二叉树的二叉链表存储表示与先序便利算法递归实现

二叉树的二叉链表存储表示与先序便利算法递归实现

目录

1：二叉树的定义和性质

1.1：二叉树的定义

1.2：二叉树的性质

2:二叉树的二叉链表存储表示

2.1：二叉树的二叉链表存储表示

2.2：二叉树的二叉链表的实例3：先序遍历二叉树

3.1：先序遍历二叉树的语言描述

3.2：先序遍历二叉树的实例

1．二叉树的定义和性质

1.1：二叉树的定义

二叉树(BinaryTree)是n(n≥0)个结点的有限集，它或者是空集(n=0)，或者由一个根结点及两棵互不相交的（分别称作这个根的左子树和右子树）的二叉树组成。

1．2 ：二叉树的性质

性质1 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i>=1)。

证明采用归纳法证明此性质。

当i=1时，只有一个根结点，2i-1=20 =1,命题成立。

现在假定对所有的j，1<=j

那么可以证明j＝i时命题也成立。由归纳假设可知，第i －1层上至多有2i-2个结点。

由于二叉树每个结点的度最大为2，故在第i层上最大结点数为第i－1

层上最大结点数的二倍，即2×（2i-2）＝2i-1。

性质2深度为k的二叉树至多有2k－1个结点（k>=1)。

证明第i层的结点数为xi（1≤i≤k），深度为k的二叉树的结点数为M，xi最多为2i-1，则有：

性质3 对于一棵非空的二叉树，如果叶子结点数为n0，度数为2的结点数为n2，则有n0＝n2＋1。

证明设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点

数为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以有：N＝n0＋n1＋n2 (5-1)

再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，则有：

N＝B＋1。

由于这些分支都是由度为1和2的结点发出的，所以有： B＝n1+2*n2

N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 (5-2)

由式(5-1)和(5-2)得到：

n0＋n1＋n2 = n1＋2×n2＋1

n0＝n2＋1

性质4具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2n+1 。证明设所求完全二叉树的深度为k,根据完全二叉树的定义和性质2可知，k-1层满二叉树的结点个数为n时，有

2k－1－1

即 2k－1≤n<2k

对不等式取对数，有

k－1≤log2n

由于k是整数，所以有k-1＝log2n，k=log2n+1,结论成立。性质5如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第 +1层，每层从左到右),则对任一结点i （1<=i<=n),有：

（1）如果i＝1，则结点i无双亲，是二叉树的根；如果i>1，则其双亲是结点。

（2）如果2i>n，则结点i为叶子结点，无左孩子；否则，其左孩子是结点2i。

（3）如果2i＋1>n，则结点i无右孩子；否则，其右孩子

有时为了便于找到结点的双亲，则可在结点结

构中增加一个只想其双亲结点的指针域，如下图：

而链表的头指针指向二叉树的根结点。

二叉树的二叉链表存的C语言表示如下：

TypedefstructBiTNode{

TElemType data;

StructBiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针}

（1）访问根节点；

（2）先序遍历左子树；

（3）先序遍历右子树。

3.2：先序遍历二叉树的实例

（1）在纸上画出一棵二叉树。

A

B E

C D G F

(2) 输入各个结点的数据。

# define lensizeof(bitreptr)

bitreptr *bt;

intf,g;

bitreptr /*二叉树结点类型说明*/ {

char data;

bitreptr *lchild,*rchild;

};

preorder(bitreptr *bt) /*先序遍历二叉树*/ {

if(g==1) printf("先序遍历序列为：\n");

g=g+1;

if(bt)

{

printf("%6c",bt->data);

preorder(bt->lchild);

preorder(bt->rchild);

}

else if(g==2) printf("空树\n");

}

bitreptr *crt_bt() /*建立二叉树*/ {

bitreptr *bt;

charch;

if(f==1) printf("输入根结点，#表示结束\n"); else printf("输入结点，#表示结束\n");

scanf("\n%c",&ch);

f=f+1;

if(ch=='#') bt=null;

else

{

bt=(bitreptr *)malloc(len);

bt->data=ch;

printf("%c 左孩子",bt->data); bt->lchild=crt_bt();

printf("%c 右孩子",bt->data); bt->rchild=crt_bt();

}

return(bt);

}

main()

{

f=1;

g=1;

bt=crt_bt();

preorder(bt);

}