求双曲线标准方程的技巧
2.3.1双曲线及其标准方程
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
定义 方程
| | MF1 | － | MF2 | | = 2a ( 2a ＜| F1F2
|)
x2 y2 a2 b2 1(a, b o)
x2 y2 b2 a2 1(a, b o)
图象
y
. .B
A1 o A x B1
y
. B.
A1 o A x B1
2
2
(x c)2 y2 2a (x c)2 y2
cx a 2 a (x c)2 y 2
(c2 a 2 )x2 a 2 y 2 a 2 (c2 a 2 )
令c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
小结
1.双曲线定义及标准方程
2.焦点位置的确定方法 3.求双曲线标准方程关键（定位，定量）
例 1. 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
双曲线中， c 2 = a 2 + b 2。
椭圆的标准方程中，哪个二次项的分母大， 焦点就在哪个相应的轴上；
利用待定系数法求双曲线的标准方程
1利用待定系数法求双曲线的标准方程待定系数法是求双曲线的标准方程的一种常用的方法，也是最重要的方法。
利用待定系数法求双曲线方程一般有以下四种情况：1．如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，则双曲线方程可设为12222=-by ax （0>a ，0>b ）例1：求与双曲线12222=-ny mx 有相同的焦点且过点)1,2(P 的双曲线方程。
解：∵所求双曲线与双曲线12222=-ny mx 有相同的焦点，∴设所求的双曲线方程为12222=-by ax（0>a ，0>b ），由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-241142222b a b a ，解得322==b a ，∴所求的双曲线方程为13322=-yx。
2．如果明确了双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，则双曲线方程可设为12222=-bx ay （0>a ，0>b ）例2：已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点（24,3-），（5,49），求双曲线的标准方程。
解：∵双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为12222=-bx ay ，（0>a ，0>b ）∵双曲线过点（24,3-），（5,49），∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-116812519322222b aba ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==91622b a∴所求的双曲线方程为191622=-xy。
23．如果已知双曲线的方程为标准式，但不知焦点所处的位置，也可把双曲线方程可设为122=-nymx（m ，n 同号）例3：求中心在原点、两对称轴都在坐标轴上，并且经过)415,3(P 和)5,316(Q 两点的双曲线方程。
解：设双曲线的方程为122=-n y m x ，∵点Q P ,在双曲线上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-12592561162259n mnm ， 解得⎩⎨⎧-=-=916n m ，∴所求双曲线方程为191622=+-y x 。
4．如果已知双曲线的渐近线方程是0=±ay bx ，则可把双曲线的方程设为λ=-2222by ax（0≠λ）例4：已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，求双曲线的方程。
双曲线标准方程的推导过程
双曲线标准方程的推导过程双曲线是一种二次曲线，与椭圆和抛物线类似，具有一些特殊的性质和形态。
双曲线的标准方程是一个关于x和y的方程，其推导过程较为复杂，需要从基本定义开始逐步推导。
首先介绍一下双曲线的定义：设点F_1(-c,0)和F_2(c,0)是平面上固定的两个点，点P(x,y)是平面上动态的点。
双曲线是满足PF_1 - PF_2 = 2a (a>0)的动点P所构成的图形。
根据定义推导双曲线的标准方程：1.根据两点之间的距离公式，可以得到PF_1和PF_2的距离公式:PF_1² = (x + c)² + y²PF_2² = (x - c)² + y²2.根据定义中的等式PF_1 - PF_2 = 2a，可以得到：(x + c)² + y² - (x - c)² - y² = 4a²化简后可得：4cx = 4a²化简后可得：x = a²/c3.将x = a²/c代入PF_1² = (x + c)² + y²中，得到：(a²/c + c)² + y² = PF_1²化简后可得：(a² + c²) / c² + y² = PF_1² / c²4.根据双曲线的性质PF_1² - PF_2² = 4a²，可以得到：PF_1² - PF_2² = 4a²(a² + c²) / c² - [(a² - c²) / c² + y²] = 4a² / c²化简后可得：2c² / c² - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：2 - y² / c² = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 2 = 4a² / c²化简后可得：y² / c² - 4a² / c² = 2通过上述推导过程，我们得到了双曲线的标准方程：y² / c² - x² / a² = 1其中，c是双曲线的焦点到中心的距离，a是双曲线的半轴长度。
已知两点求双曲线方程的方法
已知两点求双曲线方程的方法
要求解双曲线的方程，至少需要知道一条焦点和一条渐近线。
有以下两种求解方法：
1. 根据焦点和渐近线求解双曲线方程：
a. 假设一条焦点为（h，k）的双曲线。
该双曲线的标准方程为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1 或 (y-k)²/b² - (x-h)²/a² = 1，其中 a 和b 分别为双曲线的半轴长度。
b. 将已知的焦点代入双曲线方程中得到一个未知常数。
c. 由于已知双曲线的渐近线方程，将双曲线方程化简，可以得到 a 和 b 之间的关系。
d. 将已知点代入化简后的双曲线方程，求解最终的双曲线方程。
2. 根据两点求解双曲线方程：
a. 假设一条双曲线的焦点为（h，k1）和（h，k2），其中 k1 和 k2 是焦点的纵坐标。
b. 由于双曲线对称于 x 轴，渐近线的斜率等于 (k2 - k1)/2h。
c. 通过焦点和斜率的信息，可以确定双曲线的标准方程。
(x-h)²/a² - (y-k1)²/b² = 1 或 (x-h)²/a² - (y-k1)²/b² = -1 或 (y-k1)²/b² - (x-h)²/a² = 1 或 (y-k1)²/b² - (x-h)²/a² = -1。
根据已知信息的不同，使用上述方法之一，可以求解双曲线的方程。
2.3.1 双曲线的标准方程
2
由上述过程可知，双曲线上的点的坐标（x,y） 都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的 点（x,y）都在已知的双曲线上. 这样就得到焦点为F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线 的方程. 类似地可以得到焦点为F1（0，-c）,F2（0，c） 的双曲线的方程
y x 1 (a 0, b 0) . a b
例3 已知A，B两地相距800m，一炮弹在某处爆炸， 在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处迟 2s. 设声速为 340 m/s， （1）爆炸点在什么曲线上？ （2）求这条曲线的方程.
解:（1）设M为爆炸点，由题意得
MA-MB=340×2=680 .
因为爆炸点离A点比离B点距离更远，所以爆炸点
在以A，B为焦点且距B较近的双曲线的一支上.
因此，所求双曲线的方程为
x2 y2 1 (x 0) . 115 600 44 400
提升总结：待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤
根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上， 还是两种都有可能
2 2 2 2 x y y x 根据焦点位置，设其方程为 1 或 1 a 2 b2 a 2 b2
F(0，±c) 在 y 轴上
c2=a2+b2
注：哪一项的系数为正，焦点就在相应的哪条坐标轴 上！
思考1：若已知一个曲线的轨迹是双曲线，如何求 其标准方程呢？ 提示：设出其双曲线的标准方程，求出参数a,b的 值即可. 思考2：在设双曲线的标准方程时，首先应注意什 么问题？ 提示：应注意双曲线焦点的位置，是在x轴上还是 在y轴上.
2 2
b2 =c2-a2 =52-42 =9.
x y 1. 因而所求双曲线的标准方程为 16 9
例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
双曲线解题技巧
双曲线解题技巧
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠双曲线解题技巧这个超级有趣的话题！
咱就拿这个例子来说哈，已知双曲线方程，让咱求它的焦点坐标。
哎呀，这可咋整呢？别急呀！你得先把方程转化成标准形式，就像给它整了个容一样，让它更好看更清楚嘛！这不，一下就找到关键信息了。
比如说，方程里的 a、b 值，那可太重要啦！
然后呢，再想想，双曲线的性质咱得掌握吧！它就像一个有个性的家伙，有着独特的特点呢。
好比说渐近线，那可是双曲线的标志性特征呀！就像每个人都有自己独特的标志一样。
在解题的时候，你得跟双曲线培养感情呀！不能硬邦邦地去对待它。
就
像你跟好朋友相处，得用心去了解呀！比如说，看到一个条件，得马上联想到它背后隐藏的那些知识点，哎呀，这不是明摆着的嘛！
再看看这个例子，求双曲线与直线的交点，别急着下手呀！得先分析分
析它们的关系，是相切呀还是相交呀，这可大有讲究呢！要是没搞清楚就贸然行动，那可不行哟！
哎呀呀，其实双曲线解题技巧就像一把钥匙，能打开好多难题的大门呢！只要咱用心去琢磨，去和它打交道，还怕搞不定它？我的观点就是，只要认真学，多练习，就没有搞不定的双曲线题！加油吧，朋友们！。
求双曲线标准方程的方法
求双曲线标准方程的方法
随着互联网技术的不断发展，双曲线标准方程在计算机编程和机器视觉方面发挥着越来越重要的作用。
在这里，我们来介绍求双曲线标准方程的方法。
求双曲线标准方程的基本步骤：
一、找出双曲线的端点坐标和焦点坐标。
根据双曲线的可视特征，可以确定双曲线的端点坐标和焦点坐标，这样就可以计算出双曲线的离心率e。
二、求取双曲线的标准方程。
根据离心率e和双曲线的焦点坐标来计算双曲线的标准方程。
最后，结合上述步骤，我们可以得出双曲线标准方程。
双曲线标准方程的式子为：(x-x1)^2/a^2 - (y-y1)^2/b^2 = 1 ，其中(x1,y1)为焦点，a和b分别为半长轴和半短轴。
若双曲线在原点（0，0）上，则标准方程为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
总之，求双曲线标准方程并不困难，要做的关键是要先分析出双曲线的图形特征，然后依据离心率及其他信息推导出该双曲线的标准方程，使用该标准方程可以帮助计算机或机器视觉更好地完成一些高级任务。
双曲线标准方程的详细推导过程
双曲线标准方程的详细推导过程嘿，朋友！咱今天来聊聊双曲线的标准方程是咋推导出来的。
先说说啥是双曲线。
你就想象有两个固定的点，咱叫它们焦点，然后一个动点到这两个焦点的距离之差是个定值，那这个动点的轨迹就是双曲线啦。
那怎么推导这标准方程呢？咱设这两个焦点在 x 轴上，坐标分别是(-c, 0) 和 (c, 0) ，动点的坐标是 (x, y) 。
根据双曲线的定义，动点到两个焦点的距离之差的绝对值是个定值2a 。
那距离咋算呢？这就得用到两点间的距离公式啦，这你总熟悉吧？咱先算动点到焦点 (-c, 0) 的距离，那就是√[(x + c)² + y²] 。
再算动点到焦点 (c, 0) 的距离，就是√[(x - c)² + y²] 。
因为距离之差的绝对值是 2a ，所以| √[(x + c)² + y²] - √[(x - c)² + y²] | = 2a 。
这式子看着是不是有点头疼？别急，咱两边平方来化简一下。
平方之后得到：( √[(x + c)² + y²] - √[(x - c)² + y²] )² = (2a)²。
展开之后，再经过一番整理和化简，你猜怎么着？就能得到双曲线的标准方程啦！你说这过程像不像解谜？一步一步，抽丝剥茧，最后找到答案。
这双曲线的标准方程推导，是不是还挺有趣的？其实数学里好多东西都这样，看着复杂，只要咱耐心点儿，一步步来，就能弄明白。
朋友，你是不是也觉得数学挺有意思的，只要肯钻研，就能发现其中的奥秘！这双曲线标准方程的推导，就是个很好的例子，不是吗？。
求双曲线标准方程的技巧
求双曲线标准方程技巧在求双曲线标准方程时，假如能依据已知条件设出方程合理形式，能够简化运算，优化解题过程。
下面结合例题介绍求双曲线标准方程方法。
一 双曲线通常方程例1 求经过点(3,P ,()Q -双曲线标准方程。
分析 双曲线标准方程有两种形式：22x a －22y b ＝１（a ＞０，b ＞０）或22y a －22x b＝１（a ＞０，b ＞０），能够讨论处理。
也能够应用下面方法处理。
解 设双曲线方程为2Ax ＋2By ＝１（AB ＜０）。
因为所求双曲线经过点(3,P ,()Q -，所以9281,7249 1.A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A ＝－175，B ＝125。
故所求双曲线方程为225y －275x ＝１。
说明 求双曲线标准方程通常见待定系数法，当双曲线焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点位置，通常设双曲线方程为2Ax ＋2By ＝１（AB ＜０），这么能够简化运算。
二 等轴双曲线例２ 等轴双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，和直线x －2y ＝０交于两点A 、B ，且AB ＝分析 依据等轴双曲线特点，能够设含有一个参数方程2x －2y ＝2a （a ＞０），求出a 即可。
解 设等轴双曲线方程为2x －2y ＝2a （a ＞０）。
由222,20.x y a x y ⎧-=⎨-=⎩解得交点A 、B坐标分别为、⎛ ⎝。
因为AB ＝＝＝a ＝３。
故所求双曲线方程为2x －2y ＝９。
说明 等轴双曲线是一类特殊双曲线，它有部分特殊性质，比如：离心率e ，渐近线方程为y＝x±且相互垂直等等。
三共焦点双曲线例３已知过点()2，且和双曲线216x－24y＝１有共同焦点双曲线标准方程。
分析依据双曲线焦点和2a、2b关系，有共同焦点双曲线方程可设为216xk-－24yk+＝１（－４＜k＜16），求出k即可。
解设双曲线方程为216xk-－24yk+＝１（－４＜k＜16），将()2代入，得k＝４。
2. 3.1双曲线及其标准方程
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
x2 y 2 y2 x2 3.通过比较两种不同类型的双曲线方程 2－ 2＝1 和 2－ 2 a b a b ＝1(a>0，b>0)，可以看出，如果 x2 项的系数是正的，那么焦点 在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的，那么焦点在 y 轴上．对于 双曲线， a 不一定大于 b， 因此不能像椭圆那样通过比较分母的 大小来判定焦点在哪一条坐标轴上.
1.了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程．
2．会用待定系数法求双曲线的标准方程.
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
双曲线的定义 类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 差 的绝对值等于定 在平面内到两个定点F1、F2距离之_____
值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点
[答案] A
)
y2 x2 B． － ＝1 16 20 y2 x2 D． － ＝1 45 9
[解析] 由条件知 c＝6，焦点在 x 轴上，排除 B、C、D； 又双曲线经过点 A(6，－5)，故选 A.
第二章
§3
3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
5．满足下列条件的点 P(x，y)的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6； (2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
n mn<0，∴－ >0， m ∴方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线．
第二章 §3 3.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 · 选修1-1
双曲线解题方法技巧
双曲线解题方法技巧
1. 嘿，双曲线解题可不能瞎碰运气呀！就像找宝藏要有地图一样。
比如给你个双曲线方程，那你是不是得先找出它的中心呀！这可太关键啦！就好比去一个陌生地方先得找到它的中心位置一样。
2. 哇塞，在解双曲线问题时，渐近线可是个大宝贝啊！你不利用它那可太亏啦！比如说，通过渐近线能迅速判断曲线的大致走向，这难道不神奇嘛！就像通过蛛丝马迹就能知道事情的发展方向。
3. 嘿哟，计算双曲线的离心率可别马虎呀！这可是反映双曲线“胖瘦”的关键。
举个例子，离心率大的双曲线那可就“瘦瘦”的，反之就“胖胖”的，是不是很形象呀！
4. 哎呀呀，遇到双曲线的焦点问题可别发怵！把焦点当成指引方向的灯塔呀！比如说根据焦点就能确定很多关键信息，就像有了灯塔船就不会迷失方向一样。
5. 哇哦，双曲线的定义可别小瞧呀！它能帮你解决大问题呢！举个例子，根据定义能很快判断某些点是否在双曲线上，多省事呀！
6. 嘿嘿，求解双曲线的最值问题的时候要动动脑筋呀！这就像是打游戏冲关一样刺激呢！比如说可以通过巧妙转化来求出最值，多有意思呀！
我的观点结论：双曲线解题方法技巧真的很有趣也很实用呀，掌握了这些，面对双曲线问题就不会头疼啦！。
高中数学双曲线解题技巧
高中数学双曲线解题技巧双曲线是高中数学中的一个重要内容，它在解析几何中有着广泛的应用。
在考试中，经常会出现与双曲线相关的各种题目，因此掌握双曲线的解题技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将介绍一些常见的双曲线解题技巧，并通过具体的题目来说明。
一、双曲线的基本性质在解题之前，我们首先需要了解双曲线的基本性质。
双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别代表双曲线的横轴和纵轴的半轴长。
双曲线的中心位于原点$(0,0)$，横轴和纵轴分别为$x=a$和$y=b$。
二、双曲线的图像与方程通过观察双曲线的方程，我们可以得到以下结论：1. 当$a=b$时，双曲线变为一对直线，方程为$x=\pm y$；2. 当$a>b$时，双曲线开口朝向$x$轴，称为右开双曲线；3. 当$a<b$时，双曲线开口朝向$y$轴，称为上开双曲线。
三、双曲线的焦点和准线双曲线有两个焦点和两条准线，它们与双曲线的性质密切相关。
1. 焦点：双曲线的焦点位于横轴上，坐标为$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$；2. 准线：双曲线的准线位于横轴上，坐标为$(\pm a,0)$。
四、双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，它们与双曲线的方程有关。
1. 横渐近线：当$x\to\infty$或$x\to-\infty$时，双曲线趋于横渐近线$y=0$；2. 纵渐近线：当$y\to\infty$或$y\to-\infty$时，双曲线趋于纵渐近线$x=0$。
五、双曲线的对称性双曲线具有许多对称性，这些对称性可以帮助我们解题。
1. 关于$x$轴对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,-y)$也在双曲线上；2. 关于$y$轴对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,y)$也在双曲线上；3. 关于原点对称：当$(x,y)$在双曲线上时，$(-x,-y)$也在双曲线上。
(完整版)双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线2．2.1 双曲线及其标准方程【课标要求】1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点)自学导引1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示．(2)若“常数大于|F 1F 2|”，此时动点轨迹不存在．(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 2．双曲线的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)焦点坐标 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2想一想：如何判断方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点的位置？提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．名师点睛1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论.题型一 求双曲线的标准方程 【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．[思路探索] 由于(1)无法确定双曲线焦点的位置，可设x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)两种情况，分别求解．另外也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)或x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，直接代入两点坐标求解．对于(2)可设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或x 2λ－y 26－λ＝1(0<λ<6)．解 (1)法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一 依题意，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.规律方法 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，实为一种好方法．【变式1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)． 解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－x 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.2.若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2D ．m －bA 解析：设点P 为双曲线右支上的点，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ． 由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ．∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ． ∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a ．题型二 双曲线定义的应用【例2】如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2[思路探索] (1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ，则点M 到另一焦点的距离易得； (2)结合已知条件及余弦定理即可求得面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义，得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为6 或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝ 36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.规律方法 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．【变式2】1．已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．1．解：连接ON ，ON 是△PF 1F 2的中位线，所以|ON |＝12|PF 2|．因为||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|＝10，所以|PF 2|＝2或18，|ON |＝12|PF 2|＝1或9．2．设P 为双曲线x 216－y29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．解：由方程x 216－y 29＝1，得a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10．又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝64．①在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100．② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×36×32＝93．3.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理，得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.误区警示 忽略双曲线焦点位置致误【示例】 方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________．[错解] 由⎩⎪⎨⎪⎧2－m >0，|m |－3<0解得－3<m <2，∴m 的取值范围是{m |－3<m <2}．只考虑焦点在x 轴上，忽视了焦点在y 轴上的情况．[正解] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.∴m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 答案 {m |－3<m <2或m >3}方程x 2m ＋y 2n＝1既可以表示椭圆又可以表示双曲线．当方程表示椭圆时，m 、n 应满足m >n >0或n >m >0，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．当方程表示双曲线时，m 、n 应满足mn <0，当m >0，n <0时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线. 当堂检测1．平面内有两个定点F 1(－5,0)和F 2(5,0)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6，则动点P 的轨迹方程是( )A ．22=1169x y -(x ≤－4) B ．22=1916x y -(x ≤－3) C ．22=1169x y -(x ≥4) D ．22=1916x y -(x ≥3) 答案：D 解析：由已知动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，且a ＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16，∴所求轨迹方程为22=1916x y -(x ≥3)． 2．已知双曲线为22=12x y λ+，则此双曲线的焦距为( ) AB．CD．答案：D 解析：由已知λ＜0，a 2＝2，b 2＝－λ，c 2＝2－λ，∴焦距2c = 3．已知双曲线22=1169x y -上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 答案：D 解析：设F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 则由双曲线的定义知：||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8，而|PF 2|＝15，解得|PF 1|＝7或23．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，顶点B 在双曲线22=12511x y -的左支上，则sin sin sin A C B-＝______． 答案：56解析：如图，||||sin sin ||||210522||sin ||21262BC AB A C BC AB a RR AC B AC c R---=====．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22=1412x y-上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．答案：4 解析：设右焦点为F ，则点F 的坐标为(4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M 点的坐标为(3，±15)．由两点间距离公式得|MF|＝(3－4)2＋(±15－0)2＝4．。
如何求双曲线方程的标准方程
如何求双曲线方程的标准方程黄薄喆求双曲线的标准方程主要是求实半轴长（a）和虚半轴长（b）。
基本思路有两条途径：一是根据条件直接求得a与b的值；二是根据题设条件设出（a>0，b>0）标准方程，再建立关于a与b的方程组，进而求得a 与b的值。
一、直接法直接法就是不设出双曲线的标准方程，而是根据双曲线及相关圆锥曲线的几何性质等建立方程（组）直接求出a与b的值。
但是求解时，必须首先明确焦点在哪条坐标轴上。
例1 已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A. B.C. D.分析：由焦点坐标可以知道双曲线焦点位置及半焦距的长c，由离心率可得到实半轴长a与c的关系。
解：由条件知双曲线的焦点在x轴上，半焦距c=4，离心率。
所以a=2，=，所以双曲线方程为，故选A。
点评：解答此类题型的关键是要正确判定双曲线焦点的位置（有焦点在x轴或y 轴上或两种情况并存的情况），以确定标准方程的类型及所求方程的个数。
二、定义法此方法主要适用于求动点的轨迹方程，解答时必须首先根据题设条件判定所求点的轨迹为双曲线，然后根据条件中的其他条件确定a、b的值，进而得到双曲线的标准方程，即为所求点的轨迹。
例2 已知动圆M与C1：，C2：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________________。
分析：根据两圆相切的条件可以确定出等式。
由此知动圆圆心M 的轨迹为双曲线的一支，然后再根据相关条件求得实半轴长a与虚半轴长b的值。
解：设动圆M的半径为r，则，。
∴，故点M的轨迹是以C1、C2为焦点，实轴长为1的双曲线的一支，。
∴（x<0），M的轨迹为该双曲线的左支。
点评：本题充分挖掘题设中所给的几何性质，巧妙运用平面几何的知识，得到相关线段间的几何关系，结合圆锥曲线的定义判断所求点的轨迹的类型，这体现了平面几何知识在解析几何中的简化作用。
三、待定系数法利用待定系数法，就是根据题设条件设出所求的双曲线方程，然后建立方程或方程组求得参数。
双曲线怎么求标准方程
双曲线怎么求标准方程双曲线是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
在学习双曲线的过程中，求其标准方程是一个基础且必须掌握的内容。
本文将详细介绍双曲线的标准方程求解方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 双曲线的定义。
在直角坐标系中，双曲线是一类特殊的曲线，其定义可以通过几何、代数或者参数方程进行描述。
在本文中，我们主要讨论双曲线的代数定义，即通过方程的形式来描述双曲线。
双曲线的代数定义为，设a、b为正实数，且a≠b，点F1(-c,0)和F2(c,0)为平面上两定点，且2c=2a。
点P(x,y)到F1、F2的距离之差的绝对值等于常数2a，即|PF1-PF2|=2a，则点P(x,y)的轨迹方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1。
2. 求解双曲线的标准方程。
双曲线的标准方程是指将双曲线的方程化为一种特定的标准形式，便于对其性质进行分析和研究。
双曲线的标准方程通常采用以下形式，(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1或者(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=-1。
求解双曲线的标准方程的一般步骤如下：步骤一，将双曲线的方程化为标准形式。
首先，我们需要将给定的双曲线方程化为标准形式。
具体的方法是利用平移变换和坐标轴旋转等技巧，将双曲线的方程化为上述所述的标准形式。
步骤二，确定标准方程中的参数。
在将双曲线的方程化为标准形式后，我们需要确定标准方程中的参数。
其中，参数(h,k)表示双曲线的中心坐标，参数a表示双曲线在x轴上的半轴长度，参数b 表示双曲线在y轴上的半轴长度。
步骤三，写出标准方程。
最后，根据确定的参数，我们可以将双曲线的标准方程写出来。
在写出标准方程时，需要保证等式两边的平方项系数分别为1，且一项为正一项为负。
3. 求解实例。
接下来，我们通过一个具体的实例来演示如何求解双曲线的标准方程。
例，求双曲线x^2/16-y^2/9=1的标准方程。
解，首先，我们将给定的双曲线方程化为标准形式，得到(x-0)^2/16-(y-0)^2/9=1。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求双曲线标准方程的技巧
在求双曲线标准方程时，如果能根据已知条件设出方程的合理形式，可以简化运算，优化解题过程。
下面结合例题介绍求双曲线标准方程的方法。
一 双曲线的一般方程
例1 求经过点(3,P ,()
Q -的双曲线标准方程。
分析 双曲线的标准方程有两种形式：22x a －22y b =1(a >０,b ＞０)或22y a －2
2x b
=１(a ＞
0，b >０）,可以讨论解决。
也可以应用下面的方法解决。
解 设双曲线方程为2
Ax +2
By ＝１(AB <０)。
因为所求双曲线经过点(3,P ，
()
Q -,所以9281,7249 1.
A B A B +=⎧⎨+=⎩解得A ＝-175,B =1
25。
故所求双曲线方程为225y -275x =
１。
说明 求双曲线标准方程一般用待定系数法,当双曲线的焦点位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，一般设双曲线方程为2Ax +2
By ＝１（AB <０)，这样可以简化运算。
二 等轴双曲线
例2 等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线x -2y ＝０交于两点A 、B ,
且AB ＝
分析 根据等轴双曲线的特点,可以设含有一个参数的方程2
x －2
y =2
a (a >0），求出
a 即可。
解 设等轴双曲线方程为2
x -2
y ＝2
a (a ＞０)。
由222,
20.
x y a x y ⎧-=⎨-=⎩解得交点A 、B 的
坐标分别为
、⎛ ⎝。
因为AB ＝=3a ＝
所以a ＝3。
故所求双曲线方程为2x －2y ＝9。
说明 等轴双曲线是一类特殊的双曲线，它有一些特殊的性质，比如:离心率e ，渐近线方程为y ＝x ±且互相垂直等等。
三 共焦点双曲线
例3 已知过点()
2，且与双曲线2
16
x －24y =１有共同焦点的双曲线的标准方程。
分析 根据双曲线焦点与2
a 、2
b 的关系，有共同焦点的双曲线方程可设为2
16x k
-－
2
4y k
+=1（－4＜k <1６),求出k 即可。
解 设双曲线方程为216x k -－2
4y k
+＝１(-4＜k <16）,
将()
2代入，得k =４。
故
所求双曲线方程为212x -2
8
y =1。
说明 与双曲线22x a －22y b =1共焦点的双曲线方程可设为22x a k --22y b k +=1(－2
b ＜k
＜2
a ）。
根据椭圆与双曲线的关系,与椭圆2
2x a
＋22y b =１共焦点的双曲线方程可设为22
x a k -－22y b k
-＝１（2b <k ＜2
a ）,请注意它们的区别。
四 共渐近线双曲线
例４
求经过点(-，且与双曲线2
9
x －216y ＝1有共同渐近线的双曲线方程。
分析 因为双曲线29x －216y ＝１的两条渐近线方程为双曲线2
9x －216y ＝０,因此与它
共渐近线的双曲线方程可表示为双曲线2
9
x －216y ＝λ(λ≠0)。
解 设双曲线方程为29x -2
16
y =λ(λ≠０),
因为双曲线经过点(-,所以λ＝
()
2
39
-
-(2
16
＝14。
故所求双曲线方程为29x -216y ＝1
4，即294
x -24y ＝1。
说明 求共渐近线的双曲线方程也可以讨论焦点分别在两条坐标轴上的情况，以上解法避免了讨论过程,使解题更合理。
另外,以已知双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
显然共轭双曲线有相同的渐近线,因此求共轭双曲线方程时可以采用这个方法。
五 同离心率的双曲线
例5 求经过点()2,0，且与双曲线264x -2
16y =１的离心率相同的双曲线的标准方程。
分析 因为一条双曲线和双曲线22x a -2
2y b =1（a ＞0，b >0)离心率相同，那么它的焦点
可能在x 轴上，也可能在y 轴上。
若焦点在x 轴上，它的方程可设为2
2x a －22y b ＝λ(a >0,b
＞0，λ>0）；若焦点在y 轴上，它的方程可设为22y a -2
2x b
＝λ（a ＞0,b >0,λ＞0)。
解 （１）当所求双曲线的焦点在x 轴上时,它的方程可设为2
64x －216
y ＝λ(λ>０），
将()2,0代入,得λ=1
16。
此时所求双曲线的标准方程为24x -2y =１。
（2)当所求双曲线的焦点在y 轴上时,它的方程可设为264y －2
16
x ＝λ（λ>０）,将
()2,0代入，得λ=－
1
4
＜０(舍去）。
故所求双曲线的标准方程为24
x -2
y ＝1。
说明 已知同离心率与相同渐近线求双曲线方程的方法类似,请你比较它们的区别。
六 已知双曲线渐近线的双曲线
例6 求一条渐近线方程为3x +4y =０，一个焦点是()4,0的双曲线方程。
分析 由3x +4y =０，得
4x ＋3
y
＝０,因此借助与共渐近线方程问题的方法,设所求双曲线方程为216x -2
9
y ＝λ（λ≠０),求出λ即可。
解 根据题意,可设所求双曲线方程为2
16
x －29y =λ(λ≠0)。
又因为焦点在x 轴上,所以
λ＞0。
因为c ＝４,所以16λ＋9λ=1６,解得λ=16
25。
故所求双曲线方程为
225625x -214425
y ＝1。
说明 渐近线方程为x a ±y
b =0或y ＝±b x a
的双曲线方程可设为22x a -22y b ＝λ(λ≠
０），然后确定 的值。
因为求双曲线标准方程的条件是多种多样的,因此在解题时,一定要认真审题，弄清题意，根据条件选择适当的“方程形式”,解决问题。