T V T V T p T ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂.T TU V V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减.解：热力学用偏导数pS V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压过程中的熵随体积的变化率，用pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭描述等压下温度随体积的变化率. 为求出这两个偏导数的关系，对复合函数(,)(,(,))S S p V S p T p V == （1）求偏导数，有.p p p p pC S S T T V T V T V ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 因为0,0p C T >>，所以p S V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负取决于pT V ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭的正负. 式（2）也可以用雅可经行列式证明：(,)(,)(,)(,)(,)(,)P S S p V V p S p T p T p V p ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂⎝⎭∂∂=∂∂P PS T T V ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2）2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落.解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S T p ⎛⎫∂⎪∂⎝⎭和HT p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为 .P TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有.T P p SPS V T p T T Sp C T ⎛⎫∂∂⎛⎫⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （1） 最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焓(,)H T p 的全微分为.P TH H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在节流过程中0dH =，故有.T PpH PH V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ （2） 最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）. 将式（1）和式（2）相减，得0.pSH T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落. 这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分，低温下移动部分的润滑技术是十分困难的问题，实际上节流过程更为常用. 但是用节流过程降温，气体的初温必须低于反转温度. 卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结合起来，先用绝热膨胀过程使氦降温到反转温度以下，再用节流过程将氦液化.2.7 实验发现，一气体的压强p 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即(),().pV f T U U T ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.解：根据题设，气体具有下述特性：(),pV f T = （1）().U U T = （2）由式（2.2.7）和式（2），有0.T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3） 而由式（1）可得.Vp T df T T V dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4） 将式（4）代入式（3），有,dfTf dT= 或.df dT f T= （5） 积分得ln ln ln ,f T C =+或,pV CT = （6）式中C 是常量. 因此，如果气体具有式（1），（2）所表达的特性，由热力学理论知其物态方程必具有式（6）的形式. 确定常量C 需要进一步的实验结果.2.8 证明2222,,p V T Vp TC C p V T T V T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭并由此导出0020222,.VV VV Vp p p p pp C C T dV T p C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T 的函数.解：式（2.2.5）给出.V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （1）以T ，V 为状态参量，将上式求对V 的偏导数，有2222,V T VC S S S T T T V V T T VT ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2） 其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在V 不变时，p 是T 的线性函数，即220.Vp T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以 0.V TC V ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VV VV Vp C C T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3） 式（3）表明，只要测得系统在体积为0V 时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出.p pS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （4）以,T p 为状态参量，将上式再求对p 的偏导数，有2222.p p TC S S S T T T p p T T p T ∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5）其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）. 由理想气体的物态方程pV nRT =知，在p 不变时V 是T 的线性函数，即220.pV T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 所以0.p TC p ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T 的函数. 在恒定温度下将式（5）积分，得0202.pp pp pV C C T dp T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ 式（6）表明，只要测得系统在压强为0p 时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.2.9 证明范氏气体的定容热容量只是温度T 的函数，与比体积无关.解：根据习题2.8式（2）22,V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 范氏方程（式（1.3.12））可以表为22.nRT n a p V nb V=-- （2） 由于在V 不变时范氏方程的p 是T 的线性函数，所以范氏气体的定容热容量只是T 的函数，与比体积无关.不仅如此，根据2.8题式（3）0202(,)(,),VV V V Vp C T V C T V T dV T ⎛⎫∂=+ ⎪∂⎝⎭⎰ （3）我们知道，V →∞时范氏气体趋于理想气体. 令上式的0V →∞，式中的0(,)V C T V 就是理想气体的热容量. 由此可知，范氏气体和理想气体的定容热容量是相同的.顺便提及，在压强不变时范氏方程的体积V 与温度T 不呈线性关系. 根据2.8题式（5）22,V T VC p V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 这意味着范氏气体的定压热容量是,T p 的函数.2.10 证明理想气体的摩尔自由能可以表为,,00,002ln ln V m m V m m m m V m m m mC F C dT U T dT RT V TS TdTT C dT U TS RT V T=⎰+-⎰--=-⎰⎰+--解：式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为其自然变量,T p 的函数的积分表达式. 本题要求出理想气体的摩尔自由能作为其自然变量,m T V 的函数的积分表达式. 根据自由能的定义（式（1.18.3）），摩尔自由能为,m m m F U TS =- （1）其中m U 和m S 是摩尔内能和摩尔熵. 根据式（1.7.4）和（1.15.2），理想气体的摩尔内能和摩尔熵为,0,m V m m U C dT U =+⎰ （2）,0ln ,V m m m m C S dT R V S T=++⎰（3）所以,,00ln .V m m V m m m m C F C dT T dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）利用分部积分公式 ,xdy xy ydx =-⎰⎰令,1,,V m x Ty C dT ==⎰可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为,002ln .m V mm m m dTF T C dT RT V U TS T=--+-⎰⎰ （5）2.11 求范氏气体的特性函数m F ，并导出其他的热力学函数. 解：考虑1mol 的范氏气体. 根据自由能全微分的表达式（2.1.3），摩尔自由能的全微分为,m m m dF S dT pdV =-- （1）故2,m m m m TF RT ap V V b V ⎛⎫∂=-=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2） 积分得()(),ln ().m m m maF T V RT V b f T V =---+ （3） 由于式（2）左方是偏导数，其积分可以含有温度的任意函数()f T . 我们利用V →∞时范氏气体趋于理想气体的极限条件定出函数()f T . 根据习题2.11式（4），理想气体的摩尔自由能为,,00ln .V m m V m m m m C F C dT dT RT V U TS T=--+-⎰⎰（4）将式（3）在m V →∞时的极限与式（4）加以比较，知,,00().V m V m m m C f T C dT T dT U TS T=-+-⎰⎰（5）所以范氏气体的摩尔自由能为 ()(),,00,ln .V m m m V m m m m mC aF T V C dT T dT RT V b U TS TV =----+-⎰⎰（6） 式（6）的(),m m F T V 是特性函数范氏气体的摩尔熵为(),0ln .V m mm m m C F S dT R V b S T T∂=-=+-+∂⎰ （7）摩尔内能为,0.m m m V m m maU F TS C dT U V =+=-+⎰ （8）2.12 一弹簧在恒温下的恢复力X 与其伸长x 成正比，即X Ax =-，比例系数A 是温度的函数. 今忽略弹簧的热膨胀，试证明弹簧的自由能F ，熵S 和内能U 的表达式分别为()()()()()()2221,,0,2,,0,21,,0.2F T x F T Ax x dAS T x S T dT dA U T x U T A T x dT =+=-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 解：在准静态过程中，对弹簧施加的外力与弹簧的恢复力大小相等，方向相反. 当弹簧的长度有dx 的改变时，外力所做的功为.dW Xdx =- （1）根据式（1.14.7），弹簧的热力学基本方程为.dU TdS Xdx =- （2）弹簧的自由能定义为,F U TS =-其全微分为.dF SdT Xdx =--将胡克定律X Ax =-代入，有,dF SdT Axdx =-+ （3）因此.TF Ax x ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 在固定温度下将上式积分，得()()0,,0xF T x F T Axdx =+⎰()21,0,2F T Ax =+（4） 其中(),0F T 是温度为T ，伸长为零时弹簧的自由能.弹簧的熵为()21,0.2F dAS S T x T dT∂=-=-∂ （5） 弹簧的内能为()21,0.2dA U F TS U T A T x dT ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭（6） 在力学中通常将弹簧的势能记为21,2U Ax =力学 没有考虑A 是温度的函数. 根据热力学，U 力学是在等温过程中外界所做的功，是自由能.2.13 X 射线衍射实验发现，橡皮带未被拉紧时具有无定形结构；当受张力而被拉伸时，具有晶形结构. 这一事实表明，橡皮带具有大的分子链.（a ）试讨论橡皮带在等温过程中被拉伸时，它的熵是增加还是减少；（b ）试证明它的膨胀系数1ST L L α∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭是负的.解：（a ）熵是系统无序程度的量度.橡皮带经等温拉伸过程后由无定形结构转变为晶形结构，说明过程后其无序度减少，即熵减少了，所以有0.TS L ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ （1） （b ）由橡皮带自由能的全微分dF SdT JdL =-+可得麦氏关系.T LS J L T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 综合式（1）和式（2），知0.LJ T ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ （3）由橡皮带的物态方程(),,0F J L T =知偏导数间存在链式关系1,L J TJ T L T L J ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即.J L TL J L T T J ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4） 在温度不变时橡皮带随张力而伸长说明0.TL J ∂⎛⎫> ⎪∂⎝⎭ （5） 综合式（3）-（5）知0,JL T ∂⎛⎫< ⎪∂⎝⎭ 所以橡皮带的膨胀系数是负的，即10.JL L T α∂⎛⎫=< ⎪∂⎝⎭ （6）2.14 假设太阳是黑体，根据下列数据求太阳表面的温度；单位时间内投射到地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量为3211.3510J m s --⨯⋅⋅（该值称为太阳常量），太阳的半径为86.95510m ⨯，太阳与地球的平均距离为111.49510m ⨯.解：以s R 表示太阳的半径. 顶点在球心的立体角d Ω在太阳表面所张的面积为2s R d Ω. 假设太阳是黑体，根据斯特藩-玻耳兹曼定律（式（2.6.8）），单位时间内在立体角d Ω内辐射的太阳辐射能量为42.s T R d Ωσ （1）单位时间内，在以太阳为中心，太阳与地球的平均距离se R 为半径的球面上接受到的在立体角d Ω内辐射的太阳辐射能量为321.3510.se R d Ω⨯令两式相等，即得132421.3510.ses R T R σ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）将,s R σ和se R 的数值代入，得5760.T K ≈2.15 计算热辐射在等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量.解：根据式（1.14.3），在可逆等温过程中系统吸收的热量为.Q T S =∆ （1）式（2.6.4）给出了热辐射的熵函数表达式34.3S aT V =（2） 所以热辐射在可逆等温过程中体积由1V 变到2V 时所吸收的热量为()4214.3Q aT V V =- （3）2.16 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率. 解：根据式（2.6.1）和（2.6.3），平衡辐射的压强可表为41,3p aT = （1） 因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程. 式（2.6.5）给出了平衡辐射在可逆绝热过程（等熵过程）中温度T 与体积V 的关系3().T V C =常量 （2）将式（1）与式（2）联立，消去温度T ，可得平衡辐射在可逆绝热过程中压强p 与体积V 的关系43pV C '=（常量）. （3）下图是平衡辐射可逆卡诺循环的p V -图，其中等温线和绝热线的方程分别为式（1）和式（3）.下图是相应的T S -图. 计算效率时应用T S -图更为方便.在由状态A 等温（温度为1T ）膨胀至状态B 的过程中，平衡辐射吸收的热量为()1121.Q T S S =- （4）在由状态C 等温（温度为2T ）压缩为状态D 的过程中，平衡辐射放出的热量为()2221.Q T S S =- （5） 循环过程的效率为()()2212211211111.T S S Q TQ T S S T η-=-=-=-- （6）2.17 如图所示，电介质的介电常量()DT Eε=与温度有关. 试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令电路断开后的热容量之差.解：根据式（1.4.5），当介质的电位移有dD 的改变时，外界所做的功是đ,W VEdD = （1）式中E 是电场强度，V 是介质的体积. 本题不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换,p E V VD →-→ （2）下，简单系统的热力学关系同样适用于电介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有,E D D EE D C C VT T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4） 式中E C 是电场强度不变时介质的热容量，D C 是电位移不变时介质的热容量. 电路为闭路时，电容器两极的电位差恒定，因而介质中的电场恒定，所以D C 也就是电路为闭路时介质的热容量. 充电后再令电路断开，电容器两极有恒定的电荷，因而介质中的电位移恒定，所以D C 也就是充电后再令电路断开时介质的热容量.电介质的介电常量()DT Eε=与温度有关，所以 ,ED dE E T dT ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2,DE D d T dT εε∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （5） 代入式（4），有2E D D d d C C VT EdT dTεεε⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭223.D d VT dT εε⎛⎫= ⎪⎝⎭（6）2.18 试证明磁介质H C 与M C 之差等于20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭解：当磁介质的磁化强度有dM 的改变时，外界所做的功是0đ,W V HdM μ= （1）式中H 是电场强度，V 是介质的体积.不考虑介质体积的改变，V 可看作常量. 与简单系统đW pdV =-比较，在变换0p H,V VM μ→-→ （2）下，简单系统的热力学关系同样适用于磁介质. 式（2.2.11）给出.p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）在代换（2）下，有0H M M HH M C C T T T μ∂∂⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （4） 式中H C 是磁场强度不变时介质的热容量，M C 是磁化强度不变时介质的热容量. 考虑到1H M TM T H T H M ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5） （5）式解出HM T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭,代入(4)式,得 20H M M TH M C C T T H μ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭2.19 已知顺磁物质遵从居里定律：().CM H T=居里定律 若维物质的温度不变，使磁场由0增至H ，求磁化热.解：式（1.14.3）给出，系统在可逆等温过程中吸收的热量Q 与其在过程中的熵增加值∆S 满足.Q T S =∆ （1）在可逆等温过程中磁介质的熵随磁场的变化率为（式（2.7.7））0.T HS m H T μ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 如果磁介质遵从居里定律(),CVm H C T=是常量 （3） 易知2Hm CV H T T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭, （4） 所以0.T CV H S H T μ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭2（5） 在可逆等温过程中磁场由0增至H 时，磁介质的熵变为202.2HTCV H S S dH H T μ∂⎛⎫∆==- ⎪∂⎝⎭⎰（6） 吸收的热量为20.2CV H Q T S Tμ=∆=- （7）2.20 已知超导体的磁感强度0()0B H M μ=+=，求证： （a ）M C 与M 无关，只是T 的函数，其中M C 是磁化强度M 保持不变时的热容量.（b ）200.2M M U C dT U μ=-+⎰（c ）0.MC S dT S T=+⎰解：先对超导体的基本电磁学性质作一粗浅的介绍.1911年昂尼斯（Onnes ）发现水银的电阻在4.2K 左右突然降低为零，如图所示. 这种在低温下发生的零电阻现象称为超导电性. 具有超导电性质的材料称为超导体. 电阻突然消失的温度称为超导体的临界温度. 开始人们将超导体单纯地理解为具有无穷电导率的导体. 在导体中电流密度e J 与电场强度E 满足欧姆定律.eJ E σ=（1） 如果电导率σ→∞，导体内的电场强度将为零. 根据法拉第定律，有,BV E t∂⨯=-∂ （2） 因此对于具有无穷电导率的导体，恒有0.Bt∂=∂ （3） 下图（a ）显示具有无穷电导率的导体的特性，如果先将样品降温到临界温度以下，使之转变为具有无穷电导率的导体，然后加上磁场，根据式（3）样品内的B 不发生变化，即仍有0B =但如果先加上磁场，然后再降温到临界温度以下，根据式（3）样品内的B 也不应发生变化，即0.B ≠这样一来，样品的状态就与其经历的历史有关，不是热力学平衡状态了. 但是应用热力学理论对超导体进行分析，其结果与实验是符合的. 这种情况促使人们进行进一步的实验研究.1933年迈斯纳（Meissner ）将一圆柱形样品放置在垂置于其轴线的磁场中，降低到临界温度以下，使样品转变为超导体，发现磁通量完全被排斥于样品之外，即超导体中的B 恒为零：()00.B H M μ=+= （4）这一性质称为完全抗磁性. 上图（b ）画出了具有完全抗磁性的样品在先冷却后加上磁场和先加上磁场后冷却的状态变化，显示具有完全抗磁性的超导体，其状态与历史无关.1953年弗·伦敦（F.London ）和赫·伦敦（H.London ）兄弟二人提出了一个唯象理论，从统一的观点概括了零电阻和迈斯纳效应，相当成功地预言了超导体的一些电磁学性质.他们认为，与一般导体遵从欧姆定律不同，由于零电阻效应，超导体中电场对电荷的作用将使超导电子加速. 根据牛顿定律，有,m qE =v& （5） 式中m 和q 分别是超导电子的质量和电荷，&v是其加速度. 以s n 表示超导电子的密度，超导电流密度s J 为.=s s n q v J （6）综合式（5）和式（6），有1,s t Λ∂=∂J E （7） 其中2.s mΛn q =（8） 将式（7）代入法拉第定律（2），有,s Λt t ∂∂⎡⎤∇⨯=-⎢⎥∂∂⎣⎦B J或[]()0.s Λt∂∇⨯+=∂J B （9） 式（9）意味着()s Λ∇⨯+J B 不随时间变化，如果在某一时刻，有(),s Λ∇⨯=-J B （10）则在任何时刻式（10）都将成立. 伦敦假设超导体满足式（10）. 下面证明，在恒定电磁场的情形下，根据电磁学的基本规律和式（10）可以得到迈斯纳效应. 在恒定电磁场情形下，超导体内的电场强度显然等于零，否则s J 将无限增长，因此安培定律给出0.s μ∇⨯=B J （11）对上式取旋度，有0(),s Λμμ∇⨯∇⨯∇⨯=-B J B （12）其中最后一步用了式（10）. 由于2()().∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇B B B而0∇⋅=B ，因此式（12）给出20μΛ∇=B B （13） 式（13）要求超导体中B 从表面随浓度很快地减少. 为简单起见，我们讨论一维情形. 式（13）的一维解是e≈B （14）式（14）表明超导体中B 随深度x 按指数衰减.如果2310cm s n ≈，可以得到6210cm .-≈⨯这样伦敦理论不仅说明了迈斯纳效应，而且预言磁屏蔽需要一个有限的厚度，磁场的穿透浓度是-610cm 的量级. 实验证实了这一预言. 综上所述，伦敦理论用式（7）和式（10）s ,()s tΛΛ∂=∂∇⨯=-J B J B（15）来概括零电阻和迈斯纳效应，以式（15）作为决定超导体电磁性质的基本方程. 迈斯纳效应的实质是，磁场中的超导体会在表面产生适当的超导电流分布，使超导体内部0.=B 由于零电阻，这超导电流是永久电流，不会衰减. 在外磁场改变时，表面超导电流才会相应地改变.伦敦理论是一个唯象理论. 1957年巴丁、库柏和徐瑞佛（Bardeen ，Cooper ，Schriffer ）发展了超导的微观理论，阐明了低温超导的微观机制，并对超导体的宏观特性给予统计的解释.下面回到本题的求解. 由式（3）知，在超导体内部恒有,M H =- （16）这是超导体独特的磁物态方程. 通常的磁物态方程(,,)0f H M T =对超导体约化为式（16）.根据式（16），有0,0.HMM T H T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ （17）（a ） 考虑单位体积的超导体. 式（2.7.2）给出准静态过程中的微功为0đ.W HdM μ= （18）与简单系统的微功đW pdV =-比较知在代换0,p H V M μ→→下，简单系统得到的热力学关系同样适用于超导体. 2.9题式（2）给出22.V T VC p T V T ⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 超导体相应的热力学关系为2020.M T MC H T ΜT μ⎛⎫∂∂⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （19） 最后一步用了式（17）. 由式（19）可知，M C 与M 无关，只是T 的函数.（b ）相应于简单系统的（2.2.7）式,T VU p T p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 超导体有000,T MU ΗT H M ΜT μμμ∂∂⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （20） 其中第二步用了式（17）.以,T M 为自变量，内能的全微分为0.M T M U U dU dT dMT M C dT MdM μ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=- 积分得超导体内能的积分表达式为200.2M M U C dT U μ=-+⎰ （21）第一项是不存在磁场时超导体的内能，第二项代表外磁场使超导体表面感生超导电流的能量. 第二项是负的，这是式（16）的结果，因此处在外磁场中超导体的内能低于无磁场时的内能. （c ）相应于简单系统的（2.4.5）式0,V V C p S dT dV S T T ⎡⎤∂⎛⎫=++ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦⎰超导体有00M MC ΗS dT dM S T T μ∂⎛⎫=-+ ⎪∂⎝⎭⎰0,MC dT S T=+⎰（22） 第二步用了式（17）. 这意味着，处在外磁场中超导体表面的感生超导电流对熵（无序度）没有贡献.补充题1 温度维持为25C o ，压强在0至1000n p 之间，测得水的实验数据如下：()363114.510 1.410cm mol K .pV p T ----∂⎛⎫=⨯+⨯⋅⋅ ⎪∂⎝⎭ 若在25C o 的恒温下将水从1n p 加压至1000n p ，求水的熵增加值和从外界吸收的热量.解：将题给的pV T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭记为.pV a bp T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 由吉布斯函数的全微分dG SdT Vdp =-+得麦氏关系.p TV S T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 因此水在过程中的熵增加值为()212121p P T p p pp p S S dpP V dp T a bp dp∂⎛⎫∆= ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭=-+⎰⎰⎰()()222121.2b a p p p p ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦（3）将11,1000n n n p p p p ==代入，得110.527J mol K .S --∆=-⋅⋅根据式（1.14.4），在等温过程中水从外界吸收的热量Q 为 ()112980.527J mol 157J mol .Q T S--=∆=⨯-⋅=-⋅补充题2 试证明范氏气体的摩尔定压热容量与摩尔定容热容量之差为(),,23.21p m V m m m R C C a V b V RT-=--解：根据式（2.2.11），有,,.m m p m V m V pV p C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1）由范氏方程2m mRT ap V b V =-- 易得,m V mp R T V b ∂⎛⎫= ⎪∂-⎝⎭()232.m m Tm p RT aV V V b ⎛⎫∂=-+ ⎪∂-⎝⎭ （2） 但1,m m V m Tp V p T T V p ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以m V m pm Tp T V T p V ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫=-⎪∂⎛⎫∂⎝⎭ ⎪∂⎝⎭()()323,2m m mm RV V b RTV a V b -=-- （3）代入式（1），得(),,23.21p m V m m mR C C a V b RTV -=--（4）补充题3 承前1.6和第一章补充题3，试求将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量和内能的变化.解：式（2.4.4）给出，以,T V 为自变量的简单系统，熵的全微分为.V VC p dS dT dV T T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （1） 对于本题的情形，作代换,,V L p →→-J （2）即有.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （3） 将理想弹性体等温可逆地由0L 拉长至02L 时所吸收的热量Q 为002.L L LQ TdS T dL T ∂⎛⎫==- ⎪∂⎝⎭⎰⎰J （4） 由2020L L J bT L L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得220002200021,L L L dL J L L b bT T L L L L L dT ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （5） 代入式（4）可得0002222200022002L L L L L L L L Q bT dL bT a dL L L L L ⎛⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 0051,2bTL a T ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ （6）其中0001.dL L dTα=过程中外界所做的功为002220020,L L L L L L W JdL bT dL bTL L L ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰（7） 故弹性体内能的改变为2005.2U W Q bT L α∆=+= （8）补充题4 承上题. 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化率.解：上题式（3）已给出.L LJ TdS C dT T dL T ∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ （1） 在可逆绝热过程中0dS =，故有.S LL T T J L C T ∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （2） 将习题2.15式（5）求得的L J T ∂⎛⎫⎪∂⎝⎭代入，可得 2200022002.S L L L T bT L L T L C L L L L α⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3）补充题5 实验测得顺磁介质的磁化率()T χ. 如果忽略其体积变化，试求特性函数(,)f M T ，并导出内能和熵.解：在磁介质的体积变化可以忽略时，单位体积磁介质的磁化功为（式（2.7.2））0đ.W HdM μ= （1）其自由能的全微分为0.df SdT MdM μ=-+将()χ=T M H 代入，可将上式表为.Mdf SdT dM μχ=-+ （2）在固定温度下将上式对M 积分，得20(,)(,0).2()M f T M f T T μχ=+ （3）(,)f T M 是特性函数. 单位体积磁介质的熵为(),MS f T M T ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦221(,0).2d M S T dTμχχ=+ （4） 单位体积的内能为220002.22M d U f TS M T U dTμμχχχ=+=++ （5）。
北京大学统计物理与热力学2000真题
考试科目：统计物理与热力学考试时间：2000年1月24日上午
招生专业：理论物理研究方向：凝聚态理论与统计物理等试题：
已知某均匀系的内能（U）作为熵（S）与体积（V）的函数可以表为
U=C*S^(4/3)*V^(-1/3) （C为正常函数）
求该体系的压强（P），自由能（F），吉布斯函数（G），Cv与Cp 。
2、简要回答下列问题（不必计算）：
（1）固体比热的爱因斯坦理论与德拜理论的区别是什么？哪个理论更符合实验，为什么？
（2）什么条件下微正则、正则与巨正则系统在计算力学量的平均值时是等价的，为什么？
（3）经典能量均分定理的适用条件是什么？试尽你所知举出不满足经典能量均分定理的情形。
（4）若在玻尔兹曼方程中略去碰撞项，问系统的熵是否随时间改变，为什么？
3、对处于平衡态下的理想玻色气体，引入巨配分函数
Ξ = Π( 1 - e^(-α-β*ε_l)^( - ω_l)
l
其中ε_l与ω_l分别代表粒子的能级与该能级的简并度。
导出总粒子数平均值（N{bar}）,内能（E{bar}），外界作用力的平均值（Y{bar}_λ）及熵（S）用lnΞ表达的统计表达式。
在非简并条件（即e^α>>1）下，由上述公式出发，通过将lnΞ作泰勒展开并保持到最低阶的近似，导出N{bar},E{bar},Y{bar}_λ,S用lnz的表达式，其中z = Σω_l * e^(-β*ε_l) 为子系配分函数。
热力学统计物理-基础题库
Q 一、选择题：（每题 3 分）下列选项正确的是（）.(热力学系统的平衡状态及其描述)（容易）A ． 与外界物体有能量交换但没有物质交换的系统称为绝热系统。
B ． 与外界物体既有能量交换又有物质交换的系统称为封闭系统。
C ． 与外界物体既没有能量交换又没有物质交换的系统称为孤立系统。
D ． 热力学研究的对象是单个的微观粒子。
答案：B.简单系统的物态方程的一般形式为().（物态方程）（容易）A. f ( p ,V ) = 0 ；B. f ( p ,V ,T ) = C ；C. f ( p ,V ,T ) = 0 ；D. f ( p ,V ) = C ；答案：C.下列关于状态函数的定义正确的是（）.（焓自由能吉布斯函数）（容易）A ． 系统的焓是： H = U - pV ；B ． 系统的自由能函数是： F = U + TS ；C ． 系统的吉布斯函数是： G = U - TS + pV ；D ． 系统的熵函数是： S = ；T答案：C.状态函数焓的全微分表达式为dH 为 ( ).（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS - pdV ；B. TdS + Vdp ；C. -SdT - pdV ；D. -SdT + Vdp答案：B.内能函数的全微分表达式为dU 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：A.自由能函数的全微分表达式为dF 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：C.吉布斯函数的全微分表达式为dG 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：D.下列关于状态函数全微分正确的是（）.（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A．内能: dU =TdS -pdV ；B．焓: dH =TdS -Vdp ；C．自由能: dF =-SdT +pdV ；D．吉布斯函数: dG =-SdT -Vdp ；答案：A.下面几个表达式中错误的是( ).(热量和焓)(容易).∂∂p ∂TCp =T∂TA.CVB.CV =∂U； V=∂S； V∂HC. C = ；p∂SD. ；p答案：B.下面关于热力学第零定律的表述错误的是（）。
热力学与统计物理_试题
热⼒学与统计物理_试题热⼒学部分第⼀章热⼒学的基本规律1、热⼒学与统计物理学所研究的对象：由⼤量微观粒⼦组成的宏观物质系统其中所要研究的系统可分为三类孤⽴系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统；闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统；开系：与外界既有能量交换⼜有物质交换的系统。
2、热⼒学系统平衡状态的四种参量：⼏何参量、⼒学参量、化学参量和电磁参量。
3、⼀个物理性质均匀的热⼒学系统称为⼀个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。
4、热平衡定律(热⼒学第零定律）：如果两个物体各⾃与第三个物体达到热平衡，它们彼此也处在热平衡.5、符合玻意⽿定律、阿⽒定律和理想⽓体温标的⽓体称为理想⽓体。
6、范德⽡尔斯⽅程是考虑了⽓体分⼦之间的相互作⽤⼒（排斥⼒和吸引⼒）,对理想⽓体状态⽅程作了修正之后的实际⽓体的物态⽅程。
7、准静态过程：过程由⽆限靠近的平衡态组成，过程进⾏的每⼀步，系统都处于平衡态。
8、准静态过程外界对⽓体所作的功：，外界对⽓体所作的功是个过程量。
9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作⽤或电磁作⽤的结果⽽没有受到其他影响。
绝热过程中内能U 是⼀个态函数：A B U U W -= 10、热⼒学第⼀定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造，只能从⼀种形式转换成另⼀种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热⼒学表达式：Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d +=11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热⼒学第⼀定律的公式⼀⽐较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。
12、焦⽿定律：⽓体的内能只是温度的函数，与体积⽆关，即)(T U U =。
13．定压热容⽐：p p T H C=；定容热容⽐：V V T U C= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态⽅程：const =γpV ；const =γTV ；const 1=-γγTp 。
1999年高考物理试题(全国卷)
1999年普通高等学校招生全国统一考试物理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至3页，第II卷4至10页，共150分．考试时间120分钟．第I卷（选择题共48分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上．3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一．本题共12小题；每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确．全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分．1．下列说法正确的是A．当氢原子从n＝2的状态跃迁到n＝6的状态时，发射出光子B．放射性元素的半衰期是指大量该元素的原子核中有半数发生衰变需要的时间C．同一元素的两种同位素具有相同的质子数D．中子与质子结合成氘核时吸收能量2．一太阳能电池板，测得它的开路电压为800mV，短路电流为40mA．若将该电池板与一阻值为20Ω的电阻器连成一闭合电路，则它的路端电压是A．0.10V B．0.20V C．0.30V D．0.40V3．下列说法正确的是4．一定质量的理想气体处于平衡状态I．现设法使其温度降低而压强升高，达到平衡状态II，则A．状态I时气体的密度比状态II时的大B．状态I时分子的平均动能比状态II时的大C．状态I时分子间的平均距离比状态II时的大D．状态I时每个分子的动能都比状态II时的分子平均动能大5．假设地球表面不存在大气层，那么人们观察到的日出时刻与实际存在大气层的情况相比，A．将提前B．将延后C．在某些地区将提前，在另一些地区将延后D．不变6．图为地磁场磁感线的示意图．在北半球地磁场的竖直分量向下．飞机在我国上空匀速巡航，机翼保持水平，飞行高度不变．由于地磁场的作用，金，右方机翼末端处属机翼上有电势差．设飞行员左方机翼末端处的电势为U1，的电势为U2A．若飞机从西往东飞，U1比U2高B．若飞机从东往西飞，U2比U1高C．若飞机从南往北飞，U1比U2高D．若飞机从北往南飞，U2比U1高7．下面是4种亮度可调的台灯的电路示意图，它们所用的白炽灯泡相同，且都是“220V，40W”．当灯泡所消耗的功率都调至20瓦时，哪种台灯消耗的功率最小？8．一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于A．物体势能的增加量B．物体动能的增加量C．物体动能的增加量加上物体势能的增加量D．物体动能的增加量加上克服重力所做的功9．如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动．现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是A．a处为拉力，b处为拉力B．a处为拉力，b处为推力C．a处为推力，b处为拉力D．a处为推力，b处为推力10.地球同步卫星到地心的距离r可由求出。
热力学与统计物理期末题库
热力学与统计物理期末习题一、简答题1.什么是孤立系？什么是热力学平衡态？2.请写出熵增加原理？并写出熵增加原理的数学表达式？3.说明在S ，V 不变的情形下，平衡态的U 最小。
4.试解释关系式 ∑∑+=l l l l l l da d a dU εε 的物理意义？5.什么是玻色－爱因斯坦凝聚，理想玻色气体出现凝聚体的条件是什么？6.什么是热力学系统的强度量？什么是广延量？7.什么是热动平衡的熵判据？什么是等概率原理？请写出单元复相系的平衡条件。
8.写出吉布斯相律，并判断盐的水溶液的最大自由度数。
9.写出玻耳兹曼关系，并说明熵的统计意义。
10.请分别写出正则分布的量子表达式和经典表达式？11.简述卡诺定理及其推论。
12.什么是特性函数？若自由能F为特性函数，其自然变量是什么？13.说明一般情况下，不考虑电子对气体热容量贡献的原因。
14.写出热力学第二定律的数学表述，并简述其物理意义。
15.试讨论分布与微观状态之间的关系？16.请写出麦克斯韦关系。
17.什么是统计系综？18.利用能量均分定理，写出N个CO分子理想气体的内能与热容量（不考虑振动），并简要说明在常温范围，振动自由度对热容量贡献接近于零的原因。
19.简述经典统计理论在理想气体中遇到的困难。
20.理想玻色气体出现凝聚体的条件是什么？凝聚体有哪些性质？21.试给出热力学第一定律的语言描述和数学描述。
22.试给出热力学第二定律的语言描述和数学描述。
二、填空题1.均匀系统中与系统的质量或物质的量成正比的热力学量，称为 。
2.在等温等容过程中，系统的自由能永不 。
(填增加、减少或不变)3.体在节流过程前后，气体的 不变；理想气体经一节流过程，其焦汤系数=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Hp T 。
4.一级相变的特点是 。
5.在满足经典极限条件1>>αe 时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满足关系 。
6.玻尔兹曼分布的热力学系统的内能U 的统计表达式是 。
热力学与统计物理期末复习题
热⼒学与统计物理期末复习题热⼒学与统计物理期末复习题热⼒学统计物理1、请给出熵、焓、⾃由能和吉布斯函数的定义和物理意义解：熵的定义：沿可逆过程的热温⽐的积分，只取决于始、末状态，⽽与过程⽆关，与保守⼒作功类似。
因⽽可认为存在⼀个态函数，定义为熵。
焓的定义：焓的变化是系统在等压可逆过程中所吸收的热量的度量。
⾃由能的定义：⾃由能的减⼩是在等温过程中从系统所获得的最⼤功。
吉布斯函数的定义：在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。
也就是说，在等温等压条件下，系统中发⽣的不可逆过程总是朝着吉布斯函数减少的⽅向进⾏的。
2、请给出热⼒学第零、第⼀、第⼆、第三定律的完整表述解：热⼒学第零定律：如果两个热⼒学系统中的每⼀个都与第三个热⼒学系统处于热平衡(温度相同)，则它们彼此也必定处于热平衡。
热⼒学第⼀定律：⾃然界⼀切物体都具有能量，能量有各种不同形式，它能从⼀种形式转化为另⼀种形式，从⼀个物体传递给另⼀个物体，在转化和传递过程中能量的总和不变。
热⼒学第⼆定律：克⽒表述：不可能把热量从低温物体传到⾼温物体⽽不引起其他变化；开⽒表述：不可能从单⼀热源吸热使之完全变成有⽤的功⽽不引起其他变化。
热⼒学第三定律：能⽒定理：凝聚系的熵在等温过程中的改变随热⼒学温度趋于零，即绝对零度不能达到原理：不肯能通过有限的步骤使⼀个物体冷却到热⼒学温度的零度。
通常认为，能⽒定理和绝对零度不能达到原理是热⼒学第三定律的两种表述。
3、请给出定压热容与定容热容的定义，并推导出理想⽓体的定压热容与定容热容关系式：解：定容热容：表⽰在体积不变的条件下内能随温度的变化率；定压热容：表⽰在压强不变的情况下的熵增；对于理想⽓体，定容热容的偏导数可以写为导数，即（1）定压热容的偏导数可以写为导数，即（2）理想⽓体的熵为（3）由（1）（2）（3）式可得理想⽓体的定压热容与定容热容关系式：4、分别给出体涨系数，压强系数和等温压缩系数的定义，并证明三者之间的关系：解：体涨系数：，给出在压强不变的条件下，温度升⾼1 K所引起的物体的体积的相对变化；压强系数：，给出在体积不变的条件下，温度升⾼1 K所引起的物体的体积的相对变化；等温压缩系数：，给出在温度不变的条件下，增加单位压强所引起的物体的体积的相对变化；由于p、V、T三个变量之间存在函数关系f（p，T，V）=0，其偏导数存在以下关系：因此，，满⾜5、分别给出内能，焓，⾃由能，吉布斯函数四个热⼒学基本⽅程及其对应的麦克斯韦关系式解：内能的热⼒学基本⽅程：对应的麦克斯韦关系式：焓的热⼒学基本⽅程：对应的麦克斯韦关系式：⾃由能的热⼒学基本⽅程：对应的麦克斯韦关系式：吉布斯函数的热⼒学基本⽅程：对应的麦克斯韦关系式：6、选择T，V为独⽴变量，证明：，证明：选择T，V为独⽴变量，内能U的全微分为（1）⼜已知内能的热⼒学基本⽅程（2）以T，V为⾃变量时，熵S的全微分为（3）将（3）式代⼊（2）式可得（4）将（4）式与（1）式⽐较可得（5）（6）7、简述节流过程制冷，⽓体绝热膨胀制冷，磁致冷却法的原理和优缺点解：节流过程制冷：原理：让被压缩的⽓体通过⼀绝热管，管⼦的中间放置⼀多孔塞或颈缩管。
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单选题1.一级相变和二级相变的特点()A.所有物理性质都发生突变B.化学势一阶偏导数发生突变为一级相变，二阶偏导数发生突变为二级相变C.只有比容发生突变的为一级相变，比热发生突变为二级相变D.只有比热发生突变的为一级相变，比容发生突变为二级相变答案:B2.容器中储有1摩尔理想气体，温度T为27度，则分子平均平动动能为（）A.3403JB.3739JC.2493JD.6232J答案:B3.系统与系综的关系是：()A.系综是大量结构相同，宏观约束条件相同系统的集合B.系综是大量不同结构，但宏观约束条件相同系统的集合C.系统和系综都是宏观存在的实际物体D.系统和系综完全是一回事，只是在统计物理中不同的称谓答案:A4.在体系温度恒定的变化过程中，体系与环境之间：A.一定产生热交换B.一定不产生热交换C.不一定产生热交换D.温度恒定与热交换无关答案:C5.描述热力学系统无序程度的状态参量熵S与热力学概率W间满足玻耳兹曼关系式为：A.S=klnWB.S=-klnWC.S=lnWD.S=1/lnW答案:A6.某理想气体,初态温度为T,体积为V,先绝热变化使体积变为2V,再等容变化使温度恢复到T,最后等温变化使气体回到初态,则整个循环过程中,气体A.向外界放热.B.从外界吸热.C.对外界做正功.D.内能减少.答案:B7.某体系等压过程A→B的焓变∆H与温度T无关，则该过程的：（）A.∆U与温度无关；B.∆S与温度无关；C.∆A与温度无关；D.∆G与温度无关。
答案:B8.一可逆的卡诺热机在27℃及127℃的两个热源之间操作，其最大理论效率为多少？A.79B.75C.25D.21答案:C9.玻色-爱因斯坦凝集()A.只有绝对零度时才能发生B.没有激发态粒子C.气体分子间平均距离极小于它的热波长D.气体分子间平均距离极大于它的热波长答案:C10.微正则系综是()A.一种假设B.正则运动方程的解C.经典力学描述的系统D.量子力学描述的系统答案:A11.一密闭系统吸收100焦耳之热量，并同时外界作功40焦耳，則其內能变化量？A.增加140JB.減少140JC.減少60JD.增加60J答案:D12.体系的微观性质和宏观性质是通过（）联系起来的。
热力学与统计物理复习总结级相关试题
热⼒学与统计物理复习总结级相关试题《热⼒学与统计物理》考试⼤纲第⼀章热⼒学的基本定律基本概念：平衡态、热⼒学参量、热平衡定律温度，三个实验系数（α，β，T κ）转换关系，物态⽅程、功及其计算，热⼒学第⼀定律（数学表述式）热容量（C ，C V ，C p 的概念及定义），理想⽓体的内能，焦⽿定律，绝热过程及特性，热⼒学第⼆定律（⽂字表述、数学表述），可逆过程克劳修斯不等式，热⼒学基本微分⽅程表述式，理想⽓体的熵、熵增加原理及应⽤。
综合计算：利⽤实验系数的任意⼆个求物态⽅程，熵增（ΔS ）的计算。
第⼆章均匀物质的热⼒学性质基本概念：焓（H），⾃由能F ，吉布斯函数G 的定义，全微公式，麦克斯韦关系（四个）及应⽤、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义及热容量（Cp ）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数F 、G ，空窖辐射场的物态⽅程，内能、熵，吉布函数的性质。
综合运⽤：重要热⼒学关系式的证明，由特性函数F 、G 求其它热⼒学函数（如S 、U 、物态⽅程）第三章、第四章单元及多元系的相变理论该两章主要是掌握物理基本概念：k ），相格，量⼦态数。
（l l a ω=l e βε-），f s ，P l ，P s 综合运⽤： V m ，平均速度V 综合运⽤：（n+21）基本概念：（f s=1），费⽶能量µ均能量ε的计算。
第九章系综理论基本概念：Γ空间的概念，微正则分布的经典表达式、量⼦表达式，正则分布的表达式，正则配分函数的表达式。
经典正则配分函数。
不作综合运⽤要求。
四、考试题型与分值分配1、题型采⽤判断题、单选题、填空题、名词解释、证明题及计算题等六种形式。
2、判断题、单选题占24％，名词解释及填空题占24％，证明题占10％，计算题占42％。
《热⼒学与统计物理》复习资料⼀、单选题1、彼此处于热平衡的两个物体必存在⼀个共同的物理量，这个物理量就是（）①态函数②内能③温度④熵2、热⼒学第⼀定律的数学表达式可写为（）①W Q U U A B +=-②W Q U U B A +=- ③WQ U U A B -=-④WQ U U B A -=-3、在⽓体的节流过程中，焦汤系数µ=）（1-αT C V P ，若体账系数T 1>α，则⽓体经节流过程后将（）①温度升⾼②温度下降③温度不变④压强降低4、空窖辐射的能量密度u 与温度T 的关系是（）①3aT u =②T aV u 3=③4aVT u =④4aT u = 5、熵增加原理只适⽤于（）①闭合系统②孤⽴系统③均匀系统④开放系统6、在等温等容的条件下，系统中发⽣的不可逆过程，包括趋向平衡的过程，总是朝着（）①G 减少的⽅向进⾏②F 减少的⽅向进⾏③G78①3②2③19①≥LTζθ10111213141516、描述N ①617①Z P l 11＝18、T ＝0k F ①平均动量②最⼤动量③最⼩动量④总动量19、光⼦⽓体处于平衡态时，分布在能量为εs 的量⼦态s 的平均光⼦数为（）①11-+seβεα②11-KTeω③11++seβεα④11+KT20、由N 个单原⼦分⼦构成的理想⽓体，系统的⼀个微观状态在Γ空间占据的相体积是（）①Nh 3②Nh 6③3h ④6h21、服从玻⽿兹曼分布的系统的⼀个粒⼦处于能量为εs 的量⼦态S 的概率是（）①se NP s βεα--=1②se P s βεα--=③se N P s βε-=1④se P s βε-=22、在T ＝0K 时，由于泡利不相容原理限制，⾦属中⾃由电⼦从能量ε＝0状态起依次填充之µ(0)为⽌，µ(0)称为费⽶能量，它是0K 时电⼦的（）①最⼩能量②最⼤能量③平均能量④内能23、平衡态下，温度为T 时，分布在能量为εs 的量⼦态s 的平均电⼦数是（）①11-=-KT us e f ε②11+=KT s e f ε③11+=-KTu s e f ④11+=u s e f ε 24、描述N①125①1>αe 26、由N ①h ②h 27、由N ①h ②h 28①329①330①s ρ⼆、判断题1（）2、在P-V 34567891011121314、玻⾊系统的粒⼦是不可分辨的，且每⼀个体量⼦态最多能容纳⼀个粒⼦。
热力学与统计物理试卷1、2+答案
热力学与统计物理试卷（甲）一、选择题：（每题3分，共15分）1、一个P、 V为参量的系统，T V不变时，下列说法证确的是（）（1）系统处于平衡态时，熵最小；（2）系统处于平衡态时，内能最小；（3）系统处于平衡态时，自由能最大；（4）系统处于平衡态时，自由能最小；2、液体中有一气泡，如a表示液相，B表示气相，两相平衡时有（）（1）、 T a≠ T B, P a≠ P B, μa≠μB；（2）、T a = T B, P a≠ P B, μa = μB；（3）、T a = T B, P a = P B, μa≠μB；（4）、T a = T B, P a = P B, μa= μB；3、一个单元系统，固、液两相共存时，（）（1）因两相共存，所以不可能处于平衡态；（2）因两相共存，所以两相质量一定相等；（3）两相共存时，化学势高的相，物质的量将减少；（4）两相共存时，化学势高的相，物质的量将增加；4、初平衡态和终平衡态确定的热力学系统，，下列说法证确的是（）（1）压强一定发生变化；（2）温度一定发生变化；（3）内能、熵、焓，自由能变化，但不确定；（4）内能、熵、焓、自由能变化都是确定的；5、两个完全不同的A、B物体，处于热平衡有：（）（1）、 T A=T B ， P A≠P B， V A≠V B ；（2）、 T A≠T B ， P A=P B， V A=V B ；（3）、 T A=T B ， P A=P B， V A=V B ；（4）、 T A≠T B ， P A≠P B， V A=V B ；二、填空题：（每空3分，共30分）1、理想气体分别经等压、等容过程，温度都由T1升到T2，假设等压、等容热容是常数，则前后过程熵增的比值为（）。
2、等温等容条件下的系统处在温度平衡`状态的必要和充分条件为（），由（）可以确定平衡条件，由（）可以确定平衡的稳定性条件。
3、写出玻尔兹曼分布表示式（）、玻色分布表示式（）、费米分布表示式（）。
热力学与统计物理课后习题答案第一章
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T T pακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.3 在0C 和1n p 下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为51714.8510K 7.810.n p ακ----=⨯=⨯T 和T ακ和可近似看作常量，今使铜块加热至10C 。
热力学与统计物理学习题答案
第一章 热力学的基本规律习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由 得：nRT PV =V nRTP P nRT V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=αT PV RnTP P V /1)(1==∂∂=βP PnRT V P V V T T /111)(12=−−=∂∂−=κ习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质,其物态方程可由实验测得的体胀系数p T ,α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:∫−=)(ln dp dT V T κα如果,试求物态方程。
解： 因为,所以,我们可写成0),,(=p V T f ),(p T V V =,由此, dp pV dT T VdV T p ()(∂∂+∂∂=,因为T T p pVV T V V (1,)(1∂∂−=∂∂=κα 所以, dp dT VdVdp V dT V dV T T κακα−=−=,所以, ,当∫−=dp dT V T καln p T T /1,/1==κα.CT pV pdpT dT V =−=∫:ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为和，可近似看作常量，今使铜块加热至。
问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的体积改多少 1510*85.4−−=K α1710*8.7−−=n T p κT κα,解：分别设为，由定义得：V xp n Δ;74410*8.7*10010*85.4;10*858.4−−−−=Δ=V x T κ所以，410*07.4,622−=Δ=V p x n 习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是0),,(=T L f η实验通常在下进行，其体积变化可忽略。
线胀系数定义为n p 1ηα)(1T L L ∂∂=等杨氏摸量定义为T LA L Y )(∂∂=η其中A 是金属丝的截面积，一般说来，α和Y 是T 的函数，对η仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范不大，可看作常数。
热力学统计物理练习题
热力学·统计物理练习题一、填空题. 本大题57个小题，把答案写在横线上。
1．统计物理学从宏观物体是由大量微观粒子所构成这一事实出发，认为物质的宏观 是大量微观粒子 的集体表现，宏观物理量是微观物理量的 值。
2. 系统，经过足够长时间，其 不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态，热力学第零定律即 平衡定律，它不仅给出了温度的概念，而且指明了比较温度的 。
3．描述热力学系统平衡态独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。
4．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有 个。
5．定压膨胀系数的意义是：在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。
6．定容压力系数的意义是：在 不变条件下系统的压强随 的相对变化。
7．等温压缩系数的意义是：在 不变条件下系统的体积随 的相对变化。
8．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界的功是：∑-=i i dy Y dW ，其中i y 是 ，i Y 是与i y 相应的 。
9．⎰+211L dW dQ ⎰+212L dW dQ （1、2均为热力学平衡态,L 1、L 2为可逆过程）。
10．根据热力学第零定律引出了态函数 ，根据热力学第一定律引出了态函数 ，热力学第一定律的积分表达式为 ，热力学第二定律的微分表达式为 。
11.由热力学第一定律引出了态函数 ，由热力学第二定律引出了态函数 。
12.第一类永动机是指 的永动机。
13．内能是 函数，内能的改变决定于 和 。
14．焓是 函数，在等压过程中，焓的变化等于 的热量。
15．理想气体内能与 有关，而与体积 。
16．克劳修斯等式证明了态函数 的存在，克劳修斯不等式是热力学第二定律 表示的基础。
17.热力学第二定律指明了一切与热现象有关的实际过程进行的 。
18．为了判断不可逆过程自发进行的方向 只须研究 态和 态的相互关系就够了。
19．热力学第二定理的积分形式是 ，微分形式是 。
20． 关系表明了均匀物质系统不同性质之间的关系，简单系统的定压热容量和定容热容量之差用物态方程表示为T C C V p =- 。
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北京大学1999年研究生入学考试试题
考试科目：统计力学、热力学考试时间：1999.1.31下午
招生专业：各专业研究方向：各研究方向
（20分）对下列四个不同的过程，试逐一说明体系的内能、焓、熵、自由能与吉布斯函数的变化（U，H, S，F，G）是零，是正，还是负（或是不足以确定其正、负）。
理想气体的绝热自由膨胀（初、终态均为平衡态）。
理想气体的可逆等温膨胀。
热辐射的可逆绝热压缩。
一级相变在两相平衡的条件下，从液相转变到气相。
（20分）设有N个近独立的定域粒子组成的体系，粒子只有三个非简并能级，其能量值为- ，0，。
体系处于平衡态，温度为T。
试求：
T=0K时体系的熵；
体系的最大熵；
体系的最小熵；
体系的内能；
若为体系的热容量，问=?。